Document

Zestaw 4
Równania macierzowe i układy równań liniowych
1. A , B i C są nieosobliwymi macierzami kwadratowymi tego samego stopnia. Wyznaczyć macierze odwrotne
do macierzy X, Y i Z jeżeli: X  A  B , Y  A  B  C , Z  A 1  B  C2
2. Wyznaczyć X spełniającą równanie:
1 
2
2 3
1 3   3  2 
3  2
2 1 2 3
 5  2  X  1 5 , X  2 7   0 1  , 0 1   X  5 2  4 5 ,





 




 

1 3 4 
2 3 1
X  1 4 5   
4 2 0
1 0  1 
3. Wyznacz macierz X przy założeniu, że macierze A, B, C i D są nieosobliwe:
BC-1XAD=I , A 2  X  B  C  D , XT  (X  XT )1  X  (XT  X) 1  (XT  X1 )1  XT  A
3
1 2
0  1
1
1
4. Dla macierzy A  
i B

 rozwiąż równanie X  A  X  B  A A  B  A .
1
4
4
5




5. Rozwiązać za pomocą wzorów Cramera układy równań:
 x1  x2  x3  x4  3
2 x  y  z  2


 x1  2 x2  x3  x4  2
;
;
3
x

2
y

2
z


2


2 x1  x2  x3  2 x4  3
x  2 y  z  1

 x1  x2  x3  x4  1
 x  y  z  6t  1

2 x  y  2 z  t  1 ;
 x  2 y  z  t  8

4
 3
 x  y  2 x  y  0
 9
8


5
 x  y 2 x  y
6. Za pomocą wyznaczników zbadaj, dla jakiej wartości parametru a układ równań ma dokładnie jedno
rozwiązanie?
x  y  z  1
 x1  ax2  3

x  y  z  2

 x1  ax2  4a
ax  y  z  1

7. Metodą eliminacji rozwiąż układy równań:
2 x1  2 x2  x3  6
x  y  2z  4


a)  x1  2 x2  3 x3  15
b) 3x  2 y  4 z  6
2 x  4 x  x  10
2 x  y  6 z  1
2
3

 1
 x  x  x3  4
c)  1 2
 x1  2 x2  3x3  8
8. Zbadać liczbę rozwiązań układów równań:
 x1  x2  x3  x4  0
x  y  z  2


a)  x  2 y  z  2 , b)  x1  x2  x3  2 x4  1 .
 x  3x  3x  2
2 x  y  z  1
2
3

 1
9. Zbadać liczbę rozwiązań układu równań w zależności od parametru m
mx  y  z  1
x  y  z  2
x  y  z  1



a)  x  my  z  m
b)  x  2 y  z  4
c)  y  z  4
 x  y  mz  m 2
2mx  3 y  m
mx  y  z  0



10. Zapisz w postaci macierzowej model dochodu narodowego (gdzie Y – dochód narodowy, C – konsumpcja) i
rozwiąż go za pomocą jednej z metod macierzowych, zakładając, że inwestycje ( I 0 ) wynoszą 200 j.p., a wydatki
rządowe ( G0 ) 60 j.p.
Y  C  I 0  G0
.

C  20  0,5Y
11. Dany jest model rynku, na którym występują dwa dobra. Wiedząc, że równowaga występuje gdy popyt jest
równy podaży ( QD  QS ) wyznacz ceny i ilości dóbr spełniających warunek równowagi:
q D1  6 p1  8 p2  80

q S 1  4 p1  80
,

q D 2  3 p1  4 p 2  30
q S 2  2 p2  24
gdzie: q D1 (q S 1 ) - wielkość popytu (podaży) pierwszego dobra, q D 2 ( q S 2 ) - wielkość popytu (podaży) drugiego
dobra, p1 i p 2 - ceny pierwszego i drugiego dobra.
12. Ciastkarnia sprzedaje zestawy drożdżówek. Zestaw pierwszy kosztuje 18 zł i zawiera po trzy drożdżówki
każdego rodzaju: z serem, z dżemem i z lukrem. Drugi zestaw kosztuje 20 zł i zawiera 2 drożdżówki z serem, 4 z
dżemem i 2 z lukrem. Zestaw trzeci zawiera po dwie drożdżówki każdego rodzaju i kosztuje 15 zł. Oblicz koszt
zakupu pojedynczej drożdżówki każdego rodzaju.
13. 12 000 osób kupiło bilety na koncert rockowy. Łączny przychód ze sprzedaży biletów wyniósł 440 000 zł.
Sprzedawane były dwa rodzaje biletów: w cenie 30 zł i 50 zł. Ile kupiono biletów każdego typu?
14. Zakład wytwarza wyroby W1, W2, W3 zużywając w procesie produkcji surowce S1, S2, S3. Zużycie
surowców Si przypadające na jednostkę wyrobu Wj oraz istniejące zapasy poszczególnych surowców
przedstawia tabela:
S1
S2
S3
W1
1
2
3
W2
1
3
4
W3
2
5
7
Zapasy
40
30
m
Przy jakim poziomie S3 będzie możliwe podjęcie decyzji o ilości produkcji każdego z wyrobów przy założeniu
konieczności wyczerpania zasobów surowcowych?