POLE MAGNETYCZNE

POLE MAGNETYCZNE
•Siła Lorentza i elektrodynamiczna
•Dipol magnetyczny
•Wektor indukcji magnetycznej, prawo Ampere’a
•Potencjał wektorowy pola magnetycznego
•Prawo Biota-Savarta
• Wektor natęŜenia pola magnetycznego, magnetyzacja
POLE MAGNETYCZNE
Siła Lorentza
r
r r
F = qv × B
Działa na ładunek q, poruszający się z prędkością v w
polu magnetycznym o indukcji B
Siła elektrodynamiczna
Wskutek działania siły Lorentza na poruszające się z prędkością v ładunki, tworzące płynący
w przewodniku prąd elektryczny, na element długości przewodnika dl, umieszczony w polu
magnetycznym o indukcji B, działa siła
r
r
r
r
r
dF = dqv × B = I (v dt × B )
I
r r
r
dF = Idl × B
dl
B
dF
DIPOL MAGNETYCZNY
F
Zamknięty obwód z prądem w zewnętrznym polu
magnetycznym
r
F = BIa
a
B
S=ab
b
I
F
b
M F = 2 BIa sin α = Iab sin α = ISB sin α
2
r
r
Moment magnetyczny µ = ISn
r r
MF = µ × B
Energia potencjalna dipola magnetycznego w
polu magnetycznym jest równa pracy, którą
naleŜy wykonać, by obrócić ramkę od kąta π/2 do α.
F
n
α
I
α
B
Ep =
∫π M
2
α
F
dα = ∫ µB sin αdα = − µB cos α
r
r
E p = −µ ⋅ B
F
π 2
PRAWO AMPERE’A
N
r r
r r
lim ∑ Bi ⋅ ∆li ≡ ∫ B ⋅ dl = µ 0 I
Bi
N →∞
∆ li
i =1
L
r r
r r
∫ B ⋅ dl = µ0 ∫∫ j ⋅ dS
j
r
L
S
przenikalność magnetyczna próŜni
JeŜeli pole B ma stałą wartość i jest styczne do konturu
r r
całkowania w kaŜdym punkcie, to
∫ B ⋅ dl
L
= BL = µ 0 I
L
Postać róŜniczkowa prawa Ampere’a
r r
r r
r r
lim ∫ B ⋅ dl = µ 0 lim ∫∫ j ⋅ dS = µ 0 j ⋅ S
S →0
L
S →0
S
r
1 r r
lim ∫ B ⋅ dl = (rotB )z = µ 0 j z
S →0 S
L
r
r
rotB = µ 0 j
Pole magnetyczne jest
polem wirowym
Pole od przewodnika
prostoliniowego z prądem
B
I
r
2πrB = µ 0 I
B = B(r ) =
µ0 I
2πr
PoniewaŜ nie istnieją swobodne
ładunki magnetyczne, z prawa Gaussa
wynika, Ŝe
r
divB = 0
POTENCJAŁ WEKTOROWY POLA MAGNETYCZNEGO
PoniewaŜ pole B jest wirowe, tj. jego rotacja nie jest toŜsamościowo równa zeru, nie jest ono
gradientem Ŝadnego pola skalarnego (gdyŜ rotacja gradientu jest toŜsamościowo równa zeru),
więc B nie jest polem potencjalnym (zachowawczym).
r
r
MoŜna jednak wprowadzić potencjał wektorowy A r
z
cechowaniem
B = rotA,
divA = 0
r
r
r
div(rotu ) = 0 ⇒ divB = div (rotA) = 0
∀ur
Uwaga:
Równanie Poissona dla potencjału wektorowego
( )
) ( )
r
r
r
rotB = rot rotA = µ 0 j
r
r
r
r
2
∇ × ∇ × A = ∇ ⋅ A ∇ − (∇ ⋅ ∇ )A = −∇ A
12r3
123
= divA = 0
=∇ 2
r
r
2
∇ A = − µ 0 j ⇒ ∇ 2 Ax = − µ0 j x , ∇ 2 Ay = − µ0 j y , ∇ 2 Az = − µ 0 j z
(
I
dl
r
dB=rot(dA)
Potencjał wektorowy pola magnetycznego,
pochodzący od elementu przewodnika dl.
Równanie Poissona ma rozwiązanie
analogiczne jak równanie Poissona dla
potencjału elektrycznego ładunku punktowego
r
r µ 0 I dl
dA =
4π r
PRAWO BIOTA-SAVARTA
(x’,y’,z’)
I
dl
r
dB(x,y,z)
PoniewaŜ
( )
Pole w punkcie (x,y,z) pochodzące od elementu dl
długości przewodnika, zaczepionego w punkcie (x’,y’,z’)
r
r
r
r
 µ 0 I dl 
, dl = [dx′, dy ′, dz ′]
dB = rot dA = rot 

