Wycena opcji

OPCJE
OPCJE - zagadnienia
Funkcja wypłaty, funkcja zysku
Terminy: in the money, out of the money
Rynek doskonały
Wzory na wycenę opcji przy założeniu
okresowej kapitalizacji odsetek
 Wzory na wycenę opcji przy założeniu
ciągłej kapitalizacji odsetek
 Delta hedging (strategia osłonowa delta)
 Algorytm wyceny w ustalonej liczbie
etapów




OPCJE
/ DEFINICJA
 Opcja jest prawem do zakupu lub sprzedaży
określonej ilości wyspecyfikowanego przedmiotu
(tzw. instrumentu bazowego) po z góry ustalonej
cenie i w ciągu umówionego okresu lub w
wyznaczonym terminie.
 Opcja jest to umowa dająca jej posiadaczowi
prawo do wykonania określonej czynności w
określonym momencie lub przedziale czasu.
CELE ZAWIERANIA KONTRAKTÓW
OPCYJNYCH
 Zabezpieczenie przed niekorzystnymi
zmianami cen instrumentu bazowego
 Spekulacje na spadku lub wzroście
instrumentu bazowego
 Arbitraż między rynkiem instrumentów
pochodnych a rynkiem instrumentów
bazowych
INSTRUMENTY BAZOWE DLA OPCJI
 Waluty
opcje na kursy walutowe
 Akcje
opcje na poszczególne akcje
 Obligacje
opcje na obligacje
 Towary
opcje na towary
 Stopy procentowe
opcje na kontrakty na stopy procentowe
Funkcja wypłaty / europejska opcja kupna
K - cena realizacji (wykonania)
T - data wygaśnięcia opcji
ST - cena w momencie T waloru bazowego, na który
wystawiona jest opcja
Jeśli w chwili T cena rynkowa waloru (ST) jest większa od
ceny wykonania K , to posiadający opcję kupna
uzyskuje kwotę ST - K , ( opcja daje mu prawo do
zakupienia waloru za cenę K, który może sprzedać po
cenie rynkowej wynoszącej ST ).
Jeśli ST ≤ K, to opcja kupna jest bezwartościowa i nie
zostanie zrealizowana.
Niech C oznaczać będzie cenę opcji kupna a P będzie
ceną opcji sprzedaży
Funkcja wypłaty / europejska opcja kupna
Definicja
Funkcję zdefiniowaną wzorem
ST  K gdy ST  K
Gc  
gdy ST  K
0
lub
Gc  max( ST  K , 0)
nazywamy funkcją wypłaty dla posiadacza opcji
kupna.
Funkcja wypłaty / europejska opcja sprzedaży
Funkcję zdefiniowaną wzorem
K  ST gdy ST  K
Gp  
gdy ST  K
0
lub
G p  max( K  ST ,0)
nazywamy funkcją wypłaty dla posiadacza
opcji sprzedaży.
Zysk posiadacza opcji kupna (long call)
 C
Glc  
( ST  K )  C
gdy ST  K
gdy ST  K
Zysk wystawcy opcji kupna (short call)
C – cena opcji kupna (premia)
C
Gsc  
  ( ST  K )  C
gdy ST  K
gdy ST  K
Zysk posiadacza opcji sprzedaży (long put)
P – cena opcji sprzedaży (premia)
( K  ST )  P
Glp  
 P
gdy ST  K
gdy ST  K
Zysk wystawcy opcji sprzedaży (short put)
P – cena opcji sprzedaży (premia)
 ( K  ST )  P
Gsp  
P
gdy ST  K
gdy ST  K
Terminy:
the money
in the money,
out of the money, at
Opcja kupna
Opcja sprzedaży
in the
money
( w cenie)
Cena
instrumentu
bazowego jest wyższa od
ceny wykonania.
Cena instrumentu
bazowego jest niższa od
ceny wykonania.
out of the
money
(poza ceną)
Cena
instrumentu
bazowego jest niższa od
ceny wykonania.
Cena
instrumentu
bazowego jest wyższa od
ceny wykonania.
at the money
Cena instrumentu
bazowego jest zbliżona
lub równa cenie
wykonania.
Cena instrumentu
bazowego jest zbliżona
lub równa cenie
wykonania
Wycena opcji – model dwumianowy
założenia o rynku doskonałym
1. oprocentowanie depozytów i kredytów
bankowych jest jednakowe
2. wysokość zaciąganych kredytów nie jest
ograniczona
3. zapewniona jest płynność obrotu wszystkimi
aktywami
4. nie ma żadnych kosztów związanych z
zawieraniem transakcji
5. wszystkie aktywa są doskonale podzielne
6. dopuszczalna jest krótka sprzedaż aktywów
7. brak jest możliwości arbitrażu
Arbitraż - różne sformułowania
 Możliwość uzyskania zysku ponad stopę wolną
od ryzyka, bez ryzyka ponoszenia strat
 Możliwość uzyskania dodatniej wartości portfela
o zerowej początkowej wartości
 Możliwość wykorzystania „niedopasowań”
rynkowych, pozwalająca na osiąganie
dodatkowego zysku bez ponoszenia ryzyka
(finansowe perpetuum mobile)
 Możliwość uzyskania zysku z różnicy cen, gdy
walorem handluje się na dwóch rynkach
Definicja arbitrażu z użyciem
prawdopodobieństwa
Arbitraż jest sytuacją w której
