3. Inwestor posiada 400 akcji spółki Х. Wariancja stopy zwrotu z

Matematyka finansowa
3.
2.06.2001 r.
Inwe2!%3'(
!!%3
$'
!%4& !
!
&,'
!*"!
&,-'
ryzyko inwestycji odchyleniem standardowym stopy zwrotu ze swojego portfela. Jak
*
!&! $!%3$!
%4
A.
,.
B.
spadnie o 5%
C.
spadnie o 10%
D.
spadnie o 7%
E.
wzro
+.
3
Matematyka finansowa
6.
15.06.2002 r.
)$4+51006%$ 120 lub
80 ! 0 $ $1 , ceny akcji wynosi 80%, natomiast spadku 20%. Wolne od ryzyka nat
wynosi
8% 3 , , $
0ang. risk-neutral probability), wzrostu ceny akcji do 120.
Odp"0$$ %
1#
A.
20%
B.
45%
C.
55%
D.
80%
E.
+ 6
Matematyka finansowa
10.
15.06.2002 r.
3" %%$%7-$$
$ % 95 %5.20 (opcja kupna) oraz 2.20 0$ 1
natomiast 9- $ $ % $ % 100 $% 6.20
(opcja kupna) oraz 4.700$1
!"0$$ %
1#
A.
97.03
B.
96.34
C.
95.43
D.
94.13
E.
93.83
10
Matematyka finansowa
12.10.2002 r.
Przyjmijmy nastĊpujące oznaczenia:
2.
C -
cena europejskiej opcji Call
P -
cena europejskiej opcji Put
E -
cena wykonania opcji
S -
obecna cena akcji
n -
okres do wykonania opcji
G -
natĊĪenie oprocentowania, G ! 0
x
cena akcji w chwili wykonania
-
Które z poniĪszych stwierdzeĔ są prawdziwe:
(i)
Dla opcji europejskiej jeĪeli C > P to E S ˜ exp( G ) ,
(ii)
Dla amerykaĔskiej opcji kupna jeĪeli n roĞnie to jej cena teĪ roĞnie,
(iii)
Cena opcji amerykaĔskiej jest zawsze wiĊksza od ceny opcji europejskiej,
(iv)
­ 2
°
WypáatĊ W(x) daną wzorem W ( x ) ® x 4
° 4
¯
dla x 6
dla 6 d x 8 moĪna otrzymaü poprzez
dla x t 8
nastĊpującą strategiĊ inwestycyjną:
SprzedaĪ opcji Call przy cenie wykonania 8,
Zakup opcji Put przy cenie wykonania 6,
Zakup opcji Call przy cenie wykonania 4,
SprzedaĪ opcji Put przy cenie wykonania 4.
OdpowiedĨ:
A.
tylko (i), (ii)
B.
tylko (i), (ii), (iii)
C.
wszystkie (i), (ii), (iii) oraz (iv)
D.
tylko (ii), (iii) oraz (iv)
E.
Īadna z odpowiedzi A, B, C, D nie jest prawidáowa
2
Matematyka finansowa
8.
25.01.2003 r.
Przyjmijmy nastĊpujące oznaczenia dla opcji europejskich:
E
- cena wykonania opcji,
CE
- cena europejskiej opcji call przy cenie wykonania E ,
PE
- cena europejskiej opcji put przy cenie wykonania E .
Inwestor zamierza zrealizowaü strategiĊ inwestycyjną, która posiada nastĊpująca funkcjĊ
wypáaty W ( x) :
­ 20
°
W ( x ) ® x 120
° 20
¯
dla
x ! 140
dla 100 x d 140
dla x d 100
za pomocą zakupu lub sprzedaĪy odpowiednich opcji.
Wyznacz koszt realizacji tej strategii inwestycyjnej, jeĪeli wiadomo, Īe:
(i)
dane są ceny odpowiednich opcji put i call wynoszą:
C 100
C110
C120
C140
37,221
34,436
31,937
27,651
P100
P110
P120
P140
X
40,979
47,710
X
(ii)
parytet kupna sprzedaĪy jest zachowany,
(iii)
na rynku nie wystĊpują koszty transakcji.
