LIX Olimpiada Astronomiczna 2015/2016 Zawody III stopnia

LIX Olimpiada Astronomiczna 2015/2016
Zawody III stopnia – zadania teoretyczne
1.
Dwie gwiazdy ciągu głównego o masach M i m tworzyły układ podwójny o orbitach
kołowych. W wyniku ewolucji, bardziej masywny składnik o masie M wybuchł i wyrzucił
część swojej masy (ΔM) w przestrzeń międzygwiazdową. Przyjmując, że wybuch był
izotropowy, a wyrzucona materia szybko opuściła układ nie przekazując pędu drugiemu
składnikowi, oblicz, jaką część swej masy mogła utracić ta gwiazda, by nowy układ
podwójny złożony z drugiego składnika i pozostałości po pierwszym, nie uległ rozpadowi.
Przedyskutuj, co w świetle otrzymanego wyniku można powiedzieć o ewolucji układu Syriusza, zbudowanego obecnie ze składnika A o masie mA = 2,0 M⊙ oraz składnika B o
masie mB = 1,0 M⊙, jeśli ocenia się, że początkowa masa Syriusza B wynosiła: mB0 ≈ 5 M⊙.
2.
Marsjański orbiter porusza się wokół Marsa po orbicie kołowej, nachylonej do płaszczyzny
równika pod kątem i = 80o na wysokości h = 100 km nad powierzchnią planety. Zaplanuj jednorazowy manewr zmiany orbity na kołową orbitę biegunową (tj. prostopadłą do płaszczyzny
równika) o tej samej wysokości. Silniki orbitera pozwalają uzyskać stałe przyspieszenie a = 0,8
m/s2. Manewr ten powinien być oszczędny, tzn. czas pracy silników powinien być możliwie
najkrótszy. W rozwiązaniu opisz proponowany przebieg manewru zmiany płaszczyzny orbity,
określ momenty początku i końca manewru, oszacuj czas działania silników oraz podaj kierunek
ustawienia dysz.
W rozwiązaniu ogranicz się do przypadku, gdy orbiter podczas manewru pozostaje cały czas
na tej samej wysokości nad powierzchnią Marsa oraz przyjmij jako dane liczbowe: masę Marsa
M = 6,42 · 10 23 kg oraz jego promień R = 3 390 km.
6.
Współcześnie, energia promieniowania elektromagnetycznego wypełniającego
Wszechświat, stanowi niewielką część energii związanej z materią Wszechświata. Wykaż,
że nie zawsze tak było. W tym celu:
a) ustal, jak zmienia się gęstość energii promieniowania i materii barionowej wraz ze
zmianą rozmiarów Wszechświata,
b) określ, ile współcześnie wynosi gęstość tych energii wiedząc, że temperatura
promieniowania wynosi 2,7 K i jest to promieniowanie ciała doskonale czarnego (czyli
wspomniana gęstość opisana jest wzorem:
gęstości krytycznej, wynoszącej:
4
4 σ⋅T
), a materia barionowa stanowi 5%
c
3H 2
.
8G
c) uwzględniając dane z punktów a) i b), znajdź wartość przesunięcia ku czerwieni,
dla której gęstość energii promieniowania i energii związanej z materią będą równe.
Uwagi:
- wzór opisujący związek przesunięcia ku czerwieni z, z rozmiarami Wszechświata
(czynnikiem skali) ma postać:
z
Rw
R
 1 , gdzie w jest stosunkiem rozmiarów Wszechświata (czynników skali) w
Re
Re
chwili obecnej (Rw) i w chwili emisji fotonu (Re),
- można przyjąć, że w tym przypadku liczba cząstek, w tym fotonów, nie ulega
zmianie w trakcie ewolucji Wszechświata.