 w chwili t = 0 portfel ma zerową wartość
 w chwili t = T wartość portfela jest
nieujemna z prawdopodobieństwem 1
oraz wartość portfela jest dodatnia z
dodatnim prawdopodobieństwem
Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji
kupna przy kapitalizacji okresowej
Cel:
określenie ceny opcji kupna C0
Dane: cena realizacji - K
cena początkowa akcji - S0
cena akcji po upływie okresu u
S1
w przypadku wzrostu
S1d
w przypadku spadku
stopa wolna od ryzyka - r
Zakładamy ponadto że
(i) wycena opcji nie będzie zależała od późniejszego zachowania
akcji (tzw. obojętność względem ryzyka)
(ii) akcja nie przynosi dywidendy
(iii) rynek jest doskonały
(iv) kapitalizacja jest okresowa
Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji
kupna. Przykład
cena realizacji – 110 zł
cena początkowa akcji - 100 zł
cena akcji po upływie okresu
w przypadku wzrostu – 150 zł
w przypadku spadku – 70 zł
okresowa stopa wolna od ryzyka - 20 %
Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji
kupna. Przykład
S1u  150 zł
K = 110 zł
S0 = 100 zł
C1u  40 zł
C0 = ?
S1d  70 zł
C1d  0 zł
Wartość opcji (funkcja wypłaty) po upływie jednego okresu w
przypadku wzrostu ceny akcji
C1u  max( 0, S1u  K )  max( 0, 150  110)  40
Wartość opcji (funkcja wypłaty) po upływie jednego
okresu w przypadku spadku ceny akcji
C1d  max( 0, S1d  K )  max( 0, 70  110)  0
Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji
kupna. Przykład
 Rozważmy portfel składający się z jednej opcji kupna w
pozycji krótkiej oraz pewnej liczby akcji, którą
oznaczamy symbolem ∆0
 Wartość portfela po upływie jednego okresu będzie
wynosić:
V1u   0  S1u  C1u   0 150  40
- gdy cena akcji wzrośnie
V1d   0  S1d  C1d   0  70  0
- gdy cena akcji spadnie.
Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji
kupna. Przykład
Zgodnie z założeniami portfel ma być wolny od ryzyka, czyli
spełniać warunek
V1u  V1d
oznacza to, że
 0 150  40   0  70
 0 150   0  70  40
Stąd
∆0 = 0,5
Portfel powinien składać się z długiej pozycji w akcjach w
liczbie 0,5 oraz z krótkiej pozycji opcji kupna w liczbie 1. W
obu przypadkach (wzrostu bądź spadku ceny akcji) wartość
portfela po upływie jednego okresu wynosi 35 zł.
Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji
kupna. Przykład
Aby po jednym okresie uzyskać z lokaty 35 zł należy w chwili
początkowej zainwestować kwotę:
35
1
 35  1  0,2   29,17
1 r
Oznacza to, że wartość jego portfela (∆0 , - 1) w chwili
początkowej musi być równa V0 = 29,17 zł. (Portfel jest
wolny od ryzyka, dlatego jego okresowa stopa zwrotu musi
być równa 20%). Z drugiej strony wartość portfela w chwili
początkowej można przedstawić w postaci
V0  S0   0  C0  100  0,5  C0  50  C0  29,17 zł
stąd
C0 = 20,83
Model dwustanowy jednookresowy . Przykład
 Uwaga 1. Cena opcji C0 = 20,83 zł jest tzw. ceną
arbitrażową, lub ceną fair. Rzeczywiście
 gdyby cena opcji była większa, to inwestor potrzebowałby
mniej niż 29,17 zł na konstrukcję portfela w chwili
początkowej, zatem okresowy zysk byłby większy niż 20%,
czyli istniałaby możliwość arbitrażu. (np.. C0 = 22, to wartość
portfela początkowego 28 zł, końcowego 35, zysk 25%)
 Gdyby cena opcji była mniejsza niż 20,83 zł , (np. 20 zł) to
inwestor powinien zająć pozycję odwrotną (krótka sprzedaż
0,5 akcji, kupno opcji, zdeponowanie pozostałych pieniędzy
(30 zł) na koncie). Po upływie okresu należy odkupić 0,5
akcji za 75 zł i uzyskać z opcji 40 zł (w przypadku zwyżki),
bądź odkupić 0,5 akcji za 35 zł w przypadku zniżki, zatem
wydać w obu sytuacjach 35 zł. Ale po upływie okresu
depozyt jest wart 36 zł. Otrzymujemy arbitrażowy zysk w
wysokości 1 zł (wartość portfela w chwili początkowej była
zerowa)
Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji
kupna. Przypadek ogólny
Rozważmy - jak w przykładzie - portfel składający się z jednej opcji
kupna w pozycji krótkiej oraz pewnej liczby akcji ∆0
Portfel ma być wolny od ryzyka (zał. (i)) tzn: V1  V1
u
czyli
gdzie
d
 0  S1u  C1u   0  S1d  C1d , zatem
C1u  C1d
C1u  C1d
0  u

