ZŁOTA LICZBA

ZŁOTA LICZBA
Dorota Dawczyk
Justyna Chojda
MS, sem. 9
Definicja
Złotą liczbą nazywamy stosunek długości dłuższej z części odcinka do krótszej
(jest on taki sam jak stosunek długości całego odcinka do jego dłuższej części).
Innymi słowy długość części ma być średnią geometryczną długości krótszej
części i całego odcinka.
φ = (a+b) : a = a : b
W naszym referacie będziemy chciały przedstawić Wam nie tylko własności
konkretnej złotej liczby ale całych rodzin złotych liczb.
Własności
- aby podnieść złotą liczbę do kwadratu, wystarczy dodać do niej 1,
- aby znaleźć odwrotność złotej liczby, wystarczy odjąć od niej 1.
Za klasyczną złotą liczbę uważa się
liczbę ϕ =
1+ 5
, która jest dodatnim
2
rozwiązaniem równania postaci x 2 + 1 + x = 0 .
Rozważymy
trzy
rodziny
φ m ,ψ m , θ m .
W
naszym
przedstawiać rodziny związane ze złota liczbą postaci ϕ =
artykule
będziemy
5 −1
.
2
Rodzina φm
Przyjmijmy, ze złota liczba φ jest dodatnim rozwiązaniem równania x −1 = 1 + x .
Niech rodzina
φm
wyraża dodatnie rozwiązania równań postaci x −1 = m + x ,
m ∈ ¥ . Zatem liczby φm są „kuzynami” złotej liczby i mają własności:
 φm jest dodatnim rozwiązaniem równania x 2 + mx − 1 = 0 ,
 φm jest dodatnim rozwiązaniem równania x =
1
,
m+ x
 φm można rozwinąć w ułamek łańcuchowy i jest on postaci
1
,
1
m+
1
m+
m+
1
m + ...
 redukty rozwinięcia łańcuchowego liczby φm są równe ilorazom
an−1
wyrazów ciągu zdefiniowanego indukcyjnie a0 = 0 , a1 = m ,
an
an = an −2 + m ⋅ an−1 dla n ≥ 2 . Ponadto
 odwrotność złotej liczby wynosi
lim
n →∞
an −1
= φm ,
an
1 + 1 + 1 + ... .
Rodzina ψ m
Liczba złota dla m = 1 spełnia równanie x −1 = 1 +
1
x , czyli należy do rodziny
m
liczb ψ m będącymi dodatnimi rozwiązaniami równań
x −1 = 1 +
1
x , m∈¥ .
m
Każda z tych liczb ma następujące własności:
1 2
x + x −1 = 0 ,
m
 ψ m jest dodatnim rozwiązaniem równania
 ψ m jest dodatnim rozwiązaniem równania x =
1
1
1+
m+ x
,
 ψ m można rozwinąć w ułamek łańcuchowy postaci
1
lub
1
1+
1
m+
1+
1
m + ...
m
,
m
m+
m
m+
m+
m
m + ...
 redukty rozwinięcia łańcuchowego liczby ψ m są równe ilorazom
an−1
wyrazów ciągu zdefiniowanego indukcyjnie a0 = 0 , a1 = m ,
an
an =
1
an − 2 + an−1 dla n ≥ 2 . Ponadto
m
an −1
=ψ m .
n →∞ a
n
lim

ψ m−1 =
1
1
1
+
+
+... .
m m m
Rodzina
Rozpatrzmy liczbę w postaci
.
Zauważmy, że spełnia ona równanie postaci
,
które jest równoważne równaniu
.Zatem jest to nasza
złota liczba i należy więc do rodziny
.
Każda z liczb należących do rodziny
ma następujące własności:
 jest dodatnim rozwiązaniem równania:
.
 jest dodatnim rozwiązaniem równania:
 ilorazy
wyrazów ciągu zdefiniowanego indukcyjnie:
,
dla n 3 są zbieżne do
.
Zauważmy ponadto, że dla m=2 i
otrzymujemy ciąg
Fibonacciego:
=3,
,
,
,
…
Bez trudu dokonujemy uogólnień dotyczących własności liczby typu:
,
k, m
N.
Na przykładzie złotego prostokąta pokażę, jak już w starożytności konstruowano
złotą liczbę.
1. Czarny kwadrat dzielimy na pół i otrzymujemy dwa prostokąty o bokach
o długości ( x ).
2. W otrzymanym prostokącie prowadzimy przeciwprostokątną c=
.
3. Zakreślamy łuk o początku w środku boku czarnego kwadratu i promieniu
o długości c.
4. Część odłożonego odcinka, wystająca poza bok kwadratu, wyznacza
szukaną długość b.
Długości początkowego odcinka a i znalezionego b pozostają w złotym
stosunku, a/b=φ, wyznaczają więc złoty podział skonstruowanego mimochodem
odcinka a+b.
Algebraiczny dowód poprawności konstrukcji.
Znaleziony w trzecim kroku odcinek c jest przeciwprostokątną trójkąta
prostokątnego o przyprostokątnych a i a/2. Na mocy twierdzenia Pitagorasa:
zatem jego długość:
Odkładając odcinek c w prawo ze środka boku kwadratu otrzymaliśmy odcinek
(dłuższy bok prostokąta) o długości:
zaś za b przyjęliśmy część (czerwoną) pozostałą po skróceniu o odcinek a
(czarny):
czyli:
Stosunek długości a:b wynosi:
czyli równy jest złotej liczbie. Konstrukcja prowadzi więc do złotego podziału.