Wycena opcji w modelach dyskretnych

OPCJE
OPCJE - zagadnienia
 Funkcja wypłaty, funkcja zysku
 Rynek doskonały - założenia
 Wzory na wycenę opcji przy założeniu
okresowej kapitalizacji odsetek
 Wzory na wycenę opcji przy założeniu
ciągłej kapitalizacji odsetek
 Delta hedging (strategia osłonowa delta)
 Algorytm wyceny w ustalonej liczbie
etapów
Funkcja wypłaty / europejska opcja kupna
Definicja
Funkcję zdefiniowaną wzorem
lub
ST  K gdy ST  K
Gc  
gdy ST  K
0
Gc  max( ST  K , 0)
nazywamy funkcją wypłaty dla posiadacza opcji
kupna.
Funkcja wypłaty / europejska opcja sprzedaży
Funkcję zdefiniowaną wzorem
lub
K  ST gdy ST  K
Gp  
gdy ST  K
0
G p  max( K  ST ,0)
nazywamy funkcją wypłaty dla posiadacza
opcji sprzedaży.
in the money (w cenie), out of the
money (poza ceną), at the money (około ceny)
Terminy:
Opcja kupna
Opcja sprzedaży
in the
money
( w cenie)
Cena
instrumentu
bazowego jest wyższa od
ceny wykonania.
Cena instrumentu
bazowego jest niższa od
ceny wykonania.
out of the
money
(poza ceną)
Cena
instrumentu
bazowego jest niższa od
ceny wykonania.
Cena
instrumentu
bazowego jest wyższa od
ceny wykonania.
at
the
money
(około ceny)
Cena instrumentu
bazowego jest zbliżona
lub równa cenie
wykonania.
Cena instrumentu
bazowego jest zbliżona
lub równa cenie
wykonania
Wycena opcji – model dwumianowy
założenia o rynku doskonałym
1. oprocentowanie depozytów i kredytów
bankowych jest jednakowe
2. wysokość zaciąganych kredytów nie jest
ograniczona
3. zapewniona jest płynność obrotu wszystkimi
aktywami
4. nie ma żadnych kosztów związanych z
zawieraniem transakcji
5. wszystkie aktywa są doskonale podzielne
6. dopuszczalna jest krótka sprzedaż aktywów
7. brak możliwości arbitrażu
Arbitraż - różne sformułowania
 Możliwość uzyskania zysku ponad stopę wolną od
ryzyka, bez ryzyka ponoszenia strat
 Możliwość uzyskania dodatniej wartości portfela o
zerowej wartości początkowej, bez ryzyka oraz
przyszłych zobowiązań
 Możliwość uzyskania natychmiastowego zysku, bez
ryzyka oraz przyszłych zobowiązań
 Możliwość wykorzystania „niedopasowań” rynkowych,
pozwalająca na osiąganie dodatkowego zysku bez
ponoszenia ryzyka (finansowe perpetuum mobile)
 Możliwość uzyskania zysku z różnicy cen, gdy walorem
handluje się na dwóch rynkach
Definicja arbitrażu z użyciem pojęcia
prawdopodobieństwa
Arbitraż jest sytuacją w której
 w chwili t = 0 portfel ma zerową wartość
 w chwili t = T wartość portfela jest
nieujemna z prawdopodobieństwem 1
oraz wartość portfela jest dodatnia z
dodatnim prawdopodobieństwem
Równoważność portfeli w czasie
Własność 1.
Jeżeli w chwili końcowej, po czasie T , wartość dwóch portfeli
w każdym scenariuszu jest jednakowa (P (1)T = P (2)T ), to
również w chwili początkowej ich wartości muszą być
równe (P1 = P2)
Przypuśćmy (przeciwnie) że w chwili początkowej wartość portfela
pierwszego była mniejsza niż drugiego: P1 < P2
Wtedy byłaby możliwa następująca strategia arbitrażowa
 Krótka sprzedaż portfela P2 , zakup portfela P1
 Ulokowanie kwoty (P2 - P1) na oprocentowanym koncie
W chwili końcowej :
 sprzedaż portfela pierwszego za kwotę P (1)T
 zakup portfela 2. za kwotę uzyskaną ze sprzedaży
 zwrot portfela 2. (rozliczenie krótkiej sprzedaży)
Rezultat - uzyskanie arbitrażowego zysku (P2 - P1) (1+r)T
Gdyby P2 był mniejszy – analogiczne rozumowanie prowadzi do
uzyskania zysku arbitrażowego.
Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji
kupna przy kapitalizacji okresowej
Cel:
określenie ceny opcji kupna C0
Dane: cena realizacji - K
cena początkowa akcji - S0
cena akcji po upływie okresu
w przypadku wzrostu
w przypadku spadku