OdpowiedĨ (podaj najbliĪszą wartoĞü):
A.
-9
B.
-3
C.
3
D.
9
E.
15
Uwaga: Koszt dodatni oznacza, Īe inwestor sumarycznie páaci, natomiast ujemny oznacza, Īe
inwestor otrzymuje kwotĊ w chwili zakupu lub sprzedaĪy opcji
8
Matematyka finansowa
2.
17.05.2003
Przyjmijmy nastĊpujące oznaczenia dla opcji europejskich:
S
- obecna cena akcji;
E
- cena wykonania opcji;
CE
- cena europejskiej opcji call przy cenie wykonania E ;
PE
- cena europejskiej opcji put przy cenie wykonania E ;
n
- okres do wykonania opcji.
Dla pewnej akcji wiadomo, Īe:
(i)
CE
(ii)
dla n
PE dla E
S oraz kaĪdego n ! 0 ;
n0 oraz E
S cena opcji call (równa cenie opcji put) wyznaczona ze wzoru
Blacka – Sholesa wynosi X .
Wyznacz, ile bĊdzie wynosiü cena opcji wyznaczona ze wzoru Blacka – Sholesa w przypadku
gdy:
(i)
natĊĪenie oprocentowania wzroĞnie dwukrotnie;
(ii)
wariancja natĊĪenia oprocentowania zmaleje czterokrotnie;
(iii)
obecna cena akcji i cena wykonania wzrosną dwukrotnie;
(iv)
okres do wykonania opcji wzroĞnie czterokrotnie.
OdpowiedĨ:
A.
X
2
B.
X
C.
2˜X
D.
2˜ X
E.
Īadna z odpowiedzi A, B, C oraz D nie jest prawidáowa
2
Matematyka finansowa
10.
11.10.2003 r.
Obecna cena akcji wynosi 100. Wiadomo, Īe:
(i)
akcja nie wypáaca dywidendy,
(ii)
odchylenie standardowe zmiennoĞci ceny akcji wynosi V
(iii)
roczna stopa oprocentowania wolna od ryzyka wynosi r f
20.00%,
12.00% (ang.
annual risk – free interest rate).
Korzystając ze wzoru Blacka- Scholesa wyznacz cenĊ 3 - miesiĊcznej opcji europejskiej typu
Put o cenie wykonania równej 93.084.
Do obliczeĔ przyjmij przybliĪone wartoĞci ) ( x ) - dystrybuanty standardowego rozkáadu
normalnego:
x
)( x )
x
)( x )
x
)( x )
x
)( x )
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,5000
0,4
0,5199
0,45
0,5398
0,5
0,5596
0,55
0,5793
0,6
0,5987
0,65
0,6179
0,7
0,6368
0,75
0,6554
0,8
0,6736
0,85
0,6915
0,9
0,7088
0,95
0,7257
1
0,7422
1,05
0,7580
1,1
0,7734
1,15
0,7881
1,2
0,8023
1,25
0,8159
1,3
0,8289
1,35
0,8413
1,4
0,8531
1,45
0,8643
1,5
0,8749
1,55
0,8849
0,8944
0,9032
0,9115
0,9192
0,9265
0,9332
0,9394
OdpowiedĨ (podaj najbliĪszą wartoĞü):
A.
0.29
B.
0.79
C.
1.29
D.
1.79
E.
2.29
10
Matematyka finansowa
9.
