Pola i fale: Ćwiczenia 1

Pola i fale: Ćwiczenia 13
Fale w falowodach prostokątnych.
Rezonatory wnękowe.
Prowadzący ćwiczenia:
mgr inż. Mateusz Marek Krysicki
Adres e-mail:
[email protected]
Strona www:
http://staff.elka.pw.edu.pl/~mkrysick
Konsultacje (proszę wcześniej o maila):
cz. 12:15-14:00, p.543
Materiał opracowany przez M. Krysickiego na podstawie
wcześniejszych materiałów do przedmiotów POFA i EFWA
opracowanych przez M. Celuch, W. Gwarka oraz B. Salskiego
Zadanie
W powietrznym falowodzie kwadratowym o boku 𝑎 = 2.5 𝑐𝑚
rozchodzi się fala bieżąca rodzaju 𝐻11 o 𝑓 = 12 𝐺𝐻𝑧 . Znając
𝐴
maksymalną amplitudę poprzecznego pola magnetycznego 𝐻0 = 5
𝑚
obliczyć:
a) częstotliwość graniczą oraz graniczną długość fali rodzaju 𝐻11 ,
b) maksymalne amplitudy składowych poprzecznych pola
elektrycznego,
c) maksymalną amplitudę składowej wzdłużnej wektora Poyntinga,
d) Średnią za okres moc przenoszoną przez falowód,
e) Maksymalną amplitudę prądu płynącego na powierzchni ścianek,
f) Maksymalną wartość gęstości ładunku indukowanego na
powierzchni ścianek.
Wykonać szkice rozkładów poł elektrycznego i magnetycznego,
ładunku oraz prądów przewodzenia i przesunięcia w przekroju
poprzecznym oraz w wybranym przekroju wzdłużnym falowodu.
Częstotliwość graniczna rodzaju falowodowego 𝑻𝑬𝒎𝒏 lub 𝑻𝑴𝒎𝒏
w falowodzie o rozmiarach poprzecznych 𝒂, 𝒃.
𝑓𝑔,𝑚,𝑛
1
=
2
2
𝑚
𝑎
𝑛
+
𝑏
𝜇𝜀
2
Graniczna długość fali rodzaju falowodowego 𝑻𝑬𝒎𝒏 lub 𝑻𝑴𝒎𝒏 w
falowodzie o rozmiarach poprzecznych 𝒂, 𝒃.
𝜆𝑔,𝑚,𝑛 =
2
𝑚
𝑎
2
𝑛
+
𝑏
2
Rodzaje TM (E)

Rodzaje TE (H)


Ex 
 jβ z β x
 γz z
E
cos
β
x
sin
β
y
e


z0
x
y
βc2
 jβ z β y
Ey 
β
Hx 







E z0 sin  β x x  cos β y y e  γz z
2
c
jEz0 β y ωε
Hy  

βc2
sin  βx x  cos β y y e  γz z
jEz0 βx ωε
β
2
c
cos  βx x  sin β y y e

H z  H z0 cos  βx x  cos β y y e  γz z
Ez  Ez0 sin  βx x  sin β y y e  γz z
 γz z
j βz βx
 γz z
H
sin
β
x
cos
β
y
e


z0
x
y
βc2
Hx 
Hy 
Ex 
Ey 
j βz β y
βc2
jβy ω μ
β
 j βx ωμ
2
c
βc2






H z0 cos  β x x  sin β y y e  γz z
H z0 cos  β x x  sin β y y e  γz z


H z0 sin  βx x  cos β y y e  γz z
Uwaga: możliwe są rodzaje TEm0 lub TE0n ale niemożliwe są rodzaje TMm0 and TM0n.
Podstawowe właściwości
falowodów bezstratnych
  
2
c
2
z
2
c
c 

   
2
c 
2
2
c
2
2


 z   2   c2   1  c2   1  c2


z 
2
z

2
1


1

2
c
2



1 2
c
2



1

2
c
2
Jak zmienia się impedancja falowa?


