1.Instrumenty pochodne 2.Elementy składowe instrumentu

1.Instrumenty pochodne
Kontrakty terminowe nazywane sa instrumentami pochodnymi (derivatives).
Kontrakt terminowy zobowiazuje dwie strony do przeprowadzenia w przyszłosci pewnej transakcji na
wczesniej ustalonych warunkach. Jedna strona kontraktów (nabywca - ten, co kupuje przedmiot),
który zajmuje tzw. długa pozycje (long position) i zobowiazuje sie zapłacic ustalona cene po
dostarczeniu przedmiotu kontraktu. Druga strona jest wystawiajacy kontrakt (sprzedaje). Zajmuje
pozycje krótka (short position) i zobowiazuje sie dostarczyc w okreslonym terminie przedmiot
kontraktu zwany instrumentem podstawowym (bazowym) (underlying). Przedmiotem transakcji
mogą być towary lub produkty finansowe, których cena uzależniona jest od indeksów giełdowych,
kursów walut, stóp procentowych, itp.
Cena instrumentu jest zazwyczaj niewielkim procentem wartosci instrumentu bazowego.
Podstawowe kontrakty to: kontrakt forward, kontrakty futures, opcje.
Termin wykonania transakcji oraz cena transakcji są ustalone w momencie jej zawierania.
Wynik finansowy transakcji w momencie jej zawierania jest nieznany z uwagi na zmienność ceny
przedmiotu transakcji, czyli instrumentu bazowego
2.Elementy składowe instrumentu pochodnego
Rodzaj transakcji (kupno-sprzedaż, wymiana płatności, wymiana walut)
Instrument bazowy (towar, akcja, kurs walutowy, indeks giełdowy, stopa procentowa, inny
instrument pochodny)
Termin wygaśnięcia kontraktu (dzień, przedział czasowy)
Obowiązki i prawa stron
Sposób rozliczenia i realizacja kontraktu
3. Opcje
Opcja jest prawem do zakupu lub sprzedaży określonej ilości wyspecyfikowanego przedmiotu (tzw.
instrumentu bazowego) po z góry ustalonej cenie i w ciągu umówionego okresu lub w wyznaczonym
terminie.
Opcja jest to umowa dająca jej posiadaczowi prawo do wykonania określonej czynności w
określonym momencie lub przedziale czasu
Opcja posiada swoją wartość. Premia jest to cena, którą musimy zapłacić za nabycie opcji.
Mówimy, że:
•
•
”Opcja jest w cenie” (in the money), gdy opłaca sie ja wykonac.
”Opcja jest po cenie” (at the money), gdy cena wykonania równa cenie instrumentu
bazowego.
•
”Opcja nie jest w cenie” (out of the money), gdy nie opłaca sie jej wykonac.
4.Cele zawierania kontraktów opcyjnych
Zabezpieczenia przed niekorzystnymi zmianami cen instrumentu bazowego
Spekulacji na spadku lub wzroście instrumentu bazowego
Arbitrażu między rynkiem instrumentów pochodnych a rynkiem instrumentów bazowych
5. Terminy
•
•
•
Termin wykonania - to termin, w którym nabywca wykorzystuje swoje prawo i
wykonuje opcje
Termin rozliczenia - upływajacy zazwyczaj dwa dni robocze po terminie wykonania
to termin, w którym musi nastapic wymiana gotówki badz towaru