stopa wolna od ryzyka - r
S1d
S1u
Zakładamy ponadto że
(i) wycena opcji będzie miała charakter arbitrażowy (przy innej niż
uzyskana wycenie będzie możliwy arbitraż )
(ii) akcja nie przynosi dywidendy
(iii) rynek jest doskonały
(iv) kapitalizacja jest okresowa
Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji
kupna. Przykład
cena realizacji – 110 zł
cena początkowa akcji - 100 zł
cena akcji po upływie okresu
w przypadku wzrostu – 150 zł
w przypadku spadku – 70 zł
okresowa stopa wolna od ryzyka - 20 %
Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji
kupna. Przykład
S1u  150 zł
K = 110 zł
S0 = 100 zł
C1u  40 zł
C0 = ?
S1d  70 zł
C1d  0 zł
Wartość opcji (funkcja wypłaty) po upływie jednego okresu w
przypadku wzrostu ceny akcji
C1u  max( 0, S1u  K )  max( 0, 150  110)  40
Wartość opcji (funkcja wypłaty) po upływie jednego okresu w
przypadku spadku ceny akcji
C1d  max( 0, S1d  K )  max( 0, 70  110)  0
Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji
kupna. Przykład
 Rozważmy portfel składający się z jednej opcji kupna w
pozycji krótkiej oraz pewnej liczby akcji, którą oznaczamy
symbolem ∆0
 Wartość portfela po upływie jednego okresu będzie
wynosić:
V1u   0  S1u  C1u   0 150  40
- gdy cena akcji wzrośnie
V1d   0  S1d  C1d   0  70  0
- gdy cena akcji spadnie.
Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji
kupna. Przykład
Załóżmy ponadto, że portfel jest wolny od ryzyka, czyli po upływie
okresu jego wartość jest identyczna przy każdym scenariuszu
ceny końcowej akcji
V1u  V1d
oznacza to, że
 0 150  40   0  70
 0 150   0  70  40
Stąd
∆0 = 0,5
Zatem portfel powinien składać się z długiej pozycji w akcjach w
liczbie 0,5 oraz z krótkiej pozycji w opcji kupna, w liczbie 1. W
obu przypadkach (wzrostu bądź spadku ceny akcji) wartość
portfela po upływie jednego okresu wynosi 35 zł.
Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji
kupna. Przykład
Aby po jednym okresie uzyskać z lokaty 35 zł należy w chwili
początkowej zainwestować kwotę:
35
1
 35  1  0,2   29,17
1 r
Oznacza to, że wartość portfela (∆0 , - 1) w chwili początkowej
musi być równa V0 = 29,17 zł. (Portfel jest wolny od ryzyka,
dlatego jego okresowa stopa zwrotu musi być równa 20%). Z
drugiej strony wartość portfela w chwili początkowej można
przedstawić w postaci
V0  S0   0  C0  100  0,5  C0  50  C0  29,17 zł
stąd
C0 = 20,83
Model dwustanowy jednookresowy . Przykład
 Uwaga 1. Cena opcji C0 = 20,83 zł jest tzw. ceną
arbitrażową, lub ceną sprawiedliwą. Rzeczywiście
 gdyby cena opcji była wyższa, to inwestor potrzebowałby
mniej niż 29,17 zł na konstrukcję portfela w chwili
początkowej, zatem okresowy zysk byłby większy niż 20%,
czyli istniałaby możliwość arbitrażu. (np.. C0 = 22, to wartość
portfela początkowego 28 zł, końcowego 35, zysk 25%)
 Gdyby cena opcji była niższa niż 20,83 zł , to inwestor
powinien zająć pozycję odwrotną (krótka sprzedaż 0,5 akcji,
(50 zł) kupno opcji, zdeponowanie pozostałej kwoty (> 29,17
zł) na koncie). Po upływie okresu należy odkupić 0,5 akcji za
75 zł i uzyskać z opcji 40 zł (w przypadku zwyżki), bądź
odkupić 0,5 akcji za 35 zł w przypadku zniżki, zatem wydać w
obu sytuacjach 35 zł. Ale po upływie okresu depozyt jest
wart więcej niż 35 zł. Otrzymujemy arbitrażowy zysk.
(wartość portfela w chwili początkowej była zerowa)
Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji
kupna. Przypadek ogólny
Rozważmy - jak w przykładzie - wolny od ryzyka portfel
składający się z jednej opcji kupna w pozycji krótkiej oraz
pewnej liczby akcji ∆0
Wtedy
czyli
gdzie
V1u  V1d
 0  S1u  C1u   0  S1d  C1d , zatem
C1u  C1d
C1u  C1d
0  u

