Wykład III

Wykład III
METALE
METALE
Najczęstsze struktury krystaliczne :
heksagonalna,
objętościowo centrowana (bcc)
powierzchniowo centrowana (fcc)
bcc
fcc
lk=8
lk=12
1) Struktura regularna płasko
centrowana fcc :
ABC – ABC
Ag, Au, Pt
2) Struktura heksagonalna gęstego
upakowania:
AB – AB;
Atom A (000), atom B (2/3, 1/3,
1/2)
Hg, Ti
3) Struktura regularna
objętościowo centrowana bcc
Na, Li, K
4) Struktura CsCl
Tak jak bcc, ale atom w środku
sześcianu jest inny niż w narożach
fcc
bcc
heksagonalna najgęstszego upakowania
METALE
Dwa atomy
Sześć atomów
Ciało stałe
N~1023 atomów/cm3
Zakaz Pauliego: elektrony w atomie muszą różnić się przynajmniej
jedną liczbą kwantową tzn. nie ma dwóch takich elektronów których stan
opisywany byłby przez ten sam zestaw liczb kwantowych n, , m oraz
ms.

W zbiorze wzajemnie oddziałujących na siebie atomów nie ma dwóch
elektronów o identycznych stanach energetycznych

Struktura
elektronowa
atomu Na
2
2
6
2N stanów, N elektronów
2 stany, 1 elektron
1
1s 2s 2 p 3s
6N stanów, 6N elektronów
6 stanów, 6 elektronów
Kwantowy model elektronów swobodnych
(i) Elektrony są swobodne: elektrony walencyjne
oddziałują ze sobą – tworzą gaz doskonały
nie
(ii) Przewodnictwo
jest
ograniczone
zderzeniami
z
niedoskonałościami sieci krystalicznej (przybliżenie czasu
relaksacji).
(iii) Elektrony są fermionami: podlegają statystyce FermiegoDiraca
Prąd elektryczny
Prawo Ohma
Ruchliwość
𝒋=𝝈∙𝑬
𝝈 = 𝒒𝒏𝝁
Przewodność właściwa
𝑰=𝒋∙𝑨
Transport elektronów w metalu
a) Elektron w perfekcyjnym krysztale
b) Elektron w krysztale w skończonej temp.
c) Elektron w krysztale zdefektowanym
©2003 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc. Thomson Learning™ is a trademark used herein under license.
𝝈 = 𝒆𝒏𝝁
Przewodność właściwa
Ruchliwość
𝒗
𝝁=
𝑬
Prędkość elektronu
Natężenie pola elektrycznego
Funkcja rozkładu Fermiego-Diraca
Elektrony są fermionami.
Prawdopodobieństwo obsadzenia stanu
fermionem:
f (E) 
1
e
Dla T = 0 K, f(E) =
 E  E F  kT

1
1
E < EF
0
E > EF
• W T=0 zapełnione są wszystkie stany o energiach poniżej EF
•
Dla dowolnej temperatury prawdopodobieństwo zapełnienia stanu o
energii EF wynosi 0.5:
f(E) = 0.5 dla E = EF
Gęstość stanów
Gęstość stanów N(E) jest to liczba stanów energetycznych na
jednostkę objętości.
Liczba stanów na jednostkę objętości, których energia zawarta
jest w przedziale od E do E+dE wynosi:
𝟏 𝟐𝒎
𝑵 𝑬 𝒅𝑬 =
𝟐𝝅𝟐 ħ𝟐
𝟑/𝟐
𝑬𝒅𝑬
N(E)
E
Koncentracja elektronów swobodnych w metalu
Aby obliczyć ilość elektronów w jednostce objętości o
energiach od E do E+dE w stanie równowagi w temperaturze
T, gęstość stanów należy pomnożyć przez funkcję FermiegoDiraca:
3
1
8 2 m
no ( E )dE  N ( E ) f ( E )dE 
3
h
Koncentrację elektronów otrzyma się,
jeśli doda się (scałkuje) te elementarne
ilości z całego zakresu energii w pasmie:
n
EF

