Lista zadań

Lista zadań
Babilońska wiedza matematyczna
Zad. 1
Babilończycy korzystali z tablicy dodawania - utwórz w arkuszu kalkulacyjnym
EXCEL tablicę dodawania liczb w układzie sześćdziesiątkowym, dla liczb ze zbioru
{1,2,3....,59}. Zdefiniuj algorytm dodawania liczb w układzie sześćdziesiątkowym
mogących posiadać 9 cyfr części całkowitej i 9 cyfr części ułamkowej. Określ
algorytm za pomocą stosownych wiązań pomiędzy komórkami arkusza
kalkulacyjnego.
Zad. 2
Tworzono tablice mnoŜenia liczb {1, 2, 3, ...., 19, 20, 30, 40, 50} przez wybraną
liczbę główną p. Liczby te zestawiono parami z wynikami mnoŜenia, otrzymując
tablicę mnoŜenia. Przypuszcza się, Ŝe dobór liczb p był dokonywany ze
standardowej tablicy odwrotności liczb. Konstrukcja tablicy mnoŜenia umoŜliwiała
pamiętanie mniejszej ilości danych w celu wykonywania mnoŜenia innych liczb z
uŜyciem dodawania, np. 47p = 40p + 7p. W szelkie znaki liczb od 2 do 9 i od 20 do 50
zestawiano jako sumy 1, 2 i 3 znaków jedności lub 1, 2 i 3 znaków dziesiątek:
4=3+1, 5=3+2, 6=3+3, 7=3+3+1, 8=3+3+2, 9, 40=3*10+10,50=3*10+2*10. Gdy np.
p=7, to iloczyn k*7 obliczano jako sumę k*3+k*3+k, a dla p=5, k*5=k*3+k*2.
Zbuduj w EXCEL-utablicę mnoŜenia {1,2,3,...,59}. Zastanów się czy rachunki
mnoŜenia uproszczą się jeśli zgodnie z zaproponowanym rozkładem liczb na sumy
krotności jedności i dziesiątek, będziemy wykorzystywali tylko mnoŜenia przez
{1,2,3,20,30}. Wykonaj mnoŜenie 47*17.
Zad. 3
a) Zadanie dotyczące znalezienia odwrotności (igibum) c-1 danej liczby c (igum),
gdzie c*c-1=60n , dla n będącego liczbą całkowitą, rozwiązywano na podstawie
niejednoznacznego algorytmu opartego na wzorach:
c:= a+b, a + b = b(ab-1 + 1) , d:=b, e:= ab-1 +1, c-1:=(de)-1, (de)-1 = d-1e-1.
Korzystając z tablicy dodawania i mnoŜenia zbuduj w EXCEL-u tablice istniejących
odwrotności liczb ze zbioru {1,2,3,...,59}, dla n=0,1,2.
b) Odwrotnością liczby 81 w zapisie babilońskim jest liczba 44,26,40. W którym
miejscu powinien być umieszczony średnik rozpoczynający część ułamkową w
zapisie babilońskim?
c) Oblicz odwrotność 2/3 i zapisz te liczby w systemie sześćdziesiątkowym. Sprawdź
to obliczenie korzystając z algorytmu babilonczyków.
Zad. 4 Przekątna kwadratu ([1], s. 30-33)
Rysunek prezentuje algorytm obliczania przekątnej kwadratu. Bok kwadratu a=30, b
= √2 = 1;24,51,10, przekątna c=a*b, c=42;25,35. Po pomnoŜeniu wielkości a,b,c
przez odpowiedni współczynnik proporcjonalności, algorytm moŜna stosować dla
innych kwadratów.
Sprawdź w układzie dziesiątkowym zapisu liczb, Ŝe równość c=a*b jest
spełniona z dokładnością do czwartego miejsca po przecinku
Zad. 5 Pierwiastki kwadratowe ([1], s. 28-30)
Przedstawiamy tłumaczenie szóstej i siódmej części tabliczki BM 13901 z British
Museum. Średniki zostały dodane przy transkrypcji rozwiązań zadań:
dodałem pole i dwie trzecie boku kwadratu i otrzymałem liczbę 0;35. Bierzesz 1,
„współczynnik”. Dwie trzecie z 1, współczynnika, stanowi 0;40. Połowę tego, 0;20,
mnoŜysz przez 0;20 (i otrzymujesz wynik) 0;6,40 dodajesz do 0;35 i (wynik końcowy)
0;41,40 ma 0;50 jako pierwiastek kwadratowy. 0;20, które pomnoŜyłeś przez siebie,
odejmiesz od 0;50 i 0;30 jest (bokiem) kwadratu.
