międzyszkolne zawody matematyczne dla uczniów

MIĘDZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE
DLA UCZNIÓW SZKÓŁ ŚREDNICH
ETAP REJONOWY
Klasy III LO – profil ogólny i klasy III i IV technikum
1. ( 2 pkt. ) Wyznacz wszystkie wektory o długości równej 3 prostopadłe do wektora
r
w = [−1;2]
2. ( 2 pkt. ) Dla jakich wartości x z odcinków o długości 4, 6, 5-x można zbudować
trójkąt?
3. ( 3 pkt. ) W ciągu (1⋅2, 2⋅3, 3⋅4, 4⋅5,...) znajdź dwa kolejne wyrazy różniące się
o 1000.
4. ( 3 pkt. ) Wykaż, że
44,44... = 6,66...
5. (4 pkt. ) W zbiorze liczb rzeczywistych określono działanie ∗ w następujący sposób:
1
a∗b = ab + 1. Sprawdź, czy działanie ∗ jest łączne.
2
6. ( 4 pkt. ) Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości a, b. Wykaż, że
a+b ≤ 2 ·c, gdzie c jest długością przeciwprostokątnej.
7. ( 4 pkt. ) Oblicz resztę z dzielenia wielomianu W(x) = x100 -2 x 99 +2 x 50 -1 przez
wielomian G(x) = x 3 -x.
8. ( 4 pkt. ) Wykaż, że dla dowolnej liczby całkowitej n liczba
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 jest kwadratem liczby całkowitej.
9. ( 5 pkt. ) Dla jakich wartości parametru m każdy z dwóch różnych pierwiastków
równania x 2 - 6mx + 2 – 2m + 9 m 2 jest większy od 3 ?
10. ( 5pkt. ) Rozwiąż w zbiorze liczb całkowitych równanie:
x 3 - x 2 y + xy - y 3 - 5 = 0.
PROPOZYCJE
ROZWIĄZAŃ
ZADANIE 1.
r
Dany jest wektor: w = [ -1; 2 ]
r
r
Szukamy wektora u = [ u x ; u y ] o długości 3 prostopadłego do w
r
r
u⊥w
r r
uo w =0
⇔
wx = -1, w y = 2
⇔
u x · wx + u y · w y = 0
⇒
u x · (-1) + u y · 2 = 0
- ux + 2 u y = 0
ux = 2 u y
r
u
=3
u x2 + u y2 = 3
⇒
u x2 + u 2y = 9
(2u ) + (u )
2
2
y
y
=9
5 u 2y = 9
u 2y
=
9
5
3
5
5
6
ux =
5
5
uy =
odp.
r
6
3
5;
u= [
5 ]
5
5
∨
∨
3
5
5
6
ux = −
5
5
uy = −
r
6
3
5 ;−
u = [−
5]
5
5
ZADANIE 2.
Aby z trzech odcinków można było zbudować trójkąt długość każdego z nich musi być
krótsza niż suma długości pozostałych dwóch.
Stąd koniunkcja:
4 + 6 > 5 –x
6 + (5 – x ) > 4
4 + (5 – x ) > 6
⇒
x >-5
x<7
x<3
⇒
odp. x ∈ ( -5; 3 )
Odp. Liczba x musi pochodzić z przedziału: ( -5; 3 ).
ZADANIE 3.
Z zapisu ( 1·2, 2·3, 3·4, 4·5, .... ) ustalamy kolejne wyrazy ciągu:
a1 = 1 ⋅ 2
a2 = 2 ⋅ 3
a3 = 3 ⋅ 4
a4 = 4 ⋅ 5
K
a n = n ⋅ (n + 1)
a n+1 = (n + 1) ⋅ (n + 2)
K
Różnica dwóch sąsiednich wyrazów ma wynosić 1000, a więc szukamy n ∈ N + , aby:
a n+1 − a n = 1000
Otrzymujemy więc równanie:
(n + 1) ⋅ (n + 2) − n ⋅ (n + 1) = 1000
n 2 + 3n + 2 − n 2 − n − 1000 = 0
2n = 998
n = 449
Odp. Kolejnymi wyrazami tego ciągu różniącymi się o1000 są a 450 i a 449
ZADANIE
4.
Aby wykazać, że 44,44... = 6,66... korzystamy ze wzoru na sumę szeregu
geometrycznego sprowadzając ułamki dziesiętne okresowe do postaci ułamków zwykłych:
44,44... = 44 + 01
,44
+
,04
...
402
4+4
3
S
a 1 = 0,4
q=
0,04 1
=
0,4 10
q⟨1
4
4
a1
4
S=
= 10 = 10 =
1
9
1− q
9
1−
10 10
a więc:
44,44... = 44 +
4
400
=
9
9
Stąd lewa strona ma postać:
L=
44,44 =
400 20
=
9
3
Analogicznie postępujemy z prawą stroną:
6
6
2 20
P = 6,66... = 6 + 0,6 + 0.06 + ... = 6 + 10 = 6 + = 6 =
1
9
3 3
1−
10
L = P, co kończy dowód.
ZADANIE 5.
Dla liczb rzeczywistych określono działanie * następująco:
1
a * b = ab + 1
2
Prawo łączności dla działania * ma postać:
( a * b) * c = a * ( b * c )
1
1
11
1


