Zadanie 1. Rozwiąż w liczbach całkowitych równanie

Równania diofantyczne
Diofantos z Aleksandrii jako
pierwszy systematycznie zajął
się algebrą, czyli teorią
rozwiązywania równań.
Diofantos narzucał
na rozpatrywane równania
takie warunki, aby
rozwiązanie zawsze mieściło
się w zbiorze liczb dodatnich
i wymiernych.
Rozważał co prawda zadanie sprowadzające się do równania 4x + 20 = 0,
ale twierdził, że to równanie daje absurdalne rozwiązanie, liczby ujemne
uważał za niedopuszczalne i je odrzucał. Rozwiązywał za to równania
kwadratowe, układy równań kwadratowych, pisał o liczbach trójkątnych
i kwadratowych oraz ustalał zależności między nimi.
ILE LAT ŻYŁ
DIOFANTOS?
W XIV wieku grecki mnich Maksymus Planudes umieścił
w swojej antologii wiersz „Epitafium Diofanta”. Jego treść jest
jednocześnie zadaniem tekstowym:
Pod tym nagrobkiem spoczywa Diofant – a dzięki przedziwnej
Sztuce zmarłego i wiek zdradzi ci ten głaz:
Chłopcem przez szóstą część życia pozostać bóg mu pozwolił,
Lica pokwitły mu zaś, kiedy dwunasta znów część
Życia minęła; a znowu żywota gdy przebył część siódmą,
Młodą małżonkę w dom dobry wprowadził mu bóg,
Która, gdy pięć lat minęło, małego powiła mu synka,
Ale okrutny chciał los, że kiedy syn ledwie wiek
Ojca w połowie osiągnął, ponury zabrał go Hades.
Kojąc ogromny swój ból, szukał Diofant wśród liczb
Jeszcze przez cztery lata pociechy, aż rozstał się z życiem.
*
x – czas życia Diofantosa
1/6x – jego dzieciństwo
1/12x – okres młodości
1/7x – czas między wiekiem młodzieńczym a ślubem
5 – lata oczekiwania na syna
1/2x – czas życia syna
4 – czas, jaki Diofantos żył po śmierci syna
Rozwiązanie zadania polega na ułożeniu prostego równania
z jedną niewiadomą:
1/6x + 1/12x + 1/7x + 5 + 1/2x + 4 = x
Stąd po wykonaniu prostych działań otrzymujemy x = 84,
czyli Diofantos żył 84 lata.
ZADANIA DIOFANTOSA
*
Liczba trójkątna to każda taka liczba o numerze n, będąca na przykład
liczbą kół jednakowej wielkości, z których można ułożyć trójkąt
równoboczny o boku zbudowanym z n kół.
*
Liczba kwadratowa natomiast to każda taka liczba numerze n,
będąca na przykład liczbą kół jednakowej wielkości, których
można ułożyć kwadrat o boku zbudowanym z n kół.
Twierdzenie Diofantosa, że ośmiokrotnie wzięta liczba
powiększona o jedność jest zawsze kwadratem, pokazuje
poniższy rysunek:
*
Równaniem diofantycznym nazywamy równanie o dwóch lub więcej
niewiadomych, którego rozwiązań szukamy w zbiorze liczb całkowitych
lub liczb naturalnych.
Nazwa tego typu równań pochodzi od imienia Diofantosa.
Badając dane równanie diofantyczne staramy się przede wszystkim
odpowiedzieć na następujące pytania:
* Czy ma ono rozwiązania?
* Jeśli tak, to ile ich jest (skończenie, czy nieskończenie wiele)?
* Czy istnieje algorytm na ich wyznaczanie?
*
Twierdzenie
Jeśli a oraz b są liczbami całkowitymi, nie równocześnie
równymi zero, to istnieją liczby całkowite x oraz y
spełniające równanie diofantyczne
NWD(a, b) = xa + by.
*
Stosujemy algorytm Euklidesa do obliczenia NWD(309,186)
309 = 1 · 186 + 123
186 = 1 · 123 + 63
123 = 1 · 63 + 60
63 = 1 · 60 + 3
60 = 20 · 3 + 0
Wtedy mamy NWD(309, 186) = 3 oraz
3 = 63 − 1 · 60 =
= 63 − 1 · (123 − 1 · 63) = 2 · 63 − 1 · 123 =
= 2 · (186 − 1 · 123) − 1 · 123 = 2 · 186 − 3 · 123 =
= 2 · 186 − 3 · (309 − 1 · 186) =
= −3 · 309 + 5 · 186
Zatem 3 = −3 · 309 + 5 · 186 i rozwiązanie naszego
równania diofantycznego jest postać x = −3, y = 5.