0;40 2
0;40
) + 0;35 −
= 0;30. Jest
We współczesnej notacji szukany bok kwadratu x= (
2
2
to rozwiązanie równania x2 + 2/3 x = 0;35. Dokonaj stosownego sprawdzenia
obliczeń w układzie dziesiątkowym i wyjaśnij zastosowany algorytm rozwiązania za
pomocą równowaŜnych przekształceniach pól prostokątów i kwadratów: pole 0;35
szukanego prostokąta jest iloczynem (x+2/3)x =0;35, 2/3 = 40/60=0;40.
x2
x2
0;35=
=
x*0;40
x*0;20
x*0;2
_
=
{(0;20)2 + 0;35} - (0;20)2
(0;20)2
x + 0;20
Z rysunku widać, Ŝe (x + 0;20)2 = (0;20)2 + 0;35, a więc
0;40 2
x + 0;20 = (
) + 0;35 .
2
Egipska wiedza matematyczna
Zad. 6 Algorytm mnoŜenie krotności
W staroŜytnym Egipcie dowolną krotność rozpisywano na sumę wyrazów ciągu 1,2
22, 23, ..., 2n,... Udowodnij, Ŝe dowolną liczbę naturalna moŜna tak zapisać. Czy ten
rozkład nie prowadzi współcześnie do binarnego zapisu liczby?
Niech liczba k = 2i1 + 2i2 +...+ 2ij, a i1<i2<...<ij, oraz dla liczby n dysponujemy tablicą
1
1*n
2
2*n
........
2i1
2i1*n √
........
2i2
2i2*n √
........
2ij
2ij*n √
kolejnego mnoŜenia przez 2 liczb otrzymanych z pierwszego mnoŜenia liczby n.
MnoŜenie przez 2 liczby a Egipcjanie sprowadzali do sumy a+a . Liczbę 2ij
znajdowano jako taką, Ŝe 2ij ≤ k <2* 2ij . Odejmując od k potęgę 2ij uzyskano liczbę
dla której w te sam sposób znajdowano potęgę 2 o mniejszym wykładniku.
Rozumowanie to powtarzano aŜ do uzyskania wszystkich potęg 2, z których składała
się liczba k. Po sporządzeniu powyŜszej tablicy sumowano odfajkowane wyniki
mnoŜeń przez 2, uzyskując w ten sposób iloczyn k*n .
Zastosuj powyŜszy algorytm do pomnoŜenia liczb k=369, n=19.
Zad. 7 (liczenie postępów potegowych – „drabin liczb”)
Dla celów ćwiczebnych układano zadania o treści rozrywkowej, nie mające
bezpośredniego zastosowania w praktyce. Do najciekawszy takich zadań (mających
róŜne odmiany) było zadanie na postęp geometryczny „drabina siedem”:
„drabina
dom
7
ko t
49
1
2 801
mysz
343
2
5 602
jęczmień
2 401
4
11 204
-------------------miara
16 807
razem 1 9 607”
W zadaniu jest mowa najpierw o 7 kotach w kaŜdym z 7domów;kaŜdy kot zjadł po 7
myszy, z których kaŜda zjadła po 7 kłosów jęczmienia; kaŜdy z kłosów mógł dać 7
miar ziarna. Sumę domów, kotów, kłosów i miar ziarna oblicza mnoŜenie 2801*7 =
2801 * (1+2+4).
Korzystając z algorytmu mnoŜenia podanego w zad. 6 wyjaśnij tabelę obliczeń
prowadzących do rozwiązania „drabiny siódemki”
Zad. 8 O rozkładach ułamków ([2], t.1,s. 27-30)
Ułamki w staroŜytnym Egipcie pojawiają się jako znaki części egipskiej jednostki pola
setat. Znaki te oznaczają takie ułamki jak: 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/6 i 1/8. W
papirusie Rhinda znajduje się wiele rozkładów ułamków na sumę ułamków postaci
1/n a takŜe wyróŜnionego ułamka 2/3, a na początku papirusu ztablicowano rozkłady
od n=3 do n=101. Np. rozkłady
1/6 + 1/6 = 1/3, bo 6 części 1/6 jest 1, 1/3 z 6 części 1/6 jest 2 po 1/3,
1/6 + 1/6 + 1/6 =1/2, bo połowa z 6 części po 1/6 jest 3 części po 1/6,
(0)
1/3 + 1/3 = 2/3, bo 2/3 to 2 części po 1/3,
(1)
1/3 + 1/6 = 1/2, bo 1/3 z 6 części po 1/6 to 2 części po 1/6, a dodać 1/6
jest 3 części po 1/6, a to jest połowa 1 składającej się z 6 części po 1/6.