KGOA
Wybrane stałe astronomiczne i fizyczne
Jednostka astronomiczna (au)
Rok świetlny (ly)
Parsek (pc)
Angstrem (Å)
Rok gwiazdowy
Rok zwrotnikowy
Miesiąc syderyczny
Miesiąc synodyczny
Doba gwiazdowa
Masa Ziemi (M)
Średni promień Ziemi (R)
Promień równikowy Ziemi (R)
Mimośród orbity Ziemi (e)
Ostatnie przejście Ziemi przez peryhelium
Średnia odległość Ziemia–KsięŜyc
Mimośród (średni) orbity KsięŜyca (e)
Masa KsięŜyca (M)
Promień KsięŜyca (r)
Masa Słońca (M)
Promień Słońca (R)
Średni kątowy promień Słońca (r)
Nachylenie osi obrotu Słońca do płaszczyzny ekliptyki
Moc promieniowania Słońca (L)
Obserwowana jasność Słońca w filtrze V (m)
Jasność absolutna Słońca w filtrze V (M)
Bolometryczna jasność absolutna Słońca (Mbol )
Temperatura efektywna powierzchni Słońca (T)
Prędkość światła w próŜni (c)
Stała grawitacji (G)
Stała Stefana–Boltzmanna (σ)
Stała Plancka (h)
Stała Wiena (b)
Stała Avogadra (NA)
Stała Hubble’a (H)
Masa atomu wodoru (mH)
Elektronowolt (eV)
Aktualne nachylenie ekliptyki do równika (ε)
11
1,4960 · 10 m
15
9,4605 · 10 m = 63 240 au
16
3,0860 · 10 m = 206 265 au
–10
10
m
365,2564 doby słonecznej
365,2422 doby słonecznej
d
h
m
s
27 07 43 11 ,5
d
h
m
s
29 12 44 02 ,9
h
m
s
23 56 04 ,091
24
5,9736 · 10 kg
6
6,371 · 10 m
6
6,378 · 10 m
0,01671
h
m
4 stycznia, 6 36 UT
8
3,844 · 10 m
0,0549
22
7,349 · 10 kg
6
1,737 · 10 m
30
1,9891 · 10 kg
8
6,96 · 10 m
16,0´
82,75°
26
3,846 · 10 W
m
–26,8
m
4,75
m
4,85
5 780 K
8
–1
2,9979 · 10 m · s
–11
3
–2
–1
6,6743 · 10
m · s · kg
–8
–2
–4
5,6704 · 10 W · m · K
–34
6,6261 · 10
J·s
–3
2,8978 · 10 m · K
23
–1
6,022 · 10 mol
–1
–1
70 km · s · Mpc
–27
1,673 · 10
kg
–19
1,6022 · 10 J
23° 26,3´
Uwagi i wskazówki
Wzory z trygonometrii sferycznej:
sin a sin B = sin b sin A,
sin a cos B = cos b sin c – sin b cos c cos A,
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A.
cos A = sin B sin C cos a – cos B cos C.
W centralnym polu grawitacyjnym wytworzonym przez masę M, ciało o masie m porusza się po
krzywej stoŜkowej, z prędkością chwilową υ wynikającą z tzw. całki energii: υ 2=G (M +m)( 2r 1a ) ,
gdzie: G jest stałą grawitacji, r – promieniem wodzącym, natomiast a – wielką półosią orbity.
LIX Olimpiada Astronomiczna 2015/2016
Zawody III stopnia – zadania praktyczne
Zdjęcie 1.
3.
Powyższy obraz został zarejestrowany przez teleskop o średnicy obiektywu D=60cm
i ogniskowej F=240cm. Teleskop był wyposażony w siatkę dyfrakcyjną (100 linii na mm)
umieszczoną w stałej odległości d przed matrycą CCD (1024 x 1024 piksele, rozmiar
piksela 13 x 13 mikrometrów).
W takim układzie każde źródło światła wytwarza obraz widma zerowego rzędu oraz
obrazy widm wyższych rzędów. Widmo zerowego rzędu mgławicy M57 widać w pobliżu
środka zdjęcia. Z uwagi na sposób żłobienia linii siatki, widmo pierwszego rzędu z prawej
strony rzędu zerowego jest wzmocnione, natomiast widmo pierwszego rzędu z lewej strony
jest niemal niewidoczne.
Widmo mgławicy M57 jest zdominowane przez linie emisyjne O III (500 nm) oraz
H II (657 nm).
Zdjęcie 2
Na zdjęciu 2. przedstawiono widmo gwiazdy typu A0 zarejestrowane przez ten sam układ.
Na ciemnym pasku u góry tego zdjęcia widoczny jest obraz bezpośredni (rejestrowany przez
matrycę CCD), czyli obraz zerowego rzędu (na skraju po lewej stronie) oraz widmo pierwszego
rzędu (po środku). Całą dolną część zdjęcia zajmuje rozkład energii w widmie pierwszego rzędu,
w funkcji odległości od obrazu rzędu zerowego (wyrażonej w pikselach).
Polecenia:
1. Oszacuj długości fali linii absorpcyjnych widocznych w widmie gwiazdy i porównaj je
z długościami linii, obliczonymi ze wzoru Balmera: λn = (n2 / (n2 – 4))· 364,5 nm, dla
n= 3, 4, 5, … oraz zaznacz na wykresie w dolnej części zdjęcia 2. wartość n odpowiednią
dla danej linii.