d
S1  S1
S0 (u  d )
S1u  uS0 , S1d  dS0
S1u  K , u  1  r  d
Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji
kupna. Przypadek ogólny
Gdyby d > 1+r, to możliwy byłby arbitraż
polegający na możliwości zaciągnięcia
nieograniczonego kredytu przy stopie r oraz
inwestycja w akcje.
Gdyby 1+r > u, to możliwy byłby arbitraż
polegający na krótkiej sprzedaży akcji i
ulokowanie pieniędzy na lokacie o
oprocentowaniu r.
Obie sytuacje wyklucza założenie (7)
Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji
kupna. Przypadek ogólny
Skoro portfel jest wolny od ryzyka, jego roczna stopa
zwrotu musi być równa stopie zwrotu wolnej od ryzyka.
Zatem: końc.wart. portf./(1+r) = początk. wart. portf.
 0 S0u  C1u
  0 S0  C0
1 r
Stąd wyliczając C0 otrzymujemy (uwzględniając wzór na delta)
 0 S 0u  C1u
1
 0 S0 (1  r    0 S0u  C1u 
C0   0 S 0 

1 r
1 r
1 
C1u  C1d C1u  C1d
u


S 0u  C1 
 S 0 (1  r )
1 r 
S 0 u  d  S 0 u  d 


1 
C1u  C1d C1u  C1d
u
C0 

S0u  C1 
S0 (1  r )
1 r 
S0 u  d  S0 u  d 

Po uproszczeniach otrzymujemy
1
C0 
1 r

C1u  C1d C1u  C1d
u ud
(
1

r
)

u

C
1


ud
ud
ud

1  (1  r )C1u  (1  r )C1d  C1d u  C1u d 



1 r 
ud

1

1 r
 (1  r  d )C1u  [u  (1  r )]C1d 


ud


1  (1  r  d )C1u [u  (1  r )]C1d 




1 r 
ud
ud

1
1 r  d

pC1u  (1  p )C1d , gdzie p 
1 r
ud


Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji
kupna. Przypadek ogólny. Podsumowanie
Swierdzenie 1. Cena europejskiej opcji kupna w
dwustanowym modelu jednookresowym (przy
wcześniejszych oznaczeniach) dana jest wzorem
1  (1  r  d )C1u [u  (1  r )]C1d 
C0 



1 r 
ud
ud

1
1 r  d

pC1u  (1  p )C1d , gdzie p 
1 r
ud
zatem





1
1 r  d
u
d
C0 
pC1  (1  p)C1 , gdzie p 
1 r
ud
C1u  max S1u  K ,0 C1d  max S1d  K ,0



Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji
sprzedaży.
Stwierdzenie 2. Cena europejskiej opcji sprzedaży z ceną
realizacji K w jednookresowym modelu dwumianowym
wynosi:
P0 
1  1  r   d u u  1  r  d 
 P1 
 P1 

u  d 
1  r  u  d 

gdzie P1u oraz P1u oznaczają wartości opcji sprzedaży (wypłaty z
opcji) odpowiednio po wzroście, po spadku akcji, czyli



1
1 r  d
u
d
P0 
pP1  (1  p) P1 , gdzie p 
1 r
ud
P1u  max K  S1u , 0 P1d  max K  S1d , 0



Dowód w przypadku opcji sprzedaży można uzyskać naśladując
postępowanie z dowodu dla opcji kupna lub wykorzystać
parytet kupna-sprzedaży (o czym - później), przy
kapitalizacji okresowej
Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji
kupna. UWAGI
Uwaga 2.
(a) Wzór określający cenę opcji kupna nie zawiera wartości
prawdopodobieństw wzrostu ani spadku ceny akcji.
(b) Liczby p i (1-p) można interpretować jako
prawdopodobieństwo (odpowiednio) wzrostu, spadku ceny
akcji
(c) Przy interpretacji liczb p i (1-p) jako prawdopodobieństwa,
cena opcji kupna jest oczekiwaną wartością funkcji wypłaty
zdyskontowaną czynnikiem 1/(1+ r).
(d) C0 jest funkcją malejącą zmiennej K na przedziale (S0d, S0u)
(e) C0 jest funkcją rosnącą zmiennej S0 na przedziale (K/u, K/d)
Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji
kupna.
Uwaga 3. Przy interpretacji probabilistycznej liczb p i (1- p)
wartość oczekiwana ceny akcji po jednym okresie jest
równa wartości przyszłej kwoty S0 E. S1   1  r  S0
Dowód
E S1   p  S1u  1  p   S1d  p  u  S0  1  p   d  S0  p  u  S0  d  S0  p  d  S0 
 p  u  S0  p  d  S0  d  S0  p  u  d   S0  d  S0
Podstawiając do wzoru E S1   p  u  d   S 0  d  S 0 wartości wyrażeń p 
1-p 
u  1  r 
otrzymujemy:
u  d 
1  r   d
u  d 
i
 1  r   d 
  u  d   S0  d  S0  1  r   S0  d S 0 d  S0  1  r   S0
E S1   
 u  d  
Model dwustanowy dwuokresowy
wyceny opcji kupna. Zmienność ceny akcji
S 2uu  u 2  S 0
S  u  S0
u
u
1
u
d
S
S0
d
S  d  S0
d
1
(b)
(a)
(e)
(c)
(f)
S
du
2
K
 u  d  S0
u
d
(d)
ud
2
S 2dd  d 2  S 0
Model dwustanowy dwuokresowy
 Stwierdzenie 3.
Cena europejskiej opcji kupna z ceną realizacji K w dwuokresowym modelu dwustanowym
wynosi:
1
2
C0 
p 2  C 2uu  2 p  1  p   C 2ud  1  p   C 2dd
2
1  r 
1  r   d 1-p  u  1  r  .
gdzie liczby p i (1-p) wynoszą odpowiednio p 
u  d 
u  d 


 gdzie

C2uu  max S 2uu  K ,0


C2ud  max S2ud  K ,0


C2dd  max S 2dd  K ,0

Model dwustanowy dwuokresowy
wyceny opcji kupna. Zmienność wartości opcji
(d) C 2u u
u
(b) C1
ud
du
(e) C 2  C 2
(a) C0
(c)
C1d
(f)
C 2d d
 Oznaczenia wartości opcji w węzłach
Model dwustanowy dwuokresowy
Stosując wzór na wycenę opcji kupna w modelu
jednookresowym dla węzłów (b), (c) otrzymujemy




1
p  C2uu  1  p   C2ud
1 r
1
C1d 
p  C2du  1  p   C2dd
1 r
C1u 
Znając te wyceny można wyznaczyć cenę opcji w chwili
początkowej - czyli w węźle (a)
C0 

1
p  C1u  1  p   C1d
1 r

Model dwustanowy dwuokresowy
Podstawiając dwa poprzednie wzory do ostatniego otrzymujemy
1

C0 
p  C1u  1  p   C1d  
1 r
1 
1
1
uu
ud
du
dd 










p

p

C

1

p

C

1

p

p

C

1

p

C
2
2
2
2  

1 r  1 r
1 r

1
2
2
uu
ud
du
dd







p

C

p

1

p

C

p

1

p

C

1

r

C

2
2
2
2
2
1  r 
1
2
2
uu
ud





p

C

2
p

1

p

C

1

p
 C2dd
2
2
2
1  r 



Mamy więc


1
2
2
uu
ud
dd




C0 
p

C

2
p

1

p

C

1

p

C
2
2
2
1  r 2

Model dwustanowy dwuokresowy
Uwaga 4.
1. Podobnie jak dla wyceny opcji w modelu
jednookresowym liczby p 2 , 2 p1-p , 1  p 2
można interpretować jak prawdopodobieństwa odpowiednio
dwukrotnego wzrostu , wzrostu i spadku, dwukrotnego
spadku akcji.
2. Wzór na wycenę opcji można przedstawić następująco
C0 




1
2
2
2






p
max
u
S

K
,
0

2
p

1

p
max
udS

K
,
0

1

p
max d 2 S 0  K ,0
0
0
2
1  r 
lub z użyciem dwumianu Newtona
1
C0 
1  r 2
2 k
2 k
k 2 k




p
1

p
max
u
d S0  K ,0 .

k 
k 0  
2



Model dwustanowy n – okresowy
Uogólnienie wzoru na wycenę opcji kupna dla
modelu dwuokresowego
Uwaga 5. Wzór na wycenę opcji kupna w modelu
dwuokresowym
1
C0 
1  r 2
2 k
2 k
k 2 k




p
1

p
max
u
d S0  K ,0 .

k 
k 0  
2


można uogólnić (metodą indukcji matematycznej) na
przypadek modelu n - okresowego:
1
C0 
1  r n
n k
nk
k nk




p
1

p
max
u
d S0  K ,0 .

k 
k 0  
n


Drzewo cen w modelu multiplikatywnym,
dwumianowym
(4 etapy, S – cena początkowa)
Ceny końcowe akcji w modelu
multiplikatywnym dwumianowym,
n-etapowym
Możliwe ceny końcowe muszą mieć postać
Sukdn-k, gdzie k = 0,1,…,n.
Na drzewie cenowym istnieje
n
 
k 
różnych dróg
prowadzących do węzła identyfikowanego z
ceną Sukdn-k , gdyż każda droga jest
jednoznacznie scharakteryzowana przez nwyrazowy ciąg (u,u,d,u,…,d,u), zawierający k
liter u oraz (n-k) liter d.
Ceny końcowe w modelu multiplikatywnym
dwumianowym, n-etapowym
 Prawdopodobieństwo każdej takiej drogi
– jako koniunkcji zdarzeń niezależnych wynosi

pk (1-p)n-k
Zatem prawdopodobieństwo ceny
końcowej S0 ukdn-k wynosi

n k
nk
  p (1  p)
k 
Interpretacja wzoru na wycenę opcji kupna w
modelu n - okresowym
1
C0 
n
1  r 
n k
nk
k nk




p
1

p
max
u
d S0  K ,0 .

k 
k 0  

n

n k
nk
  p 1  p 
k 
Jeżeli p potraktujemy jak prawdopodobieństwo wzrostu akcji, to liczba
dana wyżej jest prawdopodobieństwem uzyskania ceny końcowej akcji
ukdn-kS0, zaś liczba max(ukdn-kS0-K,0) jest wartością (funkcją wypłaty)
opcji kupna przy tej cenie akcji.
Stwierdzenie 4. Cena opcji kupna C0 jest równa wartości
bieżącej oczekiwanej funkcji wypłaty z opcji.
Model dwustanowy n – okresowy
Wzór na wycenę opcji sprzedaży
Uwaga 6. Cena opcji sprzedaży w modelu n okresowym dana
jest wzorem
1
P0 
n
1  r 
n k
nk
k nk




p
1

p
max
K

u
d S0 , 0

k 
k 0  
n


Uwaga 7. Jeżeli p potraktujemy jako prawdopodobieństwo
wzrostu akcji, to liczba P0 jest równa zaktualizowanej na
moment początkowy oczekiwanej wartości funkcji wypłaty
opcji sprzedaży.
Liczba Max(K-ukdn-kS0, 0) jest wartością (funkcją wypłaty) opcji
sprzedaży przy cenie akcji ukdn-kS0.
Model dwumianowy wyceny opcji
ciągła kapitalizacja odsetek
STW. 5. Wartość opcji kupna w modelu jednookresowym
dwumianowym, w warunkach obojętności wobec ryzyka, przy
kapitalizacji ciągłej, dana jest wzorem
C = e – rT [p Cu +(1-p) Cd ]
gdzie p = (e rT – d)/(u – d)
Dowód.
 Rozważmy portfel składający się z ∆ akcji (długa pozycja) i jednej
opcji (krótka pozycja).
 Obliczymy wartość ∆, dla której portfel ten jest wolny od ryzyka.
 W przypadku wzrostu ceny akcji wartość portfela w momencie
wygaśnięcia opcji jest równa Su∆ - Cu
zaś w drugim przypadku
Sd∆ - Cd .
Model dwumianowy wyceny opcji
ciągła kapitalizacja odsetek
Obojętność wobec ryzyka wymaga by wartości te były równe;
Su ∆ - Cu = Sd ∆ - Cd .
Zatem liczba akcji w portfelu wynosi
∆ = (Cu-Cd) / (Su – Sd)
Bieżąca wartość rozpatrywanego portfela
(Su∆ - Cu)e – rT.
Ponieważ początkowy koszt utworzenia portfela wynosił
S∆ - C
mamy więc równość
S∆ - C = (Su∆ - Cu ) e – rT
S∆ - (Su∆ - Cu ) e – rT = C
S∆ e
∆(S e
rT
- (Su∆ - Cu ) = C e
rT
– Su) + Cu = C e
rT
rT
Model dwumianowy wyceny opcji
ciągła kapitalizacja odsetek
∆(S e rT – Su) + Cu = C e
podstawiając
rT
∆ = (Cu-Cd) / S(u – d) równanie przyjmie postać:
C e rT = (Cu-Cd) S (e rT – u) /S(u – d) + Cu
C e rT = (Cu-Cd) (e rT – u) /(u – d) + (u – d)Cu/(u – d)
C e rT = [Cu e rT - Cd e rT – Cu u + Cd u + u Cu – dCu ]/(u – d)
C e rT = [Cu e rT - Cd e rT + Cd u – dCu ]/(u – d)
C e rT = Cu (e rT –d) )/(u – d) + Cd (u-e rT )/(u – d)
C e rT = Cu (e rT –d) )/(u – d) + Cd (u-e rT )/(u – d)
C = e – rT [p Cu +(1-p) Cd ]
gdzie p = (e rT –d)/(u – d),
1- p = (u-d- erT +d)/(u – d)= (u- erT )/(u – d)
Wzory na wycenę opcji przy założeniu ciągłej kapitalizacji
odsetek
 W modelu jednookresowym