Termin wygasniecia - to termin, po którym opcja nie moze byc wykorzystana i traci
swoja waznosc
6. Opcje kupna, sprzedaży
Opcje kupna (call option)
Opcja kupna jest kontraktem dajacym nabywcy prawo do kupna okreslonej ilosci instrumentu
podstawowego po okreslonej cenie wykonania i okreslonym terminie wykonania. Druga
strona kontraktu ma obowiazek wykonania opcji (tzn. obowiazek sprzedazy instrumentu bazowego).
Opcje sprzedazy(put option)
Opcja sprzedazy daje nabywcy prawo do sprzedazy instrumentu bazowego, zas wystawca
opcji ma obowiazek kupic instrument bazowy.
7. Opcja europejska, amerykańska
Opcja europejska
Opcja, która moze byc wykonana tylko w dniu wygasniecia.
Opcja amerykanska
Opcja, która moze byc wykonana w dowolnym dniu od momentu nabycia do terminu
wygasniecia.
Europejska opcja kupna na akcje
Prawo (bez obowiązku) kupna akcji określonej spółki po z góry ustalonej cenie, zwanej ceną
wykonania, w określonym momencie w przyszłości zwanym datą wykonania
Przykład : akcja PKN kosztuje 33 zł. Europejska opcja kupna z ceną wykonania 38 zł
wygasająca 23 marca 2010 roku daje jej nabywcy prawo kupienia jednej akcji PKN za 38 zł w
dniu 23 marca 2010 roku. (W praktyce opcje nabywa się w ustalonych pakietach
pozwalających kupić większe ilości akcji)
Europejska pcja sprzedaży na akcje (PUT option)
Prawo (bez obowiązku) sprzedaży akcji określonej spółki po z góry ustalonej cenie, zwanej ceną
wykonania, w określonym momencie w przyszłości zwanym datą wykonania
Opcje amerykańskie kupna na akcje
Prawo (bez obowiązku) kupna akcji określonej spółki po z góry ustalonej cenie, zwanej ceną
wykonania, do określonego momentu w przyszłości
Opcje amerykańskie sprzedaży
Prawo (bez obowiązku) sprzedaży akcji określonej spółki po z góry ustalonej cenie, zwanej ceną
wykonania, do określonego momentu w przyszłości
8.Strona kupująca, wystawiająca
Każdy inwestor może być (dotyczy to obu rodzajów opcji : kupna, sprzedaży):
NABYWCĄ OPCJI
(KUPUJĄCYM)
WYSTAWCĄ OPCJI (SPRZEDAJACYM)
o nabywcy mówimy że :
o wystawcy mówimy że :
ZAJĄŁ DŁUGĄ POZYCJĘ NA OPCJI
ZAJĄŁ KRÓTKĄ POZYCJĘ NA OPCJI
9. Funkcja wypłaty
K - cena realizacji (wykonania), cena wykonania
T - data wygaśnięcia opcji, termin wykupu
ST - cena w momencie T waloru bazowego, na który wystawiona jest opcja
Niech C oznaczać będzie cenę opcji kupna a P będzie ceną opcji sprzedaży
Definicja
Funkcję zdefiniowaną wzorem
S − K gdy ST > K
Gc =  T
gdy ST ≤ K
0
nazywamy funkcją wypłaty dla posiadacza opcji kupna.
Funkcję zdefiniowaną wzorem
 K − ST gdy ST < K
Gp = 
gdy ST ≥ K
0
nazywamy funkcją wypłaty dla posiadacza opcji sprzedaży.
10.Zysk posiadacza, wystawcy opcji
Zysk posiadacza opcji kupna (long call)
− C
Glc = 
( ST − K ) − C
gdy ST ≤ K
gdy ST > K
Zysk wystawcy opcji kupna (short call)
C
Gsc = 
 − ( ST − K ) + C
gdy ST ≤ K
