teoria ciała stałego

TEORIA CIAŁA STAŁEGO
NADPRZEWODNICTWO
1911 – K. Onnes – opór rtęci w T < 4.2 K spada do niemierzalnie
małej wielkości
nie można wytłumaczyć w ramach przybliżenia jednoelektronowego
natura zjawiska kwantowa i „wielociałowa”




Temperatura krytyczna – R spada o > 14 rzędów wielkości
Niekoniecznie związane z periodycznością materiału
ale może zależeć od struktury krystalicznej (np. bizmut)
Nie tylko metale (np. półprzewodniki pod dużym ciśnieniem)
(ciemne pola – nadprzewodniki w wysokich ciśnieniach)
Własności magnetyczne
własności nadprzewodnika nie daje się opisać (w ramach teorii
Maxwella) jako przewodnika, którego opór R -> 0 dla T < Tc
 S
IR   rotEdS  B
(pętla)
dla R=0, BS = constans, zatem w T < Tc przewodnik mógłby
jednocześnie pozostawać w 2 różnych stanach przy wyłączonym
polu zewnętrznym B - w stanie namagnesowania lub nie, w
zależności od momentu wyłączenia Bext
Nadprzewodniki zachowują się jednak inaczej - dla T < Tc i H < Hc pole magnetyczne w nadprzewodniku = 0
- dla H > Hc - korzystniejsze energetycznie staje się przejście do
do stanu normalnego
- efekt Meissnera
Własności magnetyczne nadprzewodników:
a), b) – oporność; c),d) – sumaryczne pole magnetyczne, f) ciepło właśc.
ponożej Tc nadprzewodnik jest idealnym diamagnetykiem:
magnetyzacja
M = -1/4 Bext
Równania Londonów - fenomenologiczny opis własności
magnetycznych, bez wnikania w naturę mikroskopową zjawisk
( modyfikacja równań Maxwella )
Efekt izotopowy
Tc  M
 12
f
Efekt przerwy energetycznej
 W stanie nadprzewodzącym, w T< Tc , fotony o częstościach
mniejszych niż pewne ωc (mikrofale) nie są absorbowane,
absorpcja zachodzi dopiero w podczerwieni - musi istnieć
przerwa energetyczna (zależna od T ) oddzielająca stan
podstawowy od wzbudzonego (ale to są na ogół metale!)
 Nie obserwuje się tłumienia fononów dla
 f  2 / 
 Nieciągłość ciepła właściwego w Tc
Teoria BCS
Bardeen, Cooper, Schrieffer
Elektron polaryzuje sieć – dodatnio naładowana sieć „zwiększa
gęstość” w obszarze elektronu – przyciągające oddziaływanie w
stosunku do innego elektronu; redukcja oddziaływania
odpychającego między elektronami
tworzenie par Coopera
w opisie kwantowym: dwa elektrony oddziałują przez wymianę
„wirtualnego” fononu
co to znaczy „wirtualny” – swobodny elektron nie może „z niczego” wykreować
swobodnego fononu; zasada zachowania energii wymaga, żeby wykreowany
fonon istniał tylko w czasie τ = 2/ω (zasada nieoznaczoności dla energii i
czasu) - w tym czasie musi być zaabsorbowany przez inny elektron (kwantowa
teoria pola)
odległość elektronów w parze Coopera można oszacować:
odkształcenie sieci spowodowane elektronem, który na poziomie
Fermiego posiada v ~ 1018 cm/s, a okres drgań fononów wynosi
2π/ω ~ 10-13 s => d = 1000 A
to pozwala ZANIEDBAĆ odpychanie kulombowskie na takich
odległościach
Rozważmy hamiltonian układu zawierającego N elektronów oraz
M fononów (na razie bez oddziaływania);
w reprezentacji liczb obsadzeń
H 0    k ak ak    q bq bq
k
q
sumowanie po k biegnie do kF ,
- ta część to hamiltonian N nieoddziałujących elektronów;
sumowanie po q do najwyższego obsadzonego (wzbudzonego)
stanu fononu w danym modzie, ωq = ω (q)
k – wektor falowy stanów elektronowych
q – wektor falowy fononowy
(uwaga: przesunęliśmy skalę energii o ½hω , wysumowane po wszystkich q )
hamiltonian oddziaływania e-ph:
H e  ph   M q ak q ak (bq  bq )
k ,q
M - stała sprzężenia
... pierwszy wyraz:
elektron w stanie k rozpraszając się na sieci pochłania (anihiluje)
fonon ω(q) i w rezultacie „przechodzi” w stan k’ = k+q ...
(anihilacja elektronu w stanie k i kreacja w stanie k’ )....
... drugi wyraz analogicznie, tylko emisja fononu ....
Można pokazać, że traktując He-ph jako zaburzenie H0 dostaniemy w
II-gim rzędzie RZ
- Frölich, Bardeen, Pines –
H  H0 
| M
2


