1 Katedra Geodezji Szczegółowej UWM w Olsztynie 1

Katedra Geodezji Szczegółowej
UWM w Olsztynie
Ćwiczenie nr 1
" Wykonywanie obliczeń na liczbach przybliżonych, przeliczanie kątów
wyrażonych w różnych jednostkach”
Nazwisko i imię
Grupa:
Data:
1. Wykonywanie obliczeń na liczbach przybliżonych
Błąd pomiaru. W geodezji mierzymy odległości, wysokości i kąty. Pomiary tych wielkości są
obarczone nieuniknionymi błędami. Błędy te nie są synonimem pomyłki lub gafy. Źródłem błędów są
niedoskonałości instrumentów mierniczych, błędy osobowe obserwatora i wpływ środowiska np.
temperatura powietrza. Zazwyczaj błędy są klasyfikowane na grube (pomyłki), systematyczne i
przypadkowe. Dokładność wyniku pomiaru zależy od tego jak ułożą się te błędy pomiarowe i dlatego
mówimy, że wynik pomiaru jest liczba przybliżoną.
Ponieważ wszystkie pomiary geodezyjne są obarczone błędami (niepewnością) nie jest rozsądnym
podawanie dowolnej liczby cyfr, jako wynik pomiaru. Przykładowo, jeśli mierzymy odległość taśmą
stalową to wynik podajemy tylko do centymetrów np. 253.23 metra a nie w postaci 253.4 m lub
253.2345 m. Każdy wynik pomiaru składa się z pewnej liczby cyfr znaczących. Cyframi znaczącymi
liczby przybliżonej nazywamy wszystkie jej cyfry z wyjątkiem zer położonych na lewo od pierwszej
różnej od zera cyfry. Wynik pomiaru powinien zawierać tyle cyfr znaczących, aby ostania cyfra
znacząca była zwykle tego samego rzędu (stać na tym samym miejscu dziesiętnym), co błąd pomiaru
(niepewność).
Każda liczba przybliżona zawiera pewną ilość liczb po przecinku dziesiętnym. Znakami dziesiętnymi
liczby przybliżonej nazywamy te jej cyfry, które są położone na prawo od przecinka (kropki)
dziesiętnej.
Na pierwszym roku studiów spotykamy się z pomiarami o średniej dokładności, dlatego też wyniki
pomiarów zapisujemy zgodnie z zasadami podanymi w poniższej tabeli 1.
Tabela 1
Typ pomiaru
Pomiary liniowe
Pomiary kątowe
Liczba przybliżona
centymetry (np. 128.23, 163.01, 436.00),
decymetry (np. 876.8, 546.0),
metry np. 364
stopnie, minuty, sekundy (np. 123o12′ 45′′ , 123o 00′ 00′′ )
stopnie, minuty (np. 23o 52 ′ , 43 o 05.2 ′ )
grady (np. 132 g 32 c 46 cc , 48 g 97 c , 56.9876 g )
Pomiary wysokościowe milimetry (np.2.345 m, 1.001 m, 0.003 m)
Obliczenia
Współrzędne x i y
Liczba przybliżona
centymetry (np. 43.09, 56.32)
W rachunkach geodezyjnych mamy do czynienie z działaniami na liczbach przybliżonych. Wyjątki
stanowią, wynikające z zależności matematycznych, stałe współczynniki. Przykładowo obwód koła
liczony jest ze wzoru 2πr, gdzie liczba 2 jest stałym współczynnikiem, a r wielkością mierzoną.
Wynik działań rachunkowych na liczbach przybliżonych powinien być podany z taką dokładnością, aby
realnie odzwierciedlał dokładność pomiaru. Przykładowo, jeśli w celu określenia powierzchni działki
budowlanej w kształcie kwadratu pomierzono jeden bok z dokładnością do decymetra np. 45,8 m to
1
2
po podniesieniu tej liczby przybliżonej do kwadratu otrzymujemy 2 976.64 m , czyli powierzchnię z
2
2
dokładnością do cm , co jest oczywistym nonsensem. Rozsądnym wynikiem jest liczba 2 976.6 m .
Rachunki na liczbach przybliżonych są wykonywane z zachowaniem pewnych reguł, które są
następujące:
Reguła 1. Przy dodawaniu lub odejmowaniu liczb przybliżonych, z których liczba o najmniejszej ilości
znaków dziesiętnych ma k znaków należy:
√ zaokrąglić przed rachunkiem wszystkie występujące w rachunku liczby do k+1 znaków,
√ dokonać rachunków,
√ w ostatecznym wyniku zachować k znaków dziesiętnych.
