39 8. WYBRANE ZASTOSOWANIA MODELI

Wykłady z ekonometrii
39
dr Ewa Kusideł
8. WYBRANE ZASTOSOWANIA MODELI EKONOMETRYCZNYCH
8.1. Funkcje popytu i elastyczności popytu
8.1.1. Czynniki determinujące popyt i ich wpływ
Załóżmy, że hipoteza ekonomiczna dotycząca kształtowania się popytu na pewien produkt A
jest następująca:
(8.1.1)
PA=f(D, CA, RA, CB, RB,...)
D – dochody konsumentów,
CA- cena badanego produktu,
RA – reklama badanego produktu,
CB, RB, - cena i reklama produktu substytucyjnego lub komplementarnego.
Oczywiście zestaw ten nie wyczerpuje wszystkich czynników, które będą miały znaczenie w
badaniu popytu na konkretny produkt. Zgodnie z jego specyfiką mogą tutaj dołączyć takie
czynniki jak pora roku (sezonowość sprzedaży wielu dóbr takich jak sprzęt narciarski, lody,
napoje chłodzące itd.), moda i jakość (które trudno jest uwzględniać w analizach ilościowych ze
względu na ich niemierzalny charakter) i wiele innych. Wydaje się jednak, że w przypadku
większości dóbr i usług wyróżniony zestaw pięciu wspomnianych zmiennych będzie raczej
rozszerzany o dodatkowe, niż redukowany.
Rys. 8.1.1. Wpływ czynników determinujących popyt wg teorii ekonomii
Źródło: opracowanie własne.
Wykłady z ekonometrii
dr Ewa Kusideł
40
8.1.2. Elastyczności popytu
Aby zmierzyć siłę i kierunek oddziaływania czynników kształtujących popyt stosuje się
różnego rodzaju mierniki. Do najpopularniejszych należą elastyczności popytu, które mierzą
procentowe
zmiany
popytu
wywołane
procentowymi
zmianami
czynników
go
determinujących. Np. elastyczność cenowa rzędu Ec= -2 oznacza, że wzrostowi (spadkowi) ceny
o 1% towarzyszy spadek (wzrost) popytu o 2%. Przy podanej elastyczności spadek ceny o np.
1,5% powoduje wzrost popytu o 3%. Generalnie, dla dowolnej wartości elastyczności Ex wzrost
pierwszej zmiennej (np. ceny) o x% spowoduje zmianę (wzrost w przypadku dodatniego znaku
Ex, spadek w przypadku ujemnego znaku Ex) drugiej zmiennej (np. popytu) o x*Ex%. Dzięki
znajomości elastyczności możemy rozwiązywać problemy pozwalające ustalić, o ile powinny
się zmienić czynniki wpływające na popyt aby wzrósł on (lub spadł) o określoną wartość np. o
ile należy zmniejszyć cenę, aby pobudzić popyt o 20%.
W zależności od czynnika, którego wpływ rozpatrujemy wyróżniamy następujące elastyczności
popytu:
-
elastyczność popytu na dobro A względem jego ceny, czyli popularnie mówiąc cenową
elastyczność popytu - Ec;
-
elastyczność popytu na dobro A względem dochodów konsumentów, czyli dochodową
elastyczność popytu –ED;
-
elastyczność popytu na dobro A względem nakładów na reklamę tego dobra, czyli
elastyczność popytu względem nakładów na reklamę – ER;
-
elastyczność popytu na dobro A względem ceny dobra B (substytucyjnego lub
komplementarnego), czyli mieszaną, cenową elastyczność popytu – Ecx;
-
elastyczność popytu na dobro A względem nakładów na reklamę dobra B (substytucyjnego
lub komplementarnego), czyli mieszaną elastyczność popytu względem nakładów na
reklamę –ERx.
Można również liczyć elastyczność popytu względem dowolnego czynnika go kształtującego.
Powyższe rozróżnienie nawiązuje do czynników wyróżnionych w rozdziale pierwszym. Poniżej
omawiamy poszczególne rodzaje elastyczności bardziej szczegółowo.
