Wykład 7

2011-05-24
Wczesne modele atomu
Wczesne modele atomu
Grecki filozof Demokryt rozpoczął
poszukiwania opisu materii około 2400
lat temu.
Postawił pytanie: Czy materia może
być podzielona na mniejsze elementy
a jeśli może to czy istnieje jakaś
granica tego podziału?
Demokryt (400 p.n.e.)
Najmniejsze elementy nazwał “atomami”, co oznacza:
niepodzielne.
Fizyka II dla Elektroniki,lato 2011
2
1
2011-05-24
Wczesne modele atomu
Model Thomsona
W 1897, angielski naukowiec J.J.Thomson
zasugerował, że atom jest zbudowany z
jeszcze mniejszych elementów czyli nie jest
niepodzielny.
Zaproponował model atomu zwany modelem
ciasta ze śliwkami (ang. plum pudding
model). W tym historycznym modelu
ujemnie naładowane elektrony znajdują się
J.J. Thomson(1856-1940) wewnątrz pewnego obszaru, w którym w
sposób ciągły rozłożony jest ładunek dodatni.
Zakładał, że obszar wypełniony ładunkiem dodatnim ma symetrię
kulistą i jego promień jest rzędu 10-10 m. W wyniku wzajemnego
odpychania elektrony w modelu Thomsona miały być jednorodnie
rozmieszczone w kuli ładunku dodatniego jak śliwki czy rodzynki w
cieście.
Fizyka II dla Elektroniki,lato 2011
3
Wczesne modele atomu
Eksperyment Rutherforda z folią złota
W 1911, angielski fizyk
Ernest Rutherford
przeprowadził eksperyment
bombardując bardzo cienką
folię Au cząstkami α.
Doświadczenie uwidoczniło
strukturę atomu i stanowiło
dowód nieadekwatności
modelu Thomsona.
Fizyka II dla Elektroniki,lato 2011
Ernest Rutherford (1871-1937)
4
2
2011-05-24
Wczesne modele atomu
Eksperyment Rutherforda z folią złota
Dodatnio naładowane składniki
materii są skoncentrowane w
małym obszarze zwanym
jądrem atomowym (10-14m) a
ujemnie naładowane cząstki są
poza nim.
Fizyka II dla Elektroniki,lato 2011
5
Wczesne modele atomu
Planetarny model atomu wodoru
Model Planetarny
Atom (obojętny elektr.) = jądro (+e) + elektrony (-e)
-e
me
F
+e
v
Elektron porusza się po orbicie kołowej
wokół jądra pod wpływem przyciągającej
siły Coulomba:
r
gdzie
q1 jest ładunkiem –e elektronu
q2 jest ładunkiem +e jądra
Siła Coulomba działa na elektron nadając mu przyspieszenie
dośrodkowe
v - jest prędkością elektronu
Fizyka II dla Elektroniki,lato 2011
6
3
2011-05-24
Wczesne modele atomu
Promień orbity może zostać obliczony klasycznie
z prawa Newtona
Drugie prawo Newtona ma postać :
gdzie m jest masą elektronu
r
e2
2
o mv
Promień orbity r obliczony w ten sposób może przyjąć
dowolną wartość, nic nie sugeruje, że promień powinien być
skwantowany.
4
Fizyka II dla Elektroniki,lato 2011
7
Wczesne modele atomu
Porażka klasycznego modelu planetarnego
Planetary Model
-e
+e
Elektron jest przyciągany przez
jądro. W ruchu przyspieszonym,
elektron poruszający się wokół jądra
traci energię:
• przyspieszenie dośrodkowe:
ar = v2/r
• Klasyczna teoria
elektromagnetyzmu przewiduje, że
przyspieszany ładunek w sposób
ciągły wypromieniowuje energię i r
maleje…
Ostatecznie elektron spada na jądro !!!!!
Dla atomu o średnicy 10-10m, czas spadania elektronu na
jądro wynosiłby około 10-12s.
Fizyka II dla Elektroniki,lato 2011
8
4
2011-05-24
Model Bohra atomu wodoru
W 1913 Niels Bohr stworzył model, w którym
usiłował pogodzić idee klasyczne i kwantowe.
Model ten tłumaczył stabilność atomów i z
dużą dokładnością odtwarzał pewne wyniki
spektroskopowe (np. widmo wodoru)
Niels Bohr
(1885 - 1962)
Najważniejszym postulatem modelu Bohra jest
założenie, że elektrony mogą pozostawać na
stabilnych
kołowych
orbitach
nie
wypromieniowując energii. Są to orbity
stacjonarne. Warunkiem jest, aby elektron
pozostający na orbicie stacjonarnej miał
moment pędu L ograniczony do wartości
dyskretnych, które są całkowitą wielokrotnością
stałej Plancka:
L n
n=1,2,3…..
Fizyka II dla Elektroniki,lato 2011
9
Model Bohra atomu wodoru
Postulaty modelu Bohra:
1. Atomy istnieją tylko w konkretnych dozwolonych stanach.
Stan posiada określoną (dyskretną) energię i jakakolwiek
zmiana energii układu, w tym emisja i absorpcja
promieniowania, musi wiązać się z przejściem pomiędzy
stanami.
2. Promieniowanie absorbowane lub emitowane podczas
przejścia pomiędzy dwoma dozwolonymi stanami o energiach
E1 i E2 ma częstotliwość f daną wzorem:
h 2 
jest stałą Plancka, która po raz pierwszy pojawiła się w
opisie promieniowania ciała doskonale czarnego
Fizyka II dla Elektroniki,lato 2011
10
5
2011-05-24
Model Bohra atomu wodoru
Postulaty modelu Bohra - cd:
3. Stany dozwolone, odpowiadające klasycznym, kołowym
orbitom, mają energie określone przez warunek, że moment
pędu elektronu na tych orbitach jest skwantowany i stanowi
całkowitą wielokrotność stałej Plancka ħ
L n
n=1,2,3…..
Stała n odgrywa ważną rolę we wszystkich własnościach
atomowych (zwłaszcza w energii). Jest to liczba kwantowa.
Fizyka II dla Elektroniki,lato 2011
11
Model Bohra atomu wodoru
Promień orbity
Wektor momentu pędu:
-e
 
