Definicja przestrzeni probabilistycznej oraz własności

Definicja przestrzeni probabilistycznej oraz własności rozkładu prawdopodobieństwa
Niech Ω ≠ φ .
Przez P(Ω ) będziemy oznaczać rodzinę wszystkich podzbiorów zbioru Ω .
Przykład. Ω = {a, b} a ≠ b
P(Ω ) = {{a}, {b}, Ω,φ }.
Symbolu # będziemy uŜywać dla oznaczenia mocy zbioru czyli liczby jego elementów.
Zatem # Ω = 2 , a # P(Ω ) = 4 .
Przykład. Jeśli # Ω = n , ( n ∈ N ), to
n n n
n n n
# P (Ω ) = Cn0 + Cn1 + Cn2 ... + Cnn =   +   +   + ... +   = ∑   = 2n
 0  1  2
 n  k =0  k 
n
n
n
poniewaŜ ( x + y ) = ∑   x k y n − k .
k =0  k 
Niech S będzie podrodziną rodziny P(Ω ) . S ⊂ P(Ω )
Def.
Rodzinę S nazywamy σ -algebrą podzbiorów zbioru Ω ⇔
1. Ω ∈ S ,
2. A ∈ S ⇒ Ω \ A = A ∈ S (dopełnienie),
3. ∀ i ∈ N Ai ∈ S ⇒ U Ai ∈ S (przeliczalna suma).
i∈ N
Uwaga.
ω ∈ U Ai ⇔ ∃ i ∈ N : ω ∈ Ai ,
i∈ N
ω ∈ I Ai ⇔ ∀ i ∈ N ω ∈ Ai
i∈ N
Prawa de Morgana: A, B ∈ S ⇒ A ∪ B = A ∩ B , A ∩ B = A ∪ B ,
i uogólniając ∀ i ∈ N
Ai ∈ S ⇒ U Ai = I Ai , oraz ∀ i ∈ N
i∈ N
Ai ∈ S ⇒ I Ai = U Ai .
i∈ N
i∈ N
i∈ N
Przykład. Niech Ω = {1,2,3,4,5} oraz X ⊂ P(Ω ) X = {{1,2}, {4}}.
Tworzymy nową rodzinę zbiorów na bazie rodziny X taką, aby spełniała aksjomaty 1.-3. podane w
definicji σ -algebry.
σ ( X ) = {Ω,φ , {1,2}, {3,4,5}, {4}, {1,2,3,5}, {1,2,4}, {3,5}} σ -algebra generowana przez rodzinę X
czyli najmniejsza (w sensie relacji inkluzji) σ -algebra zawierającą rodzinę X.
Przykład. Niech A ≠ φ ,
A⊂ Ω.
σ ( A) = {φ ,Ω, A, A} jest to najmniejsza σ -algebra zawierająca zbiór A.
Def.
~
Niech S będzie σ -algebrą podzbiorów zbioru Ω , R = [− ∞;+∞ ] .
~
Odwzorowanie P : S → R nazywamy miarą unormowaną na σ -algebrze S ⇔
1. ∀ A ∈ S P( A) ≥ 0 ,
2. P(Ω ) = 1 (warunek unormowania),


3. ∀ A1 , A2 , A3 ,... ∈ S : Ai ∩ A j = φ , i, j ∈ N , i ≠ j ⇒ P U Ai  = ∑ P( Ai ) (przeliczalna
 i∈N  i∈N
addytywność).
Def.
Uporządkowaną trójkę (Ω, S , P ) nazywamy przestrzenią probabilistyczną ⇔
1. Ω ≠ φ ,
2. S − σ -algebrą podzbiorów zbioru Ω ,
3. P – miarą unormowaną na σ -algebrze S.
W języku probabilistyki
Ω to zbiór zdarzeń elementarnych,
S to zbiór zdarzeń losowych,
P rozkład prawdopodobieństwa.
Własności rozkładu prawdopodobieństwa P.
 n  n
1. ∀ i, j ∈ N : Ai , A j ∈ S ∧ Ai ∩ A j = φ , i ≠ j ⇒ P U Ai  = ∑ P ( Ai )
 i =1  i =1
Dowód:
Wystarczy przyjąć w definicji miary ∀ i > n Ai = φ
2. P(φ ) = 0
Dowód:
Ω =φ ∪Ω ∧ φ ∩Ω =φ
P(Ω ) = P(φ ) + P(Ω ) ale P(Ω ) = 1 zatem P(φ ) = 0
3. A, B ∈ S , A ⊂ B ⇒ P( A) ≤ P(B )
czyli P jest odwzorowaniem słaborosnącym (niemalejącym)
Dowód:
Niech A, B ∈ S i A ⊂ B wtedy
B = A ∪ ( B \ A) ∧ A ∩ ( B \ A) = φ
P ( B ) = P ( A) + P ( B \ A ) , B \ A ∈ S , P ( B \ A) ≥ 0
Zatem P(B ) ≥ P( A) .
4. ∀ A ∈ S 0 ≤ P( A) ≤ 1
Dowód:
PoniewaŜ A ⊂ Ω więc na podstawie własności 3. P( A) ≤ P(Ω ) = 1
5. ∀ A, B ∈ S P( A \ B ) = P( A) − P( A ∩ B )
Dowód:
A = (A \ B) ∪ (A ∩ B) ∧ (A \ B) ∩ (A ∩ B) = φ
P( A) = P( A \ B ) + P( A ∩ B ) zatem P( A \ B ) = P( A) − P( A ∩ B )
W szczególności
a) B ⊂ A ⇒ P( A \ B ) = P( A) − P(B )
b) A = Ω , B ∈ S , B ⊂ Ω ⇒ P (B ) = P(Ω \ B ) = P (Ω ) − P (B ) = 1 − P (B )
6. ∀ A, B ∈ S P( A ∪ B ) = P( A) + P(B ) − P( A ∩ B )
Dowód:
A = ( A \ B ) ∪ ( A ∩ B ) ∧ ( A \ B ) ∩ ( A ∩ B ) = φ oraz
A ∪ B = ( A \ B ) ∪ B ∧ ( A \ B ) ∩ B = φ zatem
 P ( A) = P ( A \ B ) + P ( A ∩ B )

