ROSZDZIAŁ

Metoda sprzężonych gradientów.
Metoda konstrukcji bazy ortogonalnej w przestrzeni liniowej może być wykorzystana do
rozwiązania numerycznego układu równań liniowych postaci:
Ax  b
(1)
gdzie , A jest operatorem w przestrzeni liniowej K n , b jest zadanym wektorem, a x jest
rozwiązaniem równania liniowego.
Przedstawmy teraz dobrze znaną z literatury [1] metodę sprzężonych gradientów
rozwiązywania układów równań liniowych. Podstawą do konstrukcji metody jest
wyznaczenie bazy ortogonalnej z wektorów :
x0 , Ax0 , . . . , A n1 x0
gdzie x 0 jest wektorem przestrzeni liniowej K n .
Dla uproszczenia zakładamy, że operator A jest nieosobliwy i stąd istnieje dokładnie jedno
rozwiązanie zadania (1) . K n jest przestrzenią wektorową nad ciałem liczb zespolonych z
określonym iloczynem skalarnym i z dodatnio określoną Hermitowską formą dwuliniową tzn.
K n jest przestrzenią unitarną.
Weźmy pod uwagę nieosobliwe operatory C i B i załóżmy, że wektory s1 , ... , s n są
wektorami CAB – ortogonalnymi tzn.
(CABsi , si )  0,
(CABsi , s k )  0,
k  i,
dla każdego i ≤ n . Zauważmy, że x 0 jest wektorem początkowym i zachodzą zależności :
n
x  x0  B  a j s j
j 1
i
xi  x 0  B  a j s j
(2)
j 1
ri  Axi  b
Stąd otrzymujemy następujące wzory:
xi  xi 1  ai Bs i
(3)
ri  ri 1  ai ABs i
(4)
Jest łatwo udowodnić, że dla wybranej macierzy
s1 , ... , s n spełnione są równości :
(Cri , sk )  0,
Przekształcając
CAB i wektorów ortogonalnych
1 k  i
(5)