POLE MAGNETYCZNE

POLE MAGNETYCZNE
• Magnetyczna siła Lorentza
• Prawo Ampere’a
1
Doświadczenie Oersteda
W 1820 r. Hans C. Oersted odkrywa niezwykle interesujące zjawisko.
Przepuszczając prąd elektryczny nad igiełką magnetyczną, zauważa
jej wychylenie. Dzięki temu doświadczeniu stwierdzono że:
Przepływowi prądu towarzyszy powstanie
pola magnetycznego, które zmienia kierunek
igły magnetycznej.
Pole to ma charakter wirowy. Możemy
sprawdzić to sypiąc drobne opiłki na
karton przebity przewodnikiem, w
którym płynie prąd elektryczny o dużym Rys.1
natężeniu (rys.1).
I
2
POLE MAGNETYCZNE
Oddziaływanie prądów odbywa się za pośrednictwem pola nazywanego
polem magnetycznym.Z doświadczenia OERSTEDA wynika, że pole
mag ma charakter kierunkowy i powinno być charakteryzowane
wielkością wektorową.Wielkość tę przyjęto oznaczać literą
B
B (indukcja mag.)
q

Fm
B =
df qv
v
r
I
Pole magnetyczne jest relatywistyczn
formą siły Coulomba.
Jednostką indukcji magnetycznej jest:
N
N
[B ] =
=
= T (tesla )
m
Am
3
C
s
B
q
Dla przewodnika z prądem pole
magnetyczne wyraża się zależnością.
v
y
I
2I
⋅
B=
2
y
4π ε 0 c
(Odległość od
przewodnika.)
1
µ
=
2
4π ε c
4π
1
0
0
,gdzie
(Przenikalność mag.
próżni.)
N 
µ 0 = 4π ⋅10  A2 
−7
,a
,więc wartość pola mag. wytworzonego przez przewodnik z prądem w
odległości r od przewodnika wynosi:
µ 2I
B(r ) =
⋅
4π r
0
4
Pole magnetyczne wokół
przewodników prostych
Ułożenie opiłków rozsypanych na
kartoniku wokół pionowo
ustawionego przewodnika,
przez który przepływa prąd
elektryczny, dowodzi istnienia
pola magnetycznego. Linie pola
magnetycznego przebiegają
koliście wokół każdego
przewodu z prądem. Nie ma
przy tym znaczenia z jakiego
materiału został wykonany
przewodnik.
5
Reguła prawej dłoni
Jeśli obejmie się w
(myślach!) przewód
prawą dłonią w ten
sposób, że wyciągnięty
kciuk wskazuje
kierunek przepływu
prądu (od plusa do
minusa), wtedy zgięte
palce wskazują zwrot
linii pola
magnetycznego
6
Układ CGS a układ SI
Wymiar pola elektrycznego w układzie SI, a pola magnetycznego:
[ ] [ ]


E = vB
 qv 
F=
× B[Gs ]gauss
c
Natomiast w układzie CGS mamy:
Wtedy pole magnetyczne ma taki
sam wymiar jak pole elektryczne:

 
 B
[ B] = [ E ] B ⇔
c
1T = 10kGs
CGS
czyli
gdzie
SI
7
Siła magnetyczna
Na ładunek poruszający się w polu magnetycznym działa siła F, (siła
magnetycza.) Siłę tę wyznaczają : ładunek q, prędkość jego ruchu v
indukcja magnetyczna B. Siła ta wyraża się wzorem:



Fmag = q( v × B )
8
Siła magnetyczna c.d.
Siła magnetyczna jest skierowana zawsze prostopadle do płaszczyzny,w
której leżą wektory v i B. Jeżeli ładunek q jest dodatni, to kierunek siły
pokrywa się z kierunkiem wektora [vB].W przypadku ładunku ujemnego
wektory F i [vB] są wektorami przeciwnymi (rys 1).
Rys.1
9
Siła Lorentza
(siła lorentzowska)
Jeżeli na cząstkę naładowaną działają jednocześnie pole elektryczne
i pole magnetyczne, to siła na nią działająca
jest równa:




F = qE + q( v × B)
Wyrażenie to otrzymał z doświadczenia Lorentz i dlatego siła ta
nosi nazwę siły LORENTZA lub siły lorentzowskiej.
10
Siła Lorentza c.d.
(czy siła magnetyczna jest słabsza od
coulombowskiej)
Rozpatrzymy dwa ładunki jednoimienne q1 i q2,
poruszające się po || prostych z prędkością v << c (rys.2).
Warunek v << c powoduje, że ich pole elektryczne
praktycznie nie różni się od pola ładunków
spoczywających.Stąd wielkość siły el. działającej r
na każdy z ładunków można uznać za równą:
F
=
E1
=
F
1
4π ε 0
⋅
E2
=
q1 q2
r
F
E
F
v
q1
q2
F
M1
F
E2
v
F
=
E1
(Wzór 1)
2
11
M2
µ q[ vr ]
B=
•
4π
r
Zgodnie ze wzorami
0
i
3
F = q[ vB ]
siłę magnetyczną działającą na ładunki można wyrazić
jak następuje:
F
=
M1
F
M2
=
µ qq v
=
4π r
F
M
=
2
0
1
2
2
(wzór 2)
(wektor wodzący
r jest prostopadły
do wektora v)
Ze wzorów 1 i 2 wynika, że stosunek siły mag. do siły el. dany jest
wzorem:
2
v
Fm =
2
ε 0 µ0 v = 2
c
F E (Wzór 3)
gdzie
ε µ =
0
0
1
c
2
12
Mimo że wyrażenie to otrzymaliśmy przy założeniu v << c , to
jest ono prawdziwe dla dowolnych wielkości v.
Ze wzoru 3 wynika, że siła magnetyczna jest słabsza od siły coulombowskiej o czynnik równy kwadratowi stosunku prędkości ładunku do
prędkości światła w próżni.
Można to wyjaśnić tym, że oddziaływania magnetyczne są zjawiskiem
relatywistycznym.
Magnetyzm uległby zanikowi, gdyby prędkość światła w próżni była
nieskończenie duża.
13
Prawo Ampere’a
Amper stwierdził, że prąd elektryczny wytwarza wokół siebie pole
magnetyczne.
Przyjrzyjmy się teraz doświadczeniu Ampere’a z dwoma
przewodnikami jak na rysunkach:
Siła elektrodynamiczna działająca na przewód z prądem I2 skierowanym
w tą samą stronę co prąd I1 będzie skierowana w lewo, co oznacza
przyciąganie się przewodów rys 1. Kiedy prądy mają przeciwne zwroty
14
przewody odpychają się rys 2.
Dla dowolnego konturu obejmującego prąd
cyrkulacja wektora B będzie proporcjonalna do natężenia prądu:
 
⋅
=
B
d
l
∫
Ponieważ wektor B i dl są równoległe do
siebie możemy iloczyn skalarny zastąpić
zwykłym iloczynem.
c
= ∫ Bdl =
c
= B ∫ dl =
c
W tym przypadku wielkość B jest stała i możemy
wyciągnąć ją przed całkę.
Całka z dl to długość okręgu,
a wartość B dana jest wzorem:
µ I
=
2πr = µ I
2πr
µ I
B=
2πr
0
,więc
0
0
15
Prawo Ampera
- postać całkowa:
 
B
⋅
d
l
=
I
µ
0
∫
c
Czyli krążenie pola po
krzywej zamkniętej
równa się całkowitemu
prądowi zawartemu w
konturze c pomnożonemu
przez przenikalność
magnetyczną próżni.
(jest to skierowany odcinek konturu
obejmujący przewodnik z prądem)
16
Prawo Ampera
(postać różniczkowa)
Wychodzimy z postaci całkowej
prawa Ampera:
 
B
d
l
I
⋅
=
µ
0
∫
c
 


gdzie:
µ 0 I = µ 0 ∫∫ j ⋅ dS
I = ∫∫ j ⋅ dS
s
S
 
 
B
⋅
d
l
=
rot
B
⋅
d
S
∫
∫∫
Cs
s
Możemy użyć twierdzenia Stokese’a pod warunkiem,
że kontur C ogranicza powierzchnię S.
17
Przyrównując stronami otrzymujemy:
 