Z 
2
c
1 2



1
Z 


rodzaje TE
2
c
2
rodzaje TM
Chwilowa wartość wektora powierzchniowej gęstości mocy transmitowanej
Wektor Poyntinga
𝑆 𝑡 =𝐸 𝑡 ×𝐻 𝑡
𝑊
𝑚2
Średnia za okres wartość wektora powierzchniowej gęstości mocy transmitowanej
Średni za okres wektor Poyntinga
𝑆𝑎𝑣𝑔
1
=
𝑇
𝑡0 +𝑇
𝑆 𝑡 𝑑𝑡
𝑡0
𝑊
𝑚2
𝑆𝑎𝑣𝑔
1
= ℜ𝔢 𝐸 × 𝐻 ∗
2
𝑊
𝑚2
Warunki brzegowe
Składowa normalna wektora indukcji elektrycznej 𝑫 jest ciągła na granicy ośrodków pod warunkiem, że nie
gromadzą się ładunki elektryczne na granicy:
𝑛 ∙ 𝐷2 − 𝐷1 = 𝜌𝑤
𝐷2𝑛 − 𝐷1𝑛 = 𝜌𝑤
Składowa normalna wektora indukcji magnetycznej 𝑩 jest zawsze ciągła na granicy ośrodków, ponieważ nie
istnieją ładunki magnetyczne:
𝑛 ∙ 𝐵2 − 𝐵1 = 0
𝐵2𝑛 − 𝐵1𝑛 = 0
Składowa styczna wektora pola elektrycznego 𝑬 jest ciągła na granicy ośrodków:
𝑛 × 𝐸2 − 𝐸1 = 0
𝐸2𝑡 − 𝐸1𝑡 = 0
Składowa styczna wektora pola magnetycznego 𝑯 jest ciągła na granicy ośrodków pod warunkiem, że nie
płynie prąd powierzchniowy na granicy:
𝑛 × 𝐻2 − 𝐻1 = 𝐽𝑠
𝐻2𝑡 − 𝐻1𝑡 = 𝐽𝑠
Pola elektryczne i magnetyczne rodzaju 𝑇𝐸11 w falowodzie kwadratowym o boku 𝑎.
Pole elektryczne
z
Pole magnetyczne
z
y
Przekrój poprzeczny,
propagacja rodzaju
w kierunku: +𝑖𝑥
y
Pola elektryczne i magnetyczne rodzaju 𝑇𝐸11 w falowodzie kwadratowym o boku 𝑎.
Pole elektryczne
z
x
𝑦=𝑎
Przekrój wzdłużny,
propagacja rodzaju
w kierunku: +𝑖𝑥
Pole magnetyczne
Pola elektryczne i magnetyczne rodzaju 𝑇𝑀11 w falowodzie kwadratowym o boku 𝑎.
Pole elektryczne
z
Pole magnetyczne
z
y
Przekrój poprzeczny,
propagacja rodzaju
w kierunku: +𝑖𝑥
y
Pola elektryczne i magnetyczne rodzaju 𝑇𝑀11 w falowodzie kwadratowym o boku 𝑎.
Pole elektryczne
z
x
𝑦 = 𝑎/2
Przekrój wzdłużny,