06.12.2003 roku
Cena europejskiej opcji call akcji firmy X zostaje wyznaczona przy zastosowaniu
modelu dwumianowego. Oblicz cenĊ europejskiej opcji call firmy X, jeĞli wiadomo, Īe termin
wykonania wynosi 2 lata i Īe cena wykonania jest równa 95.00. Wiadomo teĪ, Īe:
(i)
obecna cena akcji wynosi 100,
(ii)
w kaĪdym z 2 lat cena akcji moĪe zmieniü siĊ o 20% w odniesieniu do jej
wartoĞci z początku roku, a prawdopodobieĔstwa zmian są takie same
w kaĪdym roku,
(iii) cena europejskiej opcji call firmy X o rocznym terminie wykonania i cenie
wykonania
równej
95.00
wyznaczona
przy
zastosowaniu
modelu
dwumianowego wynosi 9.09,
(iv) efektywna roczna stopa procentowa (ang. annual effective interest rate)
wynosi i
10.00% .
OdpowiedĨ (podaj najbliĪszą wartoĞü):
A.
6.87
B.
7.37
C.
7.87
D.
8.37
E.
8.87
9
Matematyka finansowa
17.01.2005 r.
2. Cena akcji spóáki X wynosi 50. Przyjmujemy zaáoĪenie, Īe cena akcji za rok ma rozkáad
równomierny na przedziale (30;90). RozwaĪmy dwa portfele:
portfel 1 : zawierający w 100% akcje spóáki X,
portfel 2 : zawierający w 100% europejskie opcje call (pozycje dáugie) na akcje spóáki X z
ceną wykonania 50
Cena opcji wynosi 10.
Ile wynosi stosunek wariancji rocznej stopy zwrotu z portfela 2 do wariancji rocznej stopy
zwrotu z portfela 1 (podaj najbliĪszą wartoĞü) ?
A) 10,5
B) 11,5
C) 12,5
D) 13,5
E) 14,5
3
Matematyka finansowa
3.
17.01.2005 r.
Inwestor przyjmuje nastĊpujące zaáoĪenia co do ksztaátowania siĊ kursu akcji spóáki
X:
x obecna cena akcji wynosi 50,
x w kaĪdym z dwóch kolejnych okresów cena akcji moĪe zmieniü siĊ o + 20% (z
prawdopodobieĔstwem 60%) lub -10% w odniesieniu do jej wartoĞci z początku
okresu, a prawdopodobieĔstwa zmiany są jednakowe w kaĪdym okresie.
Opcja amerykaĔska call "po cenie minimalnej" wypáaca w momencie realizacji (realizacja
opcji moĪliwa jest na koniec zarówno pierwszego jak i drugiego okresu) róĪnicĊ pomiĊdzy
ceną akcji w chwili realizacji opcji a minimalną ceną akcji w okresie do momentu realizacji
opcji (z uwzglĊdnieniem ceny początkowej), o ile ta róĪnica jest dodatnia. Jaką maksymalną
cenĊ inwestor byáby skáonny zapáaciü za opcjĊ amerykaĔską call „po cenie minimalnej”(podaj
najbliĪszą wartoĞü) na akcjĊ spóáki X jeĪeli wymaga, aby oczekiwana stopa zwrotu z
inwestycji w opcjĊ wyniosáa co najmniej i = 10% w skali jednego okresu (opcja jest waĪna od
chwili obecnej przez dwa okresy) ?
A) 8,30
B) 9,10
C) 9,90
D) 10,70
E) 11,50
4
Matematyka finansowa
10.10.2005 r.
7. BieĪące ceny rocznych europejskich opcji na akcje spóáki X są nastĊpujące:
cena wykonania
cena call
cena put
50
15
13
60
9
20
70
5
28
Inwestor chce nabyü instrument wypáacający za rok kwotĊ:
0
120 – 2 * cena akcji za rok,
4 * cena akcji za rok – 240,
6 * cena akcji za rok – 380,
o ile cena akcji < 50
o ile cena akcji bĊdzie w przedziale [50,60)
o ile cena akcji bĊdzie w przedziale [60,70)
o ile cena akcji >= 70
Ile wynosi cena takiego instrumentu przy zaáoĪeniu braku kosztów transakcyjnych oraz
braku moĪliwoĞci arbitraĪu ? (podaj najbliĪszą wartoĞü)
A) 48
B) 52
C) 56
D) 60
E) 64
8
Matematyka finansowa
10.10.2005 r.