d
S1  S1
S0 (u  d )
S1u  uS0 , S1d  dS0
S1u  K , u  1  r  d
Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji
kupna. Przypadek ogólny
Gdyby d > 1+r, to możliwy jest arbitraż
polegający na zaciągnięciu (nieograniczonego)
kredytu przy stopie r oraz zainwestowania tej
kwoty w akcje.
Gdyby 1+r > u, to możliwy jest arbitraż
polegający na krótkiej sprzedaży akcji i
ulokowanie pieniędzy na lokacie o
oprocentowaniu r.
Obie sytuacje wyklucza założenie (7)
Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji
kupna. Przypadek ogólny
Skoro portfel jest wolny od ryzyka, jego roczna stopa zwrotu
musi być równa stopie zwrotu wolnej od ryzyka.
Zatem: końc.wart. portf./(1+r) = początk. wart. portf.
 0 S0u  C1u
  0 S0  C0
1 r
Stąd, wyliczając C0 otrzymujemy (uwzględniając wzór na
delta)
 0 S 0u  C1u
1
 0 S0 (1  r    0 S0u  C1u 
C0   0 S 0 

1 r
1 r
1 
C1u  C1d C1u  C1d
u


S 0u  C1 
 S 0 (1  r )
1 r 
S 0 u  d  S 0 u  d 


1 
C1u  C1d C1u  C1d
u
C0 

S0u  C1 
S0 (1  r )
1 r 
S0 u  d  S0 u  d 

Po uproszczeniach otrzymujemy
1
C0 
1 r

C1u  C1d C1u  C1d
u ud
(
1

r
)

u

C
1


ud
ud
ud

1  (1  r )C1u  (1  r )C1d  C1d u  C1u d 



1 r 
ud

1

1 r
 (1  r  d )C1u  [u  (1  r )]C1d 


ud


1  (1  r  d )C1u [u  (1  r )]C1d 




1 r 
ud
ud

1
1 r  d

pC1u  (1  p )C1d , gdzie p 
1 r
ud


Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji
kupna. Przypadek ogólny. Podsumowanie
Stwierdzenie 1. Cena europejskiej opcji kupna w
dwustanowym modelu jednookresowym (przy
wcześniejszych oznaczeniach) dana jest wzorem
 (1  r  d )C1u [u  (1  r )]C1d 



ud
ud


1
1 r  d
u
d

pC1  (1  p )C1 , gdzie p 
1 r
ud
1
C0 
1 r

zatem




1
1 r  d
u
d
C0 
pC1  (1  p)C1 , gdzie p 
1 r
ud
C1u  max S1u  K ,0 C1d  max S1d  K ,0



Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji
sprzedaży.
Stwierdzenie 2. Cena europejskiej opcji sprzedaży z ceną
realizacji K w jednookresowym modelu dwumianowym
wynosi:
P0 
1  1  r   d u u  1  r  d 
 P1 
 P1 

u  d 
1  r  u  d 

gdzie P1u oraz P1u oznaczają wartości opcji sprzedaży (wypłaty z
opcji) odpowiednio po wzroście, po spadku akcji, czyli



1
1 r  d
u
d
P0 
pP1  (1  p) P1 , gdzie p 
1 r
ud
P1u  max K  S1u , 0 P1d  max K  S1d , 0



Dowód w przypadku opcji sprzedaży można uzyskać naśladując
postępowanie z dowodu dla opcji kupna lub wykorzystać
parytet kupna-sprzedaży (o czym - później), przy
kapitalizacji okresowej
Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji
kupna. UWAGI
Uwaga 2.
(a) Wzór określający cenę opcji kupna nie zawiera wartości
(b)
(c)
(c)
(d)
prawdopodobieństw wzrostu ani spadku ceny akcji.
Liczby p i (1-p) można interpretować jako prawdopodobieństwo
(odpowiednio) wzrostu, spadku ceny akcji
Przy interpretacji liczb p i (1-p) jako prawdopodobieństwa, cena
opcji kupna jest oczekiwaną wartością funkcji wypłaty
zdyskontowaną czynnikiem 1/(1+ r).
C0 jest funkcją malejącą zmiennej K na przedziale (S0d, S0u)
C0 jest funkcją rosnącą zmiennej S0 na przedziale (K/u, K/d)
Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji
kupna.
Uwaga 3. Przy interpretacji probabilistycznej liczb p i (1- p) wartość
oczekiwana ceny akcji po jednym okresie jest równa wartości
przyszłej kwoty S0 .
E S1   1  r  S0
Dowód
E S1   p  S1u  1  p   S1d  p  u  S0  1  p   d  S0  p  u  S0  d  S0  p  d  S0 
 p  u  S0  p  d  S0  d  S0  p  u  d   S0  d  S0
Podstawiając do wzoru E S1   p  u  d   S 0  d  S 0 wartości wyrażeń p 
1-p 
u  1  r 
otrzymujemy:
u  d 
1  r   d
u  d 
i
 1  r   d 
  u  d   S0  d  S0  1  r   S0  d S 0 d  S0  1  r   S0
E S1   
 u  d  
Model dwustanowy dwuokresowy
wyceny opcji kupna. Zmienność ceny akcji
S 2uu  u 2  S 0
S  u  S0
u
u
1
u
d
S
S0
d
S  d  S0
d
1
(b)
(a)
(e)
(c)
(f)
S
du
2
K
 u  d  S0
u
d
(d)
ud
2
S 2dd  d 2  S 0
Model dwustanowy dwuokresowy
 Stwierdzenie 3.
Cena europejskiej opcji kupna z ceną realizacji K w dwuokresowym modelu dwustanowym
wynosi:
1
2
C0 
p 2  C 2uu  2 p  1  p   C 2ud  1  p   C 2dd
2
1  r 
1  r   d 1-p  u  1  r  .
gdzie liczby p i (1-p) wynoszą odpowiednio p 
u  d 
u  d 


 gdzie

C2uu  max S 2uu  K ,0


C2ud  max S2ud  K ,0


C2dd  max S 2dd  K ,0

Model dwustanowy dwuokresowy
wyceny opcji kupna. Zmienność wartości opcji
(d) C 2u u
u
(b) C1
ud
du
(e) C 2  C 2
(a) C0
(c)
C1d
(f)
C 2d d
 Oznaczenia wartości opcji w węzłach
Model dwustanowy dwuokresowy
Stosując wzór na wycenę opcji kupna w modelu
jednookresowym dla węzłów (b), (c) otrzymujemy




1
p  C2uu  1  p   C2ud
1 r
1
C1d 
p  C2du  1  p   C2dd
1 r
C1u 
Znając te wyceny można wyznaczyć cenę opcji w chwili
początkowej - czyli w węźle (a)
C0 

1
p  C1u  1  p   C1d
1 r

Model dwustanowy dwuokresowy
Podstawiając dwa poprzednie wzory do ostatniego
otrzymujemy
1

p  C1u  1  p   C1d  
1 r
1 
1
1
uu
ud
du
dd 










p

p

C

1

p

C

1

p

p

C

1

p

C
2
2
2
2  
1  r  1  r
1 r

1
2
2
uu
ud
du







p

C

p

1

p

C

p

1

p

C

1

r
 C2dd  
2
2
2
2
1  r 
1
2
2
uu
ud
dd





p

C

2
p

1

p

C

1

p

C
2
2
2
1  r 2
C0 



Mamy więc


1
2
2
uu
ud
dd




C0 
p

C

2
p

1

p

C

1

p

C
2
2
2
1  r 2

Model dwustanowy dwuokresowy
Uwaga 4.
1. Podobnie jak dla wyceny opcji w modelu jednookresowym
2
liczby
p 2 , 2 p1-p , 1  p 
można interpretować jak prawdopodobieństwa odpowiednio
dwukrotnego wzrostu , wzrostu i spadku, dwukrotnego spadku
akcji.
2. Wzór na wycenę opcji można przedstawić następująco
C0 




