równania różniczkowe pierwszego rzędu

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
PIERWSZEGO RZĘDU
I.
Równania o zmiennych rozdzielonych
Przekształcamy tak, żeby uzyskać:
 związek
z y   dy   związek z x   dx
/
  związek z y   dy    związek z x   dx
Rozwiązanie
II.
Równania typu y '  f  ax  by  c 
Podstawiamy:
t  ax  by  c , wyznaczamy y  i przechodzimy na równanie typu I
(o zmiennych rozdzielonych).
III.
Podstawiamy: t
rozdzielonych).
IV.
 y

x
Równania typu y '  f 

y
, wyznaczamy y  i przechodzimy na równanie typu I (o zmiennych
x
 a1 x  b1 y  c1 

 a2 x  b2 y  c2 
Równania typu y '  f 
Jeśli a1b2  b1a2  0 , wtedy:
a x  b1 y  c1  0
x  
Rozwiązujemy układ równań  1
, mamy rozwiązanie 
,
a2 x  b2 y  c2  0
y  
podstawiamy
x  u 
y v
, oraz
dy dv

i przechodzimy na równanie typu III.
dx du
Jeśli a1b2  b1a2  0 , wtedy:
wyciągamy a1 , a2 przed nawias ze składników z x i y i przechodzimy na równanie typu II.
V.
Równania liniowe p  x   y  q  x   y  r  x 
1. Rozwiązujemy równanie p  x   y  q  x   y  0 . Jest to równanie o zmiennych
rozdzielonych. Mamy rozwiązanie w postaci: y  C  .
2. W rozwiązaniu y  C 
„uzmienniamy stałą” i mamy y  C  x  
.
3. Z powyższego obliczamy y .
4. y  i y wstawiamy do wyjściowego równania. Składniki z C  x  powinny się skrócić.
Wyznaczamy C   x  .
5. Związek C  x  
obustronnie całkujemy. Mamy wynik: C  x  .
6. C  x  wyznaczone w 5. wstawiamy do 2. i mamy rozwiązanie.
VI.
n
Równania Bernoulliego p  x   y  q  x   y  r  x  y
Podstawiamy: z  y1n , z tego podstawienia wyznaczamy y, y, y n i wychodzimy na
równanie liniowe (typu V).
2
VII. Równania Riccatiego y  p  x   y  q  x  y  r  x 
Mamy dane rozwiązanie (całkę) szczególną: y1  x 
Podstawiamy: y  y1  x  
1
i wychodzimy na równanie liniowe (typu V).
u
VIII. Równania Clairauta y  xy  f  y 
Równanie obustronnie różniczkujemy, wychodzimy na równanie: y ''  x  f '  y '   0 , z
równań y ''  0 i x  f   y '  0 wyznaczamy y  ( y ''  0 obustronnie całkujemy ) i
wstawiamy do wyjściowego równania, otrzymując w ten sposób rozwiązania.
IX.
Równania różniczkowe zupełne P  x, y  dx  Q  x, y  dy  0
Spełniony musi być warunek:
Q P

x y
 F
 x  P  x, y 
Rozwiązujemy układ równań 
, rozwiązaniem jest funkcja F  x, y  .
 F  Q  x, y 
 y
Rozwiązanie całego równania zapisujemy w postaci: F  x, y   C .
X.
Czynnik całkujący P  x, y  dx  Q  x, y  dy  0
Jeśli warunek
Q P

nie jest spełniony, szukamy czynnika całkującego   x, y  .
x y
I.
1  P Q 
1  P Q 
 Q  y  x dx

Jeśli związek 
 jest funkcją tylko zmiennej x, wtedy   x, y     x   e
Q  y x 
II.
1  Q P 
 P  x  y dy
1  Q P 

x
,
y


y

e





Jeśli związek 
jest
funkcją
tylko
zmiennej
y,
wtedy

P  x y 
Równanie wyjściowe obustronnie mnożymy przez znalezione   x  lub   y  i
otrzymujemy równanie typu IX (zupełne).
XI.
Równanie różniczkowe rodziny linii
Aby otrzymać równanie różniczkowe rodziny linii F  x, y, C   0 należy to równanie
rodziny linii obustronnie zróżniczkować i z otrzymanych równań „wyrugować” parametr.
Aby otrzymać równanie rodziny linii ortogonalnych do F  x, y, C   0 , należy w równaniu
1
różniczkowym tej rodziny linii zastąpić y  związkiem  . Otrzymamy w ten sposób
y
równanie różniczkowe rodziny linii ortogonalnych, które możemy jeszcze rozwiązać.