r p
Wartość momentu pędu:
me
F
+e

L
v
L

L
 
r p
mvr sin
r
gdzie φ jest kątem pomiędzy
wektorem pędu i położenia; φ=90o
Z warunku kwantyzacji Bohra:
mvr n
Fizyka II dla Elektroniki,lato 2011
v
n
mr
n 1,2,3.....
12
6
2011-05-24
Model Bohra atomu wodoru
Promień
orbity jest
skwantowany
dla n=1,2,3,...
r
4
o
2
me2
n2
a0 - promień Bohra
a0 n 2
h2
ao
o
2
me
52.92 pm
Średnica atomu wodoru:
Fizyka II dla Elektroniki,lato 2011
13
Model Bohra atomu wodoru
r
Prędkość
elektronu na
orbicie
stacjonarnej
jest też
skwantowana
v
1
4
0
Ze2
n
4
2
o
2
me
n2
Z – liczba atomowa;
Ze-ładunek jądra
n≠0
Prędkość orbitalna elektronu na najmniejszej orbicie (n=1) w
atomie wodoru wynosi 2.2·106 m/s co stanowi mniej niż 1%
prędkości światła.
Dla dużych wartości Z, prędkość elektronu staje się relatywistyczna
i modelu Bohra stosować nie można.
Fizyka II dla Elektroniki,lato 2011
14
7
2011-05-24
Energia elektronu na orbicie
Energia elektronu E jest sumą energii kinetycznej K i potencjalnej U
E
E
1 2
mv
2
K U
1
4
o
e2
r
r
Energia
elektronu na
orbicie jest
skwantowana
4
2
o
2
me
n2
dla n=1,2,3,...
Fizyka II dla Elektroniki,lato 2011
15
Model Bohra atomu wodoru
Ujemny znak oznacza, że elektron jest związany z protonem.
n=1: stan podstawowy, tj. najniższa energia elektronu w atomie
wodoru; E1=-13.6 eV
n=2: następny stan (stan wzbudzony); E2=-3.4 eV
Energia jonizacji to energia potrzebna do usunięcia elektronu z
atomu. Energia jonizacji dla atomu wodoru wynosi 13.6 eV.
Fizyka II dla Elektroniki,lato 2011
16
8
2011-05-24
Widma atomowe
-e
W stabilnych stanach (na
dozwolonych orbitach) elektron nie
zmienia energii.
W modelu Bohra, przejściu
elektronu z wyższej orbity Ei na
niższą orbitę Ef towarzyszy
emisja fotonu o energii hf.
hf
Ei
photon
Ei
Ef
+
Ef
Fizyka II dla Elektroniki,lato 2011
17
Widma atomowe
Jak powstają widma ciągłe i liniowe?
Fizyka II dla Elektroniki,lato 2011
18
9
2011-05-24
Widma atomowe
Widma emisyjne i absorpcyjne
Widmo emisyjne wodoru
Widmo absorpcyjne wodoru
Fizyka II dla Elektroniki,lato 2011
19
Widma atomowe
Atom wodoru nie może emitować ani absorbować światła o dowolnej
długości fali. Na długo przed teorią Bohra, w 1885 r., Johann Balmer,
podał formułę (prawidłową) opisującą długości fal poszczególnych linii
emisyjnych.
o
n2
n=3 dla Hα;
[ A] 3646 2
n=4 dla Hβ;
n
4
n=5 dla Hγ
granica serii
Ze zmniejszaniem długości fali linii w serii, odległości między
kolejnymi liniami (wyrażone w długościach fal) maleją w
sposób ciągły. Seria linii widmowych zbiega się do granicy
serii.
