XIV PKM propozycje schematu punktowania etap powiatowy

XIV Podkarpacki Konkurs Matematyczny
Propozycje schematu punktowania:
Poziom II - etap powiatowy
Zadanie 1.
Zapisanie warunku, że dziedziną funkcji będą wszystkie liczby rzeczywiste, gdy dla
każdego x rzeczywistego
1 pkt.
.
Stwierdzenie, że dla każdego x rzeczywistego
.
Sprawdzenie nierówności dla m=1 oraz m=-1 i stwierdzenie, że m=-1 spełnia
warunki zadania.
Zapisanie układu spełniającego warunki zadania dla
Rozwiązanie układu i podanie odpowiedzi
1 pkt.
1 pkt.
3 pkt.
.
Zadanie 2.
Przekształcenie równania do postaci
x2-4x+4+4x2-4xy+y2+4y2-4yz+z2=0
(x-2)2 + (2x-y)2+(2y-z)2=0
Stwierdzenie, że suma trzech liczb nieujemnych będzie zerem, gdy x-2=0 i 2x-y=0
i 2y-z=0.
Obliczenie: x=2, y=4, z=8.
Zadanie 3.
Przyjęcie oznaczeń: x – cena 1 długopisu (w złotych) ; f(x) – funkcja zysku ze
sprzedaży długopisów w ciągu jednego dnia.
Otrzymanie wzoru funkcji: f(x)=(x-0,8)(420+(2-x)600); gdzie
.
Stwierdzenie, że funkcja kwadratowa f(x)=-600x2+2100x-1296 osiąga wartość
maksymalną dla
.
Podanie odpowiedzi: Aby osiągnąć maksymalny zysk należy ustalić cenę sprzedaży
na 1,75 zł.
Obliczenie maksymalnego zysku: 541,50 zł.
1
3 pkt.
2 pkt.
1 pkt.
3 pkt.
2 pkt.
1 pkt.
Zadanie 4.
Przyjmujemy oznaczenia: r – promień okręgu wpisanego w trójkąt ABC, r1 – w
ADC, r2 – w DBC.
Zauważenie podobieństwa trójkątów:
(kkk).
Otrzymanie zależności:
oraz
2 pkt.
Wykorzystanie wzorów na pole trójkąta:
2 pkt.
Wyznaczenie
Stąd: CD = r + r1 +r2.
2 pkt.
Zadanie 5.
Oznaczamy: x, y , z – szukane liczby pierwsze.
Zapisanie równania: xyz=7(x+y+z)
Wyciągnięcie wniosku, że obie strony równania dzielą się przez 7 i stąd jedną z tych
liczb musi być 7.
Przyjęcie np. z=7 i otrzymanie xy = x + y +7
Przekształcenie równania do postaci: (x – 1)(y – 1)=8
Ponieważ x i y są liczbami naturalnymi i przy założeniu, że y x otrzymujemy
układy równań:
lub
Podanie odpowiedzi: 3,5,7.
Uwaga: za samo podanie odpowiedzi, bez uzasadnienia, że jest jedyne przyznajemy
2 pkt.
2
2 pkt.
2 pkt.
2 pkt.