Złota Liczba

Zeszyty
Koła Naukowego Młodych
sekcja matematyczno – naukowo - techniczna
Złota
Liczba
Zeszyt II
2009/2010r.
Spis treści:
1. Złota liczba……..……………………………………3
1.1 Złoty podział odcinka……………………….3
1.2 Złoty prostokąt...……………………………...5
1.3 Złoty trójkąt…………………………………….6
1.4 Złote spirale……………………………………7
1.5 Pentagram …………………………………….8
1.6 Algebra złotej liczby………………………….9
2. Ciąg Fibonacciego……………………………….10
2.1 Ciąg Fibonacciego a złota liczba.………11
2.2 Ciąg Fibonacciego a trójkąt Pascala.….12
2.3 Ciąg Fibonacciego a trójki pitagorejskie.13
2.4 Własności liczb Fibbonaciego…...……….14
3. Przykłady zastosowań złotej liczby……………15
3.1 Złota liczba w architekturze i sztuce…….15
3.2 Złota liczba w przyrodzie…………………..17
3.3 Złota liczba w muzyce……………………..18
4. Redakcja……………………………………………19
2
1. Złota liczba.
1.1 ZŁOTY PODZIAŁ ODCINKA.
Czym jest złoty podział?
Złoty podział (łac. sectio aurea), podział harmoniczny, boska proporcja (łac. divina
proportio) — podział odcinka na dwie części tak, by stosunek długości dłuższej z nich
do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej. Stosunek ten nazywa się złotą
liczbą i oznacza grecką literą φ - czyt. "fi".
φ
5
1
1
,
6180339887
498482
...
2
http://pl.wikipedia.org
Konstrukcja geometryczna liczby φ .
Odcinek o długości ma długość będącą sumą dwóch
1
5
liczb: oraz
.
2
2
Pierwszą wielkość nietrudno skonstruować natomiast kwadrat
5
1
drugiej czyli
jest sumą kwadratów dwóch liczb: 1 i .
2
2
5
A to oznacza, że odcinek o długości
jest przeciwprostokątną
2
1
trójkąta o przyprostokątnych 1 i . Trójkąt ten występuje w kwadracie o boku 1.
2
5
wykreślony ze środka tego odcinka przetnie półprostą
2
w punkcie F. Odcinek OF ma długość będącą złotą liczbą. Konstrukcja pozwala na znalezienie na
osi liczbowej liczby . Nie pozwala jednak podzielić danego odcinka punktem w sposób złoty.
Łuk okręgu o promieniu długości
Iwona Kusz, Bronisława Pabiach, Złota liczba z Cabri II, Biblioteczka Cabristy zeszyt 5
3
Konstrukcja złotego podziału odcinka.
Tok postępowania:
rysujemy odcinek AB
rysujemy prostopadłą do niego prostą
na prostej wyznaczamy odcinek BC, który jest
połową długości odcinka AB
łączymy punkt A i C
rysujemy łuk o środku w punkcie C
i promieniu BC
na odcinku AC zaznaczamy punkt D
rysujemy łuk o środku w punkcie A i promieniu AD
wyznaczamy na odcinku AB punkt E
W ten sposób wyznaczyliśmy złotą proporcję odcinka AB (w punkcie E prosta AB podzielona jest
według złotego podziału).
http://matma4u.pl/Zloty-podzial-odcinka-metoda-graficzna-t9197.html
Z historii złotej liczby
Najstarsza wzmianka o złotej liczbie jako o ,,świętej proporcji” sięga 1650 r p.n.e., kiedy
to spisano w Egipcie papirus Rhinda opisujący konstrukcję Wielkiej Piramidy w Gizie. Herodot
(485-425 p.n.e.) nazywany przez Cycerona ojcem historii, w jednym ze swych opisów ok. 440 r
p.n.e. relacjonuje, że egipscy kapłani przekazali mu informację, iż rozmiary piramidy są tak
dobrane, że pole kwadratu zbudowanego na jej wysokości jest równe polu trójkąta będącego
ścianą boczną piramidy.
Nieznane oblicze złotej liczby
Okazuje się, iż ,,boska proporcja” może mieć wiele wspólnego z ,,tym Złym”.