 
µ 0 ∫∫ j ⋅ dS = ∫∫ rotB ⋅ dS
s
s
Ponieważ to wyrażenie jest prawdziwe dla każdej powierzchni więc
możemy ścisnąć ją do punktu i porównać wyrażenia podcałkowe.
Otrzymujemy w ten sposób różniczkowe prawo Ampere’a:
Czyli prąd o gęstości j wytwarza
pole magnetyczne takie, że gęstość prądu pomnożona przez
przenikalność magnetyczną
0
próżni jest równa rotacji wektora
indukcji magnetycznej. 18


rotB = µ j
Przykładowe zadania z zakresu
pola magnetycznego
Zad. 1. Znaleźć pole magnetyczne wewnątrz i na zewnątrz
nieskończenie długiego przewodnika o promieniu R, w którym
płynie jednorodną strugą stały prąd o natężeniu I, jako funkcję
odległości r od środka przewodnika.
Z symetrii walcowej => pole mag
B musi być constans w stałej
odległości r od przewodnika.
Kierunek wektora B w odległości
jest styczny do okręgu o r
19
B(r) wyliczamy z prawa AMPERE’A
 
⋅
=
B
d
l
I
'
µ
0
∫
gdzie G jest dowolną krzywą zamkniętą
obejmującą prąd I’, który płynie przez
Γ
powierzchnię S objętą tą krzywą, dl jest wektorem stycznym do tej
krzywej. Jako G wybieramy okrąg o promieniu r (patrz rys.). Mamy
wtedy
 
B
d
l
Bdl
B
dl
2
π
rB
⋅
=
=
=
∫
∫
∫
Γ


Wartość całki po okręgu = długości okręgu o promieniu r. Więc prawo
AMPERE’A prowadzi do równania:
2πrB = µ 0 I '
20
gdzie wartość I’ zależy od tego czy r jest większe, równe czy mniejsze
od R.
a) Dla r >= R I’= I,
a stąd,
Zależność indukcji B, wewnątrz
i na zewnątrz przewodnika od r.
2πrB = µ 0 I
czyli
B=
1
2π µ 0 r
πr
I '= I
πR
2
b) Dla r <= R
2
gdzie πr 2 jest polem powierzchni obejmującej I’ a πR 2
całkowitym polem powierzchni przekroju poprzecznego przewodnika.
Porównując
2
I
r
r
2πrB = µ 0 I 2 otrzymujemy B =
2
R
2π µ 0 R21
Zad.2 Przez nieskończoną płytę umieszczoną w płaszczyźnie XOY
płynie prąd o stałej gęstości liniowej J (J=dI/dx) w kierunku osi OY.
Znaleźć indukcję pola magnetycznego (t.j. wartość kierunek i zwrot),
które powstaje na skutek przepływu prądu.
Z symetrii =>wartość indukcji B jest
constans tej samej odległości od
płaszczyzny.Wartość indukcji możemy
wyliczyć korzystając z prawa
AMPERE’A:
 
'
B
d
l
I
⋅
=
µ
0
∫
Γ
22
gdzie prąd I’ jest prądem który płynie przez powierzchnię objętą
konturem G.Kontur całkowania to prostokąt o bokach 2a i 2b.
Mamy
 
B
d
l
2
aJ
⋅
=
µ
0
∫
Gdyż zgodnie z treścią zadania
I’=2aJ.
Γ
Wartość całki po prostokącie obliczamy posługując się rysunkiem;
a
b
−b
−a
 
B
⋅
d
l
=
∫
Γ
dx
+
dz
+
B
B
∫
∫
∫B
x
−a
z
b
a
dx
+
dz
B
∫ z
x
−b
gdzie Bx i Bz to odpowiednie współrzędne wektora B. Ponieważ z
prawej strony płyty B=(Bx,By,Bz)=(B,0,0) a z lewej B=(Bx,By,Bz)=
23
=(-B,0,0), to mamy
b
−b
−a
  a
∫ B ⋅ dl = ∫ Bdx + ∫ 0dz + ∫ (− B)dx + ∫ 0dz =
Γ
−a
b
a
−b
a
= 2 ∫ Bdx = 4aB
−a
Wracając do prawa AMPERE’A mamy
i ostatecznie
4aB = µ 0 2aJ
J
B = µ0
2
Podobnie jak natężenie pola el.od nieskończonej jednorodnie
naładowanej płyty, indukcja pola mag od płyty, przez którą płynie stały
prąd o stałej gęstości liniowej, jest stała i nie zależy od odległości od
24
płyty.