14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i

Kurs e-learningowy
Matematyka 14/1
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i
nierówności kwadratowe.
I.
Przypomnij sobie:
1. Wiadomości z poprzedniej lekcji..
2. Że przy rozwiązywaniu zadań tekstowych wykorzystujących równania (lub układy
równań) należy podawać oznaczenia zmiennych oraz odpowiednio interpretować
rozwiązania równań (lub ich układów).
II.
Zobaczmy, jak możemy wykorzystać to w konkretnych przykładach (z
uwzględnieniem czasami nieco innej strategii rozwiązywania zadań zamkniętych i
otwartych).
Przykład 1.
Suma kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych jest równa 365. Jeżeli większą z tych
liczb jest n, to podaną zależność opisuje równanie:
A. n2  n  1  365 ,
2
C. n  2  n2  365 ,
2
B. n  1  n2  365 ,
2
D. n2  n  2  365 .
2
Rozwiązanie:
Oznaczyliśmy przez n większą z liczb. W zadaniu mowa jest o dwóch kolejnych liczbach
naturalnych. Różnią się one o1. Wobec tego mniejsza z liczb to będzie n-1. I po kolei:
n2 – kwadrat większej liczby,
(n -1)2 – kwadrat mniejszej liczby,
n  12  n2 - suma kwadratów tych dwóch liczb (i jest ona równa 365).
Zatem poszukiwaną zależność opisuje równanie n  1  n2  365 .
2
Odpowiedź B.
Przykład 2.
Liczbę 12 przedstaw w postaci sumy dwóch takich składników, że suma ich kwadratów jest
równa 74.
Rozwiązanie:
Przypomnijmy najpierw, że suma to wynik dodawania.
Kurs e-learningowy
Matematyka 14/2
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
Oznaczmy:
x – pierwszy z poszukiwanych składników liczby 12.
Wtedy drugi z tych składników ma postać: 12-x.
Kwadrat pierwszego składnika to x2,
kwadrat drugiego to (12-x)2,
a suma tych kwadratów to x2+(12-x)2.
Z treści zadania wiemy, że ta suma wynosi 74, czyli x2+(12-x)2 = 74.
Rozwiązujemy to równanie:
x 2  122  2 12  x  x 2  74
x 2  144  24 x  x 2  74  0
2 x 2  24 x  70  0 / : 2
x 2  12 x  35  0
2
  b2  4ac   12  4 1 35  144  140  4
  4 2
 b     12  2 12  2 10



5
2a
2 1
2
2
 b     12  2 12  2 14
x2 



7
2a
2 1
2
2
Jeśli pierwszą z poszukiwanych liczb jest x1  5 lub x2  7 , to drugą z nich jest
12  x1  12  5  7 lub 12  x2  12  7  5 . Widzimy, że w obu przypadkach otrzymaliśmy
ten sam zestaw składników – liczby 5 i 7.
x1 
Odpowiedź: Aby spełnione były warunki zadania, liczbę 12 należy przedstawić w postaci
następującej sumy: 12 = 5+7 .
Dla pewności możemy jeszcze sprawdzić, że rzeczywiście 52  72  25  49  74 .
Przykład 3.
Wyznacz liczbę dwucyfrową, wiedząc że jej cyfra jedności jest o 5 większa od cyfry
dziesiątek, a iloczyn tej liczby przez sumę jej cyfr jest równy 243.
Rozwiązanie:
W zadaniach tego typu, gdzie mowa jest o liczbie (lub liczbach) wielocyfrowych i
przeprowadzane są jakieś „operacje” na cyfrach tych liczb (np. przestawianie kolejności tych
cyfr albo, jak w tym wypadku, dodawanie cyfr, itp.) jako zmienne oznaczamy nie całe liczby,
ale ich cyfry. I tak mamy:
x – cyfra dziesiątek szukanej liczby,
x+5 - cyfra jedności szukanej liczby (bo jest ona o 5 większa od cyfry dziesiątek).
Wtedy szukaną liczbę możemy przedstawić w postaci: x 10  x  5 , podobnie jak np.:
57  5 10  7; 39  3 10  9; 72  7 10  2 , itp.
Suma cyfr szukanej liczby to x  x  5  x  x  5  2 x  5 .
Kurs e-learningowy
Matematyka 14/3
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
Iloczyn (wynik mnożenia) szukanej liczby i sumy jej cyfr to [ x 10  x  5]  2 x  5 , a z
treści zadania wiemy, że jest on równy 243. Możemy więc zapisać równanie:
[ x 10  x  5]  2 x  5  243
Rozwiążmy je:
10x  x  52x  5  243
11x  52x  5  243
22 x 2  55x  10 x  25  243  0
22 x 2  65x  218  0
2
  b2  4ac  65  4  22   218  4225  19184  23409
  23409  153
 b    65  153  218