gdy ST > K
Zysk wystawcy opcji sprzedaży (short put)
− ( K − S T ) + P
Gsp = 
P
gdy ST ≤ K
gdy ST > K
Zysk posiadacza opcji sprzedaży (long put)
( K − ST ) − P
Glp = 
− P
gdy ST ≤ K
gdy ST > K
11.Model Coxa-Rossa-Rubinsteina
W modelach dyskretnych wyceny opcji losowosc wyrazona jest poprzez wystapienie skonczonej
liczby mozliwych scenariuszy. Zakłada sie przy tym, ze rynek jest wielookresowy, tzn. cena akcji
zmienia sie w chwili 1, 2, . . . , T gdzie T to czas wygasniecia opcji. Naprostszym modelem wyceny
opcji jest model dwumianowy, w którym to w kazdym okresie moze wystapic jedno z dwóch zdarzen,
cena opcji moze wzrosnac do St · u lub spasc do St · d, gdzie u > d > 0, u · d = 1, 0 < d < 1.
Graficznie mozemy te sytuacje przedstawic na drzewie dwumianowym:
Model dwumianowy wyceny opcji zakłada, że zmiany ceny instrumentu bazowego kształtują się
zgodnie z rozkładem dwumianowym.
12. Wycena opcji w modelu dwumianowym
Cel:
określenie ceny opcji kupna C0
Dane: cena realizacji - K
cena początkowa akcji - S0
cena akcji po upływie okresu
u
• w przypadku wzrostu S1
• w przypadku spadku S1d
stopa wolna od ryzyka - r
Zakładamy ponadto, że
- wycena będzie dokonana w warunkach obojętności wobec ryzyka, tzn. cena opcji nie będzie
zależała od późniejszego zachowania akcji
- akcja nie przynosi dywidendy
- rynek jest doskonały
Przykład
cena realizacji – 110 zł
cena początkowa akcji - 100 zł
cena akcji po upływie okresu
w przypadku wzrostu – 150 zł
w przypadku spadku – 70 zł
okresowa stopa wolna od ryzyka - 20 %
S1u = 150 zł
K = 110 zł
S0 = 100 zł
C1u = 40 zł
C0 = ?
S1d = 70 zł
C1d = 0 zł
Wartość opcji (funkcja wypłaty) po upływie jednego okresu w przypadku wzrostu ceny akcji
C1u = max(0, S1u − K ) = max(0, 150 − 110) = 40
Wartość opcji (funkcja wypłaty) po upływie jednego okresu w przypadku spadku ceny akcji
C1d = max(0, S1d − K ) = max(0, 70 − 110) = 0
Rozważmy portfel składający się z jednej opcji kupna w pozycji krótkiej oraz pewnej liczby akcji ∆0
Portfel ma być wolny od ryzyka tzn: V u = V d
1
1
∆ 0 ⋅ S1u − C1u = ∆ 0 ⋅ S1d − C1d , zatem
C1u − C1d
C1u − C1d
=
S1u − S1d S 0 (u − d )
Gdzie S1u = uS 0 , S1d = dS 0
∆0 =
S1u > K , u > 1 + r > d
Gdyby d > 1+r, to możliwy byłby arbitraż polegający na możliwości zaciągnięcia nieograniczonego
kredytu przy stopie r oraz inwestycja w akcje.
Gdyby 1+r >u, to możliwy byłby arbitraż polegający na krótkiej sprzedaży akcji i ulokowanie
pieniędzy na lokacie o oprocentowaniu r.
Skoro portfel jest wolny od ryzyka, jego roczna stopa zwrotu musi być równa stopie zwrotu wolnej od
ryzyka.
u
Zatem:
wart. końc. portf./(1+r)= wart. początk. portf.
∆ 0 S 0u − C1
= ∆ 0 S 0 − C0
1+ r
Stąd wyliczając C0 otrzymujemy (uwzględniając wzór na delta)
∆ 0 S 0u − C1u
1
=
(∆ 0 S0 (1 + r ) − ∆ 0 S0u + C1u =
1+ r
1+ r