1
2
2
2






p
max
u
S

K
,
0

2
p

1

p
max
udS

K
,
0

1

p
max d 2 S 0  K ,0
0
0
2
1  r 
lub z użyciem dwumianu Newtona
1
C0 
1  r 2
2 k
2 k
k 2 k




p
1

p
max
u
d S0  K ,0 .

k 
k 0  
2



Model dwustanowy n – okresowy
Uogólnienie wzoru na wycenę opcji kupna dla
modelu dwuokresowego
Uwaga 5. Wzór na wycenę opcji kupna w modelu
dwuokresowym
1
C0 
1  r 2
2 k
2 k
k 2 k




p
1

p
max
u
d S0  K ,0 .

k 
k 0  
2


można uogólnić (metodą indukcji matematycznej) na
przypadek modelu n - okresowego:
1
C0 
1  r n
n k
nk
k nk




p
1

p
max
u
d S0  K ,0 .

k 
k 0  
n


Drzewo cen w modelu multiplikatywnym,
dwumianowym
(4 etapy, S – cena początkowa)
Ceny końcowe akcji w modelu
multiplikatywnym dwumianowym,
n-etapowym
Możliwe ceny końcowe muszą mieć postać
Sukdn-k, gdzie k = 0,1,…,n.
Na drzewie cenowym istnieje
n
 
k 
różnych dróg
prowadzących do węzła identyfikowanego z
ceną Sukdn-k , gdyż każda droga jest
jednoznacznie scharakteryzowana przez nwyrazowy ciąg (u,u,d,u,…,d,u), zawierający k
liter u oraz (n-k) liter d.
Ceny końcowe w modelu multiplikatywnym
dwumianowym, n-etapowym
 Prawdopodobieństwo każdej takiej drogi
– jako koniunkcji zdarzeń niezależnych wynosi

pk (1-p)n-k
Zatem prawdopodobieństwo ceny
końcowej S0 ukdn-k wynosi

n k
  p (1  p) n  k
k 
Interpretacja wzoru na wycenę opcji kupna w
modelu n - okresowym
1
C0 
n
1  r 
n k
nk
k nk




p
1

p
max
u
d S0  K ,0 .

k 
k 0  

n

n k
nk
  p 1  p 
k 
Jeżeli p potraktujemy jak prawdopodobieństwo wzrostu akcji, to liczba dana wyżej
jest prawdopodobieństwem uzyskania ceny końcowej akcji ukdn-kS0, zaś liczba
max(ukdn-kS0-K,0) jest wartością (funkcją wypłaty) opcji kupna przy tej cenie akcji.
Stwierdzenie 4. Cena opcji kupna C0 jest równa wartości bieżącej
oczekiwanej funkcji wypłaty z opcji.
Model dwustanowy n – okresowy
Wzór na wycenę opcji sprzedaży
1
P0 
n
1  r 
n k
nk
k nk




p
1

p
max
K

u
d S0 , 0

k 
k 0  
n


Uwaga 6. Cena opcji sprzedaży w modelu n okresowym dana jest
wzorem powyżej.
Uwaga 7. Jeżeli p potraktujemy jako prawdopodobieństwo
wzrostu akcji, to liczba P0 jest równa zaktualizowanej na moment
początkowy oczekiwanej wartości funkcji wypłaty opcji
sprzedaży.
Liczba Max(K-ukdn-kS0, 0) jest wartością (funkcją wypłaty) opcji sprzedaży
w chwili końcowej w scenariuszu ceny akcji na poziomie ukdn-kS0.
Model dwumianowy wyceny opcji
ciągła kapitalizacja odsetek
STW. 5. Wartość opcji kupna w modelu jednookresowym
dwumianowym, w warunkach obojętności wobec ryzyka, przy
kapitalizacji ciągłej, dana jest wzorem
C = e – rT [p Cu +(1-p) Cd ]
gdzie p = (e rT – d)/(u – d)
Dowód.
 Rozważmy portfel składający się z ∆ akcji (długa pozycja) i jednej
opcji (krótka pozycja).
 Obliczymy wartość ∆, dla której portfel ten jest wolny od ryzyka.
 W przypadku wzrostu ceny akcji wartość portfela w momencie
wygaśnięcia opcji jest równa Su∆ - Cu
zaś w drugim przypadku
Sd∆ - Cd .
Model dwumianowy wyceny opcji
ciągła kapitalizacja odsetek
Obojętność wobec ryzyka wymaga by wartości te były równe;
Su ∆ - Cu = Sd ∆ - Cd .
Zatem liczba akcji w portfelu wynosi
∆ = (Cu-Cd) / (Su – Sd)
Wartość w chwili początkowej rozpatrywanego portfela wynosi
(Su ∆ - Cu)e – rT.
Ponieważ początkowy koszt utworzenia portfela wynosił
S∆ - C
mamy więc równość
S ∆ - C = (Su ∆ - Cu ) e – rT
S ∆ - (Su ∆ - Cu ) e – rT = C
S∆e
rT
- (Su ∆ - Cu ) = C e
∆(S e
rT
– Su) + Cu = C e
rT
rT
Model dwumianowy wyceny opcji
ciągła kapitalizacja odsetek
∆(S e rT – Su) + Cu = C e
podstawiając
rT
∆ = (Cu-Cd) / S(u – d) równanie przyjmie postać:
C e rT = (Cu-Cd) S (e rT – u) /S(u – d) + Cu
C e rT = (Cu-Cd) (e rT – u) /(u – d) + (u – d)Cu/(u – d)
C e rT = [Cu e rT - Cd e rT – Cu u + Cd u + u Cu – dCu ]/(u – d)
C e rT = [Cu e rT - Cd e rT + Cd u – dCu ]/(u – d)
C e rT = Cu (e rT – d) )/(u – d) + Cd (u - e rT )/(u – d)
C e rT = Cu (e rT – d) )/(u – d) + Cd (u - e rT )/(u – d)
C = e – rT [p Cu +(1- p) Cd ]
gdzie p = (e rT – d)/(u – d),
1- p = (u – d - erT +d)/(u – d)= (u - erT )/(u – d)
Wzory na wycenę opcji przy założeniu ciągłej kapitalizacji
odsetek
 W modelu jednookresowym