propagacja rodzaju
w kierunku: +𝑖𝑥
Pole magnetyczne
Zadanie
Podstawowe właściwości
rezonatora prostopadłościennego
o rozmiarach 𝑎, 𝑏, 𝑙.
𝛽2 = 𝛽2 + 𝛽2 + 𝛽2
𝑚𝜋
𝛽𝑥 =
𝑎
2
2
x
𝑦
𝛽𝑦 =
𝑛𝜋
𝑏
𝛽 = 𝜔 𝜇𝜀 =
𝑧
𝛽𝑧 =
𝜔
𝑐
𝜇𝑤 𝜀𝑤
Rezonansowa
długość fali
Częstotliwość
rezonansowa
𝑝𝜋
𝑙
2
𝑓𝑔,𝑚,𝑛,𝑝
1
=
2
𝑚
𝑎
2
𝑝
𝑛 2
+
+
𝑏
𝑙
𝜇𝜀
2
𝜆𝑔,𝑚,𝑛 =
2
𝑚
𝑎
2
𝑛
+
𝑏
2
𝑝
+
𝑙
2
RODZAJ
m
n
p
E110
1
1
0
1,68
178,89
H101
1
0
1
1,58
189,74
E111
1
1
1
1,75
171,43
H111
1
1
1
1,75
171,43
E210
2
1
0
3,09
97,01
E120
1
2
0
2,12
141,42
H211
2
1
1
3,13
95,77
𝒇𝒈𝒓 𝑮𝑯𝒛
𝝀[𝒎𝒎]
Podstawowe właściwości
rezonatora prostopadłościennego
o rozmiarach 𝑎, 𝑏, 𝑙.
𝛽2 = 𝛽2 + 𝛽2 + 𝛽2
𝑚𝜋
𝛽𝑥 =
𝑎
2
2
x
𝑦
𝛽𝑦 =
𝑛𝜋
𝑏
𝛽 = 𝜔 𝜇𝜀 =
𝑧
𝛽𝑧 =
𝜔
𝑐
𝜇𝑤 𝜀𝑤
Rezonansowa
długość fali
Częstotliwość
rezonansowa
𝑝𝜋
𝑙
2
𝑓𝑔,𝑚,𝑛,𝑝
1
=
2
𝑚
𝑎
2
𝑝
𝑛 2
+
+
𝑏
𝑙
𝜇𝜀
2
2
𝜆𝑔,𝑚,𝑛 =
𝑚
𝑎
2
𝑛
+
𝑏
2
𝑝
+
𝑙
2
Energia gromadzona
Dobroć rezonatora
to stosunek średniej energii gromadzonej
do średniej energii traconej w
rezonatorze
𝑊𝑎𝑣𝑔 𝐽 =
𝑤𝑎𝑣𝑔
𝑉
𝑊𝑎𝑣𝑔
𝑊𝑎𝑣𝑔
𝑊𝑎𝑣𝑔
𝑄 = 2𝜋
= 2𝜋
=𝜔
𝑊𝑙𝑜𝑠𝑠
𝑃𝑙𝑜𝑠𝑠 𝑇
𝑃𝑙𝑜𝑠𝑠
𝐽
𝑑𝑣 =
𝑚3
𝑤𝑒,𝑎𝑣𝑔 + 𝑤𝑚,𝑎𝑣𝑔 𝑑𝑣
𝑉
Moc tracona
𝑃𝑙𝑜𝑠𝑠 𝑊 =
𝑝𝑙𝑜𝑠𝑠,𝑎𝑣𝑔 𝑑𝑣 =
𝑉
𝑝𝑒,𝑙𝑜𝑠𝑠,𝑎𝑣𝑔 + 𝑝𝑚,𝑙𝑜𝑠𝑠,𝑎𝑣𝑔 𝑑𝑣
𝑉
Chwilowa wartość objętościowej gęstość energii traconej w polu…
magnetycznym
elektrycznym
𝑝𝑙𝑜𝑠𝑠,𝑒 𝑡 = 𝐸 𝑡 ∙ 𝐽 𝑡
𝑊
𝑚3
Przypadek
ogólny
𝑝𝑙𝑜𝑠𝑠,𝑚 𝑡 = 𝐻 𝑡 ∙ 𝑀 𝑡
𝑝𝑙𝑜𝑠𝑠,𝑒 𝑡 = 𝜎𝐸 𝑡 ∙ 𝐸 𝑡
𝑊
𝑚3
Ośrodek
izotropowy
𝑝𝑙𝑜𝑠𝑠,𝑚 𝑡 = 𝜎𝑚 𝐻 𝑡 ∙ 𝐻 𝑡
𝑊
𝑚3
𝑊
𝑚3
Średnia za okres wartość objętościowej gęstość energii traconej w polu…
magnetycznym
elektrycznym
1
𝑝𝑙𝑜𝑠𝑠,𝑒,𝑎𝑣𝑔 =
𝑇
𝑡0+𝑇
𝑝𝑙𝑜𝑠𝑠,𝑒
𝑡0
𝑊
𝑡 𝑑𝑡
𝑚3
1
𝑝𝑙𝑜𝑠𝑠,𝑒,𝑎𝑣𝑔 = ℜ𝔢 𝐸 ∗ ∙ 𝐽
2
𝑊
𝑚3
Przypadek
ogólny
𝑝𝑙𝑜𝑠𝑠,𝑚,𝑎𝑣𝑔
1
=
𝑇
𝑝𝑙𝑜𝑠𝑠,𝑚,𝑎𝑣𝑔 =
𝑡0 +𝑇
𝑝𝑙𝑜𝑠𝑠,𝑚 𝑡 𝑑𝑡
𝑡0
1
ℜ𝔢 𝐻∗ ∙ 𝑀
2
𝑊
𝑚3
𝑊
𝑚3