rT
1
e
d
C0  rT pC1u  (1  p )C1d , gdzie p 
e
ud
C1u  max S1u  K ,0 C1d  max S1d  K ,0

r  stopa roczna



T  czas do dnia realizacji ( w latach)
Uwaga 8. Cena opcji kupna w modelu n-okresowym dana
jest wzorem
n k
nk
k nk




p
1

p
max
u
d S 0  K ,0

k 
k 0  
r - roczna stopa, T - czas do dnia realizacji (w latach)
1
C0  rT
e
n


e rT  d
p
; T  przedział czasowy jednego okresu
ud
T  T  n
Porównanie wzorów w modelu jednookresowym
kapitalizacja ciągła, kapitalizacja roczna


rT
1
e
d
C0  rT pC1u  (1  p )C1d , gdzie p 
e
ud
C1u  max S1u  K ,0 C1d  max S1d  K ,0

r  stopa roczna





T  czas do dnia realizacji ( w latach)

1
1 r  d
u
d
C0 
pC1  (1  p)C1 , gdzie p 
1 r
ud
C1u  max S1u  K ,0 C1d  max S1d  K ,0



Porównanie wzorów w modelu n – okresowym
(kapitalizacja ciągła, kapitalizacja roczna)
n k
nk
k nk




p
1

p
max
u
d S 0  K ,0

k 
k 0  
r - roczna stopa, T - czas do dnia realizacji (w latach)
1
C0  rT
e

n

e rT  d
p
; T  dł . jednego okresu
ud
1
C0 
n
1  r 
n k
nk
k nk




p
1

p
max
u
d S0  K ,0 .

k 
k 0  
n
1 r  d
gdzie p 
ud

r  okresowa stopa

UWAGI O DELCIE (delta hedging)
W analizie jednookresowego modelu wyceny opcji ustaliliśmy
liczbę akcji przypadającej na jedną opcję w pozycji krótkiej
S1u  S1d S0 (u  d )
0  1
 1
1
Cu  Cd
C u  C1d
Jest on jednocześnie proporcją liczby akcji do liczby opcji (w pozycji
krótkiej) dla portfela całkowicie zabezpieczonego (hedge ratio).
W modelu wielookresowym delta może być różna w każdym węźle siatki
zmienności ceny akcji (zatem dla każdego etapu, dla każdej sytuacji)
Jeżeli w każdym momencie portfel akcji i opcji ma być całkowicie
zabezpieczony, należy modyfikować jego skład w zależności od
scenariusza zmiany ceny akcji.
Drzewo cen w modelu multiplikatywnym,
dwumianowym
(4 etapy, S – cena początkowa)
UWAGI O DELCIE (delta hedging)
 Po k – tym okresie istnieje k+1 węzłów w przyjętym
modelu zmienności akcji, które odpowiadają różnym,
zrealizowanym do tego momentu scenariuszom. W
każdym węźle wielkość delty może być inna. Można
przyjąć, że w poniższym wzorze i=1 odpowiada
scenariuszowi samych (dotychczasowych) spadków,
zaś i = k+1 – samych wzrostów
i 1
i
C

C
k 1
i k  ki1
S k u  S ki d
i  1,2,..., k  1; k  1,2,...
UWAGI O DELCIE (delta hedging)
 Aby portfel składający się z jednej opcji w pozycji
krótkiej i pewnej liczby akcji w pozycji długiej, był wolny
od ryzyka, liczba akcji musi być modyfikowana w
każdym kroku, w zależności od zmieniającej się ceny
akcji
S1u  S1d S0 (u  d )
0  1
 1
1
Cu  Cd
C u  C1d
i 1
i
C

