Temat I - Błędy bezwzględne, względne, cyfry znaczące

BŁĘDY BEZWZGLĘDNE, BŁĘDY WZGLĘDNE, CYFRY ZNACZĄCE
Błąd bezwzględny ε – jest to różnica między wartością otrzymaną (przybliżoną) A pewnej wielkości a jej
wartością rzeczywistą (dokładną) X
Błąd względny δ – jest to stosunek błędu bezwzględnego do wartości rzeczywistej oznaczanej
wielkości, wyrażony zazwyczaj w procentach
lub
Ponieważ rzeczywista wartośd X na ogół nie jest znana, wobec tego nie można dokładnie określid
wartości ε i δ. Można jednak oznaczyd prawdopodobne odchylenie w obu kierunkach od wartości otrzymanej
A, między którymi znajduje się wartośd rzeczywista X. Błąd bezwzględny wskazuje o ile otrzymana wartośd
może byd większa lub mniejsza od wartości rzeczywistej.
Natomiast błąd względny odnosi się do wartości otrzymanej
lub
CYFRY ZNACZĄCE
Wartośd liczbowa wyniku pomiaru lub obliczenia powinna zawierad taką liczbę cyfr znaczących, aby
tylko ostatnia podana cyfra była niepewna. Miejsce tej cyfry określa błąd bezwzględny. Jeśli np. próbkę
substancji odważa się na zwykłej wadze laboratoryjnej, której dokładnośd wynosi ±0,01 g, to wynik ważenia
należy podad tylko do setnych części grama, np. 2.43 g. Jeśli natomiast ważenie wykonano na wadze
analitycznej, to w wyniku powinno się uwzględnid cztery cyfry po przecinku, np. 2.4325 g, gdyż dokładnośd
ważenia wynosi ±0,0001 g. W pierwszym przypadku wynik pomiaru wyrażony jest trzema cyframi znaczącymi,
w drugim – pięcioma, przy czym ostatnie cyfry w obu przypadkach są niepewne. Każda spośród cyfr 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8 i 9 – może byd cyfrą znaczącą . Jedynie zero w pewnych przypadkach może nie byd cyfrą znaczącą, np.
w liczbie 0,0057 g, wszystkie zera nie są w tym przypadku cyframi znaczącymi, lecz określają rząd wielkości.
Liczba ta składa się tylko z dwóch cyfr znaczących: 5 i 7. Jeżeli zero znajduje się między cyframi znaczącymi, jest
także cyfrą znaczącą. Np. liczby 11,005, 100,01 i 20,203 są złożone z pięciu cyfr znaczących. Zero na koocu
liczby może byd cyfrą znaczącą, ale może nią również nie byd, zależnie od dokładności z jaką oznaczono daną
wielkośd. Przypuśdmy, że oznaczając masę pewnej substancji na wadze analitycznej podano wynik 0,5400 g.
Oba zera na koocu liczby są cyframi znaczącymi gdyż oznaczają dokładnośd wyrażenia (±0,0001 g). Wyrażenie
tego wyniku liczną 0,54 g byłoby błędne, gdyż świadczyłoby o tym, że ważenie wykonano tylko z dokładnością
do setnych części grama. Oczywiście zero na początku tej liczby nie jest cyfrą znaczącą.
3
W liczbie 1560 cm , która jest wynikiem pomiaru objętości, zero jest cyfrą znaczącą w przypadku, gdy
3
pomiar wykonano z dokładnością do ±1 cm , natomiast nie jest ono cyfrą znaczącą gdy dokładnośd pomiaru
3
wynosi tylko ±10 cm . Aby unikad niejasności w takich przypadkach wynik powinien byd poddawany w postaci
3
3
3
3
3
iloczynu: 1,560*10 cm albo 1,56*10 cm lub też można wyrazid go w innych jednostkach, np. 1,560 dm lub
3
1,56 dm , zależnie od dokładności pomiaru.
ZAOKRĄGLANIE LICZB P RZYBLIŻONYCH
Dokładnośd obliczeo zależy od dokładności wyjściowych danych liczbowych otrzymanych w wyniku
przeprowadzonych pomiarów. Jeżeli wynik obliczeo zawiera zbyt dużą liczbę cyfr, przekraczającą dokładnośd
pomiarów, to należy go odpowiednio zaokrąglid, tzn. usunąd cyfry zbędne.
Zaokrąglanie liczba przybliżonych wykonuj się wg następujących wskazao:
a)
Jeżeli pierwsza z wykreślonych cyfr jest mniejsza niż pięd, to ostatnia cyfra pozostająca nie ulega
zmianie.
b) Jeżeli pierwsza z wykreślonych cyfr jest większa niż pięd, to ostatnią cyfrę pozostającą danej liczby
zwiększa się o jednośd.
c) W przypadku, gdy pierwsza z wykreślonych cyfr jest równa pięd, to ostatnią pozostającą cyfrę
zaokrągla się do najbliższej cyfry parzystej.
DZIAŁANIA NA LICZBACH O RÓŻNEJ DOKŁADNOŚCI
DODAWANIE I ODEJMOWANIE
Przy dodawaniu lub odejmowaniu liczb o różnej dokładności uprzednio liczby zaokrągla się tak, aby
miały jednakową liczbę miejsc dziesiętnych.
MNOŻENIE I DZIELENIE
Przy mnożeniu lub dzieleniu liczb o różnej dokładności w wyniku należy zachowad tyle cyfr znaczących,
ile ma czynnik o największym błędzie względnym. Na ogół błąd iloczynu lub ilorazu nie może byd mniejszy niż
błąd względny najmniej dokładnego czynnika. Regułę powyższą można wyrazid także w ten sposób, że przy
mnożeniu lub dzieleniu w wyniku należy zachowad tyle cyfr znaczących, ile ma ich liczba o najmniejszej ilości
cyfr znaczących.
W celu zaoszczędzenia czasu można odrzucid zbędne cyfry w liczbach o nadmiernej dokładności przed
przystąpieniem do wykonywania obliczeo. Jednak należy uważad, aby wskutek dokonanych zaokrągleo nie
wprowadzid zbyt dużych błędów dodatkowych. W każdym bądź razie wyniki pośrednie powinno się wyrazid
większą liczbą cyfr znaczących niż wynik koocowy.