 4π r 
( )
r=
(x − x′)2 + ( y − y′)2 + (z − z′)2
rx
1 x − x′
∂  1  d r −1 ∂r
=− 2
= − 2 ,K
 =
dr ∂x
r
r
r
∂x  r 
r
r
ex
ey
r µ0 I ∂
∂
dB =
4π ∂x ∂y
dx ′ dy ′
r
r
r µ0 I r r
⇒ dB =
dl × r ,
3
4πr
to
ry

rz 
r
 − dz ′ 3 + dy′ 3 
ez
r
r 

r
µI
µI
r
∂
= 0  − dx′ z3 + dz′ x3  = 0 3
4π 
r
∂z
r  4πr
ry 

rx
dz ′
− dy′ 3 + dx′ 3 
r
r 
r

r
r = [x − x′, y − y′, z − z ′]
r
r
r
ex e y ez
dx′ dy′ dz ′
rx
ry
rz
POLE MAGNETYCZNE W MAGNETYKACH
B
Ośrodki magnetyczne wykazują istnienie wewnętrznego
momentu magnetycznego, zaleŜnego od indukcji
magnetycznej w ośrodku. Moment ten powoduje wzrost
indukcji B w porównaniu do tej, jaką miałaby w nieobecności
ośrodka.
r r
r
∫ B ⋅ dl
L
I0
Cewka toroidalna z rdzeniem magnetycznym
= 2πrB = µ0 I = N 0 (I 0 + I M )
L
Ilość zwojów cewki
Rzeczywisty prąd
w kaŜdym zwoju
Niech moment magnetyczny
ośrodka w objętości V wynosi µ
r
r
µ ≡ I M ndl S
gęstość zwojów cewki
dl
S V
RównowaŜna wartość
natęŜenia prądu, opisująca
wpływ zaindukowanego
momentu magnetycznego
Magnetyzacja moment magnetyczny
jednostki objętości
r
r µ
µ
dl
=
M= =
I
n
r
r
M
V S dl
dl
r
r
r
r r
dl r
NatęŜenie pola
M
⋅
d
l
=
I
n
⋅
d
l
=
I
n
dl
=
2
r
I
n
=
I
N
π
r
0
M ∫
M ∫
M
M
∫L
magnetycznego
d
l
L
L
r
r
v
r
B
r r
r r
r r
 B
−M
H≡
⇒ ∫ B ⋅ dl = µ 0 I 0 N 0 + µ 0 ∫ M ⋅ dl ⇒ ∫  − M  ⋅ dl = I 0 N 0
µ0
µ

L
L
L 0
r r
∫ H ⋅ dl = N 0 I 0
L
TRZY WEKTORY MAGNETYCZNE
Prawo Ampere’a w magnetykach, napisane dla wektora natęŜenia pola magnetycznego,
uwzględnia tylko wpływ prądów rzeczywistych, płynących w ośrodku. Wpływ zaindukowanych
momentów magnetycznych uwzględnia względna przenikalność magnetyczna.
Dla materiałów paramagnetycznych i diamagnetycznych zakładamy
r
r
B = µ r µ 0 H , µ r = const względna przenikalność magnetyczna
r
r B
r
r
r
r
1 r
1
(µ r − 1)µ0 H
H=
−M ⇒ M =
B − µ0 H =
µ0
µ0
(
)
µ0
r
r
r
M = (µ r − 1)H = χ m H , χ m ≡ µ r − 1 = const
podatność magnetyczna
Dla paramagnetyków χm >0 => M równoległe do H
Dla diamagnetyków χm <0 => M antyrównoległe do H
Związki między wektorami magnetycznymi
r
r
B = µ r µ0 H
r
r B
r
H=
−M
µ0
r
r
M = χm H