Uklad_oznaczony_nieo..

Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej
Portalu www.szkolnictwo.pl
Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie
w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie
i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania
w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.
„Życie jest piękniejsze niż 2n.”
Erwin Kasparek
UKŁAD OZNACZONY, NIEOZNACZONY,
SPRZECZNY.
Układy równań, podobnie jak
niewiadomą, mogą mieć różne
zależności od tego, czy układ
nieskończenie wiele, czy nie
nazywamy go oznaczonym,
sprzecznym.
równania z jedną
liczby rozwiązań. W
równań ma jedno,
posiada rozwiązań
nieoznaczonym lub
UKŁAD OZNACZONY.
Układ oznaczony, to układ równań, którego
rozwiązaniem jest jedna para liczb.
Przykład:
x+1=3
x=3–1
x=2
Rozwiązanie układu.
y=1
INTERPRETACJA GRAFICZNA.
Ilustracją graficzną układu oznaczonego są dwie proste
przecinające się w jednym punkcie.
UKŁAD OZNACZONY A METODA
WYZNACZNIKÓW.
Układ równań posiada rozwiązanie,
wyznacznik główny W jest różny od zera.
jeśli
jego
UKŁAD NIEOZNACZONY.
Układ nieoznaczony, to układ równań, którego
rozwiązaniem jest nieskończenie wiele par liczb.
Przykład:
0 = 0 tożsamość
Jakakolwiek para liczb spełniająca jedno z
równań tego układu spełnia cały układ.
Rozwiązaniem tego układu są na przykład
pary: (1; 2), (2; 1), (1,5; 1,5), (-3; 6), (-1; 4)
itp.
Układ równań jest nieoznaczony, jeśli jedno z
równań układu można otrzymać po przez
przekształcenie drugiego (tu na przykład
wystarczy pomnożyć pierwsze równanie
przez 2).
INTERPRETACJA GRAFICZNA.
Ilustracją graficzną układu nieoznaczonego są dwie
pokrywające się proste.
UKŁAD NIEOZNACZONY A METODA
WYZNACZNIKÓW.
Układ równań posiada nieskończenie wiele rozwiązań,
jeśli jego wyznacznik główny W jest równy zero oraz
wyznaczniki Wx i Wy także są równe zero.
UKŁAD SPRZECZNY.
Układ sprzeczny, to układ równań, który nie ma
rozwiązania tzn. nie istnieje para liczb spełniająca oba
równania jednocześnie.
Przykład:
Gdy próbujemy rozwiązać układ równań,
który nie ma rozwiązań, otrzymujemy w
pewnym momencie sprzeczność.
0 = -4 sprzeczność
INTERPRETACJA GRAFICZNA.
Ilustracją graficzną układu sprzecznego są dwie proste
równoległe.
UKŁAD SPRZECZNY A METODA
WYZNACZNIKÓW.
Układ równań nie ma rozwiązania, jeśli jego wyznacznik
główny W jest równy zero oraz wyznacznik Wx lub Wy
nie równa się zero.
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 1.
Rozwiąż następujący układ równań:
Rozwiązujemy układ metodą postawiania. Z drugiego
równania wyznaczamy y i wstawiamy do pierwszego
równania.
4x – 2(2x – 2) = 4
4x – 4x + 4 = 4
4 = 4 - równanie tożsamościowe, a więc ten układ
równań jest układem nieoznaczonym.
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 2.
Rozwiąż następujący układ równań:
4y – 2(8 + 2y) = 1
4y – 16 – 4y = 1
-16 = 1 - sprzeczność, a więc
ten układ jest układem
sprzecznym.
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 3.
Zastąp a i b takimi liczbami, aby układ równań:
był: a) nieoznaczony,
b) sprzeczny,
c)oznaczony
a) Aby ten układ był nieoznaczony, drugie równie musi powstać
przez przekształcenie pierwszego. Współczynnik przy x w
drugim równaniu jest równy 2, co sugeruje, że aby otrzymać
układ nieoznaczony, pierwsze równanie należy pomnożyć przez
2:
x + 2y = 5 | ∙ 2
2x + 4y = 10
Mamy więc: a = 4; b = 10
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 3 – ciąg dalszy.
b) Mając układ nieoznaczony, łatwo znaleźć pozostałe dwa. Aby
otrzymać układ sprzeczny, wystarczy w układzie nieoznaczonym
zmienić wyraz wolny (liczba b w tym zadaniu).
Mamy więc: a = 4; b = 8 (jakakolwiek liczba różna od 10)
c) Aby otrzymać układ oznaczony wystarczy za a i b wstawić inne
liczby niż w nieoznaczonym.
Mamy więc: a = 1 (jakakolwiek liczba różna od 4);
b = 2 (jakakolwiek liczba różna od 10)