8. Rozkáad ceny spóáki A za póá roku jest równomierny na przedziale (10 ; 30). Rozkáad
ceny tej spóáki za rok jest równomierny na przedziale (0.6 * X ; 1.6 * X), gdzie X
oznacza cenĊ akcji za póá roku.
Ile wynosi bieĪąca wartoĞü póárocznej europejskiej opcji call po 4 PLN na europejską
póároczną opcjĊ call po 20 PLN na 1 akcjĊ spóáki A ? Inwestor wymaga z inwestycji
w taką „opcjĊ na opcjĊ” efektywnej rocznej stopy zwrotu i = 21%.
A) 1.00
B) 1.15
C) 1.35
D) 1.55
E) 1.65
Uwaga: Europejska „opcja na opcjĊ” uprawnia do zakupu w terminie jej
zapadalnoĞci (tutaj po 1/2 roku) za 4 PLN europejskiej
opcji (tutaj równieĪ
póárocznej) na akcjĊ spóáki A z ceną wykonania 20 PLN
9
Matematyka finansowa
05.12.2005 r.
3. BieĪące ceny rocznych europejskich opcji na akcje spóáki X są nastĊpujące:
cena wykonania
cena call
cena put
50
15
13
60
9
20
70
5
28
Inwestor chce nabyü instrument wypáacający za rok kwotĊ:
120 – 2 * cena akcji za rok,
220 – 4 * cena akcji za rok,
100 – 2 * cena akcji za rok,
cena akcji za rok – 110,
o ile cena akcji < 50
o ile cena akcji bĊdzie w przedziale [50,60)
o ile cena akcji bĊdzie w przedziale [60,70)
o ile cena akcji >= 70
Ile wynosi cena takiego instrumentu przy zaáoĪeniu braku kosztów transakcyjnych
oraz braku moĪliwoĞci arbitraĪu ? (podaj najbliĪszą wartoĞü)
A) 19
B) 22
C) 25
D) 28
E) 31
4
Matematyka finansowa
08.01.2007 r.
2. Przyjmujemy zaáoĪenie, Īe cena akcji spóáki X za rok ma rozkáad równomierny na przedziale
<30 ; 90>. Ceny rocznych opcji typu europejskiego wynoszą:
a) opcji kupna z ceną wykonania 70 - 3 PLN
b) opcji sprzedaĪy z ceną wykonania 70 - 12 PLN
Inwestor buduje portfel zawierający wyáącznie dáugie pozycje na powyĪszych opcjach. Przy
jakim udziale opcji kupna portfel ma najmniejszą wariancjĊ rocznej stopy zwrotu. Podaj
najbliĪszą wartoĞü.
A) 18%
B) 23%
C) 28%
D) 33%
E) 38%
3
Matematyka finansowa
08.01.2007 r.
4. Roczna opcja typu europejskiego oferuje moĪliwoĞü zakupu po cenie 50 PLN jednej akcji
spóáki A lub spóáki B (wybranej przez inwestora w momencie realizacji opcji). Inwestor
przyjmuje nastĊpujące zaáoĪenia:
x rozkáad ceny akcji spóáki A za rok jest równomierny < 40 ; 70 >
x rozkáad ceny akcji spóáki B za rok jest równomierny < X / 2 ; 1,5 * X >, gdzie X cena
akcji spóáki A.
Jaką maksymalną kwotĊ byáby skáonny zapáaciü inwestor za opcjĊ jeĪeli oczekuje rocznej stopy
zwrotu i = 15% z tej inwestycji ? Podaj najbliĪszą wartoĞü.
A) 9,05
B) 9,75
C) 10,45
D) 11,15
E) 11,85
5
Matematyka finansowa
08.01.2007 r.