Obliczanie elastyczności cenowej popytu – sposób 1
Wartość współczynnika elastyczności możemy obliczać w oparciu o różne formuły. Jedna z
najprostszych polega na policzeniu ilorazu pomiędzy przyrostami dwóch badanych zmiennych:
(8.1.2)
Ex =
∆y
,
∆x
gdzie:
∆y – względna (procentowa) zmiana y: (yt-yt-1)/yt-1;
Wykłady z ekonometrii
41
dr Ewa Kusideł
∆x – względna (procentowa) zmiana x: (xt-xt-1)/xt-1.1
Na podstawie wzoru (8.1.2) wyliczymy cenową elastyczność popytu na przykładzie
pochodzącym z podręcznika do ekonomii (D. Begg, Mikroekonomia, tom 1, PWE, Warszawa
1993). Przykład dotyczy wielkości sprzedaży biletów na mecz (w tys. szt.) w zależności od ich
ceny (w £):
Tabela 8.1.2a Wartości cen i towarzyszący im popyt na bilety na mecz
Nr obserwacji
cena (w Ł) popyt (w tys. szt.)
1
2,5
80
2
5,0
60
3
7,5
40
4
10,0
20
Źródło: D. Begg. Ekonomia, tom 1, PWE, Warszawa 1993, s. 111.
Na podstawie powyższych danych możemy obliczyć 3 wartości elastyczności cenowej,
mierzącej zmianę popytu wskutek zmiany cen:
1. pomiędzy obserwacją 1 i 2 – wzrost ceny z 2,5 do 5 £, któremu towarzyszył spadek popytu z
80 do 60 tys. biletów (o 25%);
2. pomiędzy obserwacją 2 i 3 – wzrost ceny z 5,0 do 7,5 £, któremu towarzyszył spadek popytu
z 60 do 40 tys. biletów;
3. pomiędzy obserwacją 3 i 4 – wzrost ceny z 7,5 do 10 £, któremu towarzyszył spadek popytu
z 40 do 20 tys. biletów.
W każdym z powyższych przypadków bezwzględne zmiany ceny i popytu są takie same
(cena rośnie zawsze o 2,5 £, popyt spada zawsze o 20 tys. szt.). W przypadku elastyczności,
interesują nas jednakże zmiany względne (procentowe), które są różne w trzech powyższych
przypadkach, a mianowicie:
1. Cena rośnie o 100%: (5£-2,5£)/2,5£ = 1 = 100% (zob. objaśnienia do wzoru 8.1.2), popyt
spada o 25%: (60-80)/80 = - 0,25 = -25%2. Podstawiając te wartości do wzoru 8.1.2
otrzymujemy: E c =
− 0,25
− 25%
(lub
) = −0,25 . Elastyczność rzędu –0,25 oznacza, że
1
100%
wzrost ceny biletów na mecz o 1% powoduje spadek popytu o 0,25% (równie dobrze
możemy powiedzieć, że spadek ceny o 4% spowoduje wzrost popytu o 1%). Popyt jest
nieelastyczny bowiem elastyczność cenowa zawiera się w przedziale: Ec∈(-1,0), co oznacza,
1
Porównaj uwagi na temat przyrostów względnych ze wstępu (str. 4).
Każdą zmianę względną można wyrazić procentowo korzystając z prawidłowości, że jedna całość to 100%
(dlatego 0,1=10%, 0,5=50%, 0,01=1% itd.).
2
Wykłady z ekonometrii
dr Ewa Kusideł
42
że słabo reaguje na zmiany ceny (rzeczywiście słabo, skoro 100% wzrost ceny spowodował
tylko 25% spadek popytu).
2. Cena rośnie o 50%: (7,5£-5£)/5£, popyt spada o ok. 33%:
Podstawiając te wartości do wzoru 8.1.2 otrzymujemy: E c =
(40-60)/60 = - 0,33(3).
− 0,33
− 33%
(lub
) = −0,66 .
0,5
50%
Elastyczność rzędu –0,66 oznacza, że wzrost ceny biletów na mecz o 1% powoduje spadek
popytu na nie o 0,66%. Popyt jest w dalszym ciągu nieelastyczny: Ec∈(-1,0), czyli słabo
reaguje na zmiany ceny, lecz bardziej niż w przypadku 1.