|
a
a
q
k  q k '  q ak ' akVkk' (q )
k,k',q
co odpowiada takiemu procesowi:
gdzie V ( w reprezentacji pędowej )
(0)
Vkkfon' (q) 
g 2 q
( k '   k 'q ) 2  (q ) 2
efektywne oddziaływanie wynikające z wymiany fononu q o
energii hωq
g – stała sprzężenia opisująca oddziaływanie elektron-fonon
dwa elektrony w stanach k i k’ oddziałują przez wymianę
fononu q (fononu wirtualnego) i przechodzą do stanów
k’-q i k+q
muszą zostać zachowane energia i pęd
k  k '  k  q  k 'q  K
jeśli
( εk - εk+q ) < hωq ,
to oddziaływanie jest przyciągające
(widać z wzoru (0) )
pokażemy, że takie przyciągające oddziaływanie może prowadzić
do związanej pary 2 elektronów, a w konsekwencji do powstania
przerwy energetycznej na poziomie Fermiego
zacznijmy od równania dla pary „swobodnych” elektronów,
dodanych do morza Fermiego, zaburzonych potencjałem
oddziaływania Vfon
założenie: Vfon zależy od wzgl. odległości między elektronami, r
równanie dla ruchu względnego
(A)
  2  r2
V

 2
fon
(r)  E
par

 (r)  0

μ - masa zredukowana, Epar - energia pary elektronów;
środek masy można uznać za nieruchomy przy założeniu, że pędy
elektronów w parze są przeciwnie skierowane
wymiana fononów między elektronami musi jednak zachowywać
całkowity pęd układu (w ogólnych oznaczeniach)
(przed wymianą)
(po wymianie)
k  k '  k  q  k 'q  K
w procesie tworzenia par mogą brać udział tylko elektrony z
warstwy o szerokości d ponad EF , ( = hωD , ω – cz. Debye’a )
(tu k1 ozn. k , a k2 ozn. k’ )
warstwy sferyczne o grub. Δk oznaczają stany elektronowe z warstwy d
(energetycznej) par elektronów o wektorach k i k’ ( k1 i k2 )
czym więcej procesów zderzeniowych (wymiany fononów) tym
silniejsze oddziaływanie przyciągające - tzn. najsilniejsze, gdy
obszar „zderzeń w przestrzeni pędów” jest największy – tzn. dla
K  0,
w naszych oznaczeniach :
k 1  k 2  k
k’ = -k
podobnie jest z rzutem spinu na wybrany kierunek SZ pary Coopera istnieją w stanach singletowych (S=0);
ψ w (A) rozwijamy na fale płaskie z k > kF
(B)
1
 (r) 

ik 'r
a
e
 k'
k ' kF
pamiętamy, że jest to funkcja pary, zatem k w sumie odpowiada
parze ( k ↑, -k ↓ )
wstawiając do (A)
(C)
(2 k  E par )ak 
fon
a
V
 k ' kk '  0
k ' kF
Vkk’ to transformata Fouriera V, = [ równanie (0) ]
i jednocześnie element macierzowy hamiltonianu pomiędzy stanami
w których mamy parę Coopera ( k ↑, -k ↓ ) i ( k’ ↑, -k’ ↓ )
uprośćmy model zakładając V – niezależne od k, k’
i równe: - V0
wówczas sumowanie w (C)
a V
k ' kF
( V0 > 0 ),
zatem
fon
k ' kk '