2. Oblicz prędkość radialną gwiazdy i oszacuj dokładność uzyskanego wyniku.
3. Wyznacz zakres długości fali możliwy do detekcji przez ten układ.
4. Gwiazdom, których widma przedstawiono na rysunkach zamieszczonych poniżej,
przyporządkuj właściwy typ widmowy, spośród typów: B, F, G, K, M:
a)
b)
c)
d)
e)
Zadanie 4a poprzedzone jest mini-wykładem:
Na przełomie XVIII i XIX w. Joseph L. Lagrange rozwiązał problem wzajemnego
oddziaływania trzech ciał (z których jedno ma niewielką masę) i odkrył, że w takim układzie
znajduje się pięć wyróżnionych miejsc (punktów równowagi), stanowiących pewnego rodzaju
"pułapki grawitacyjne". Trzy z tych miejsc, nazywane liniowymi punktami libracyjnymi (L 1, L2
i L3), znajdują się na linii łączącej dwa masywne ciała, a pozostałe dwa punkty (L 4 i L5), leżą w
płaszczyźnie orbit ciał masywnych i nazwane są trójkątnymi punktami libracyjnymi, bo znajdują się
one w wierzchołkach trójkątów równobocznych, których wspólny bok jest odcinkiem łączącym
dwa masywne ciała. W punktach libracyjnych, oraz w ich pobliżu, mogą znajdować się ciała
o mniejszych masach.
Potwierdzeniem teorii Lagrange'a było odkrycie w XIX wieku grup planetoid (nazwanych
Grekami i Trojańczykami), które znajdują się w pobliżu trójkątnych punktów libracyjnych układu
Słońce – Jowisz i obiegają Słońce z tym samym okresem co Jowisz.
W połowie ub. wieku prof. Józef Witkowski z Poznania zwrócił uwagę, że podobnie jak w
układzie Słońce – Jowisz, w pobliżu punktów libracyjnych układu Ziemia – Księżyc również mogą
znajdować się drobne ciała niebieskie. Ideę tę rozwinął krakowski uczony Kazimierz Kordylewski,
który podjął szeroko zakrojone obserwacje, mające na celu odkrycie skupisk materii na orbicie
Księżyca, w pobliżu trójkątnych punktów libracyjnych (L4 i L5). Przeprowadzone przez Kordylewskiego i innych astronomów obserwacje, co prawda nie potwierdziły obecności w tych
punktach większych brył materii, ale stwierdzono tam skupiska materii pyłowej (nazwane obłokami
libracyjnymi), których jasność powierzchniowa jest niewielka. Okazało się przy tym, że obłoki
mają kształt owalny i rozciągają się w pobliżu punktów libracyjnych na odległość kilku stopni.
4a. Dla przedziału dat: 10. III – 30. III. 2016 określ terminy, w których będzie
można podjąć próbę zaobserwowania obłoku w pobliżu trójkątnego punktu
libracyjnego, poprzedzającego Księżyc w ruchu orbitalnym. Ze względu na bardzo
niewielką jasność powierzchniową obłoku oraz konieczność zapewnienia
maksymalnie ciemnego tła nieba załóż, że obserwacje będą prowadzone wysoko w
górach, w miejscu o współrzędnych geograficznych: 49° N i 20° E, a obłok libracyjny może być zaobserwowany dopiero wtedy, gdy znajduje się powyżej 20° nad
horyzontem astronomicznym.
Do dyspozycji masz tabelę z efemerydami Słońca i Księżyca, odpowiedni
fragment „Atlasu nieba gwiaździstego” na epokę 2000,0 oraz „Obrotową mapę
nieba”. Rozwiązując zadanie, przyjmij dokładność dwóch stopni.