3. Cena rośnie o 33%: (10£-7,5£)/7,5£= 0,33(3), popyt spada o 50%: (20-40)/40 = - 0,5.
Podstawiając te wartości do wzoru 8.1.2 otrzymujemy: E c =
− 0,5
− 50%
(lub
) = −1,5 .
0,33
33%
Elastyczność rzędu –1,5 oznacza, że wzrost ceny biletów na mecz o 1% powoduje spadek
popytu na nie o 1,5%. Popyt jest elastyczny, bo Ec∈(-∝; -1), czyli silnie reaguje na zmiany
ceny.
Z powyższych obliczeń wynika, że w zależności od ceny, wartości elastyczności cenowej są
inne – por. tabela 8.1.2b.
Tabela 8.1.2b. Wartości elastyczności popytu na bilety na mecz
Nr obserwacji
cena (w Ł) popyt (w tys. szt.)
EC
1
2,5
80
-0,25
2
5,0
60
-0,66
3
7,5
40
-1,5
4
10,0
20
Źródło: obliczenia własne.
Interpretacja i wykorzystanie cenowej elastyczności popytu.
Jak już powiedziano powyżej, elastyczność cenowa mówi nam o ile procent zmieni się
popyt, jeśli cena wzrośnie o 1%. Np. elastyczność rzędu Ec=-0,25 oznacza, że wzrost (spadek)
ceny o 1% powoduje spadek (wzrost) popytu o 0,25%. Na tej podstawie możemy mniemać, że
wzrost (spadek) ceny o 2% spowoduje spadek (wzrost) popytu o 0,5%, a wzrost (spadek) ceny o
10% spowoduje spadek (wzrost) popytu o 2,5% (ujemny znak elastyczności mówi nam o
kierunku zmian ceny i popytu a wartość elastyczności o sile tych zmian). Gdyby elastyczność
była dodatnia (jak to się dzieje w przypadku paradoksów ekonomicznych), np. rzędu +1,1, to
oznaczałoby, że wzrost ceny o 1% powoduje wzrost popytu o 1,1%.
Znajomość elastyczności cenowej pozwala nam tak "sterować" ceną, aby osiągać
spodziewany (w pewnych granicach) wzrost popytu. Na przykład na podstawie informacji z
Wykłady z ekonometrii
dr Ewa Kusideł
43
tablicy 8.1.2b można stwierdzić o ile należy obniżyć cenę biletów, aby spowodować wzrost
popytu o 10%. Zależy to od wielkości elastyczności (która powoduje, że taki sam wzrost ceny
powoduje różne zmiany w popycie), a dokładnie, aby zwiększyć popyt o 10% należy obniżyć
cenę o :
1. 40% przy cenie 2,5 £. Elastyczność wynosi tutaj EC= -0,25, czyli spadek ceny o 40%
spowoduje wzrost popytu o 40*0,25=10%;
2. 15% przy cenie 5,0 Ł. Elastyczność wynosi wtedy EC= -0,66, czyli spadek ceny o ok. 15%
spowoduje wzrost popytu o 15*0,66≈10%;
3. 6,6% przy cenie 7,5 £. Elastyczność wynosi wtedy EC= -1,5, czyli spadek ceny o ok. 6,6%
spowoduje wzrost popytu o 6,6*1,5≈10%.
Problem powyższy to w istocie rozwiązanie równania 8.1.2 z jedną niewiadomą. Jeżeli znamy
wartość elastyczności popytu i postulowaną (procentową) zmianę popytu, to nieznaną zmianę
ceny (x) wyliczamy jako: EC =
∆P
. Dla powyższych przykładów oznacza to:
x
1. − 0,25 =
10%
10%
0,1
⇒x=
=
= −0,4 = −40% ;3
x
− 0,25 − 0,25
2. − 0,66 =
10%
10%
0,1
⇒x=
=
= −0,15 = −15% ;
x
− 0,66 − 0,66
3. − 1,5 =
10%
10%
0,1
⇒x=
=
= −0,066(6) = −6,6% .