C
k 1
i k  ki1
S k u  S ki d
i  1,2,..., k  1; k  0,1,2,...
Model dwustanowy wielookresowy
Przykład wyceny w modelu 10 - etapowym
 Dokonamy wyceny opcji kupna przy następujących
danych
liczba etapów
cena początkowa akcji
cena realizacji opcji
okresowa stopa procentowa
współczynnik wzrostu
współczynnik spadku
wartość p ze wzoru na wycenę
n
S
K
r
u
d
p
10
100
140
6%
1,20
0,85
0,60
Model dwustanowy wielookresowy
Algorytm wyceny w modelu 10 – etapowym
 Zbudowanie siatki cen akcji w modelu dwumianowym
 Ustalenie funkcji wypłaty opcji
( max{ cena końcowa akcji – cena realizacji opcji, zero})
 Wycena opcji w węzłach sieci etapu 9, ze wzoru na
wycenę w modelu jednoetapowym
 Wycena opcji w węzłach sieci etapu 8, ze wzoru na
wycenę w modelu jednoetapowym
 Itd.
 Wycena opcji w momencie początkowym
Przykład wyceny w modelu 10 – etapowym
Siatka cen akcji w modelu dwumianowym
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
619,17
1,2
0,85
u
d
współczynnik wzrostu
współczynnik spadku
515,98
429,98
358,32
298,60
248,83
207,36
172,80
144,00
120,00
100,00
122,40
102,00
85,00
72,25
152,81
106,12
73,70
108,24
75,17
52,20
110,41
92,01
76,67
63,89
53,24
44,37
155,87
129,89
90,20
62,64
220,05
183,38
127,34
88,43
61,41
215,74
149,82
104,04
310,66
258,88
179,78
124,85
86,70
304,57
211,51
146,88
365,48
253,81
176,26
438,58
78,21
65,17
54,31
45,26
37,71
55,40
46,16
38,47
32,06
39,24
32,70
27,25
27,79
23,16
19,69
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
k
2
3
4
5
6
7
8
9
10
619,17
1,2
0,85
u
d
współczynnik wzrostu
współczynnik spadku
515,98
429,98
358,32
298,60
248,83
207,36
172,80
144,00
120,00
100,00
102,00
72,25
152,81
106,12
73,70
108,24
75,17
52,20
110,41
92,01
76,67
63,89
53,24
44,37
155,87
129,89
90,20
62,64
220,05
183,38
127,34
88,43
61,41
215,74
149,82
104,04
310,66
258,88
179,78
124,85
86,70
304,57
211,51
146,88
438,58
365,48
253,81
176,26
122,40
85,00
78,21
65,17
54,31
45,26
37,71
55,40
46,16
38,47
32,06
39,24
32,70
27,25
27,79
23,16
19,69
A
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
1
B
K
r
u
d
p
C
140
6%
1,20
0,85
0,60
D
E
F
G
H
I
J
K
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
L
FUNKCJA WYPŁATY PO 10. ETAPIE
479,17 <=MAX(L18-$C$42;0)
298,58 <=MAX(L20-$C$42;0)
170,66 <=MAX(L22-$C$42;0)
80,05
15,87
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00 <=MAX(L36-$C$42;0)
0,00 <=MAX(L38-$C$42;0)
Model dwustanowy 10 – etapowy. Ustalenie
funkcji wypłaty z opcji po 10. etapie
A
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
B
K
r
u
d
p
C
140
6%
1,20
0,85
0,60
D
E
F
G
H
I
J
K
L
FUNKCJA WYPŁATY PO 10. ET
479,17 <=MAX(L18-$C$42;0)
298,58 <=MAX(L20-$C$42;0)
170,66 <=MAX(L22-$C$42;0)
80,05
15,87
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00 <=MAX(L36-$C$42;0)
0,00 <=MAX(L38-$C$42;0)
Model dwustanowy 10 – etapowy. Ustalenie wartości
opcji w 9. etapie – ze wzoru na wycenę w modelu
jednookresowym
A
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
B
C
K
r
u
d
p
D
E
140
6%
1,20
0,85
0,60
F
G
H
I
J
K
L
479,17 <=MAX(L18-$C$42;0)
($C$46*L42+L44*(1-$C$46))/(1+$C$43)
>
383,90
298,58 <=MAX(L20-$C$42;0)
($C$46*L44+L46*(1-$C$46))/(1+$C$43)
>
233,41
170,66
126,81
80,05
51,30
15,87
8,98
0,00
0
0,00
0


0,00

1
1 r  d
C0 
pC 1u  (1  p )C1d , gdzie p 
1 r
ud
u
u
d
d
C1  max S1  K ,0 C1  max S1  K ,0


0
0,00

($C$46*L60+L62*(1-$C$46))/(1+$C$43)
0
0,00 <=MAX(L36-$C$42;0)
>
0
0,00 <=MAX(L38-$C$42;0)
Model dwustanowy 10 – etapowy. Ustalenie wartości
opcji w każdym etapie, w kazdej sytuacji ( ze wzoru na
wycenę w modelu jednookresowym)
A
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
B
K
r
u
d
p
C
D
E
F
140
6%
1,20
0,85
0,60
G
H
I
187,71
82,01
60,52
44,07
L
52,92
17,89
12,89
2,87
0,52


5,08

0,00
0
0
0
0
1
1 r  d
pC 1u  (1  p )C1d , gdzie p 
1 r
ud
u
u
d
d
C1  max S1  K ,0 C1  max S1  K ,0
15,87
8,98
2,88
0

32,43
1,63
0,92
80,05
51,30
20,27
12,56
4,72
126,81
63,82
7,73
8,38
170,66
91,14
43,78
19,62
298,58 <=MAX(L20-$C$42;0)
233,41
136,26
29,52
383,90
179,97
101,21
73,81
37,36
26,01


>
305,38
240,77
144,44
C0 
K
479,17 <=MAX(L18-$C$42;0)
($C$46*L42+L44*(1-$C$46))/(1+$C$43)
109,61
31,70
J
0,00
0
0
0
0
0,00
0
0
0
0,00
0
0
0,00 <=MAX(L36-$C$42;0)
0
0,00 <=MAX(L38-$C$42;0)
Model dwustanowy 10 – etapowy. Ustalenie wartości
opcji na podstawie wzoru
1
C0 
1  r n
n k
nk
  p 1  p  max u k d n k S0  K ,0 .