 V0   ak '  ( F  d   k )
 k ' k 
F


θ – zapewnia, że sumujemy tylko w warstwie εF + d


1


ak  V0  ak ' 
 k '  k  2  E par
k
 F 
i wysumowanie po k da (kolejność sumowania można zamienić):


1


ak   ak ' V0  

 k '  k  k  k 2  E par
k kF
k
F
 F 
zatem
(D)
1
1  V0  
 V0
par
2 k  E
k kF
 F d

F
1
g ( )
d
par
2 k  E
gdzie sumowanie zastąpiono całkowaniem ( z gęstością
zakładając, że
przybliżyć g
g(ε) )
d jest bardzo wąski (w porównaniu do εF ) można
-> gF
i całkę w (D) obliczyć:
 2( F  d )  E par 
1

1  V0 g F ln 
par
2
 2 F  E

zatem
E
par
2d
 2 F 
exp( 2 / V0 g F )  1
i w granicy „słabego sprzężenia (oddziaływania)”, (V0gF<<1)
(małe V0 niezależnie od gF ) – a w jednostkach energii V0<<EF
E
par
 2 F  2de
2 / V0 g F
ale energia niezwiązanych elektronów jest
to energia wiązania w parze Coopera
(E)
Eb  2de
Jakie duże powinno być
d
2εF
2 / V0 g F
?
elektrony z pobliża poziomu Fermiego oddziałują za pomocą
fononów;
fonony są bozonami i w temperaturze T obsadzają poziomy aż do
pewnej ω = ωD - częstością Debye’a (graniczna – max. częstość fononów akustycznych w danej T)
naturalnie jest przyjąć, że fonony o częstościach Debye’a będą
brały udział w wymianie pomiędzy elektronami
zatem
d ≈ ωD
( z dokł. do stałej Plancka)
oszacowanie R ~ 1000 A
Do czego prowadzi wynik, że elektrony wiążą się w pary Coopera ?
Stan podstawowy w teorii BCS
 Obecność pary Coopera zmniejsza energię Fermiego
 Nie można zakładać, że wszystkie elektrony utworzą pary i
wszystkie dadzą wkład do obniżenia energii układu, bo to
prowadziłoby do „kolapsu” powierzchni Fermiego a istnienie
EF jest konieczne do tworzenia się par
(zakładaliśmy, że tylko elektrony o k z pobliża pow. Fermiego
mogą tworzyć pary, bo tylko takie mogą po „pochłonięciu” wirtualnego
fononu z warstwy d przejść [= zostać wzbudzone] do nieobsadzonego
stanu k’ )
 Całkowite zmniejszenie energii nie jest sumą przyczynków (E)
 Obniżenie energii kolejnej pary zależy od tego ile par już
istnieje i gdzie aktualnie leży EF
Trzeba znaleźć stan wieloelektronowy (szukając po możliwych
konfiguracjach wielu par), w którym energia układu jest najmniejsza
W T=0 utworzenie pary Coopera wymaga wzbudzenia ponad
do stanów 2 elektronów o energiach ek ,
(F)
2 2
0
k
F
e   k / 2m  E
zmiana energii przy rozpraszaniu z ( k ↑, -k ↓ ) do ( k’ ↑, -k’ ↓ )
to Vkk’ ;
taki proces to:
anihilacja pary ( k ↑, -k ↓ )
i kreacja pary ( k’ ↑, -k’ ↓ )
EF0
Dana para ( k ↑, -k ↓ ) może „być wykreowana” = utworzona z
elektronów opisanych funkcjami jednocząstkowymi (falami płask.),
lub może „nie być wykreowana”
w reprezentacji liczb obsadzeń par elektronowych,
stan niewykreowanej pary (nieistniejącej) oznaczymy przez |0,k> ,
a stan wykreowany (czyli parę ( k ↑, -k ↓ ) w stanie związanym)
oznaczymy jako |1,k>
zatem w ogólności stan pary elektronów ( k ↑, -k ↓ ) zapiszemy jako
(G)
 , k  uk 0, k  vk 1, k
gdzie | vk |2 - prawdopodobieństwo, że para ( k ↑, -k ↓ ) obsadza
stan związany
Wielocząstkowy stan układu wszystkich par (bozony):
(I)
 BCS   (uk 0, k  vk 1, k )
k
(w przybliżeniu nieoddziałujących par)
reprezentując np.
|1,k> jako
oraz
|0,k> jako
1
 