Fizyka II dla Elektroniki,lato 2011
20
10
2011-05-24
Widma atomowe
Wzór Balmera bardzo dobrze opisywał długości fal pierwszych
dziewięciu linii serii, które w owych czasach znano. Dokładność ta
przekraczała 0.1%.
Około 1890 r. Rydberg podał wzór, w którym użył odwrotności
długości fali czyli liczby falowej:
1
RH
1
nf2
1
ni2
RH = (10 967 757,6 ± 1.2) m-1 jest stałą Rydberga dla wodoru
seria Paschena, nf =3, ni=4,5,6,… podczerwień
seria Balmera, nf =2, ni=3,4,5,… zakres widzialny
seria Lymana, nf =1, ni=2,3,4,… ultrafiolet
Fizyka II dla Elektroniki,lato 2011
21
Diagram poziomów energetycznych dla atomu wodoru
Stałą Rydberga można obliczyć
na podstawie modelu Bohra
• Wartość stałej RH przewidziana przez
model Bohra pozostaje w dobrej
zgodności z eksperymentem
• Uogólnione wyrażenie opisuje linie
widmowe innych pierwiastków
Fizyka II dla Elektroniki,lato 2011
22
11
2011-05-24
Zasada odpowiedniości
Zwana również zasadą korespondencji (1923 r,
Bohr)
1. Przewidywania teorii kwantowej dotyczące zachowania się
dowolnego układu fizycznego muszą w granicy, w której liczby
kwantowe określające stan układu stają się bardzo duże,
odpowiadać przewidywaniom fizyki klasycznej
2. Danej regule wyboru podlega cały zbiór wartości
odpowiedniej liczby kwantowej. Zatem wszystkie reguły
wyboru, które niezbędne są do otrzymania wymaganej
odpowiedniości w granicy klasycznej (duże n) stosują się
także w granicy kwantowej (małe n)
Fizyka II dla Elektroniki,lato 2011
23
Wnioski
Model Bohra stanowił ważny przyczynek w kierunku
nowej teorii kwantowej atomu ale miał poważne
ograniczenia:
 prawdziwy tylko dla atomów jednoelektronowych
nie pozwala obliczać natężenia linii
 nie tłumaczy powstawania cząsteczek
Fizyka II dla Elektroniki,lato 2011
24
12
2011-05-24
Interpretacja reguł kwantowania
Wilson i Sommerfeld sformułowali zbiór reguł kwantowania dla
dowolnego układu fizycznego, którego współrzędne są
funkcjami okresowymi czasu:
pq dq
nq h
gdzie q jest jedną ze współrzędnych, pq jest pędem
związanym z tą współrzędną, nq jest liczbą kwantową
przyjmującą wartości całkowite
Przestrzeń p-q nazywamy przestrzenią fazową
Reguła ta pozwala wyprowadzić warunek kwantowania Bohra
Ld
nh
Fizyka II dla Elektroniki,lato 2011
25
Interpretacja reguł kwantowania
Interpretacja de Broglie’a
mvr
ale
pr
p
nh 2
h
Wówczas wzór Bohra przyjmuje postać:
hr
czyli:
2 r
nh 2
n
Dozwolonymi są te orbity, które spełniają powyższy warunek
(interferencja konstruktywna fal elektronowych)
Fizyka II dla Elektroniki,lato 2011
26
13