Data
α
2016-Mar-09
2016-Mar-10
2016-Mar-11
2016-Mar-12
2016-Mar-13
2016-Mar-14
2016-Mar-15
2016-Mar-16
2016-Mar-17
2016-Mar-18
2016-Mar-19
2016-Mar-20
2016-Mar-21
2016-Mar-22
2016-Mar-23
2016-Mar-24
2016-Mar-25
2016-Mar-26
2016-Mar-27
2016-Mar-28
2016-Mar-29
2016-Mar-30
2016-Mar-31
[ h
23
23
23
23
23
23
23
23
23
23
23
23
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2000,0
m ]
18
22
26
29
33
37
40
44
48
51
55
59
02
06
09
13
17
20
24
28
31
35
39
Słońce
wschód
δ
2000,0
[ º
-4
-4
-3
-3
-2
-2
-2
-1
-1
-0
-0
-0
0
0
1
1
1
2
2
2
3
3
4
']
30
06
43
19
56
32
08
45
21
57
33
10
14
38
01
25
49
12
36
59
22
46
09
zachód
hh : mm UT hh : mm UT
05:06
16:37
05:04
16:38
05:02
16:40
05:00
16:42
04:58
16:43
04:55
16:45
04:53
16:46
04:51
16:48
04:49
16:49
04:47
16:51
04:45
16:52
04:43
16:54
04:41
16:55
04:39
16:57
04:37
16:58
04:34
17:00
04:32
17:01
04:30
17:03
04:28
17:04
04:26
17:06
04:24
17:07
04:22
17:09
04:20
17:10
α
2000,0
[ h
23
0
1
2
3
4
5
5
6
7
8
9
10
11
11
12
13
14
14
15
16
17
18
m ]
14
11
08
06
04
02
00
57
53
47
39
29
17
04
50
36
21
07
53
41
30
21
13
Księżyc
δ
wschód
2000,0
[ º ']
-4 35
0 04
4 43
9 03
12 45
15 35
17 25
18 11
17 55
16 42
14 41
12 00
8 49
5 19
1 37
-2 06
-5 44
-9 08
-12 09
-14 42
-16 38
-17 51
-18 15
zachód
hh : mm UT hh : mm UT
05:15
17:18
05:48
18:37
06:21
19:56
06:55
21:12
07:33
22:25
08:16
23:32
09:03
--09:56
00:31
10:53
01:23
11:53
02:08
12:55
02:45
13:58
03:18
15:00
03:47
16:02
04:14
17:03
04:39
18:04
05:04
19:04
05:29
20:04
05:56
21:03
06:25
22:01
06:58
22:56
07:35
23:48
08:18
--09:08
Data
2016-Mar-09
2016-Mar-10
2016-Mar-11
2016-Mar-12
2016-Mar-13
2016-Mar-14
2016-Mar-15
2016-Mar-16
2016-Mar-17
2016-Mar-18
2016-Mar-19
2016-Mar-20
2016-Mar-21
2016-Mar-22
2016-Mar-23
2016-Mar-24
2016-Mar-25
2016-Mar-26
2016-Mar-27
2016-Mar-28
2016-Mar-29
2016-Mar-30
2016-Mar-31
Rektascensja α2000,0 i deklinacja δ2000,0 zamieszczone w tabeli są geocentryczne i podane na godzinę 00:00 UT danej doby.
Momenty wschodów i zachodów podane są w czasie uniwersalnym (UT), dla λ=20°E; φ=49°N.
Rozwiązanie tego zadania należy sporządzić na KARCIE ODPOWIEDZI.
5.
Za pomocą aparatury planetarium odtworzone zostaną dwie sytuacje.
I.
Podczas pierwszej sytuacji, obserwować będziemy ruch Słońca nad horyzontem
w ciągu trzech kolejnych dni, z tego samego miejsca na Ziemi. Cały czas widoczny będzie
południk lokalny, natomiast w nocy gwiazdy i inne obiekty nie będą widoczne.
Przeprowadź obserwacje, pozwalające oszacować szerokość geograficzną miejsca
obserwacji, miesiąc (w którym je prowadzono) oraz podaj wysokość dołowania Słońca.
II. Druga sytuacja dotyczyć będzie nieba statycznego, widocznego nocą z innego
miejsca na powierzchni Ziemi. Na niebie będą wtedy widoczne cztery planety. Dla każdej
z nich określ: wysokość, azymut, gwiazdozbiór na tle którego się znajduje i znak zodiaku,
do którego należy.
Podczas drugiej sytuacji, cały czas będzie wyświetlana siatka współrzędnych
horyzontalnych. Podaj czas gwiazdowy oraz określ porę doby odtwarzanej sytuacji.
Dla czterech obiektów naszego nieba, kolejno wyświetlanych na zdjęciach, podaj
nazwę własną, określ wysokość i azymut oraz podaj nazwę gwiazdozbioru, w którym się
znajdują.
KGOA
KARTA ODPOWIEDZI
KOD:
(do zadania 5)
I.
szerokość geograficzna: . . . . . . . . . . . . . . , miesiąc: . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
wysokość dołowania Słońca: . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.
szerokość geograficzna: . . . . . . . . . . . . . , czas gwiazdowy: . . . . . . . . . . . . ,
pora doby : . . . . . . . . . . . . . ,
nazwa planety
nazwa obiektu
wysokość
azymut
wysokość
gwiazdozbiór
znak zodiaku
azymut
gwiazdozbiór
Załącznik do zadania 5:
1.
2.
3.
4.
***************************************
Sytuacja na sali planetarium – foto: D. Jabłeka (KGOA)