x
− 1,5 − 1,5
Na tej samej zasadzie można rozważać problem dotyczący tego, jak należy zmienić popyt aby
cena wzrosła (lub spadła) o określoną wartość (jest to uzasadnione z ekonomicznego punktu
widzenia, z którego można zarówno rozpatrywać wpływ zmiany ceny na popyt, jak i wpływ
zmian popytu na cenę). W takim wypadku oznacza to rozwiązanie równania, w którym
niewiadoma (x) znajduje się w liczniku ułamka: EC =
x
. Na przykład, jeśli chcemy wiedzieć,
∆C
jaka zmiana popytu musi nastąpić (x) aby obniżyć ceny o 10%, to należy oczekiwać:
1. wzrostu
− 0,25 =
3
popytu
o
2,5%
przy
elastyczności
–0,25:
x
⇒ x = −0,25 * −10% = −0,25 * −0,1 = +0,025 = 2,5% ;
− 10%
Zauważmy, że zmiany względne można wyrazić w postaci procentowej lub nie. Korzystamy tutaj z
prawidłowości, że 1=100%. Dzięki temu twierdzeniu, każdą liczbę dziesiętną można przedstawić za pomocą
formatu procentowego (bez „mnożenia przez 100”, lecz dzięki znajomości wspomnianej reguły). W ćwiczeniach
tego formatu pomocne są arkusze kalkulacyjne w których komórce z wartością 0,1 przypisywana jest wartość 10%
(a nie 0,1%) przy zamianie na format procentowy (Format→Komórki→Procentowy).
Wykłady z ekonometrii
2. wzrostu
− 0,66 =
3. wzrostu
− 1,5 =
dr Ewa Kusideł
44
popytu
o
6,6%
przy
elastyczności
–0,66:
x
⇒ x = −0,66 * −10% = −0,66 * −0,1 = +0,066 = 6,6% ;
− 10%
popytu
o
15%
przy
elastyczności
–0,25:
x
⇒ x = −1,5 * −10% = −1,5 * −0,1 = +0,15 = 15% .
− 10%
Na tej samej zasadzie, samo obliczanie elastyczności jest rozwiązaniem równania, gdzie
niewiadomą jest elastyczność popytu: x =
∆P
.
∆C
Obliczanie elastyczności popytu – sposób 2
Wzór (8.1.2) jest prosty, lecz ma ograniczone możliwości zastosowania. Wynika to z faktu, że
jednorazowo możemy policzyć elastyczność pomiędzy dwoma punktami czasowymi, np.
pomiędzy dwoma miesiącami, kwartałami, latami. W badaniach ekonomicznych mamy
najczęściej do czynienia z dłuższymi szeregami danych (np. dwanaście wartości dotyczących
wielkości cen w kolejnych miesiącach pewnego roku). Dlatego w badaniach empirycznych
częściej stosuje się wyliczanie elastyczności w inny sposób, na przykład na podstawie funkcji
potęgowych. Potęgowa funkcja popytu ma postać:
(8.1.3)
PA=α0+Dα1CAα2RAα3CBα4RBα5…
Parametry powyższej funkcji są elastycznościami popytu, tzn.
α1 - elastyczność popytu na dobro A względem dochodów konsumentów, czyli dochodową
elastyczność popytu –ED;
α2 - oznacza elastyczność popytu na dobro A względem jego ceny, czyli popularnie mówiąc
cenową elastyczność popytu - Ec;
α3 - elastyczność popytu na dobro A względem nakładów na reklamę tego dobra, czyli
elastyczność popytu względem nakładów na reklamę – ER;
α4 - elastyczność popytu na dobro A względem ceny dobra B (substytucyjnego lub
komplementarnego), czyli mieszaną, cenową elastyczność popytu – Ecx;
α5 - elastyczność popytu na dobro A względem nakładów na reklamę dobra B (substytucyjnego
lub komplementarnego), czyli mieszaną elastyczność popytu względem nakładów na reklamę –
ERx.