Reguła 2. Przy mnożeniu lub dzieleniu liczb przybliżonych, z których liczba o najmniejszej ilości cyfr
znaczących ma k znaków należy:
√ zaokrąglić przed rachunkiem wszystkie występujące w rachunku liczby do k+1 cyfr
znaczących,
√ dokonać rachunków,
√ w ostatecznym wyniku zachować k cyfr znaczących.
Reguła 3. Przy potęgowaniu i pierwiastkowaniu liczb przybliżonych w wyniku zachować tyle cyfr
znaczących ile ich zawiera podstawa potęgi lub liczba podpierwiastkowa.
Reguła 4. Zasada zaokrąglania liczb przybliżonych. W rachunkach geodezyjnych przyjmuje się, że
liczby przybliżone zakończone na 5 zaokrąglamy zawsze do parzystej liczby, np. 15785 ≈ 15780,
254.435 ≈ 254.44, 0.895 ≈ 0.90.
Przykład 1-1
Zgodnie z regułami wykonaj dodawanie następujących liczb:
1248.57425
754.23
110.000001
0.230
222.3401
2323.5678
11.4
234.678
Przykład 1-2.
Wykonaj mnożenie liczb przybliżonych 234.21 x 0.153 =
1.0001 x 0.0011 =
854.28672 x 2.4 =
1.231 x 0.51 =
1.001 x 234 =
,
Przykład 1-3.
Wykonaj dzielenie 7328.54 : 1.713 =
347.18 : 1.2 =
642.1 : 0.0065 =
85.427 : 1.76 =
735.011 : 0.0002 =
65.98763 : 23.3 =
Przykład 1-4.
Wykonaj potęgowanie 254.782 =
34.872 =
1.9822=.........0.3022=
0.0022 =
Przykład 1-5
Oblicz pierwiastek
64913 =
34.973 =
1.963002 =
0.0034 =
2. Przeliczanie kątów wyrażonych w różnych jednostkach
2.1. Zależność między miarą radialną a stopniowa jest następująca:
)
αo
α
180 o )
) = π α o ( 2-1)
o
=
skąd
α
=
α lub α
o
360
2π
π
180 o
2
)
gdzie α o = ρ o ⋅ α ,
) , α ′′ = ρ′′ ⋅ α
) gdzie ρ o = 57 o .3 , ρ′ = 3438′ , ρ′′ = 206265′′
α ′ = ρ′ ⋅ α
Przykład 2-1.
Zgodnie z zasadami działań na liczbach przybliżonych zamienić 4.0, 3.2485 i 0.785341 radiana na
miarę stopniową.
Przykład 2-2.
Zgodnie z zasadami działań na liczbach przybliżonych Zamienić 23 o .12 , 63 o 23′ i 13 o 53′ 48 ′′ na miarę
radialną.
2.2. Zależność między miarą radialną a gradową jest następująca:
)
go
αg
α
) = α lub α g = ρ g ⋅ α
)
=
więc
α
g
g
ρ
400
2π
) , αc = ρc ⋅ α
) , α cc = ρ cc ⋅ α
) gdzie ρ g = 63.7g, ρ c =6366c, ρ cc =636620cc
α g = ρg ⋅ α
Przykład 2-3
Zamienić 4.0, 3.2485 i 0.785341 radiana na miarę gradową:
Przykład 2-4
Zamienić na miarę radialną następujące kąty 142 g 11c 36 cc =
56 g 62 c 66 cc =
56 g 62 c 66 cc =
2.3. Zależność między miarą stopniową a gradową następująca:
αg =
10 o
50
250
α , α c = α ′ , α cc =
α′′
9
27
81
Przykład 2-5
Zamień na grady: 54 o 12 ′42′′ =
184 o 47 ′52 ′′ =
391o 51′32 ′′ =
Przykład 2-6
Zadnie 12. Zamień na stopnie: 12 g 48 c 52 cc =
387 g 18 c 32 cc
3. Literatura
J. Ząbek, Z. Adamczewski, S. Kwiatkowski: „Ćwiczenia z geodezji I” cz. I, Warszawa, 1977 i następne
wydania
3