L =  ab + 1 * c =  ab + 1c + 1 = abc + c + 1 = a
4
2
22
2


1
1
1
 1 1

P = a *  bc + 1 = a bc + 1 + 1 = abc + a + 1 = c
4
2
2
 2 2

L≠ P
odp.
Działanie * nie jest łączne.
ZADANIE 6.
Zał: a, b, c – długości boków trójkąta prostokątnego,
a, b – przyprostokątne,
c – przeciwprostokątna,
Teza: a + b ≤ 2c
Na podstawie twierdzenia Pitagorasa:
a2 + b2 = c2 ⇔ a2 + b2 = c
a + b ≤ 2 ⋅ a 2 + b 2 ⇔ (a + b ) ≤ 2a 2 + 2b 2 ,
gdyż a i b są liczbami dodatnimi
2
⇔ a 2 + 2ab + b 2 ≤ 2a 2 + 2b 2
⇔ − a 2 + 2ab − b 2 ≤ 0
⇔ a 2 − 2ab + b 2 ≥ 0
⇔ (a − b ) ≥ 0
Otrzymaliśmy zdanie prawdziwe, co dowodzi prawdziwości tezy.
2
ZADANIE 7.
Dane są wielomiany: W ( x ) = x100 − 2 x 99 + 2 x 50 − 1 oraz G ( x ) = x 3 − x
W rozwiązaniu zadania wykorzystamy podstawowe wiadomości dotyczące
podzielności wielomianów.
G ( x ) = x(x 2 − 1) = x( x − 1)(x + 1),
są liczby: 0, 1, -1.
a więc wielomian ten ma trzy pierwiastki, którymi
Reszta z opisanego w zadaniu dzielenia może mieć postać trójmianu kwadratowego:
R( x ) = ax 2 + bx + c
W (0) = −1
W (1) = 0
W (− 1) = 4
Wielomian W(x) można przedstawić w postaci:
W(x) = G(x)P(x) + R(x), gdzie P(x) jest wielomianem stopnia 97-ego.
Stąd koniunkcja warunków:
-1 = W(0) = R(0) = c
0 = W(1) = R(1) = a+b+c
4 = W(-1) = R(-1) = a-b+c
⇒
c = -1
a+b–1=0
a – b – 1 =4
⇒
a=3
b = -2
c = -1
odp. Reszta z dzielenia tych wielomianów R(x) = 3 x 2 − 2 x − 1
ZADANIE 8.
Przedstawmy daną liczbę w innej postaci:
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 =
= n(n + 3)(n + 1)(n + 2) + 1 =
= (n 2 + 3n)(n 2 + 3n + 2) + 1 =
= [(n 2 + 3n + 1) − 1][(n 2 + 3n + 1) + 1] + 1 =
(
= (n
)
+ 3n + 1)
2
= n 2 + 3n + 1 − 12 + 1 =
2
2
Skoro n jest liczbą całkowitą, to dana liczba jest kwadratem liczby całkowitej
n 2 + 3n + 1
ZADANIE 9.
Aby równanie x 2 − 6mx + 2 − 2m + 9m 2 = 0 miało dwa różne pierwiastki większe od
liczby 3 musi być spełniona koniunkcja warunków:
1. ∆ ⟩ 0
2. x1 ⟩ 3
3. x 2 ⟩ 3
ad.1.
36m 2 − 8 + 8m − 36m 2 ⟩ 0
8m − 8⟩0
m⟩1
m ∈ (1;+∞ )
ad.2.
−b− ∆
⟩3
2a
6m − 8m − 8
⟩3
2
6m − 2 2m − 2
⟩3
2
3m − 2(m − 1)⟩3
− 2(m − 1)⟩3 − 3m
2(m − 1)⟨3(m − 1)
2 ⟨3 m − 1
m − 1⟩
m − 1⟩
2
9
2
9
2
9
 11

m ∈  ;+∞ 
9

m⟩1
ad.3.
−b+ ∆
⟩3
2a
6m + 8m − 8
⟩3
2
3m + 2m − 2 ⟩3
2(m − 1)⟩3(1 − m )
− 3(m − 1)⟨ 2(m − 1)
− 3 m − 1⟨ 2
m − 1⟩ −
2
3
m∈R
 11

Z koniunkcji warunków 1, 2 i3 wynika, że m ∈  ;+∞ 
9

ZADANIE 10.
Przedstawmy dane równanie w postaci iloczynowej:
x 3 − x 2 y + xy − y 2 − 5 = 0
x 2 ( x − y ) + y (x − y ) = 5
(x − y )(x 2 + y ) = 5
Tą ostatnią postać równania oznaczmy (*)
Ponieważ równanie ma zostać rozwiązane w zbiorze liczb całkowitych, wystarczy
rozpatrzyć następujące przypadki przy podstawieniu:
x − y = u;
x2 + y = v
P.1.
gdy u = 5,
v =1
⇓
x – y = 5 ∧ x2 + y = 1
Z tej koniunkcji otrzymujemy równanie:
x2 + x − 6 = 0
∆ = 25
x1 = −3
x2 = 2
a więc rozwiązanie równania (*) spełnione jest przez pary liczb x = -3, y = -8 oraz
x = 2, y = -3.
P.2.
gdy
u = 1, v = 5
x − y = 1 ∧ x2 + y = 5
Z tej koniunkcji otrzymujemy równanie;
x2 + x − 6 = 0
∆ = 25
x1 = −3
x2 = 2
a więc rozwiązanie równania (*) spełnione jest przez pary liczb:
x = -3, y = -4 oraz x = 2, y = 1
P.3.
gdy
u = -5, v = -1
x – y = -5 ∧ x 2 + y = −1
Z tej koniunkcji otrzymujemy równanie:
x2 + x + 5 = 0
∆ ⟨0
a więc równanie nie ma rozwiązań.
P.4.
gdy
u = -1, v = -5
∧
x 2 + y = −5
x –y = -1
Z tej koniunkcji otrzymujemy równanie:
x2 + x + 5 = 0
∆ ⟨0
a więc równanie nie ma rozwiązań.
odp. Rozwiązaniem równania są cztery pary liczb:
(-3;-8) (2;-3) (-3;-4) (2;1).