Wynika to z działania:
sin(666)+cos(6*6*6)= φ
Cóż, to, co boskie, równie dobrze może być szatańskie.
http://nonsensopedia.wikia.com/wiki/Szatan
4
1.2 ZŁOTY PROSTOKĄT
Czym jest złoty prostokąt?
Złoty prostokąt - to prostokąt, w którym długości boków pozostają w złotym stosunku.
Konstrukcja złotego prostokąta.
http://math-sqad.pl/informatyka/zloty-podzial/zloty-prostokat
1) Rysujemy kwadrat.
2) Kwadrat dzielimy na dwa jednakowe prostokąty.
3) W jednym prostokącie prowadzimy przekątną.
4) Kreślimy łuk o promieniu równym długości przekątnej prostokąta.
5) Prowadzimy prostopadłą przechodzącą przez punkt przecięcia łuku z linią podstawy.
Otrzymujemy złoty prostokąt.
5
1.3. ZŁOTY TRÓJKĄT.
Czym jest złoty trójkąt?
Złoty trójkąt to trójkąt, który przy wierzchołku posiada kąt ostry 36 0 oraz dwa kąty ostre
przy podstawie 720. Stosunek długości boku każdego z nich do długości jego podstawy jest
złotą liczbą.
Konstrukcja pięciokąta foremnego
1. Rysujemy okrąg o środku S.
2. Rysujemy średnicę okręgu i
prostopadły do niej promień BS.
3. Wyznaczamy połowę jednego z
promieni zawierających się w
średnicy - punkt A.
4. Odmierzamy odległość AB tworząc
łuk od punktu A, wyznaczający punkt C
jego przecięcia na średnicy.
5. Odcinek BC jest długością boku pięciokąta.
http://pl.wikipedia.org/wiki/Pięciokąt
Konstrukcja złotego trójkąta
Przekątne pięciokąta foremnego utworzonego w poprzednim ćwiczeniu wyznaczają złoty trójkąt.
6
1.4. ZŁOTE SPIRALE
Spirala na bazie złotego prostokąta
Wiadomo, że jeżeli od złotego prostokąta odetniemy kwadrat to pozostanie kolejny złoty prostokąt.
Teraz utwórzmy w każdym kolejnym kwadracie ćwierć okręgu o średnicy długości boku kwadratu,
tak aby otrzymać krzywą ciągłą. Wykreślimy tym sposobem Złotą Spiralę.
Złota spirala została uznana za reprezentatywny
przykład złotej liczby, ponieważ jest to spirala, jaką
odnajdujemy w skręcie muszli ślimaka
oraz ostrygi.
Spirala na bazie złotego trójkąta
Podobnie do spirali opartej na złotym prostokącie można skonstruować spiralę na bazie złotego
trójkąta.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia
7
1.5
PENTAGRAM.
Czym jest pentagram?
Pentagram – rodzaj gwiazdy pięcioramiennej, figura geometryczna, w wielu kulturach
uważana za symbol magiczny. Słowo pentagram pochodzi z języka greckiego, gdzie "pente" znaczy
5, a "gamma" literę, tak wiec pentagram odnosi się do pięcioramiennej gwiazdy lub dowolnej innej
figury składającej się z pięciu linii, a sami Grecy zapisywali pentagram jako 5A.
Z historii pentagramu
Najstarszy pentagram został odnaleziony w starożytnym mieście Ur - centrum cywilizacji
Mezopotamii i datowany jest (według naukowców) na rok 3500 p.n.e. Prawdopodobnie używany
był jako pieczęć królewska.
http://www.teksty.gildia.pl/kormak/pentagram/pentagram
Co łączy pentagram i złotą liczbę?
Idealny pentagram powstaje poprzez wyrysowanie przekątnych pięciokąta foremnego i następnie
zamazanie oryginału. Można również wydłużać boki pięciokąta do momentu spotkania, otrzymując
większy pentagram.Kąt wewnętrzny pentagramu ma miarę 36°.