 0k
 0
 
 1 k
łatwo zobaczyć, że operatory kreacji i anihilacji par można
przedstawić budując je z macierzy Pauliego
własności tych operatorów
(J)

k

k
 1, k  0
 k 0, k  1, k
 k 0, k  0
 1, k  0, k
zakładając jak poprzednio, że Vkk’ nie zależy od k,k’ i jest = V0
w reprezentacji liczb obsadzeń, hamiltonian układu par
(K)
H  V0   k k'
kk '
wartość oczekiwana H w stanie BCS, po wykorzystaniu
związków (J), postaci funkcji (I) oraz dodając energie kinetyczne (F)
(L)
WBCS   BCS H  BCS  2 vk2 ek  V0  vk uk vk 'uk '
k
kk '
żeby otrzymać energie stanu podstawowego BCS, trzeba
zminimalizować (L) ze względu na możliwe amplitudy
prawdopodobieństwa vk , uk
ponieważ
| vk |2 + | uk |2 = 1,
można je przedstawić jako
vk  cos  k
u k  sin  k
i minimalizować WBCS ze względu na
(M)
θk
WBCS  2 ek cos 2  k  14 V0  sin 2 k sin 2 k '
k
kk '
minimum WBCS osiąga gdy znika pochodna:
WBCS
0
 k
dostajemy:
(N)
ek tg 2 k   12 V0  sin 2 k '
k'
wprowadzając oznaczenia
(O1)
Δ
oraz
Ek
:
  V0  vk 'uk '  V0  sin  k ' cos k '
k'
k'
oraz
(O2)
vk2  uk2  ek / Ek
łatwo pokazać (po prostych przekształceniach), że
(P)

ek

v  1
2
2

e


k

2
k
1
2




uk2  1  vk2
- prawdopodobieństwo związania dwu elektronów ( k ↑, -k ↓ ) w
w parę Coopera
wykres tego prawdopodobieństwa w funkcji energii kinetycznej
elektronu
Energię nadprzewodzącego stanu podstawowego
(układu zawierającego pewną ilość par Coopera – elektronów z
przedziału energetycznego 2 w otoczeniu EF )
obliczamy wstawiając te prawdopodobieństwa do W0BCS
dostajemy
(R)
2
0
BCS
k
k
k
k
0
W
  e (1  e / E ) 

V
można pokazać, że różnica pomiędzy W0BCS
energią stanu podstawowego „normalnego”,
Wn0 
a
W0n
 2e
k k F
k
wynosi
0
(WBCS
 Wn0 )   12 Z ( E F0 )2
Z (= gF) – gęstość stanów na poziomie Fermiego, w stanie
podstawowym normalnym
Najbardziej interesujące jest
-
(proste przekształcenia algebraiczne z (R) z wykorzystaniem (O1) ),
że (S0) )
0
WBCS
 2 Ek vk4
k
a ponieważ, przejście do pierwszego stanu wzbudzonego wymaga
w stanie nadprzewodzącym rozerwania choćby jednej pary
Coopera, zatem
(S1)
1
4
BCS
k k
k k'
jeśli rozrywamy parę ( k’ ↑, -k’ ↓ )
W
 2  E v
energia wzbudzenia będzie zatem
1
0
2
2
E  WBCS

W

2
E

2
e


0
BCS
k'
k'
ale ek to energia kinetyczna elektronu z pary Coopera po
rozerwaniu – może być dowolnie mała, (wszystko mierzymy wzgl. energii
poziomu Fermiego)
to wzbudzenie z
W0BCS
wymaga dostarczenia energii ok.
2
natomiast dodanie 1 – elektronu do układu w stanie
nadprzewodzącym wymaga energii min.
można pokazać (żmudny rachunek), że
oddziaływania ( ZV0 << 1 ) jest rzędu
  2 De


1/ V0 Z ( EF0 )
nawet dla słabego