rT
1
e
d
C0  rT pC1u  (1  p )C1d , gdzie p 
e
ud
C1u  max S1u  K ,0 C1d  max S1d  K ,0

r  stopa roczna



T  czas do dnia realizacji ( w latach)
Uwaga 8. Cena opcji kupna w modelu n-okresowym, przy
ciągłej kapitalizacji odsetek, dana jest wzorem
n k
nk
k nk




p
1

p
max
u
d S 0  K ,0

k 
k 0  
r - roczna stopa, T - czas do dnia realizacji (w latach)
1
C0  rT
e
n


e rT  d
p
; T  przedział czasowy jednego okresu
ud
T  T  n
Porównanie wzorów w modelu jednookresowym
kapitalizacja ciągła, kapitalizacja roczna


rT
1
e
d
C0  rT pC1u  (1  p )C1d , gdzie p 
e
ud
C1u  max S1u  K ,0 C1d  max S1d  K ,0

r  stopa roczna





T  czas do dnia realizacji ( w latach)

1
1 r  d
u
d
C0 
pC1  (1  p)C1 , gdzie p 
1 r
ud
C1u  max S1u  K ,0 C1d  max S1d  K ,0



Porównanie wzorów w modelu n – okresowym
(kapitalizacja ciągła, kapitalizacja roczna)
n k
nk
k nk




p
1

p
max
u
d S 0  K ,0

k 
k 0  
r - roczna stopa, T - czas do dnia realizacji (w latach)
1
C0  rT
e

n

e rT  d
p
; T  dł . jednego okresu
ud
1
C0 
n
1  r 
n k
nk
k nk




p
1

p
max
u
d S0  K ,0 .

k 
k 0  
n
1 r  d
gdzie p 
ud

r  okresowa stopa

UWAGI O DELCIE (delta hedging)
W analizie jednookresowego modelu wyceny opcji ustaliliśmy
liczbę akcji przypadającej na jedną opcję w pozycji krótkiej
S1u  S1d S0 (u  d )
0  1
 1
1
Cu  Cd
C u  C1d
Jest on jednocześnie proporcją liczby akcji do liczby opcji (w pozycji
krótkiej) dla portfela całkowicie zabezpieczonego (hedge ratio).
W modelu wielookresowym delta może być różna w każdym węźle siatki
zmienności ceny akcji (zatem dla każdego etapu, dla każdej sytuacji)
Jeżeli w każdym momencie portfel akcji i opcji ma być całkowicie
zabezpieczony, należy modyfikować jego skład w zależności od
scenariusza zmiany ceny akcji.
Drzewo cen w modelu multiplikatywnym,
dwumianowym
(4 etapy, S – cena początkowa)
UWAGI O DELCIE (delta hedging)
 W przyjętym modelu zmienności akcji, w grafie ceny po
k – tym okresie istnieje k+1 węzłów. Ponumerujemy te
węzły literą i (i=1 odpowiada scenariuszowi wszystkich
spadków, zaś i = k+1 samych wzrostów). W węźle
scharakteryzowanym przez parametry (k,i) oznaczmy
cenę akcji przez Sik zaś wartość opcji przez Cik
 W każdym węźle (k,i) wielkość delty może być inna.
Można pokazać że wynosi ona
i 1
i
C

C
k 1
i k  ki1
S k u  S ki d
i  1,2,..., k  1; k  1,2,...
UWAGI O DELCIE (delta hedging)
 Aby portfel składający się z jednej opcji w pozycji
krótkiej i pewnej liczby akcji w pozycji długiej, był wolny
od ryzyka, liczba akcji musi być modyfikowana w
każdym kroku, w zależności od zmieniającej się ceny
akcji
S1u  S1d S0 (u  d )
0  1
 1
1
Cu  Cd
C u  C1d
i 1
i
C

