Równania diofantyczne” Semestr/rok szkolny

Projekt „AS KOMPETENCJI”
jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
środków Europejskiego Funduszu Społecznego
Program Operacyjny Kapitał Ludzki 2007-2013
CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA
Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego
Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie
DANE INFORMACYJNE
• Nazwa szkoły: Zespół Szkół Przyrodniczo-Politechnicznych
w Marszewie
i
Zespół Szkół nr 1 w Pyrzycach
• ID grupy: 97/88_MF_G1 i 97/30_MF_G1
• Opiekun: Dobromira Zdunek i Agnieszka Wójcicka
• Kompetencja: matematyczno-fizyczna
•Temat projektowy:
,, Równania diofantyczne”
• Semestr/rok szkolny: semestr III / rok szkolny 2010/2011
Równania diofantyczne
Nasza prezentacja ma na celu utrwalenie
wiadomości z algebry, teorii liczb,
podzielności.
DIOFANTOS
• Diofantos z Aleksandrii jako pierwszy systematycznie
zajął się algebrą, czyli teorią rozwiązywania równań.
Diofantos narzucał na rozpatrywane równania takie
warunki, aby rozwiązanie zawsze mieściło się
w zbiorze liczb dodatnich i wymiernych. Rozważał co
prawda zadanie sprowadzające się do równania
4x + 20 = 0, ale twierdził, że to równanie daje
absurdalne rozwiązanie, liczby ujemne uważał
za niedopuszczalne i je odrzucał. Rozwiązywał za to
równania kwadratowe, układy równań kwadratowych,
pisał o liczbach trójkątnych i kwadratowych oraz
ustalał zależności między nimi.
ILE LAT ŻYŁ
DIOFANTOS?
W XIV wieku grecki mnich Maksymus Planudes umieścił w swojej antologii
wiersz „Epitafium Diofanta”. Jego treść jest jednocześnie zadaniem
tekstowym:
Pod tym nagrobkiem spoczywa Diofant – a dzięki przedziwnej
Sztuce zmarłego i wiek zdradzi ci ten głaz:
Chłopcem przez szóstą część życia pozostać bóg mu pozwolił,
Lica pokwitły mu zaś, kiedy dwunasta znów część
Życia minęła; a znowu żywota gdy przebył część siódmą,
Młodą małżonkę w dom dobry wprowadził mu bóg,
Która, gdy pięć lat minęło, małego powiła mu synka,
Ale okrutny chciał los, że kiedy syn ledwie wiek
Ojca w połowie osiągnął, ponury zabrał go Hades.
Kojąc ogromny swój ból, szukał Diofant wśród liczb
Jeszcze przez cztery lata pociechy, aż rozstał się z życiem.
ROZWIĄZANIE:
x – czas życia Diofantosa
1/6x – jego dzieciństwo
1/12x – okres młodości
1/7x – czas między wiekiem młodzieńczym a ślubem
5 – lata oczekiwania na syna
1/2x – czas życia syna
4 – czas, jaki Diofantos żył po śmierci syna
Rozwiązanie zadania polega na ułożeniu prostego równania z jedną
niewiadomą:
1/6x + 1/12x + 1/7x + 5 + 1/2x + 4 = x
Stąd po wykonaniu prostych działań otrzymujemy x = 84, czyli Diofantos żył
84 lata.
ZADANIA DIOFANTOSA
Graficznie liczby trójkątne można
przedstawić następująco:
Liczba trójkątna to każda taka liczba o numerze n, będąca na przykład liczbą
kół jednakowej wielkości, z których można ułożyć trójkąt równoboczny o boku
zbudowanym z n kół.
Graficznie liczby kwadratowe
można przedstawić następująco:
Liczba kwadratowa natomiast to każda taka liczba numerze n, będąca
na przykład liczbą kół jednakowej wielkości, których można ułożyć kwadrat
o boku zbudowanym z n kół.
Twierdzenie Diofantosa, że ośmiokrotnie wzięta liczba
powiększona o jedność jest zawsze kwadratem,
pokazuje poniższy rysunek:
RÓWNANIA DIOFANTYCZNE
Równaniem diofantycznym nazywamy równanie o dwóch lub więcej
niewiadomych, którego rozwiązań szukamy w zbiorze liczb całkowitych
lub liczb naturalnych.
Nazwa tego typu równań pochodzi od imienia Diofantosa.
Badając dane równanie diofantyczne staramy się przede wszystkim
odpowiedzieć na następujące pytania:
* Czy ma ono rozwiązania?
* Jeśli tak, to ile ich jest (skończenie, czy nieskończenie wiele)?
* Czy istnieje algorytm na ich wyznaczanie?
NWD
Twierdzenie
Jeśli a oraz b są liczbami całkowitymi, nie
równocześnie równymi zero, to istnieją liczby
całkowite x oraz y spełniające równanie diofantyczne
NWD(a, b) = xa + by.