 P ( A ∪ B ) = P ( A \ B ) + P (B )
Odejmując stronami powyŜsze równania otrzymujemy
P( A) − P( A ∪ B ) = P( A ∩ B ) − P(B ) czyli po przekształceniu
P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P (B ) − P ( A ∩ B ) .
7. Uogólnienie własności 6. (tzw. Reguła włączeń i wyłączeń)
 n
 n
n +1
∀ i ∈ {1,..., n} Ai ∈ S P U Ai  = ∑ Ai − ∑ P Ai1 ∩ Ai2 + ... + (− 1) P ( A1 ∩ ... ∩ An )
1≤ i1 < i2 ≤ n
 i =1  i =1
np. dla n = 3 mamy
P ( A1 ∪ A2 ∪ A3 ) = P ( A1 ) + P( A2 ) + P ( A3 ) − P ( A1 ∩ A2 ) − P ( A1 ∩ A3 ) − P ( A2 ∩ A3 )
(
)
+ (− 1) P( A1 ∩ A2 ∩ A3 )
4
8. Ciągłość funkcji rozkładu prawdopodobieństwa P
a) ∀ i ∈ N Ai ∈ S : A1 ⊂ A2 ⊂ A3 ⊂ ... ⊂ An ⊂ An +1 ⊂ ... (wstępujący ciąg zdarzeń
UA
losowych) oraz
i
= A , wtedy lim P ( An ) = P ( A) .
n →∞
i∈N
Dowód:
Niech B1 = A1 , B2 = A2 \ A1 , B3 = A3 \ A2 ,... czyli Bn = An \ An −1 .
PoniewaŜ
∀i∈N
zatem
Bi ∈ S
∧
i
n
i =1
i =1
U Bi = U Ai = An
= A oraz Bi ∩ B j = φ , i ≠ j .
UB = U A
i
i∈N
n
i∈N
Na podstawie powyŜszego i drugiego warunku w definicji miary P otrzymujemy
n


P ( A) = P U Bi  = ∑ P(Bi ) = lim ∑ P (Bi ) = lim[P(B1 ) + P (B2 ) + P(B3 ) + ... + P(Bn )]
n →∞
n→∞
i =1
 i∈N  i∈N
= lim[P ( A1 ) + P ( A2 \ A1 ) + P ( A3 \ A2 ) + ... + P ( An \ An−1 )] = (∗)
n →∞
a poniewaŜ Ai ⊂ Ai +1 to P ( Ai +1 \ Ai ) = P ( Ai +1 ) − P( Ai ) czyli
(∗) = lim
[P( A1 ) + P( A2 ) − P( A1 ) + P( A3 ) − P( A2 ) + ... + P( An ) − P( An−1 )] = nlim
P ( An )
n →∞
→∞
b) ∀ i ∈ N
Ai ∈ S : A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ ... ⊃ An ⊃ An +1 ⊃ ... (zstępujący ciąg zdarzeń
IA
losowych) oraz
i
= A , wtedy lim P ( An ) = P ( A) .
n →∞
i∈N
Dowód tego przypadku jest analogiczny do poprzedniego, wystarczy przyjąć
C i = Ω \ Ai = Ai
PoniewaŜ ciąg ( Ai )i∈N jest ciągiem zstępującym, to ciąg (C i )i∈N jest ciągiem
wstępującym takim, Ŝe
UC = U A = I A
i
i∈N
i
i∈N
i
= A.
i∈N
W ostatniej zaleŜności wykorzystaliśmy prawa de Morgana oraz załoŜenia z
przypadku b).
Na podstawie udowodnionej zbieŜności dla wstępującego ciągu zdarzeń
zastosowanej teraz do ciągu (C i )i∈N otrzymujemy
1 − P( A) = P(A ) = lim P(C n ) = lim P (An ) = lim(1 − P( An )) = 1 − lim P( An ) ,
n →∞
zatem P ( A) = lim P( An ) .
n →∞
n →∞
n →∞
n →∞