W pentagramie ukryty jest złoty podział φ = (1+√5)/2 = 1.61803398…
http://pl.wikipedia.org/wiki/Pentagram
8
1.6 ALGEBRA ZŁOTEJ LICZBY.
Punkt F dzieli w złotym stosunku odcinek AB jeżeli:
x
1
x x 1
1
x
x 1
x
jest więc rozwiązaniem równania:
(x
x
x
x
1 2 5
)
2
4
1
5
2
4
1
2
1
x2 x 1 0
0
5
1
5
lub x
2
2
2
5
1
5
lub x
0
2
2
czyli
1
5
2
Złota liczba ma ciekawe właściwości:
 aby ją podnieść do kwadratu wystarczy dodać do niej jedynkę:
2
1 0
2
1
 aby znaleźć jej liczbę odwrotną wystarczy odjąć jedynkę:
1
1
1
1
1
1
1
 ułamek piętrowy (łańcuchowy), złożony z samych jedynek jest równy złotej
1
x 1
1
1
1
liczbie.
1
1
1
1 
9
2. Ciąg Fibonacciego.
Co to jest ciąg rekurencyjny?
Rekurencyjne określenie ciągu wygląda np. tak:
Rekurencyjne określenie ciągu polega na wyliczaniu danego wyrazu ciągu na podstawie
poprzedniego. W tym przykładzie:
a1=2
a2=2⋅a1-1=2⋅2-1=3
a3=2⋅a2-1=2⋅3-1=5 itd.
http://www.traugutt.miasto.zgierz.pl/matma/reurencja.html
Czym jest ciąg Fibonacciego?
Ciąg Fibonacciego to ciąg liczb określony rekurencyjnie w sposób następujący:
F
1 1
F
2 1
F
n F
n1 F
n2
dla
n2
Początkowe wartości tego ciągu to: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...
Każda liczba w ciągu jest sumą dwóch poprzednich (poza pierwszą i drugą). Ciąg liczbowy
Fibonacciego jest pierwszym ze znanych ciągów tego rodzaju.
Portret Fibonacciego
Leonardo Bonacci zwany Fibonaccim urodził się pod koniec XII
wieku w Pizie. W młodości był kupcem i podróżnikiem. Odwiedził
kraje islamskie północnej Afryki, Egipt, Syrię, Grecję i Sycylię,
czyli dawne wielkie ośrpdki rozkwitu matematyki. Po powrocie
do Włoch uporządkował i spisał zdobytą wiedzę w dziełach Liber
abaci i Practica geoetriae.
Magazyn Miłośników Matematyki, nr 4 październik 2005
http://www.uni-ulm.de/emu/protokolle/protokoll2005/fibonacci.jpg
10
Słynne zadanie Fibonacciego.
Każda para dojrzałych królików rodzi co miesiąc parę młodych królików. Na początku roku mamy
jedną parę młodych królików. Pod koniec pierwszego miesiąca para młodych osiąga dojrzałość;
pod koniec drugiego para już dojrzałych królików wciąż żyje i daje życie parze młodych. Proces
dojrzewania i rozmnażania trwa nieustannie, jakimś cudem żaden królik nie umiera.
Kolejne liczby, mówiące o liczbie par królików w poszczególnych miesiącach, tworzą ciąg
Fibonacciego.
http://www.zobaczycmatematyke.pl/przyklady/Badecka/fibonacci.htm
2.1 CIĄG FIBONACCIEGO A ZŁOTA LICZBA.
Co łączy ciąg Fibonacciego i złotą liczbę?
W wyniku podzielenia każdej z liczb ciągu przez jej poprzednik otrzymuje się iloraz oscylujący
wokół 1,618 - liczby złotego podziału. W miarę zwiększania się liczb zmniejszają się odchylenia
od tej wartości. Dokładna wartość granicy jest złotą liczbą:
φ
5
1
1
,
6180339887
498482
...
2
http://www.math.edu.pl/liczby-fibonacciego
1/1
1
2/1
2
3/2
1,5
5/3
1,333
8/5
1,6
13/8
1,625
21/13
1,615
34/21
1,619
55/34
1,617
11
2.2 CIĄG FIBONACCIEGO A TRÓJKĄT PASCALA.
Co łączy ciąg Fibonacciego i trójkąt Pascala?
http://www.mathwarehouse.com/algebra/polynomial/images/720px-Pascal%27s_Triangle_rows_016.svg.png
Utwórzmy ukośne kolumny tego trójkąta liczb i obliczmy ich sumy. Wypiszmy je kolejno.
Czy są one przypadkowe?
http://www.gumienny.edu.pl/materialy-dodatki/jakubas/kl3/16-Ne-Pa-Si-Fi/Ne-Pa-Si-Fi.htm
Kolejne sumy tworzą kolejne liczby ciągu Fibonacciego.
12
2.3 CIĄG FIBONACCIEGO A TRÓJKI
PITAGOREJSKIE.
Co łączy ciąg Fibonacciego i trójki pitagorejskie?
Trójka pitagorejska to trzy liczby dodatnie x, y, z takie, że x2 + y2 = z2. Nazwa pochodzi
od twierdzenia Pitagorasa, które w jednej z interpretacji mówi, że każdy trójkąt prostokątny
o całkowitych długościach boków określa trójkę pitagorejską. Rozważmy trójkąty prostokątne,
których przyprostokątne (x, y) są kolejnymi liczbami ciągu Fibonacciego. Sprawdźmy ile wynosi
suma kwadratów tych liczb (z).
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x liczba
y = liczba
Fibonacciego n+1 Fibonacciego
numer n
numer n+1
1
1
2
1
2
3
2
3
4
3
5
5
5
8
6
8
13
7
13
21
8
21
34
9
34
55
10
55
89
11
x2+y2
n+(n+1)
liczba Fibonacciego
numer n+(n+1)
2
5
13
34
89
233
610
1597
4181
10946
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
2
5
13
34
89
233
610
1597
4181
10946
Okazuje się, że jeżeli dwie przyprostokątne trójkąta prostokątnego są kolejnymi liczbami
Fibonacciego o numerze n i n+1 to suma ich kwadratów jest liczbą ciągu Fibonacciego i jej numer
jest sumą numerów tych liczb.
2
F
n
2
F
n1
F
2
n1
gdzie Fn oznacza n-tą liczbę Fibonacciego.
Własność tę dostrzegł po raz pierwszy i udowodnił w 1876 roku francuski matematyk –Edward
Lucas.
13
2.4 WŁASNOŚCI LICZB FIBONACCIEGO
▲ Długości kolejnych boków kwadratów to kolejne liczby ciągu Fibonacciego. Jeśli dodamy do
siebie kwadraty długości kolejnych kwadratów to otrzymamy pole powstałego prostokąta.
Obserwując zależności:
12 12 1 2
12 12 22 2 3
12 12 22 32 3 5
12 12 22 32 52 5 8
12 12 22 32 52 82 8 13
możemy zapisać ogólny wzór:
2
2 2 2 2
1
1
2
3

F
F
n F
n
n
1
▲ Suma n poczatkowych liczb ciągu Fibonacciego wyraża się wzorem:
n
Fi
Fn
2
1
i 1
Sprawdzenie wzoru dla n = 6
L
F
F
F
F
F
F
1
1
2
3
5
8
20
1
2
3
4
5
6
P
F
1
F
1
21
1
20
6
2
8
Wyprowadzenie wzoru dla n = 7
14
3. Przykłady zastosowań złotej liczby.
3.1 ZŁOTA LICZBA W ARCHITEKTURZE
I SZTUCE.
Złota liczba została wykorzystana przy budowie piramid w Gizie. Jeżeli weźmiemy przekrój
Wielkiej Piramidy, to otrzymamy trójkąt prostokątny, nazywany Trójkątem Egipskim. Stosunek
przeciwprostokątnej (wysokości ściany bocznej) do podstawy (połowa wymiaru podstawy) wynosi
1,61804 i różni się od liczby φ tylko o jeden na piątym miejscu po przecinku.
www.mksp.superhost.pl/rafal/podzial.doc
Innym przykładem jest Katedra w Mediolanie. Wszelkie
proporcje są tu zachowane według złotego podziału.
http://dcsymbols.com/phallicism/milan-cathedral.gif
Najważniejszym przykładem wykorzystania złotej
liczby jest znany człowiek witruwiański autorstwa
Leonarda da Vinci. Zauważył on, że dla człowieka
o prawidłowych proporcjach wysokość człowieka
do długości dolnej części ciała (od pępka w dół)
jest złotą liczbą (stosunek długości dolnej części
ciała do górnej jest również złotą liczbą).
15
Złotą liczbę stosowano w proporcjach rzeźb. Słynne rzeźby: Apollo Belwederski, Wenus z Milo
czy Diany do dziś zadziwiają wielu koneserów sztuki.
W konstrukcji Partenonu – antycznej Greckiej świątyni bogini Ateny - również został
wykorzystany złoty podział.
http://dambata.files.wordpress.com/2009/04/greece_0001_ancient_jpg.jpg
http://1.bp.blogspot.com/
16
3.2 ZŁOTA LICZBA W PRZYRODZIE.
Filotaksja (z gr. Phyllo = liść, taxi = porządek) to sposób ułożenia powtarzających się elementów
budowy roślin (takich jak liście, pędy boczne, kwiaty, płatki, ziemia) charakterystyczny dla tego
gatunku. Tworzą one najczęściej układ spiral, których parametry są związane z liczbami
Fibonacciego i liczbą złotą.
Nasiona słoneczników tworzą spirale układające się w dwóch przeciwnych kierunkach.
W niektórych gatunkach tych roślin jest 21 spiral rozwijających się w jedną stronę i 34 w drugą
stronę. Istnieją również gatunki, dla których liczba spiral wynosi odpowiednio 34 i 55.
Wspomniane liczby to kolejne wyrazy ciągu Fibonacciego: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55...
Innym przykładem występowania złotej liczby w przyrodzie są muszle zwierząt, np. łodzika.
Przekrój jego muszli (wypełnionej głównie powietrzem) ukazuje, iż pasuje ona idealnie do
złotego prostokątu, a jej łuki mieszczę się po ćwierć okręgu w każdym ze złotych kwadratów.
17
3.3 ZŁOTA LICZBA W MUZYCE.
Antonio Stradivari (ur. 1643 lub 1644 w Cremonie, zm.
18 grudnia 1737 tamże) – włoski lutnik, przedstawiciel
kremońskiej szkoły lutniczej, jeden z najwybitniejszych
budowniczych instrumentów w historii lutnictwa.
Wykorzystywał on złoty podział w budowie swoich
skrzypiec.
Różne kolory odcinków odnoszą się do różnych
części skrzypiec, w których zachodzi stosunek
złotej liczby
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cd/Antonio_stradivari.jpg
http://blog-imgs-35.fc2.com/a/n/t/anthelion/vio2.png
Złoty podział w muzyce dostrzeżono również w dziełach Jana Sebastiana Bacha. Złote cięcie
pojawia się tam nie tylko w budowie frazy ale również w harmonice i przebiegu linii melodycznych
poszczególnych instrumentów. Znaleziono to również w fugach i kantatach innych twórców
muzyki baroku. Podobnie jest z większości sonat Mozarta. Innymi muzykami, którzy świadomie
lub nie wykorzystywali złoty podział byli: Bartok, Debussy, Bethoveen, Schubert i Satie.
Przykładem utworu w którym wykorzystano złotą liczbę jest V Symfonia Beethovena. Jej tempo
jest oparte na złotej liczbie a dokładnie 5/3, co jest stosunkiem czwartej liczby ciągu Fibonacciego
do trzeciej.
Iwona Kusz, Bronisława Pabiach, Złota liczba z Cabri II, Biblioteczka Cabristy zeszyt 5
Aby usłyszeć złotą gamę wystarczy w tym celu rozpocząć ją od dźwięku „C” a następnie naciskać
kolejno klawisze zgodnie z regułą Fibonacciego, czyli drugi, trzeci, piąty itd.
Gama składa się z 8 dźwięków i podzielona jest na tercję (3 dźwięki) i kwintę (5 dźwięków).
Liczby te dzielą całą wielkość w stosunku złotym (liczby 3, 5, 8 to trójka Fibonacciego).
18
4. Redakcja.
Od lewej stoją: Maciej Bonk, Bartłomiej Majewski, Adam Mikuła,
Grzegorz Kotysz, Alicja Długosz.
Od prawej siedzą: Wiktoria Nowak, Agnieszka Paul, Żaklina Osmenda,
Katarzyna Wrona.
Opiekun: P. Joanna Olesińska
19