11-5-31
NWD(309,186)
Stosujemy algorytm Euklidesa do obliczenia NWD(309,186)
309 = 1 · 186 + 123
186 = 1 · 123 + 63
123 = 1 · 63 + 60
63 = 1 · 60 + 3
60 = 20 · 3 + 0
Wtedy mamy NWD(309, 186) = 3 oraz
3 = 63 − 1 · 60 =
= 63 − 1 · (123 − 1 · 63) = 2 · 63 − 1 · 123 =
= 2 · (186 − 1 · 123) − 1 · 123 = 2 · 186 − 3 · 123 =
= 2 · 186 − 3 · (309 − 1 · 186) =
= −3 · 309 + 5 · 186
Zatem 3 = −3 · 309 + 5 · 186 i rozwiązanie naszego
równania diofantycznego jest postać x = −3, y = 5.
11-5-31
Równanie ax + by = c
Twierdzenie
Równanie diofantyczne ax+by = c posiada rozwiązanie wtedy i tylko
wtedy, gdy NWD(a, b) dzieli c.
Jeśli para liczb całkowitych x0, y0 jest rozwiązaniem równania ax + by = c
to wszystkie rozwiązania dane są wzorami:
x = x0 +
·t,
y = y0 −
·t
gdzie t jest dowolną liczbą całkowitą.
Zatem nasze wcześniejsze równanie diofantyczne
309x + 186y = 3 ma nieskończenie wiele rozwiązań i są one
postaci x = −3 + 62 · t, y = 5 − 103 · t, gdzie t jest dowolną
liczbą całkowitą.
11-5-31
Przykłady równań diofantycznych
• Równanie
2x+1=y2
ma w liczbach naturalnych jedno rozwiązanie: (3,3)
• Równanie
xy=yx
ma w liczbach naturalnych dwa rozwiązania, gdy
y=4 oraz x=4, y=2
x=2,
11-5-31
Zadanie 1.
Rozwiąż w liczbach całkowitych równanie: 1001x + 35y = 49
Rozwiązanie
Obliczmy NWD(1001, 35) stosując algorytm Euklidesa.
1001 = 28 · 35 + 21
2 · (1001 − 28 · 35) − 1 · 35 =2 · 1001 − 57 · 35
35 = 1 · 21 + 14
21 − 1 · (35 − 1 · 21) = 2 · 21 − 1 · 35 =21 − 1 · 14
=7
21 = 1 · 14 + 7
14 = 21 · 7 + 0
Stad 2 · 1001 − 57 · 35 = 7 i mnożąc obie strony przez 7 mamy
14 · 1001 + (−399) · 35 = 49
Para x0 = 14, y0 = −399 jest rozwiązaniem.
Zatem wszystkie rozwiązania naszego równania są postaci:
x =x0 +
y =y0 −
· t = 14 + 5 · t
· t = −399 − 143 · t
t − liczba całkowita.
11-5-31
Zadanie 2
Ile biletów po 3 zł i po 5 zł można kupić za 149 zł, jeśli należy wydąć
wszystkie pieniądze? Znajdź wszystkie możliwe sposoby zakupu.
Rozwiązanie
Jeśli x jest liczba biletów po 3 zł, a y jest liczba biletów po 5 zł,
to 3x + 5y = 149.
Otrzymujemy:
x = 298 + 5 · t
y = −149 − 3 · t,
t − liczba całkowita
Liczby biletów muszą być liczbami nieujemnymi. Należy zatem
dobrać takie t, aby
x = 298 + 5 · t ≥ 0,
y = −149 − 3 · t ≥ 0.
Po prostych przekształceniach tych nierówności mamy
x = 298 + 5 · t
y = −149 − 3 · t,
−59 ≤ t ≤ −50.
11-5-31
Odpowiedź
Bilety można zakupić na 10 różnych sposobów
t −59 −58 −57 −56 −55 −54 −53 −52 −51 −50
x
3
8
13
18
23
28
33
38
43
48
y
28
25
22
19
16
13
10
7
4
1
11-5-31
A oto kilka zadań, które
rozwiązaliśmy na tablicy
11-5-31
11-5-31
11-5-31
11-5-31
Równanie a1x1 + ... + anxn = b
Twierdzenie
Równanie diofantyczne
a1x1 + ... + anxn = b
posiada rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy
NWD(a1, ..., an)|b.
11-5-31
JAK ROZWIĄZAĆ RÓWNANIE a1x1 + ... + anxn = b,
GDY NWD(a1, ..., an) DZIELI b?
11-5-31
Zadanie
Rozwiąż równanie diofantyczne 12x + 15y + 7z = 11.
Rozwiązanie
Ponieważ NWD(12, 15) = 3, więc 12x + 15y = 3(4x + 5y) = 3w.
Zatem nasze równanie możemy zastąpić układem równań
12x + 15y = 3w
3w + 7z = 11 .