 0 - nie spełnia warunków zadania, bo x ma być cyfrą*
2a
2  22
44
 b    65  153 88
x2 


2
2a
2  22
44
Jeśli cyfra dziesiątek jest równa 2, to cyfrą jedności jest 2  5  7 , a cała liczba to
2 10  7  27 .
Rzeczywiście, 27  2  7  27  9  243 , czyli liczba 27 spełnia warunki podane w zadaniu.
x1 
Odpowiedź: Szukana liczba to 27.
* Przypominam, że mamy dziesięć cyfr: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Przykład 4.
Ala i Adam będą budować dom. Kupili działkę w kształcie prostokąta o powierzchni 640 m2.
Wiedząc, że jeden bok prostokąta jest o 12 m dłuższy od drugiego, oblicz, nie uwzględniając
strat siatki, ile metrów bieżących siatki trzeba kupić na ogrodzenie tej działki.
Rozwiązanie:
Działka ma kształt prostokąta.
a – długość krótszego boku prostokąta (w metrach)
a +12 - długość dłuższego boku prostokąta [m]
Powierzchnię działki, jako pole prostokąta
obliczamy mnożąc jej długość przez szerokość.
Zatem zależność między długościami boków a
powierzchnią działki P=640 m2 możemy zapisać:
640  a  a  12
Rozwiązujemy to równanie:
640  a 2  12a
 a 2  12a  640  0
2
  b2  4ac   12  4   1  640  144  2560  2704
a1 
 b     12  52 12  52  40



 20 [m]
2a
2   1
2
2
P = a  (a+12)
a+12
  2704  52
a
Kurs e-learningowy
Matematyka 14/4
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
 b     12  52 12  52 64



 0 - nie spełnia warunków zadania, bo a jako
2a
2   1
2
2
długość boku powinna być liczbą dodatnią.
Obliczyliśmy, że krótszy bok działki ma 20 m. Zatem dłuższy ma (20+12) m, czyli 32 m.
Licząc obwód prostokątnej działki stwierdzamy, że na jej ogrodzenie potrzeba
2  20  2  32  40  64  104 [m] siatki.
a2 
Odpowiedź: Potrzeba 104 m siatki na ogrodzenie działki Ali i Adama..
Przykład 5.
Kupiec zyskał na pewnej transakcji tyle procent, ile złotych w nią zainwestował, podwajając
tym samym cenę kupionego towaru. Oblicz tę nową wartość towaru.
Rozwiązanie:
x – ilość zł zainwestowanych w towar (a zarazem ilość % zyskanych na transakcji); x  0
x
Kupiec zyskał na transakcji x % z x zł zainwestowanych, czyli
 x zł. Zakupiony towar
100
x
będzie więc na koniec warty x 
 x zł. Z treści zadania wiemy, że towar podwoił
100
x
swoją wartość, tzn. jego wartość wzrosła z x zł do 2x zł. Czyli x 
 x to tyle samo, co
100
x
2x. Zapisujemy to w postaci równania: x 
 x  2  x i rozwiązujemy je:
100
x  0,01x 2  2 x
x  0,01x 2  2 x  0
0,01x 2  x  0
x0,01x  1  0
x  0 lub 0,01x  1  0
0,01x  1 /100
x  100
rozwiązanie to nie spełnia warunków zadania
Obliczyliśmy więc, że kupiec zainwestował w towar 100 zł, czyli końcowa wartość tego
towaru będzie 2100 = 200 zł.
Odpowiedź: Nowa wartość towaru to 200 zł.
Kurs e-learningowy
matematyka
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
ZADANIA DO ROZWIĄZANIA
Zadanie 1. (1,5 pkt)
Suma kwadratów trzech kolejnych liczb parzystych jest równa 308. Wyznacz te liczby.
Zadanie 2. (1,5 pkt)
Szerokość dywanu jest o 5 m mniejsza od długości tego dywanu. Jakie wymiary ma dywan,
jeżeli jego powierzchnia wynosi 104 m2 ?
Zadanie 3. (2 pkt)
Dwie ulice przecinają się pod kątem prostym. Dwa samochody ruszają ze skrzyżowania w tej
samej chwili i jadą tymi ulicami. Jeden jedzie z prędkością 72 km/h, a drugi z prędkością
54 km/h. Po jakim czasie odległość mierzona między samochodami w linii prostej będzie
równa 50 km?
Uwaga!
Trzeba zastanowić się jaką drogę przebywa każdy z samochodów w jednostce czasu, a
następnie skorzystać z tego, że samochody oddalają się od siebie po prostych prostopadłych
(twierdzenie Pitagorasa).