11-5-31
* Równanie ax + by = c
Twierdzenie
Równanie diofantyczne ax+by = c posiada rozwiązanie wtedy i tylko
wtedy, gdy NWD(a, b) dzieli c.
Jeśli para liczb całkowitych x0, y0 jest rozwiązaniem równania ax + by = c
to wszystkie rozwiązania dane są wzorami:
x = x0 +
·t,
y = y0 −
·t
gdzie t jest dowolną liczbą całkowitą.
Zatem nasze wcześniejsze równanie diofantyczne
309x + 186y = 3 ma nieskończenie wiele rozwiązań i są one
postaci x = −3 + 62 · t, y = 5 − 103 · t, gdzie t jest dowolną
liczbą całkowitą.
11-5-31
*
• Równanie
2x+1=y2
ma w liczbach naturalnych jedno rozwiązanie: (3,3)
• Równanie
xy=yx
ma w liczbach naturalnych dwa rozwiązania, gdy x=2,
y=4 oraz x=4, y=2
11-5-31
Zadanie 1.
Rozwiąż w liczbach całkowitych równanie: 1001x + 35y = 49
Rozwiązanie
Obliczmy NWD(1001, 35) stosując algorytm Euklidesa.
1001 = 28 · 35 + 21
2 · (1001 − 28 · 35) − 1 · 35 =2 · 1001 − 57 · 35
35 = 1 · 21 + 14
21 − 1 · (35 − 1 · 21) = 2 · 21 − 1 · 35 =21 − 1 · 14
=7
21 = 1 · 14 + 7
14 = 21 · 7 + 0
Stad 2 · 1001 − 57 · 35 = 7 i mnożąc obie strony przez 7 mamy
14 · 1001 + (−399) · 35 = 49
Para x0 = 14, y0 = −399 jest rozwiązaniem.
Zatem wszystkie rozwiązania naszego równania są postaci:
x =x0 +
y =y0 −
· t = 14 + 5 · t
· t = −399 − 143 · t
t − liczba całkowita.
11-5-31
Zadanie 2
Ile biletów po 3 zł i po 5 zł można kupić za 149 zł, jeśli należy wydąć
wszystkie pieniądze? Znajdź wszystkie możliwe sposoby zakupu.
Rozwiązanie
Jeśli x jest liczba biletów po 3 zł, a y jest liczba biletów po 5 zł,
to 3x + 5y = 149.
Otrzymujemy:
x = 298 + 5 · t
y = −149 − 3 · t,
t − liczba całkowita
Liczby biletów muszą być liczbami nieujemnymi. Należy zatem
dobrać takie t, aby
x = 298 + 5 · t ≥ 0,
y = −149 − 3 · t ≥ 0.
Po prostych przekształceniach tych nierówności mamy
x = 298 + 5 · t
y = −149 − 3 · t,
−59 ≤ t ≤ −50.
11-5-31
*
Bilety można zakupić na 10 różnych sposobów
t −59 −58 −57 −56 −55 −54 −53 −52 −51 −50
x
3
8
13
18
23
28
33
38
43
48
y
28
25
22
19
16
13
10
7
4
1
11-5-31
*
11-5-31
*
(n+3)(n+4)(n+5)=1320
Rozwiązanie: Liczbę 1320 rozkładamy na
czynniki pierwsze 1320=23*3*5*11
Następnie wybieramy trzy dzielniki tej
liczby których iloczyn wynosi 1320 i są
trzema kolejnymi liczbami naturalnymi
10,11,12
Stąd n=7
11-5-31
*
Rozwiązanie I
xy+3x-2y=36
Przekształcamy do postaci
x(y+3)-2(y+3)=30
Stąd
(x-2)(y-3)=30
Liczby x-2 i y-3 są całkowite, zaś 30 można
przedstawić w postaci
30=1*30=30*1=2*15=15*2=3*10=10*3=5*6=6*5
11-5-31
Rozważane równanie jest równoważne
alternatywie układów równań
x-2=1
y+3=30
Po wstawieniu kolejnych postaci
liczby 30 otrzymamy wyniki:
(3,27), (4,12), (5,7), (7,3), (8,2)
11-5-31
11-5-31
*
Wyznaczamy z równania zmienną x
x=36+2y/y+3
Stąd
x=2+30/y+3
Szukana liczba x będzie naturalna, gdy
30/y+3
będzie liczbą całkowitą, tzn. y+3 będzie
dzielnikiem liczby 30. Zachodzi to wtedy,
gdy y+3 przyjmuje jedną z wartości
1,2,3,5,6,10,15,30 oraz y jest liczbą
naturalną. Stąd y należy do {2,3,7,12,27}.