k 0  k 
n


L
Q
Liczba
P-stwo,
wzrostów ROZKŁ.DWUM
479,17 <=MAX(L18-$C$42;0)
10
0,006046618
298,58 <=MAX(L20-$C$42;0)
9
0,040310784
170,66
8
0,120932352
80,05
7
0,214990848
15,87
6
0,250822656
L*Q
2,89738
0
12,03605
0
20,63853
0
17,21047
0
3,980614
0,00
5
0,200658125
0
0,00
4
0,111476736
0
0,00
3
0,042467328
0
0,00
2
0,010616832
0
0,00 <=MAX(L36-$C$42;0)
1
0,001572864
0
0,00 <=MAX(L38-$C$42;0)
0
0,000104858
0
suma > 56,76304
zaktual. Suma
31,69618
Wartość wewnętrzna i wartość
czasowa
Def. Wartość wewnętrzna opcji jest to różnica
między ceną instrumentu bazowego, a ceną
wykonania w przypadku opcji kupna,
natomiast w przypadku opcji sprzedaży
wartość wewnętrzna jest równa różnicy
między ceną wykonania, a ceną instrumentu
bazowego.
Def. Wartość czasowa (zewnętrzna) opcji jest
to różnica między ceną opcji (premią), a jej
wartością wewnętrzną jeśli różnica ta jest
nieujemna w przeciwnym razie wartość
czasowa jest równa zeru.
Zależność między premią (ceną) opcji kupna a
ceną instrumentu bazowego oraz wartością
wewnętrzną opcji
gdzie
TV- ( time value ) wartość czasowa
IV – (intristic value) wartość wewnętrzna
Równoważność portfeli w czasie
Stwierdzenie 6.
Jeżeli w chwili końcowej T , wartość dwóch portfeli jest
jednakowa (P (1)T = P (2)T ), to również w chwili
początkowej ich wartości muszą być równe (P1 = P2)
Uzasadnienie
Przypuśćmy (przeciwnie) że w chwili początkowej wartość portfela
pierwszego P1 była mniejsza niż drugiego P2
Wtedy byłaby możliwa następująca strategia arbitrażowa
 Krótka sprzedaż portfela P2 , zakup portfela P1
 Ulokowanie kwoty (P2 - P1) na oprocentowanym koncie
W chwili końcowej
 Rozliczenie krótkiej sprzedaży (oddanie kwoty P (1)T uzyskanej ze
sprzedaży portfela pierwszego w T)
Rezultat - uzyskanie arbitrażowego zysku (P2 - P1) erT
Gdyby P2 był mniejszy – analogiczne rozumowanie prowadzi do
uzyskania zysku arbitrażowego.
Notacja
 K- cena jednostkowa dostawy w kontrakcie forward
 T- okres (w latach) pozostający do dostawy
 S – cena instrumentu bazowego, będącego
przedmiotem kontraktu
 f – wartość długiej pozycji w kontrakcie forward
 r – wolna od ryzyka roczna stopa procentowa (przy ciągłej
kapitalizacji)
Litery S, f mogą wystąpić ze wskaźnikami wyznaczającymi
punkt na osi czasu z przedziału [0; T] np. S0, St, ST,
Określenie sprawiedliwej ceny wykonania
kontraktu forward na aktywa nie generujące
przepływów finansowych
 Rozważmy w chwili t = 0 kontrakt forward na jeden walor, którego
przechowanie nic nie kosztuje oraz który nie przynosi do chwili
t = T żadnych dochodów.
 Możliwa jest krótka sprzedaż waloru.
 Zakładamy ciągłą kapitalizację odsetek.
Stwierdzenie 7. Przy poczynionych założeniach o rynku
sprawiedliwa cena wykonania K kontraktu na walor,
dana jest wzorem
(1)
K = S0 erT
Termin realizacji T - wyrażony jest w latach, S0 – cena
waloru w chwili t = 0
Uwaga. Cena wykonania jest więc wartością przyszłą
bieżącej ceny waloru)
Określenie ceny wykonania kontraktu
terminowego. Uzasadnienie
K nie może być większe niż S0 erT
Gdyby K > S0 erT , wówczas w chwili t = 0 można
wykonać następujące operacje
 pożyczyć w banku kwotę S0
 zakupić walor na rynku za S0
 zawrzeć kontrakt sprzedaży z ceną K
zaś w chwili t = T :
 zrealizować kontrakt z ceną K
 zwrócić pożyczkę z odsetkami – w kwocie S0 erT
Portfel w chwili t=0 miał wartość zerową
Różnica K - S0 erT jest zyskiem arbitrażowym, zatem taka
sytuacja jest niemożliwa z założenia
Określenie ceny wykonania kontraktu
terminowego. Uzasadnienie
Przypuśćmy, że K < S0 erT
w chwili t = 0 można wykonać następujące operacje:
 pożyczyć walor i sprzedać go za kwotę S0 (krótka sprzedaż
waloru)
 kwotę S0 zdeponować w banku
 zawrzeć kontrakt kupna z ceną K
w chwili t = T należy:
 wycofać z banku depozyt w kwocie S0 erT
 zrealizować kontrakt kupna z ceną K
 oddać walor zamykając krótką sprzedaż
Portfel w chwili t=0 miał wartość zerową
Różnica
S0 erT - K jest zyskiem arbitrażowym, zatem taka
sytuacja jest niemożliwa z założenia
Przykład 1.
 Cena wykonania 3 – miesięcznego kontraktu forward na akcję
pewnej spółki wynosi 43 zł. Wolna od ryzyka roczna stopa
procentowa w tym czasie wynosi 5%. Cena akcji – 40 zł. (nie jest
spodziewana wypłata dywidendy)
 Cena wykonania kontraktu jest za wysoka, możliwy jest arbitraż:
t=0
 Zaciągamy pożyczkę 40 zł, kupujemy akcję
 Zajmujemy krótką pozycję na kontrakcie
t=T
 Sprzedajemy akcję w ramach realizacji kontraktu za 43 zł
 Spłacamy pożyczkę w kwocie 40e0,05* 0,25 = 40,5
Uzyskujemy zysk arbitrażowy w kwocie 2,50 zł
Przykład 2.
 Cena wykonania 3 – miesięcznego kontraktu forward na akcję
pewnej spółki wynosi 40,40 zł. Wolna od ryzyka roczna stopa
procentowa w tym czasie wynosi 5%. Aktualna cena akcji – 40 zł.
(nie spodziewana jest wypłata dywidendy)
 Cena wykonania kontraktu jest za niska, możliwy jest arbitraż:
t=0
 Dokonujemy krótkiej sprzedaży akcji,
 Uzyskaną kwotę lokujemy na koncie bankowym
 Zajmujemy długą pozycję na kontrakcie
t=T
 Wypłacamy kwotę 40e0,05* 0,25 = 40,50
 Kupujemy akcję w ramach realizacji kontraktu za 40,40 zł
 Oddajemy akcję (rozliczenie krótkiej sprzedaży)
Uzyskujemy zysk arbitrażowy w kwocie 0,10 zł
Wartość kontraktu terminowego kupna
definicja
Kontrakt terminowy zawarty w chwili t = 0 z ceną wykonania K w chwili T,
może być przedmiotem obrotu. Zasadne jest więc pytanie o jego wartość
w chwili t z przedziału [0; T].
DEF. Wartość długiej pozycji ft kontraktu forward w chwili t definiuje
wzór
S
ft = St - e-r(T-t) K
Wartość kontraktu kupna w chwili t jest różnicą między ceną rynkową waloru
w chwili t, St a zdyskontowaną na moment t ceną wykonania tego
kontraktu
Jeżeli do wygaśnięcia kontraktu pozostaje T lat, cena wykonania
kontraktu wynosi K, bieżąca cena waloru S, to wartość pozycji
długiej wynosi
f = S - e-rT K
Parytet cen opcji kupna i sprzedaży
Call-put parity
Rozważmy portfel o składzie:
1. europejska opcja sprzedaży waloru o aktualnej cenie S0 z ceną
realizacji K i terminem realizacji T,
2. kontrakt terminowy kupna tego samego waloru z tą sami ceną
realizacji i z tym samym terminem realizacji co opcja sprzedaży.
Rozpatrzmy dwa przypadki:
a) w chwili T: S T < K
kontrakt terminowy przyniesie stratę K – S T
opcja sprzedaży przyniesie wypłatę K - S T zatem (nie uwzględniając
kosztów transakcji) przepływy finansowe w chwili T mają bilans
zerowy
b) w chwili T: S T > K
kontrakt terminowy przyniesie zysk równy ST - K
opcja sprzedaży będzie bezwartościowa i nie zostanie wykonana
Zatem w chwili T wypłata portfela będzie równa ST - K
Parytet cen opcji kupna i sprzedaży
Wniosek 1. Rozważany portfel ma w chwili T funkcję wypłaty opcji
kupna.
Stw. 8. Skoro wartość portfela w chwili T jest wartością opcji kupna,
zatem wartość portfela w chwili początkowej musi być także
równy wartości opcji, czyli
C0 = P0 + f
gdzie C0 , P0 ceny odpowiednio opcji kupna , opcji sprzedaży, f wartość kontraktu terminowego kupna w chwili t = 0, czyli
C0 = P0 + S0 - e-rT K
Uwaga. Jeżeli założymy kapitalizację roczną oraz roczny okres
do chwili realizacji opcji, wzór na parytet przyjmie postać
C0 = P0 + S0 - K/(1+r)
Parytet cen opcji kupna i sprzedaży
Uwaga 9. Jeżeli założymy kapitalizację roczną oraz roczny okres
do chwili realizacji opcji, wzór na parytet przyjmie postać
C0 = P0 + S0 - K/(1+r)
Z ostatniej równości oraz wzorów
E S1   1  r  S0



