Arytmetyka teoretyczna LISTA 2: A. Konstrukcje pierścienia liczb

Arytmetyka teoretyczna
LISTA 2:
A. Konstrukcje pierścienia liczb całkowitych i ciała liczb wymiernych.
B. Podzielność w pierścieniu hZ, +, ·i liczb całkowitych. Algorytm Euklidesa. Liczby pierwsze.
A. Na zbiorze N × N definiujemy relacjȩ równoważności
(a, b) ≈ (c, d) ⇔ a + d = c + b.
Na zbiorze ilorazowym określamy nastȩpuja̧ce działania:
[(a, b)]≈ + [(c, d)]≈ = [(a + c, b + d)]≈ oraz
[(a, b)]≈ · [(c, d)]≈ = [(ac + bd, bc + ad)]≈ .
Definiujemy pierścień liczb całkowitych:
hZ, +, ·i = h(N × N)/≈ , +, ·i,
oraz 0 = [(0, 0)]≈ , 1 = [(1, 0)]≈ .
Zad.1. Pokazać, że definicje działań nie zależa̧ od wyboru reprezentantów, i określaja̧ pierścień przemienny.
Na zbiorze Z × (Z \ {0}) definiujemy relacjȩ równoważności (a, b) ≈
(c, d) ⇔ ad = cb. Na zbiorze ilorazowym określamy działania:
[(a, b)]≈ + [(c, d)]≈ = [(ad + bc, bd)]≈
oraz
[(a, b)]≈ · [(c, d)]≈ = [(ac, bd)]≈ .
Definiujemy pierścień liczb wymiernych:
hQ, +, ·i = h(Z × (Z \ {0}))/≈ , +, ·i,
oraz 0 = [(0, 1)]≈ , 1 = [(1, 1)]≈ .
Zad.2. Pokazać, że definicje działań nie zależa̧ od wyboru reprezentantów, i określaja̧ ciało.
1
B.
Zad.3. Stosuja̧c Aksjomat Indukcji, udowodnić nastȩpuja̧ce twierdzenie
o dzieleniu z reszta̧.
Twierdzenie. Dla każdej liczby całkowitej a i każdej liczby
całkowitej b > 0 istnieja̧ liczby całkowite q, r takie, że a = q · b + r
oraz 0 ≤ r < b.
Zad.4. Wykorzystuja̧c algorytm Euklidesa, dla podanych par liczb x, y
znaleźć N W D(x, y) oraz współczynniki całkowite s, t, dla których zachodzi
N W D(x, y) = s · x + t · y:
(a) x = 26, y = 39; (b) x = 7, y = 3.
Zad.5. Pokazać, że jeśli p 6= 1 jest liczba̧ pierwsza̧ (tzn. nie ma dzielników poza {1, p}), to dla dowolnych liczb a, b, jeśli p|a · b, to p|a lub p|b.
Zad.6. Pokazać, dla dowolnych liczb całkowitych a, b, c spełniaja̧cych
N W D(a, b) = 1 zachodza̧ nastȩpuja̧ce stwierdzenia
(a) a|bc, to a|c.
(b) a|c i b|c, to ab|c.
Zad.7. (a) Pokazać, że dla dowolnych liczb całkowitych a, b prawdziwa
jest równość a · b = N W D(a, b) · N W W (a, b).
(b) Wskazać przykład liczb całkowitych a, b, c, dla których prawdziwa jest
nierówność a · b · c 6= N W D(a, b, c) · N W W (a, b, c).
(c) Pokazać, że jeśli liczby calkowite a, b, c sa̧ parami wzglȩdnie pierwsze, to
zachodzi równość a · b · c = N W D(a, b, c) · N W W (a, b, c).
n
Dla każdej liczby naturalnej n definiujemy liczbȩ Fn = 22 + 1, która̧
nazywamy n-ta̧ liczba̧ Fermata.
Zad.8. (a) Pokazać, że jeśli n 6= k, to liczby Fn i Fk sa̧ wzglȩdnie pierwsze.
(b) pokazać, że jeśli liczba 2m + 1 jest pierwsza, to jest liczba̧ Fermata.
Zad.9. Udowodnić, że zbiór liczb pierwszych jest nieskończony.
Zad.10. Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej n istnieje wiȩksza
od niej liczba pierwsza postaci: (a) 4k + 3
(b) 6k + 5.
Twierdzenie( Lejeune-Dirichlet) Jeśli N W D(a, b) = 1, to w
postȩpie arytmetycznym (a + k · b)k∈N jest nieskończenie wiele
liczb pierwszych.
2
Zad.11. Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych,
które nie sa̧ sumami dwóch liczb pierwszych.
Zad.12. Pokazać, że poniższa hipoteza (II) implikuje hipotezy (I) i (III).
Hipoteza Goldbacha (1742) (I) Każda liczba naturalna wiȩksza
niż 5 może być przedstawiona w postaci sumy trzech liczb pierwszych.
(II) Każda liczba parzysta wiȩksza niż 2 może być przedstawiona
jako suma dwóch liczb pierwszych.
(III) (słaba) Każda liczba nieparzysta wiȩksza od 7 jest suma̧
trzech nieparzystych liczb pierwszych.
Twierdzenie. (Rozkład liczb całkowitych na czynniki pierwsze.)
Każda̧ liczbȩ naturalna̧ n > 1 można przedstawić w postaci iloczynu liczb
pierwszych.
Zad.13. Udowodnić (indukcyjnie) twierdzenie o rozkładzie na czynniki
pierwsze. Pokazać, że każda̧ liczbȩ naturalna̧ n > 1 można przedstawić w
postaci iloczynu (∗) n = pα1 1 · pα2 2 · . . . · pαs s , gdzie p1 < p2 < . . . < pn jest
rosna̧cym cia̧giem liczb pierwszych w dokładnie jeden sposób.
3