Matematyczna i numeryczna analiza modeli transportu morfogenu
advertisement
Nr wniosku: 191586, nr raportu: 6635. Kierownik (z rap.): mgr Marcin Małogrosz Matematyczna i numeryczna analiza modeli transportu morfogenu Popularyzatorski opis rezultatów projektu Transport morfogenu to proces biologiczny zachodzący w tkankach organizmów żywych. Wiadomo, że pewne białka pełnią funkcję morfogenu - koncepcyjnie zdefiniowanej substancji odpowiedzialnej za kształt, rozmiar i inne własności komórki. Cząsteczki morfogenu rozprzestrzeniają się ze zlokalizowanego źródła przez tkankę organizmu i po pewnym czasie formują stabilne gradienty stężeń. Receptory zlokalizowane na błonach komórkowych odczytują stężenia morfogenu i przekazują tą informację do jądra komórki. Następnie dochodzi do ekspresji odpowiedniego genu co prowadzi do syntezy białek i różnicowania się komórki. Dokładny mechanizm kinetyczny rozprzestrzeniania się morfogenów nie jest znany. W literaturze naukowej matematyczne modele, zwykle układy równań różniczkowych, zostały zaproponowane by wyjaśnić omawiany proces. W modelach tych zakłada się, że ruch morfogenów odbywa się za pomocą różnych typów dyfuzji lub za pomocą bardziej skomplikowanych mechanizmów np. chemotaksji. Reakcje z receptorami (przyczepianie-odczepianie, transcytoza) oraz możliwości degradacji i wchłaniania (morfogenów, receptorów, kompleksów morfogen-receptor) są również brane pod uwagę. Poznanie dokładnego mechanizmu transportu morfogenu jest jednym z głównych celów biologii ewolucyjnej. Jednym z największych wyzwań matematycznej biologii jest poradzenie sobie z ogromną złożonością procesów. Na poziomie matematycznych modeli manifestuje sie to dużą liczbą zmiennych opisujących stężenia substancji oraz równań różniczkowych określających ich dynamikę. Ponieważ układy równań są zazwyczaj postawione na trójwymiarowej dziedzinie, więc ich numeryczne całkowanie jest bardzo kosztowne. Jest zatem pożądane by konstruować uproszczone wersje modeli, których rozwiązania mają te same własności jak rozwiązanaia modeli pierwotnych. W trakcie realizacji projektu skupiliśmy naszą uwagę na modelu transportu morfogenu Wingless w imaginalnym dysku skrzydlowym muchy owocowej. Imaginalny dysk skrzydłowy może być z dobrą dokładnością przybliżony niskim trójwymiarowym cylindrem. Z uwagi na symetrie w modelu możliwa jest kolejna redukcja do dziedziny będącej cienkim prostokątem. Głównym wynikiem projektu jest ścisły matematyczny dowód tego, że gdy szerokość dziedziny dąży do zera to rozwiązania modelu na prostokącie zbiegają do rozwiązań odpowiedniego modelu jednowymiarowego. Pozwala to uzasadnić, że model uproszczony jest dobrym przybliżeniem modelu wyjściowego. Z drugiej strony dokładna jakościowa analiza pozwoliła zaobserwować jedną zasadniczą różnicę pomiędzy obydwoma modelami. Mianowicie w przypadku dwuwymiarowym stężenie morfogenu jest nieograniczone w otoczeniu źródła substancji, podczas gdy jest ograniczone w przypadku jednowymiarowym. Zjawisko to jest konsekwencją tego, że delta Diraca, która użyta jest do zamodelowania punktowego źródła substancji jest mniej regularna w drugim wymiarze niż w pierwszym. 1