0
16 2 m3/ 2 3/ 2
f ( E ) N ( E )dE 
EF
3
3h
2
E
e
 E  EF 
2
kT
1
dE
Model elektronów swobodnych w metalu
2
h 3 
EF 
 n
8m   
•
•
•
2
3
Dla T = 0, wszystkie stany o energii poniżej energii Fermiego EF są
zapełnione elektronami, a wszystkie o energiach powyżej EF są puste.
Dowolnie małe pole elektryczne może wprawić w ruch elektrony z
poziomu EF dostarczając im energii DU=eEx prowadząc do bardzo
dużego przewodnictwa elektrycznego.
W temperaturach T > 0, elektrony są termicznie wzbudzane do stanów o
energiach powyżej energii Fermiego.
Parametry Fermiego dla el. swob. w metalu
Poziom próżni
W: Praca wyjścia
EF
Energia
Krawędź pasma
przewodnictwa
metal
h2  3 
EF 
 n
8m   
2
Koncentracja
elektronów
Energia
Fermiego
Praca
wyjścia
[1028 m-3]
EF [eV]
W [eV]
2.65
8.47
5.86
5.90
17.0
18.1
14.8
3.24
7.00
5.49
5.53
11.1
11.7
10.2
2.35
4.44
4.3
4.3
4.31
4.25
4.38
3
Na
Cu
Ag
Au
Fe
Al
Sn
Rodzaje ciał stałych
• W ciałach stałych istotnemu rozszczepieniu ulegają stany elektronów
walencyjnych.
• Rozszczepione poziomy grupują się w pasma.
• Najwyższe pasmo obsadzone elektronami w niemetalach nazywa się
pasmem walencyjnym.
• Sąsiednie wyższe pasmo nazywa się pasmem przewodnictwa.
• Obszar energii zawartej pomiędzy pasmami, niedozwolony dla
elektronów nazywa się przerwą wzbronioną.
Układ okresowy pierwiastków
•
W obrębie okresu promienie atomów zmniejszają się malejąc w danym okresie od strony
lewej do prawej. Wiąże się to ze wzrostem liczby protonów w jądrze, tzn. z silniejszym
przyciąganiem elektronów przez jądro.
•
W obrębie grup promienie atomów wzrastają wraz ze wzrostem liczb atomowych. Wiąże się
to ze wzrostem liczby powłok elektronowych, których wpływ na wielkość średnicy atomu
przewyższa wpływ wzrostu ładunku jądra, decydującego o zmniejszeniu średnicy atomu
Nadprzewodniki nisko- i wysoko
temperaturowe
1957 teoria BCS J.Bardeen, L.Cooper,
J.Schrieffer (Nobel 1972)
Kamerlingh Onnes 1911
Magnetyczne własności materii
Jeśli substancja zostanie umieszczona w polu magnetycznym, to jej
cząsteczki uzyskają moment magnetyczny. Z tym momentem wiąże się
powstanie dodatkowego pola magnetycznego – wewnętrznego.
 


B  B 0  B m  1  B 0
• Paramagnetyki:  > 0
Pt, Al, Na,O2
B0
Bm
• Diamagnetyki:  < 0
Bi, Hg, Ag, C (diament),
Pb, NaCl, Cu, woda
Ferromagnetyki
Ferromagnetyki to substancje, w
których w zewnętrznym polu
magnetycznym powstaje silne pole
wewnętrzne, kolinearne z polem
zewnętrznym ( >> 0).
Fe, Co, Ni, Gd
Powyżej
temp.
Curie,
ferromagnetyki
stają
się
paramagnetykami.
Efekt Meissnera
Pole magnetyczne nie wnika do
nadprzewodnika. Nadprzewodnik jest
„wypychany” z pola magnetycznego.
• Wyjaśnienie: po włączeniu pola
magnetycznego, w nadprzewodniku
indukują się prądy wirowe. Te prądy są
źródłem pola magnetycznego, które ma
zwrot przeciwny do pola zewnętrznego.
Magnes i nadprzewodnik odpychają się.
• Próba odsunięcia od siebie magnesu i
nadprzewodnika znowu wywołuje
powstanie prądu wirowego skutkującego
tym razem pojawieniem się pola
magnetycznego, powodującego
przyciąganie.