C
k 1
i k  ki1
S k u  S ki d
i  1,2,..., k  1; k  0,1,2,...
Model dwustanowy wielookresowy
Przykład wyceny w modelu 10 - etapowym
 Dokonamy wyceny opcji kupna przy następujących
danych
liczba etapów
cena początkowa akcji
cena realizacji opcji
okresowa stopa procentowa
współczynnik wzrostu
współczynnik spadku
wartość p ze wzoru na wycenę
n
S
K
r
u
d
p
10
100
140
6%
1,20
0,85
0,60
Model dwustanowy wielookresowy
Algorytm wyceny w modelu 10 – etapowym
 Zbudowanie siatki cen akcji w modelu dwumianowym
 Ustalenie funkcji wypłaty opcji
( max{ cena końcowa akcji – cena realizacji opcji, zero})
 Wycena opcji w węzłach sieci etapu 9, ze wzoru na
wycenę w modelu jednoetapowym
 Wycena opcji w węzłach sieci etapu 8, ze wzoru na
wycenę w modelu jednoetapowym
 Itd.
 Wycena opcji w momencie początkowym
Przykład wyceny w modelu 10 – etapowym
Siatka cen akcji w modelu dwumianowym
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
619,17
1,2
0,85
u
d
współczynnik wzrostu
współczynnik spadku
515,98
429,98
358,32
298,60
248,83
207,36
172,80
144,00
120,00
100,00
122,40
102,00
85,00
72,25
152,81
106,12
73,70
108,24
75,17
52,20
110,41
92,01
76,67
63,89
53,24
44,37
155,87
129,89
90,20
62,64
220,05
183,38
127,34
88,43
61,41
215,74
149,82
104,04
310,66
258,88
179,78
124,85
86,70
304,57
211,51
146,88
365,48
253,81
176,26
438,58
78,21
65,17
54,31
45,26
37,71
55,40
46,16
38,47
32,06
39,24
32,70
27,25
27,79
23,16
19,69
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
k
2
3
4
5
6
7
8
9
10
619,17
1,2
0,85
u
d
współczynnik wzrostu
współczynnik spadku
515,98
429,98
358,32
298,60
248,83
207,36
172,80
144,00
120,00
100,00
102,00
72,25
152,81
106,12
73,70
108,24
75,17
52,20
110,41
92,01
76,67
63,89
53,24
44,37
155,87
129,89
90,20
62,64
220,05
183,38
127,34
88,43
61,41
215,74
149,82
104,04
310,66
258,88
179,78
124,85
86,70
304,57
211,51
146,88
438,58
365,48
253,81
176,26
122,40
85,00
78,21
65,17
54,31
45,26
37,71
55,40
46,16
38,47
32,06
39,24
32,70
27,25
27,79
23,16
19,69
A
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
1
B
K
r
u
d
p
C
140
6%
1,20
0,85
0,60
D
E
F
G
H
I
J
K
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
L
FUNKCJA WYPŁATY PO 10. ETAPIE
479,17 <=MAX(L18-$C$42;0)
298,58 <=MAX(L20-$C$42;0)
170,66 <=MAX(L22-$C$42;0)
80,05
15,87
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00 <=MAX(L36-$C$42;0)
0,00 <=MAX(L38-$C$42;0)
Model dwustanowy 10 – etapowy. Ustalenie
funkcji wypłaty z opcji po 10. etapie
A
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
B
K
r
u
d
p
C
140
6%
1,20
0,85
0,60
D
E
F
G
H
I
J
K
L
FUNKCJA WYPŁATY PO 10. ET
479,17 <=MAX(L18-$C$42;0)
298,58 <=MAX(L20-$C$42;0)
170,66 <=MAX(L22-$C$42;0)
80,05
15,87
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00 <=MAX(L36-$C$42;0)
0,00 <=MAX(L38-$C$42;0)
Model dwustanowy 10 – etapowy. Ustalenie wartości
opcji w 9. etapie – ze wzoru na wycenę w modelu
jednookresowym
A
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
B
C
K
r
u
d
p
D
E
140
6%
1,20
0,85
0,60
F
G
H
I
J
K
L
479,17 <=MAX(L18-$C$42;0)
($C$46*L42+L44*(1-$C$46))/(1+$C$43)
>
383,90
298,58 <=MAX(L20-$C$42;0)
($C$46*L44+L46*(1-$C$46))/(1+$C$43)
>
233,41
170,66
126,81
80,05
51,30
15,87
8,98
0,00
0
0,00
0


0,00

1
1 r  d
C0 
pC 1u  (1  p )C1d , gdzie p 
1 r
ud
u
u
d
d
C1  max S1  K ,0 C1  max S1  K ,0


0
0,00

($C$46*L60+L62*(1-$C$46))/(1+$C$43)
0
0,00 <=MAX(L36-$C$42;0)
>
0
0,00 <=MAX(L38-$C$42;0)
Model dwustanowy 10 – etapowy. Ustalenie wartości
opcji w każdym etapie, w kazdej sytuacji ( ze wzoru na
wycenę w modelu jednookresowym)
A
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
B
K
r
u
d
p
C
D
E
F
140
6%
1,20
0,85
0,60
G
H
I
187,71
82,01
60,52
44,07
L
52,92
17,89
12,89
2,87
0,52


5,08

0,00
0
0
0
0
1
1 r  d
pC 1u  (1  p )C1d , gdzie p 
1 r
ud
u
u
d
d
C1  max S1  K ,0 C1  max S1  K ,0
15,87
8,98
2,88
0

32,43
1,63
0,92
80,05
51,30
20,27
12,56
4,72
126,81
63,82
7,73
8,38
170,66
91,14
43,78
19,62
298,58 <=MAX(L20-$C$42;0)
233,41
136,26
29,52
383,90
179,97
101,21
73,81
37,36
26,01


>
305,38
240,77
144,44
C0 
K
479,17 <=MAX(L18-$C$42;0)
($C$46*L42+L44*(1-$C$46))/(1+$C$43)
109,61
31,70
J
0,00
0
0
0
0
0,00
0
0
0
0,00
0
0
0,00 <=MAX(L36-$C$42;0)
0
0,00 <=MAX(L38-$C$42;0)
Model dwustanowy 10 – etapowy. Ustalenie wartości
opcji na podstawie wzoru
1
C0 
1  r n
n k
nk
  p 1  p  max u k d n k S0  K ,0 .