1
1 r  d
pC1u  (1  p)C1d , gdzie p 
1 r
ud
C1u  max S1u  K ,0 C1d  max S1d  K ,0
C0 



Można także uzyskać wzór na cenę opcji sprzedaży



1
1 r  d
u
d
P0 
pP1  (1  p) P1 , gdzie p 
1 r
ud
P1u  max K  S1u , 0 P1d  max K  S1d , 0



Ograniczenia na cenę opcji kupna oraz
opcji sprzedaży





Ce
Pe
Ca
Pa
r



So
T
K
cena europejskiej opcji kupna
cena europejskiej opcji sprzedaży
cena amerykańskiej opcji kupna
cena amerykańskiej opcji sprzedaży
stopa procentowa wolna od ryzyka,
przy kapitalizacji ciągłej
cena akcji w chwili początkowej
termin realizacji opcji
cena wykonania opcji
Ograniczenia na cenę opcji kupna
Stw. 9. Ceny opcji kupna spełniają
nierówności
So ≥ Ca ≥ Ce ≥ max( So – K e-rT, 0 )
Uzasadnienie
następujące
Cena opcji amerykańskiej nie może być wyższa niż cena rynkowa
akcji gdyż w przeciwnym przypadku taniej byłoby kupić akcję
bezpośrednio na rynku, zatem So ≥ Ca
Ze względu na większe uprawnienia właściciela opcji amerykańskiej
jej cena nie może być mniejsza od ceny opcji europejskiej, czyli
Ca ≥ Ce
z parytetu kupna-sprzedaży (Ce – Pe = So – K e-rT )
Ce = So – K e-rT + Pe
wartość opcji nie może spaść poniżej zera (mamy Pe ≥ 0,) zatem
Ce ≥ So – K e-rT
Stąd i nierówności Ce ≥ 0 otrzymujemy
-rT
Ograniczenia na cenę opcji sprzedaży
Stw. 10. Ceny opcji sprzedaży spełniają następujące
nierówności
K ≥ Pa ≥ Pe ≥ max ( Ke-rT –S0 ,0)
Uzasadnienie
Gdyby
K < Pa , to wystawiając opcję sprzedaży z cena wykonania K
uzyskujemy – w najgorszym przypadku
Pa- K (co jest zyskiem
arbitrażowym);
Pa ≥ Pe gdyż za szersze uprawnienia opcji amerykańskiej nie
możemy płacić mniej;
z parytetu ceny opcji
Ce ≥ 0
Pe = Ce - So + K e-rT
oraz nierówności
otrzymujemy
Pe ≥ Ke-rT -So ,
ponieważ Pe ≥ 0, więc
Pe ≥ max(Ke-rT –S0 , 0)
Wycena opcji
 J.C. Cox, S.A. Ross, M. Rubinstein
Wycena opcji europejskiej w modelu
dyskretnym
 Fischer Black, Myron Sholes, Robert
Merton (1973)
Wycena opcji europejskiej w modelu
ciągłym
 Fischer Black, Myron Sholes
Nagroda Nobla 1997- za nową metodę
wyceny instrumentów pochodnych