8. Rozkáad ceny akcji spóáki X za ½ roku jest równomierny <40 ; 80>. Rozkáad ceny akcji za rok
jest równomierny < 0,7 * Y; 1,5 * Y > gdzie Y cena akcji za póá roku. Jaką maksymalną cenĊ
byáby skáonny zapáaciü inwestor, oczekujący efektywnej rocznej stopy zwrotu z inwestycji
i=21%, za póároczną europejską opcjĊ kupna na dáugą pozycjĊ na póárocznym kontrakcie
terminowym opiewającym na 1 akcjĊ spóáki X z ceną rozliczenia kontraktu 60 ? Podaj
najbliĪszą wartoĞü.
Uwaga. Opcja uprawnia jej posiadacza do zajĊcia za ½ roku dáugiej pozycji na póárocznym
kontrakcie terminowym. Ewentualne straty z tytuáu posiadania kontraktu terminowego
dyskontujemy równieĪ stopą i.
A) 5,57
B) 6,48
C) 7,36
D) 8,29
E) 9,11
9
Matematyka finansowa
17.03.2008 r.
4. Inwestor działający na rynku opcji na akcje otrzymał w momencie t = 0 następujące
kwotowania:
•
obecna cena akcji A: 42 PLN,
•
nominalna stopa wolna od ryzyka: 10% w skali roku,
•
europejska opcja kupna na 1 akcje A z ceną wykonania 40 PLN, wygasająca za 3 miesiące
kosztuje 3 PLN,
•
europejska opcja sprzedaŜy na 1 akcję A z ceną wykonania 40 PLN, wygasająca za 3
miesiące kosztuje 2.25 PLN.
Inwestor uwaŜa, Ŝe wykorzystując jedną akcję A istnieje moŜliwość zrealizowania zysku
arbitraŜowego. Strategia arbitraŜowa ma opierać się na zajęciu odpowiednich pozycji na rynku
opcji oraz na rynku akcji i instrumentów wolnych od ryzyka. Zysk arbitraŜowy na moment t=0
wynosi (do obliczeń przyjmij kapitalizację ciągłą, dopuszczamy moŜliwość krótkiej sprzedaŜy
akcji bez kosztów transakcyjnych):
A) 1.66 PLN
B) 2.24 PLN
C) 2.29 PLN
D) 3.00 PLN
E) Nie ma zysku arbitraŜowego, inwestor poniesie zawsze stratę
5
Matematyka finansowa
06.10.2008 r.
10. RozwaŜmy amerykańską opcję sprzedaŜy na akcję nie płacącą dywidendy. Termin
wygaśnięcia dla tej opcji upływa za 3 lata. Obecna cena akcji wynosi 150 a jej cena
wykonania 160. Wiadomo, Ŝe w ciągu kaŜdego roku cena akcji rośnie bądź maleje o 25%.
Intensywność oprocentowania wynosi 0.07 (kapitalizacja ciągła). Ile wynosi obecna cena tej
opcji przy załoŜeniu braku arbitraŜu? Podaj najbliŜszą wartość.
A) 5
B) 10
C) 15
D) 20
E) 25
11
Matematyka finansowa
15.12.2008 r.
1. Na rynku dostępna jest europejska opcja kupna na akcję spółki A. Bieżąca cena akcji spółki A
wynosi S0 = 200 PLN. Przyjmujemy dwa scenariusze rozwoju rynku finansowego:

scenariusz 1: po roku cena akcji spółki A wzrośnie o 10%

scenariusz 2: po roku cena akcji spółki A spadnie o 15%.
Inwestor zajmuje długą pozycję w europejskiej opcji kupna wystawionej na akcję spółki A
o cenie wykonania równej S0 i okresie do wykonania równym 1 rok. W celu osłony pozycji
inwestor stosuje strategie zabezpieczającą delta hedging polegającą na stworzeniu w chwili
t=0 portfela, który replikuje wypłatę z opcji w chwili wykonania.
Portfel replikujący składa się z:

akcji spółki A w ilości ∆0 (zakładamy idealną podzielność aktywów)

instrumentu wolnego od ryzyka o wartości w chwili t=0 równej B0.
Instrument wolny od ryzyka zarabia w skali roku stopę 6%. Zakładamy, że akcja spółki A nie
wypłaca dywidendy.
