22271_ZŁOTA LICZBA

Złota liczba wyraża proporcję zwaną złotym lub boskim
podziałem,
kiedy całość odcinka ma się do jego większej części tak,
jak ta większa część do mniejszej.
A
AC AB

AB BC
B
C
5 1

2
Złota liczba związana ze złotym podziałem zadziwiała przez
stulecia matematyków, architektów, botaników, fizyków i
artystów niezwykle interesującymi własnościami.
Podział odcinka na takie dwie nierówne części, że stosunek
większej części do mniejszej wynosi tyle samo, ile stosunek
całego odcinka do większej części nazywa się złotym
podziałem (złotym cięciem).
Złoty podział wykorzystuje się często w estetycznych,
proporcjonalnych kompozycjach architektonicznych, malarskich,
fotograficznych
Parthenon na Akropolu


fronton świątyni mieści się w złotym prostokącie
plan świątyni jest złotym prostokątem
Twórcą rzeźby był
Leochares (IV wiek pne.)
 Linia I dzieli na dwie części całą postać
w złotej proporcji,
 linia E wskazuje złotą proporcję między głową
a górną częścią tułowia,
 linia O zaznacza podział nóg w
Kolanach według złotego cięcia.

Złote cięcie w przyrodzie
Na wspólnej gałązce
między każdymi dwiema
parami listków trzecia
para leży w miejscu
złotego cięcia.
o
złota liczba jest dodatnim
rozwiązaniem równania:
   1  0
2
o
dokładna wartość:

o
o
5 1
2
przybliżona wartość:
  1,61803
kwadrat złotej liczby:
2
   1
o
odwrotność złotej liczby:
1

o
  1
dokładna wartość:
5 1


2
1
o
przybliżona wartość:
1

 0,61803
Złoty podział odcinka


Stosunek dłuższej części odcinka do
krótszej, jest taki sam, jak stosunek całego
odcinka do dłuższej części.
liczba wyrażająca stosunek złotego
podziału to złota liczba (oznaczana grecką
literą φ (fi)).
a
b
a+b
a
a+b
b
a
Własności złotej liczby


Aby podnieść do kwadratu złotą liczbę,
wystarczy dodać do niej jedynkę.
Aby znaleźć odwrotność złotej liczby,
wystarczy odjąć od niej jedynkę.
W złotym prostokącie stosunek długości
do szerokości jest złotą liczbą

Prostokąt otrzymany
po odcięciu możliwie największego
kwadratu
jest złotym prostokątem
a-b
b
b
a
•
•
•
punkt przecięcia przekątnych pięciokąta
foremnego wyznacza ich złoty podział.
przekątna pięciokąta foremnego pozostaje
w złotej proporcji z jego bokiem.
złoty stosunek
w pięciokącie foremnym odkrył
i udowodnił Hippasus (V wiek pne).
Pięciokąt foremny gwiaździsty
gwiazda pitagorejska
godło Bractwa Pitagorejczyków
symbol doskonałości według
Pitagorejczyków.
Złotemu podziałowi podlega
cały promień gwiazdy
oraz jego dłuższa
część powstała w wyniku
podziału.
b
a
b


Liczba pszczół płci żeńskiej do
trutni jakiegokolwiek ula na
świecie to liczba φ
Nasiona słonecznika rosną w
dwóch przeciwnych sobie
spiralach.
Stosunek średnic obrotu kolejnych
spirali
wynosi φ
Spiralnie układające się płatki szyszki
sosny, układ liści na łodygach roślin,
segmentacja owadów to wszystko
wykazuje niesamowite posłuszeństwo
liczbie φ
Odległość od czubka głowy
do podłogi podzielona przez
odległość od pępka do podłogi

Odległość między
ramieniem
a czubkiem palców,
podzielona
przez odległość
między łokciem
a czubkiem palców
Odległość od biodra do podłogi podzielona
przez odległość od kolan do podłogi
Stawy dłoni, palce u nóg odległość między
kręgami…
…wszystko to jest posłuszne złotej proporcji,
Liczba doskonała to liczba naturalna, która
jest sumą wszystkich swych dzielników
właściwych.
Najmniejszą liczbą doskonałą jest
6,ponieważ 6 = 3 + 2 + 1, gdzie 3,2,1 to
dzielniki tej liczby
Następne to:
28 = 14 + 7 + 4 + 2 + 1,
496=1+2+4+8+16+31+62+124+248,
8’128= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 +
127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 . .
i kolejne: 33’550’336, 137’438’691’328,
2305843008139952128…
Prawdopodobnym jest, że o liczbach doskonałych wiedzieli już
starożytni Egipcjanie.
Starożytni znali tylko cztery liczby doskonałe:
6 (jako doskonała zauważona została przez Św. Augustyna
(354-430), który napisał "Sześć jest liczbą samą w sobie
doskonałą nie dlatego, że Bóg dokonał dzieła stworzenia w
sześć dni; raczej Bóg stworzył wszystko w dni sześć, bo liczba
sześć jest doskonała właśnie."),
28 ,(księżyc obiega Ziemie w ciągu 28 nocy),496 ,8128. żyjący
na przełomie I i II wieku
Mikomachos, autor "Arytmetyki", uważał, że obiekty doskonałe i
piękne zawsze są rzadkie,
toteż nie należy się spodziewać, że liczb doskonałych będzie
dużo
Dziś znamy 44 liczb doskonałych. Ostatnią znalezioną "ręcznie"
(w 1911 roku) jest
2^288· (2^289− 1) która ma 173 cyfry w rozwinięciu
dziesiętnym..
Pierwsze udokumentowane rozważania o liczbach doskonałych
pojawiają się w
„Elementach” Euklidesa około 300 roku p.n.e. Znajduje się tam
twierdzenie
Dziś znamy 44 liczb doskonałych. Ostatnią znalezioną "ręcznie" (w 1911
roku) jest 2288  2289  1
która ma 173 cyfry w rozwinięciu dziesiętnym..


Liczba doskonała: 26’972’592(26’972’593-1) ma 4 197
919 cyfr. Odkryto ją 1 czerwca 1999 roku.
Liczba: 213’466’916(213’466’917-1) także jest doskonała.
Największą znaną dziś liczbą doskonałą parzystą
jest230’402’456·(230’402’457-1) – liczy ona 18 304 103
cyfr!
Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona ze sobą.