Koncentracja elektronów swobodnych w metalu

Wykład III
METALE
METALE
Najczęstsze struktury krystaliczne :
heksagonalna,
objętościowo centrowana (bcc)
powierzchniowo centrowana (fcc)
bcc
fcc
lk=8
lk=12
1) Struktura regularna płasko
centrowana fcc :
ABC – ABC
Ag, Au, Pt
2) Struktura heksagonalna gęstego
upakowania:
AB – AB;
Atom A (000), atom B (2/3, 1/3,
1/2)
Hg, Ti
3) Struktura regularna
objętościowo centrowana bcc
Na, Li, K
4) Struktura CsCl
Tak jak bcc, ale atom w środku
sześcianu jest inny niż w narożach
fcc
bcc
heksagonalna najgęstszego upakowania
METALE
Dwa atomy
Sześć atomów
Ciało stałe
N~1023 atomów/cm3
Zakaz Pauliego: elektrony w atomie muszą różnić się przynajmniej
jedną liczbą kwantową tzn. nie ma dwu takich elektronów których stan
opisywany byłby przez ten sam zestaw liczb kwantowych n, , m oraz
ms.

W zbiorze wzajemnie oddziałujących na siebie atomów nie ma dwu
elektronów o identycznych stanach energetycznych

Struktura elektronowa
atomu Na
2
2
6
1
1s 2s 2 p 3s
Kwantowy model elektronów swobodnych
(i) Elektrony są swobodne: elektrony walencyjne nie oddziałują
ze sobą –tworzą gaz doskonały
(ii) Elektrony są fermionami: podlegają statystyce FermiegoDiraca
(iii) Przewodnictwo
jest
ograniczone
zderzeniami
z
niedoskonałościami sieci krystalicznej (przybliżenie czasu
relaksacji)
Funkcja rozkładu Fermiego-Diraca
Elektrony są fermionami. Prawdopodobieństwo
obsadzenia stanu fermionem:
f (E) 

Dla T = 0 K,
1
e  E  E F  kT  1
f(E) =

1
E < EF
0
E > EF
•W T=0 zapełnione są wszystkie stany o
energiach poniżej EF

Dla dowolnej temperatury prawdopodobieństwo zapełnienia stanu o
energii EF wynosi 0.5
f(E) = 0.5 dla E = EF
Koncentracja elektronów swobodnych w metalu
Gęstość stanów jest to liczba stanów energetycznych
w ciele stałym, które mają do dyspozycji elektrony:
N(E)
1  2m 
N(E)dE= 2  2 ÷ E dE
2  h 
3/2
1
2
Aby obliczyć ilość elektronów w jednostce
objętości o energiach od E do E+dE w stanie
równowagi w temperaturze T, gęstość stanów
należy pomnożyć przez funkcję FermiegoDiraca
3
1
8 2 m
no ( E )dE  N ( E ) f ( E )dE 
h3
Koncentracja elektronów:
n
EF

0
2
E
e
 E  EF 
E
2
kT
16 2 m3/ 2 3/ 2
f ( E ) N ( E )dE 
EF
3
3h
1
dE
Model elektronów swobodnych w metalu
2
h 3 
EF 
 n
8m   
2
3
Dla T = 0, wszystkie stany o energii poniżej energii Fermiego EF są
zapełnione elektronami, a wszystkie o energiach powyżej EF są puste.
Dowolnie małe pole elektryczne może wprawić w ruch elektrony z poziomu
EF dostarczając im energii DE=eFEx prowadząc do bardzo dużego
przewodnictwa elektrycznego.
w temperaturach T > 0, elektrony są termicznie wzbudzane do stanów o
energiach powyżej energii Fermiego.
Elektrony swobodne w metalu
Poziom próżni
(Energia)
Parametry Fermiego dla el. swob. w metalu
kF   3 ne 
2
1
3
Poziom próżni
F: Praca wyjścia
Energia Fermiego , EF
2
2
F
2
Energia
k

3 2 n  3

2m 2m
1
kF
2
prędkość Fermiego vF 
  3 n  3
m
m
E
temp. Fermiego TF  F
Krawędź pasma
kB
energia Fermiego
metal
Na
Cu
Ag
Au
Fe
Al
Sn
EF 
Koncentr.
Elektr., ne
[1028 m-3]
2.65
8.47
5.86
5.90
17.0
18.1
14.8
2
Energia
Fermiego
Temperat.
Fermiego
Dł. fali
Fermiego
Prędkość
Fermiego
EF [eV]
3.24
7.00
5.49
5.53
11.1
11.7
10.2
TF [104 K]
3.77
8.16
6.38
6.42
13.0
13.6
11.8
F [Å]
vF [106 m/s]
1.07
1.57
1.39
1.40
1.98
2.03
1.9
6.85
4.65
5.22
5.22
2.67
3.59
3.83
Praca
wyjścia
F [eV]
2.35
4.44
4.3
4.3
4.31
4.25
4.38