Wartość B0 instrumentu wolnego od ryzyka wynosi (podaj najbliższą wartość):
A) – 83.02 PLN (krótka pozycja: inwestor pożycza instrument)
B) – 64.15 PLN (krótka pozycja: inwestor pożycza instrument)
C) 64.15 PLN (długa pozycja: inwestor nabywa instrument)
D) 80.00 PLN (długa pozycja: inwestor nabywa instrument)
E) 83.02 PLN (długa pozycja: inwestor nabywa instrument)
Wskazówka:
Mówimy, że portfel replikuje wypłatę z opcji, jeśli jego wartość jest równa wypłacie
z opcji w dowolnym momencie i dla dowolnego scenariusza rozwoju rynku
finansowego. Przyjmujemy założenia rynku doskonałego i zupełnego.
2
Matematyka finansowa
15.12.2008 r.
2. Na rynku dostępne są europejskie opcje kupna i sprzedaży wystawione na ten sam instrument
bazowy o cenach wykonania X1, X2, X3 (gdzie X1 < X2 < X3) z okresem do wykonania równym
T. Poniższa tabela zawiera obecne (t = 0) koszty zajęcia pozycji w opcjach:
Cena wykonania
Koszt opcji
X1
X2
X3
Opcja kupna
c1
c2
c3
Opcja sprzedaży
p1
p2
p3
Inwestor zajmuje pozycje w opcjach w chwili t=0. Funkcja wypłaty inwestora
(uwzględniająca początkowe koszty zajęcia pozycji) w zależności od ceny instrumentu
bazowego w momencie wykonania opcji wyraża się wzorem:
𝐹 𝑆𝑇 =
− 𝑋1 − 𝑆𝑇 + (𝑝1 − 2𝑐2 + 4𝑐3 ) 𝑒 0.06 𝑇
(𝑝1 − 2𝑐2 + 4𝑐3 ) 𝑒 0.06 𝑇
2 𝑆𝑇 − 𝑋2 + (𝑝1 − 2𝑐2 + 4𝑐3 ) 𝑒 0.06 𝑇
−2𝑆𝑇 − 2𝑋2 + 4𝑋3 + (𝑝1 − 2𝑐2 + 4𝑐3 ) 𝑒 0.06 𝑇
𝑔𝑑𝑦
𝑔𝑑𝑦
𝑔𝑑𝑦
𝑔𝑑𝑦
𝑆𝑇 < 𝑋1
𝑋1 ≤ 𝑆𝑇 < 𝑋2
𝑋2 ≤ 𝑆𝑇 < 𝑋3
𝑆𝑇 ≥ 𝑋3
Gdzie ST jest ceną instrumentu bazowego w momencie wykonania opcji. Wolna od ryzyka
stopa procentowa wynosi 6% (zakładamy kapitalizację ciągłą).
Podaj strategie generującą funkcję wypłaty F:
A) Dwie długie pozycje w opcji kupna o cenie wykonania X1, cztery krótkie pozycje w opcji
sprzedaży o cenie wykonania X2, jedna krótka pozycja w opcji sprzedaży o cenie
wykonania X3.
B) Długa pozycja w opcji sprzedaży o cenie wykonania X1, dwie krótkie pozycje w opcji
kupna o cenie wykonania X2, cztery długie pozycje w opcji kupna o cenie wykonania X3.
C) Krótka pozycja w opcji sprzedaży o cenie wykonania X1, dwie długie pozycje w opcji
kupna o cenie wykonania X2, cztery krótkie pozycje w opcji kupna o cenie wykonania X3.
D) Dwie długie pozycje w opcji kupna o cenie wykonania X1, dwie krótkie pozycje w opcji
sprzedaży o cenie wykonania X2, dwie długie pozycje w opcji sprzedaży o cenie
wykonania X3.
E) Cztery długie pozycje w opcji kupna o cenie wykonania X1, dwie krótkie pozycje w opcji
kupna o cenie wykonania X2, jedna długa pozycja w opcji sprzedaży o cenie wykonania
X3.
3