k 0  k 
n


L
Q
Liczba
P-stwo,
wzrostów ROZKŁ.DWUM
479,17 <=MAX(L18-$C$42;0)
10
0,006046618
298,58 <=MAX(L20-$C$42;0)
9
0,040310784
170,66
8
0,120932352
80,05
7
0,214990848
15,87
6
0,250822656
L*Q
2,89738
0
12,03605
0
20,63853
0
17,21047
0
3,980614
0,00
5
0,200658125
0
0,00
4
0,111476736
0
0,00
3
0,042467328
0
0,00
2
0,010616832
0
0,00 <=MAX(L36-$C$42;0)
1
0,001572864
0
0,00 <=MAX(L38-$C$42;0)
0
0,000104858
0
suma > 56,76304
zaktual. Suma
31,69618
Notacja
 K- cena jednostkowa dostawy w kontrakcie forward
 T- okres (w latach) pozostający do dostawy
 S – cena instrumentu bazowego, będącego
przedmiotem kontraktu
 f – wartość długiej pozycji w kontrakcie forward
 r – wolna od ryzyka roczna stopa procentowa (przy ciągłej
kapitalizacji)
Litery S, f mogą wystąpić ze wskaźnikami wyznaczającymi
punkt na osi czasu z przedziału [0; T] np. S0, St, ST,
Parytet cen opcji kupna i sprzedaży
Call-put parity
Rozważmy portfel o składzie:
1. europejska opcja sprzedaży waloru o aktualnej cenie S0 z ceną
realizacji K i terminem realizacji T,
2. kontrakt terminowy kupna tego samego waloru z tą sami ceną
realizacji i z tym samym terminem realizacji co opcja sprzedaży.
Rozpatrzmy dwa przypadki:
a) w chwili T: S T < K
kontrakt terminowy przyniesie stratę K – S T
opcja sprzedaży przyniesie wypłatę K - S T zatem (nie uwzględniając
kosztów transakcji) przepływy finansowe w chwili T mają bilans
zerowy
b) w chwili T: S T > K
kontrakt terminowy przyniesie zysk równy ST - K
opcja sprzedaży będzie bezwartościowa i nie zostanie wykonana
Zatem w chwili T wypłata portfela będzie równa ST - K
Parytet cen opcji kupna i sprzedaży
Wniosek 1. Rozważany portfel ma w chwili T funkcję wypłaty opcji
kupna.
Stw. 8. Skoro wartość portfela w chwili T jest wartością opcji kupna,
zatem wartość portfela w chwili początkowej musi być także
równy wartości opcji, czyli
C0 = P0 + f
gdzie C0 , P0 ceny odpowiednio opcji kupna , opcji sprzedaży, f wartość kontraktu terminowego kupna w chwili t = 0, czyli
C0 = P0 + S0 - e-rT K
Uwaga. Jeżeli założymy kapitalizację okresową oraz wolną od
ryzyka stopę r w okresie do realizacji opcji, wzór na
parytet przyjmie postać
C0 = P0 + S0 - K/(1+r)
Parytet cen opcji kupna i sprzedaży
Uwaga 9. Jeżeli założymy kapitalizację roczną oraz roczny okres
do chwili realizacji opcji, wzór na parytet przyjmie postać
C0 = P0 + S0 - K/(1+r)
Z ostatniej równości oraz wzorów
E S1   1  r  S0



1
1 r  d
pC1u  (1  p)C1d , gdzie p 
1 r
ud
C1u  max S1u  K ,0 C1d  max S1d  K ,0
C0 



Można także uzyskać wzór na cenę opcji sprzedaży



1
1 r  d
u
d
P0 
pP1  (1  p) P1 , gdzie p 
1 r
ud
P1u  max K  S1u , 0 P1d  max K  S1d , 0