Najpierw rozwiązujemy drugie równanie znanym nam
sposobem otrzymując rozwiązanie
z = 11 − 3 · u,
w = −22 + 7 · u.
Teraz wstawiamy wyliczone w do pierwszego równania
Otrzymując
12x + 15y = 3(−22 + 7u).
11-5-31
cd. rozwiązania
Po podzieleniu obu stron przez 3 mamy
4x + 5y = −22 + 7u.
Ponieważ NWD(4, 5) = 1, wiec najpierw szukamy konkretnego
rozwiązania równania 4x + 5y = 1.
4 · (−1) + 5 · 1 = 1. wiec
4 · (22 − 7u) + 5 · (−22 + 7u) = −22 + 7u.
Odpowiedź:
Rozwiązaniem naszego wyjściowego równania jest trójka
liczb postaci
x = 22 − 7u + 5t
y = −22 + 7u − 4t
z = 11 − 3u
gdzie t oraz u są dowolnymi liczbami całkowitymi.
11-5-31
Równanie Pitagorasa
Istnieje trójkąt prostokątny, którego boki maja długości 3,
4 oraz 5.
Jakie inne trójkąty prostokątne, których boki są
liczbami naturalnymi, można skonstruować?
Prowadzi to do wyznaczenia rozwiązań równania
diofantycznego x2 + y2 = z2 zwanego równaniem
Pitagorasa.
Trójka x0, y0, z0 jest rozwiązaniem równania Pitagorasa
wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby całkowitej d
trójka dx0, dy0, dz0 tez jest rozwiązaniem tego równania,
bo (dx0)2 + (dy0)2 = (dz0)2 ↔ x20+ y20 = z20.
11-5-31
Rozwiązywanie równania
Pitagorasa
Definicja
Rozwiązanie x0, y0, z0 równania Pitagorasa nazywamy
właściwym, jeśli NWD(x0, y0, z0 ) = 1.
Uwagi
1. Każde rozwiązanie równania Pitagorasa jest postaci dx0, dy0, dz0 , gdzie
x0, y0, z0 jest właściwym rozwiązaniem tego równania.
Zatem, aby znaleźć wszystkie rozwiązania równania
Pitagorasa wystarczy znaleźć jego rozwiązania właściwe.
2. Jeżeli x0, y0, z0 jest właściwym rozwiązaniem równania Pitagorasa, to
dokładnie jedna z liczb x0, lub y0 jest parzysta.
11-5-31
Twierdzenie
Każde właściwe rozwiązanie x0, y0, z0 równania
x2 + y2 = z2, dla którego y0 jest liczba parzystą jest posta
x0 = m2 − n2 , y0 = 2mn,
z0 = m2 + n2 ,
gdzie m, n są dowolnymi liczbami naturalnymi takimi,
że m > n , NWD(m, n) = 1 oraz dokładnie jedna z nich
jest parzysta.
Przykład
m
2
3
4
5
5
n
1
2
1
2
3
x
3
5
15
21
9
y
4
12
6
20
40
z
5
13
17
29
41
11-5-31
Wielkie Twierdzenie Fermata
Równanie:
xn+yn=zn
dla n=2 obrazuje zależność między
długościami boków w trójkącie
prostokątnym.
dla n>2 równanie to nie ma rozwiązań
w liczbach naturalnych
11-5-31
Równanie Pella
Równanie
x2 – ny2=1 gdzie n>0
zwane równaniem Pella (od nazwiska
angielskiego matematyka Johna Pella)
 nie ma rozwiązań, jeżeli n jest
kwadratem liczby naturalnej,
 ma nieskończenie wiele rozwiązań,
jeżeli n nie jest kwadratem liczby naturalnej.
Rozwiązania te się tablicuje w zależności od n.
Wnioski
Bardzo częstym zadaniem na konkursach
matematycznych, w których członkowie naszych grup
biorą udział- jest zagadnienie rozwiązywania równań lub
układów równań w liczbach całkowitych lub naturalnych.
Ale dopiero przygotowując prezentację dowiedzieliśmy
się ,że są to równania diofantyczne, a ich rozwiązania
często związane są z bardzo pomysłowymi
rozumowaniami.
Bibliografia
W.Sierpiński ,, Czym zajmuje się teoria liczb”
W. Sierpiński ,, O rozwiązywaniu równań w liczbach
całkowitych”
A.P. Juszkiewicz ,, Historia Matematyki”
Z. Bobiński,P. Jarek, A. Świątek, M. Uscki ,,O liczbach i równaniach”
Z. Bobiński,P. Jarek, A. Świątek, M. Uscki ,, Miniatury matematyczne”
Zasoby internetowe
Projekt „AS KOMPETENCJI”
jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
środków Europejskiego Funduszu Społecznego
Program Operacyjny Kapitał Ludzki 2007-2013
CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA
Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego
Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie