Ciagi Fibonacciego

Grupa badawcza z Matematyki I LO Nowogard
Opiekun: Zbigniew Michalak
Kliknij aby powiększyć







Znany jest również jako: Fibonacci, Filius Bonacci (syn
Bonacciego) czy Leonardo Pisano (z Pizy).
Kupiec i podróżnik z Pizy (swoje podróże zakończył około 1200r.)
Matematyk epoki średniowiecza
Wprowadził do europy cyfry arabskie
Zwolennik i propagator dziesiątkowego systemu pozycyjnego
Autor słynnego zadania o królikach
Autor „Liber Abaci” – kompendium ówczesnej wiedzy
matematycznej (1202r.)
ur. 1175r. - zm. 1250r.

Ciąg liczb nazywany ciągiem Fibonacciego tworzą liczby naturalne powstałe z sumy dwóch
poprzedzających je wartości.
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610 …
Dla przykładu liczba 5 powstała poprzez dodanie 2 i 3, liczba 8 to suma 5 i 3, 13= 8+5 itd.

Jeśli będziemy dzielić kolejne liczby w sekwencji przez liczby występujące przed nimi okazuje
się, że za każdym razem otrzymamy wynik oscylujący wokół niewymiernej wartość
1,61803398875….. np. 21 podzielone przez 13 daje w przybliżeniu 1,618.
Dzielenie liczb z ciągu przez liczbę następną daje nam wartość 0,618…, czyli 13 podzielone
przez 21 da mam w przybliżeniu 0,618.
0,618 jest więc odwrotnością 1,618.
Obie te właściwości znane są w geometrii jako złoty podział

Zobacz !
Współczynnik 1,618033…. w średniowieczu został nazwany boską proporcją. Współcześnie
spotyka się głównie dwie nazwy: złoty podział lub złoty środek. W algebrze oznacza się go
grecką literą phi ɸ
Φ= 1,618
Złota podział polega na podziale odcinka na dwie części
tak, by stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki
sam, jak całego odcinka do części dłuższej (stosunek ten
nazywa się złotą liczbą i oznacza grecką literą φ ).
Innymi słowy: długość dłuższej części ma być średnią
geometryczną długości krótszej części i całego odcinka.
Liczby, które otrzymujemy w wyniku dodawania i/lub
mnożenia
A = 1,000000 cm
B = 1,618033 cm
C = 2,618033 cm
D = 4,236067 cm
wyznaczają długości kolejnych kości dłoni - oczywiście
przy założeniu, że długość najkrótszej kości wynosi 1cm.
Jednak niezależnie od długości kości, proporcje między
nimi zawsze będą wyznaczone przez liczbę Fi = 1,618...
Ile par królików będziesz miał po roku jeżeli:
 Każda para staje się płodna po 2 miesiącach,
 Każda para rodzi jedna nowa parę co miesiąc,
 Króliki nigdy nie umierają ?
„Pewien człowiek wział pare królików i umiescił je w miejscu otoczonym ze wszystkich stron
murem. Ile par królików urodzi sie z tej pary w ciagu roku, jesli załozymy, ze z kazdej pary po
miesiacu rodzi sie nowa para, która staje sie płodna po upływie kolejnego miesiaca?”
Liber abaci rozdział III.
Rozwiązanie!
1 miesiąc – 1 para
2 miesiąc – 1 para
Oto obraz graficzny pierwszych 5
miesięcy:
1
3 miesiąc – 2 pary
1
4 miesiąc – 3 pary
5 miesiąc – 5 par
2
6 miesiąc – 8 par
3
7 miesiąc – 13 par
8 miesiąc – 21 par
5
9 miesiąc – 34 pary
10 miesiąc – 55 par
11 miesiąc – 89 par
Z warunków rozmnażana się królików wnioskujemy, że w kolejnym miesiącu liczba par
królików będzie równa liczbie par z poprzedniego miesiąca, gdyż króliki nie wymierają,
plus liczba par królików nowonarodzonych, a tych było tyle, ile dwa miesiące wcześniej.
Zatem kolejna liczba Fibonacciego jest sumą dwóch poprzednich.
Stosując oznaczenie na liczbę par królików w danym miesiącu, ten wniosek można
zapisać w następującej postaci:
Fk = Fk-1 + Fk-2
Gdyby przyjrzeć się z bliska łuskom szyszki, ananasa, ziarnom
na tarczy słonecznika czy kwiatom kalafiora – można zauważyć, że
układają się spiralnie, a ich przyrost również podlega regułom
słynnego ciągu – wystarczy policzyć liczbę prawo- i lewoskrętnych
spiral – pestki słonecznika czy różyczki kalafiora ułożone są wzdłuż
logarytmicznych krzywych, które grupami biegną w różnych
kierunkach, np., 34 lewoskrętne i 55 prawoskrętnych. A 34 i 55 to nic
innego, jak liczby Fibonacciego ;)

Liczby Fibonacciego występuja
również u człowieka, najbardziej
popularnymi liczbami z ciągu
Fibonaciego są 1, 2, 5. Dwie nogi,
dwie ręce, pięć zmysłów, jedna
głowa, pięć palców u rąk,
podwójne organy: dwie nerki, dwa
płuca, pojedyńcze organy - serce,
wątroba itd. Zauważmy że nie
znajdziemy tutaj raczej liczby 4 .
Dalej

Ciąg Fibonacciego był stosowany przez niektórych
kompozytorów do proporcjonalnego rozkładania rytmu.
Uważa się również, że liczby Fibonacciego są proporcjami
części skrzypiec budowanych przez Antonio Stradivariusa. Ze
złotych propocji Fibonacciego korzystał również Leonardo da
Vinci w swoich dziełach.