Ograniczenia na cenę opcji kupna oraz
opcji sprzedaży

Ce
cena europejskiej opcji kupna

Pe
cena europejskiej opcji sprzedaży

Ca
cena amerykańskiej opcji kupna

Pa
cena amerykańskiej opcji sprzedaży

r
stopa procentowa wolna od ryzyka,
przy kapitalizacji ciągłej

So
cena akcji w chwili początkowej

T
termin realizacji opcji

K
cena wykonania opcji
Ograniczenia na cenę opcji kupna
Stw. 9. Ceny opcji kupna spełniają
nierówności
So ≥ Ca ≥ Ce ≥ max( So – K e-rT, 0 )
Uzasadnienie
następujące
Cena opcji amerykańskiej nie może być wyższa niż cena rynkowa
akcji gdyż w przeciwnym przypadku taniej byłoby kupić akcję
bezpośrednio na rynku, zatem So ≥ Ca
Ze względu na większe uprawnienia właściciela opcji amerykańskiej
jej cena nie może być mniejsza od ceny opcji europejskiej, czyli
Ca ≥ Ce
z parytetu kupna-sprzedaży (Ce – Pe = So – K e-rT )
Ce = So – K e-rT + Pe
wartość opcji nie może spaść poniżej zera (mamy Pe ≥ 0,) zatem
Ce ≥ So – K e-rT
Stąd i nierówności Ce ≥ 0 otrzymujemy
Ce ≥ max( So – K e-rT, 0 )
Wartość wewnętrzna i wartość
czasowa
Def. Wartość wewnętrzna opcji kupna jest to
różnica między ceną instrumentu bazowego S,
a ceną wykonania K, w przypadku gdy S-K>0 ,
oraz zero w przypadku gdy S-K<0.
Def. Wartość czasowa (zewnętrzna) opcji jest
to różnica między ceną opcji (premią), a jej
wartością wewnętrzną jeśli różnica ta jest
nieujemna w przeciwnym razie wartość
czasowa jest równa zeru.
Zależność między premią (ceną) opcji kupna a
ceną instrumentu bazowego oraz wartością
wewnętrzną opcji
gdzie
TV- ( time value ) wartość czasowa
IV – (intrinsic value) wartość wewnętrzna
Ograniczenia na cenę opcji sprzedaży
Stw. 10. Ceny opcji sprzedaży spełniają następujące
nierówności
K ≥ Pa ≥ Pe ≥ max ( Ke-rT –S0 ,0)
Uzasadnienie
Gdyby
K < Pa , to wystawiając opcję sprzedaży z cena wykonania K
uzyskujemy – w najgorszym przypadku
Pa - K (co jest zyskiem
arbitrażowym);
Pa ≥ Pe gdyż za szersze uprawnienia opcji amerykańskiej nie
możemy płacić mniej;
z parytetu ceny opcji
Ce ≥ 0
Pe = Ce - So + K e-rT
oraz nierówności
otrzymujemy
Pe ≥ Ke-rT -So ,
ponieważ Pe ≥ 0, więc
Pe ≥ max(Ke-rT –S0 , 0)
Równość cen Ce=Ca przy tej samej K, tym samym T, na
akcje nie przynoszące dywidendy
 Dow. Z poprzednich rozważań Ca ≥ Ce
 Gdyby Ca > Ce możliwa jest strategia:
t=0
 Sprzedaż opcji ameryk. za Ca
 Kupno opcji europ. za Ce
 Lokata kwoty Ca - Ce przy oprocentowaniu r
T≥t, wykonanie opcji ameryk. przez jej nabywcę St > K
krótka sprzedaż akcji (pożyczenie akcji), sprzedaż akcji za K (obowiązek
wystawcy opcji)
lokata kwoty K przy oprocentowaniu r
t=T Jeśli ST > K , wykonanie opcji europ. – kupno akcji za K
zamknięcie krótkiej sprzedaży – oddanie akcji
podjęcie kwoty: (Ca - Ce ) erT+Ker(T-t)
Bilans: (Ca - Ce ) erT + K er(T-t) – K >0 (zysk arbitrażowy)
jeśli K ≥ ST , zakup akcji za ST, zamknięcie krótkiej sprzedaży
Bilans (Ca - Ce ) erT + (K er(T-t) – ST) >0 (bo oba składn. >0)
Jeśli opcja ameryk. nie była wykonana do chwili T obie opcje wygasają, (brak
obowiązków wystawcy) otrzymujemy kwotę (Ca - Ce ) erT > 0 (arbitraz)
Algorytm wyceny amerykańskiej opcji sprzedaży
w modelu wieloetapowym

1. Sporządzenie grafu ceny akcji

2. Ustalenie wypłaty z amerykańskiej opcji sprzedaży po n etapach: max(KS(n);0)

3. Ustalenie wypłaty z amerykańskiej opcji sprzedaży w każdym punkcie
grafu po (n-1) etapach: max(K-S(n-1);0)

4. Wycena opcji europejskiej w każdym punkcie grafu po (n-1) etapach

5. Znalezienie w każdym węźle grafu po (n-1) etapach maksimum z wartości
obliczonych w pt. 3 oraz w pt. 4. To maksimum jest wartością opcji
amerykańskiej w danym węźle
 6. Obliczenie we wszystkich węzłach po (n-2) etapach wart. opcji europ.
bazując na wyliczonych krok wcześniej wartościach opcji amerykańskiej.
Obliczenie maksimum z tego wyniku i wypłaty opcji amerykańskiej dla
danego węzła. To maksimum jest wartością opcji amerykańskiej w danym

węźle
7. Kontynuacja procedury aż do początku grafu
Wycena amerykańskiej opcji sprzedaży
Przykład
liczba etapów
n
3
cena początkowa akcji
S
80
cena realizacji opcji
K
80
okresowa stopa procentowa
r
2%
współczynnik wzrostu
u
1,1
współczynnik spadku
d
0,95
106,48
0
96,8
88
80
0
91,96
83,6
76
0
0
79,42
0
4
72,2
1,849
68,59
11,41
0
0
0
0,159
0,1586
0
0,303
3,397
0,58
7,8
0,000
0,159
0
EUR
0,58 AMER
6,231
11,41
1,849
2,278
0
0
0,3033
0,3033
3,397
4,217 6,2313725
7,8
0
0
0,58
0,58
11,41
11,41
Wycena amerykańskiej opcji sprzedaży
Oznaczenia: WYC E- wycena opcji europejskiej
WYP A- wypłata opcji amerykańskiej
Wycena amerykańskiej opcji sprzedaży
Siatka zmienności ceny akcji przy
dywidendzie będącej ułamkiem ceny akcji
Siatka zmienności ceny akcji dla
dywidendy niezależnej od ceny
Wycena opcji
 J.C. Cox, S.A. Ross, M. Rubinstein
Wycena opcji europejskiej w modelu dyskretnym
 Fischer Black, Myron Scholes, Robert Merton
(1973)
Wycena opcji europejskiej w modelu ciągłym
 Fischer Black, Myron Scholes
Nagroda Nobla 1997- za nową metodę wyceny
instrumentów pochodnych