(2)
1/2 + 1/3 + 1/6 = 1
Egipcjanie stosowali te rozkłady bardzo często i prawdopodobnie znali je na pamięć.
Wymienione rozkłady słuŜyły do wyprowadzeń następujących równości
(3)
1/6 + 1/12 = 1/4
(4)
1/9 + 1/18 = 1/6
(5)
1/12 + 1/12 = 1/8, itd.
Powstałe przez podzielenie równości (0)-(5) przez 2, 3, 4. (0) i rozkład
(6)
2/3 = 1/2+ 1/6
daje równość
1/3 + 1/3 = 1/2 + 1/6
z czego, dzieląc stronami przez 3 otrzymujemy
1/9 + 1/9 = 1/6 + 1/18
I podobnie po dzieleniu przez 5
1/ 15 + 1/15 = 1/10 + 1/30.
Ogólnie
1/3k + 1/3k = 2* 1/3k = 2/3 * 1/k = (1/2 + 1/6)*1/k = 1/2k + 1/6k.
a) Uzasadnić na podstawie (1)-(5), Ŝe 1/13 = 1/26 + 1/39 + 1/78,
b) Traktując ułamki typu 1/n jako n-te części jedności uzasadnij dlaczego 2/7 = 1/4 +
1/28 (1 składa się z 2 części).
c) Udowodnić, Ŝe dowolny ułamek a/b , dla 0<a<b moŜna rozłoŜyć na dwa róŜne
ułamki postaci 1/n.
Zad. 7 (dzielenie liczb przez liczby)
Przytaczamy fragment schematu dzielenia liczby 37 przez (1 + 2/3 + 1/2 + 1/7)
podany w zadaniu 33 papirusu Rhinda. Wynik dzielenia poszukiwany jest jako
stosowna suma potęg liczby 2:
1
1 + 2/3 + 1/2 + 1/7
(dzielnik liczby 37)
2
4 + 1/3 + 1/4 + 1/28
(2*dzielnik, poniewaŜ 2*1/7 = 1/4 + 1/28)
4
9 + 1/6 + 1/14
(2*powyŜsza liczba, poniewaŜ 2/3 = 1/2 + 1/6)
8
18 + 1/3 + 1/7
(2* powyŜsza liczba)
16
36 + 2/3 + 1/4 + 1/28
(2* powyŜsza liczba, z 2*1/7 = 1/4 + 1/28).
Następnie poszukiwany była pewna krotność k ułamka 1/n, dla której wynik z
dzielenia wynosi 16 + k/n, taka, Ŝe
(16+k/n)* (1 + 2/3 + 1/2 + 1/7) = 16*(1 + 2/3 + 1/2 + 1/7) + k/n*(1 + 2/3 + 1/2 + 1/7) =
36 + 2/3 + 1/4 + 1/28 + k/n*(1 + 2/3 + 1/2 + 1/7) = 37,
a więc
2/3 + 1/4 + 1/28 + k/n*(1 + 2/3 + 1/2 + 1/7) = 1.
Pada pytanie: na ile jednostek podzielić liczbę 1, aby wyznaczyć k/n. Najpierw
obierano liczbę zwaną „czerwoną”, która po podstawieniu za 1 w równości
1*2
2/3 + 1*1/4 + 1* 1/28 + k/n*(1 + 1*2/3 + 1*1/2 + 1*1/7) = 1
zmieniała ułamki na liczby całkowite. Np. taką liczbą moŜe być 42. Wtedy
14 + 10+1/2 + 1 + 1/2 + k/n*(42 + 28 +21 +6)=42,
stąd
26 + k/n*97 = 42.
Stąd n=97, bo k/n*97 daje liczbę całkowitą obranych jednostek liczby 1. Zatem k=16.
Wynik z dzielenia wynosi : 16 + 16/97.
Zastosuj opisany algorytm dzielenia:
a)
25 : (2 + 2/3 + 2/7),
b)
100: (10 + 1/2 + 1/3 + 1/5),
c)
(5 + 2/3+ 1/7) : (2 +/3 + 2/7) - wprowadź najpierw liczbę „czerwona” i zamień
1*(5 + 2/3 + 1/7) na liczbę całkowitą i wykonaj dzielenie według algorytmu, a
wynik podziel ponownie przez te liczbę „czerwoną”.