11-5-31
a) (2x+y)(5x+3y)=7
b) xy=x+y+3
c) x2=14+y2
d) x2+y2=x+y+2
e) x2-7y=10
11-5-31
* Równanie a1x1 + ... + anxn = b
Twierdzenie
Równanie diofantyczne
a1x1 + ... + anxn = b
posiada rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy
NWD(a1, ..., an)|b.
11-5-31
*
Jak rozwiązać równanie a1x1 + ... + anxn = b,
gdy NWD(a1, ..., an) dzieli b?
11-5-31
*
Zadanie
*
Rozwiąż równanie diofantyczne 12x + 15y + 7z = 11.
*
Rozwiązanie
*
Ponieważ NWD(12, 15) = 3, więc 12x + 15y = 3(4x + 5y) = 3w.
*
Zatem nasze równanie możemy zastąpić układem równań
*
12x + 15y = 3w
*
3w + 7z = 11 .
*
Najpierw rozwiązujemy drugie równanie znanym nam
*
sposobem otrzymując rozwiązanie
*
z = 11 − 3 · u,
*
Teraz wstawiamy wyliczone w do pierwszego równania
*
Otrzymując
w = −22 + 7 · u.
12x + 15y = 3(−22 + 7u).
11-5-31
*
Po podzieleniu obu stron przez 3 mamy
4x + 5y = −22 + 7u.
Ponieważ NWD(4, 5) = 1, wiec najpierw szukamy konkretnego
rozwiązania równania 4x + 5y = 1.
4 · (−1) + 5 · 1 = 1. wiec
4 · (22 − 7u) + 5 · (−22 + 7u) = −22 + 7u.
Odpowiedź:
Rozwiązaniem naszego wyjściowego równania jest trójka
liczb postaci
x = 22 − 7u + 5t
y = −22 + 7u − 4t
z = 11 − 3u
gdzie t oraz u są dowolnymi liczbami całkowitymi.
11-5-31
*
Istnieje trójkąt prostokątny, którego boki maja długości 3, 4 oraz 5.
Jakie inne trójkąty prostokątne, których boki są liczbami naturalnymi,
można skonstruować?
Prowadzi to do wyznaczenia rozwiązań równania diofantycznego
x2 + y2 = z2 zwanego równaniem Pitagorasa.
Trójka x0, y0, z0 jest rozwiązaniem równania Pitagorasa wtedy i tylko
wtedy, gdy dla dowolnej liczby całkowitej d trójka dx0, dy0, dz0 tez jest
rozwiązaniem tego równania,
bo (dx0)2 + (dy0)2 = (dz0)2 ↔ x20+ y20 = z20
11-5-31
*
Wnioski
Bardzo częstym zadaniem na konkursach
matematycznych, w których członkowie naszych
grup biorą udział- jest zagadnienie
rozwiązywania równań lub układów równań w
liczbach całkowitych lub naturalnych. Ale dopiero
przygotowując prezentację dowiedzieliśmy się
,że są to równania diofantyczne, a ich
rozwiązania często związane są z bardzo
pomysłowymi rozumowaniami.
* Bibliografia
W.Sierpiński ,, Czym zajmuje się teoria liczb”
W. Sierpiński ,, O rozwiązywaniu równań w liczbach
całkowitych”
A.P. Juszkiewicz ,, Historia Matematyki”
Z. Bobiński,P. Jarek, A. Świątek, M. Uscki ,,O liczbach i
równaniach”
Z. Bobiński,P. Jarek, A. Świątek, M. Uscki ,, Miniatury
matematyczne”
Zasoby internetowe