Aby oszacować parametry powyższej funkcji za pomocą MNK, która wymaga, aby model był
liniowy względem parametrów logarytmujemy powyższe równanie stronami, otrzymując
(8.1.4)
ln(PA)=ln(α0) +α1 ln(D)+α2 ln(CA)+α3 ln(RA)+α4 ln(CB)+α5 ln(RB)+…
Wykłady z ekonometrii
45
dr Ewa Kusideł
Po zlogarytmowaniu interpretacja parametrów pozostaje taka sama, jak w przypadku funkcji
potęgowej (oprócz α0, którego nie interpretujemy).
Przykład.
Dana jest następująca, potęgowa funkcja popytu (mierzonego w tonach) na produkt A:
Pa=4D0,25Ca-0,25Ra3 Rb, gdzie D, Ca, Ra i Rb oznaczają odpowiednio dochody konsumentów (w
tys. zł), cenę ( w tys. zł) i reklamę w (w tys. zł) produktu „a” oraz reklamę produktu „b” Czy na
podstawie powyższej funkcji można stwierdzić, że:
1. aby zwiększyć popyt o 1 t. należy obniżyć cenę o 4 tys. zł
2. dobra a i b są substytucyjne
3. reklama badanego dobra jest nieefektywna
4. popyt na dobro „a” jest elastyczny
5. wzrost reklamy o 1 tys. zł spowoduje wzrost popytu o 3 tony
6. mieszana elastyczność popytu względem wydatków na reklamę wynosi +1
7. wzrost ceny dobra „a” spowoduje spadek popytu na nie
8. wzrost ceny dobra „a” o 10% spowoduje spadek popytu o 2,5%
9. reklama dobra „a” silniej wpływa na jego popyt niż reklama dobra „b” na popyt na dobro
„b”
Wykłady z ekonometrii
dr Ewa Kusideł
46
8.2. Funkcja produkcji Cobba-Douglasa
Funkcja produkcji Cobba-Douglasa
jest potęgową funkcją uzależniającej wielkość
produkcji od czynników na nią wpływających. W przypadku dwóch czynników: K- kapitału
(majątek produkcyjny, środki trwałe) i L- pracy (liczba zatrudnionych), ma ona postać4:
Y=α0Kα1Lα2…
Jednorodność funkcji produkcji równa r=α1+ α2 oznacza, że można określić jak zareaguje
produkcja na zwiększenie nakładów czynników. Wyróżniamy trzy przypadki:
Jeśli r=1, to wówczas procentowy przyrost nakładów każdego z czynników powoduje taki sam
przyrost produkcji. Mówimy wtedy o stałych przychodach (korzyściach) skali.
Jeśli r<1 to procentowy przyrost produkcji jest mniejszy niż procentowy przyrost nakładów i
mamy do czynienia z malejącymi przychodami (korzyściami) skali.
Jeśli r>1 to procentowy przyrost produkcji jest większy niż procentowy przyrost nakładów i
mamy do czynienia z rosnącymi przychodami (korzyściami) skali.
Przykład (por. Gruszczyński, s. 155)
Dla 27 przedsiębiorstw oszacowano następującą funkcję produkcji:
ln Y= 1,171 + 0,376 ln K + 0,603ln L, R2=0,94
(0,327) (0,085)
(0,126)
gdzie:
Y – wartość dodana, K – wartość środków trwałych, L – nakłady pracy.
Z powyższych oszacowań można wysnuć następujące wnioski:
1. Elastyczność produkcji względem kapitału wynosi 0,376, a względem pracy 0,603. Oznacza
to, że 1% wzrost kapitału (środków trwałych) spowoduje wzrost produkcji o 0,376, a 1%
wzrost nakładów pracy spowoduje wzrost 0,603%. Oznacza to że praca jest efektywniejszym
czynnikiem produkcji.
W
badanych
przedsiębiorstwach
występują
(prawie)
stałe
przychody
skali,
bo
r=0,376+0,603=0,9798≈1.
4 Rozmiary produkcji są z reguły mierzone ilością lub wartością produktu otrzymanego w jednostce czasu, a więc są traktowane
jako strumienie. Rozmiary zaangażowanych czynników produkcji
natomiast,
odpowiednio
do
charakteru
tych
czynników,
ujmowane jako strumienie (L-nakłady pracy) lub jako zasoby (K- wielkość zainstalowanego trwałego majątku produkcyjnego).
są