1 
C1u − C1d C1u − C1d
=
S
(
1
+
r
)
−
S 0u + C1u 
 0
1+ r 
S 0 (u − d ) S 0 (u − d )

)
C0 = ∆ 0 S 0 −
C1u − C1d C1u − C1d
u−d
1 
C0 =
u + C1u
−
(1 + r )
=
u−d
u−d
u−d
1+ r 
1  (1 + r )C1u − (1 + r )C1d + C1d u − C1u d 
=

=
u−d
1+ r 

1  (1 + r − d )C1u + [u − (1 + r )]C1d

u−d
1+ r 

=

u
d
1  (1 + r − d )C1 [u − (1 + r )]C1 
=
+

=
u−d
u−d
1+ r 

1
1+ r − d
=
pC1u + (1 − p )C1d , gdzie p =
u−d
1+ r
=
[
]
Cena europejskiej opcji kupna w dwustanowym modelu jednookresowym (przy wcześniejszych
oznaczeniach) dana jest wzorem
C0 =
=
1  (1 + r − d )C1u [u − (1 + r )]C1d 
+

=
1+ r 
u−d
u −d

[
]
1
1+ r − d
pC1u + (1 − p )C1d , gdzie p =
1+ r
u −d
zatem
[
{
]
1
1+ r − d
pC1u + (1 − p )C1d , gdzie p =
1+ r
u−d
u
u
d
d
C1 = max S1 − K ,0 C1 = max S1 − K ,0
C0 =
}
{
}
Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji sprzedaży.
Cena europejskiej opcji sprzedaży z ceną realizacji K w jednookresowym modelu dwumianowym
wynosi:
P0 =
1  (1 + r ) − d u u − (1 + r ) d 
⋅ P1 +
⋅P
1 + r  (u − d )
(u − d ) 1 
gdzie P1u oraz P1u oznaczają wartości opcji sprzedaży odpowiednio po wzroście lub spadku akcji, czyli
[
{
]
1
1+ r − d
pP1u + (1 − p ) P1d , gdzie p =
1+ r
u−d
u
u
d
d
P1 = max K − S1 , 0 P1 = max K − S1 , 0
P0 =
}
{
}
Model dwustanowy dwuokresowy wyceny opcji kupna. Zmienność ceny akcji
S 2uu = u 2 ⋅ S 0
S = u ⋅ S0
u
u
1
u
d
S0
d
S 1d = d ⋅ S 0
u
d
(d)
(b)
(a)
(e)
(c)
(f)
K
S 2u d = S 2du = u ⋅ d ⋅ S 0
S 2dd = d 2 ⋅ S 0
(d) C 2uu
u
(b) C1
ud
du
(e) C 2 = C 2
(a) C0
d
(c) C1
(f)
C 2dd
Model dwustanowy dwuokresowy
Stosując wzór na wycenę opcji kupna w modelu jednookresowym dla węzłów (b), (c) otrzymujemy
C1u =
C1d =
(
1
p ⋅ C2uu + (1 − p ) ⋅ C2ud
1+ r
(
1
p ⋅ C2du + (1 − p ) ⋅ C2dd
1+ r
)
)
Znając te wyceny można wyznaczyć cenę opcji w chwili początkowej - czyli w węźle (a)
C0 =
(
1
p ⋅ C1u + (1 − p ) ⋅ C1d
1+ r
)
Podstawiając dwa poprzednie wzory do ostatniego otrzymujemy
(
)
1
p ⋅ C1u + (1 − p ) ⋅ C1d =
1+ r
1 
1
1

=
p⋅
p ⋅ C2uu + (1 − p ) ⋅ C2ud + (1 − p ) ⋅
p ⋅ C2du + (1 − p ) ⋅ C2dd  =

1+ r  1+ r
1+ r

1
2
=
p 2 ⋅ C2uu + p ⋅ (1 − p ) ⋅ C2ud + p ⋅ (1 − p ) ⋅ C2du + (1 − r ) ⋅ C2dd ⋅ =
2
(1 + r )
1
2
=
p 2 ⋅ C2uu + 2 p ⋅ (1 − p ) ⋅ C2ud + (1 − p ) ⋅ C2dd
2
(1 + r )
C0 =
(
)
(
)
[
]
(
)
Mamy więc:
C0 =
(
1
2
p 2 ⋅ C2uu + 2 p ⋅ (1 − p ) ⋅ C2ud + (1 − p ) ⋅ C2dd
2
(1 + r )
{
}
Gdzie C2uu = max S 2uu − K ,0
Oraz p =
1+ r − d
u−d
{
}
C2ud = max S 2ud − K ,0
)
{
}
C2dd = max S 2dd − K ,0
Wzór na wycenę opcji można przedstawić następująco:
C0 =
(
(
)
(
1
2
p 2 max u 2 S 0 − K ,0 + 2 p ⋅ (1 − p ) max (udS 0 − K ,0 ) + (1 − p ) max d 2 S 0 − K ,0
2
(1 + r )
))
Uogólnienie wzoru na wycenę opcji kupna dla modelu dwuokresowego
C0 =
1
(1 + r )2
2
∑  k  p (1 − p )
2
2−k
k
k =0
 
(
)
max u k d 2−k S 0 − K ,0 .
wycena opcji kupna w modelu n - okresowym:
C0 =
1
(1 + r )n
n
∑  k  p (1 − p )
n
n−k
k
k =0
 
(
)
max u k d n − k S 0 − K ,0 .
n
Jeżeli p potraktujemy jako prawdopodobieństwo wzrostu akcji, to liczba   p k (1 − p )
k
n−k
 
jest prawdopodobieństwem uzyskania ceny końcowej akcji ukdn-kS0, zaś liczba
Max(ukdn-kS0-K,0) jest wartością (funkcją wypłaty) opcji kupna przy tej cenie akcji. Liczba C0 jest
więc równa zaktualizowanej na moment początkowy oczekiwanej wartości funkcji wypłaty.
Model dwustanowy n – okresowy. Wzór na wycenę opcji sprzedaży
P0 =
1
(1 + r )n
n
∑  k  p (1 − p )
n
k
k =0
 
n−k
(
max K − u k d n − k S 0 , 0
)
Jeżeli p potraktujemy jako prawdopodobieństwo wzrostu akcji, to liczba P0 jest równa
zaktualizowanej na moment początkowy oczekiwanej wartości funkcji wypłaty opcji sprzedaży.
Liczba Max(K-ukdn-kS0, 0) jest wartością (funkcją wypłaty) opcji sprzedaży przy cenie akcji
ukdn-kS0.