7. Analiza instrumentów pochodnych
advertisement
7 . Analiza instrumentów pochodnych
7.1. Wycena instrumentów pochodnych
- wprowadzenie
Ten rozdział poświęcony jest analizie i wycenie trzeciej grupy instrumentów finan­
sowych (obok instrumentów dłużnych i udziałowych), mianowicie instrumentom
pochodnym. Metody analizy tych instrumentów, historycznie rzecz biorąc, rozwijały
się mezaieznie od metod analizy akcji i metod analizy instrumentów dłużnych i dla­
tego istotnie się od mch różmg. Inna jest przede wszystkim sama koncepcja Jeżąca
u podstaw wyceny instrumentów pochodnych.
Na wstępie jednak należy zaznaczyć, że w przypadku części instrumentów po­
chodnych, a dotyczy to instrumentów „symetrycznych”, czyli kontraktów terminowych
(fulures >forward) oraz kontraktów swap, pojawia się kwestia dwóch możliwych
sposobów rozumienia pojęcia „wycena instrum entu”. Kwestia ta nie istniała w przy­
padku instrumentów dłużnych oraz akcji, me istnieje rówmez w przypadku opcji.
W odniesieniu do tych instrumentów pojęcie „wycena” oznacza określenie wartości,
tzn. jaka powinna być cena instrumentu na rynku. Nie m a przy tym znaczenia, czy:
* wycena dokonywana jest przed transakcją, na potrzeby identyfikacji niedowar­
tościowanego czy przewartościowanego instrumentu, gdzie głównym celem wyceny
jest określenie, czy właściwe jest kupno, czy sprzedaz;
• wycena dokonywana jest po zawarciu transakcji, np. w celu określenia wartości
instrumentu na potrzeby sprawozdania finansowego.
W obu tych sytuacjach wycena odnosi się do samego instrumentu. W pierwsze]
sytuacji chodzi po prostu o określenie ceny rynkowej, w drugiej zaś o określenie
wartości pozycji zajętej w transakcji; przy tym wartość pozycji długiej równa jest cenie,
a wartość pozycji krótkiej równa jest cenie wziętej ze znakiem ujemnym.
Z kolei w przypadku instrumentów pochodnych „symetrycznych”, czyli kontrak­
tów fulures, forward oraz swap, istnieją dwa rozumienia pojęcia „wycena”
1.
Wycena rozumiana jako określenie ceny rynkowej instrumentu. W tym przy­
padku jest to kwotowame ceny instrum entu na tynku. Jest to oczywiście zawsze
wartość dodatnia. Przy tym:
262
® jeśli instrum ent jest sprzedawany na giełdzie, jest to cena giełdowa, taka sama
od tego, czy zajmowana pozycja jest długa, czy krótka;
• jeśli instrument jest oferowany w obrocie pozagiełdowym, np. w ofercie banku,
to zazwyczaj mamy do czynienia z kwotowamem dwustronnym; oznacza to, ze bank
podaje cenę kupna (bid) i cenę sprzedazy (ask); jeśli podmiot, który korzysta z oferty
ban ku , chce zająć pozycję długą, obowiązuje cena sprzedazy (wyzsza), a gdy chce
zająć pozycję krótką, obowiązuje cena kupna (niższa).
2. Wycena rozumiana jako określenie wartości pozycji w instrumencie. W tym
p rzy p a d k u jest to dzisiejsza wartość instrumentu, w którym pozycja została zajęta
w wyniku zawartej wcześniej transakcji. W tej transakcji jedna strona zajmuje po­
zycję diugą, druga strona zaś pozycję krótką. W artość pozycji krótkiej jest to war­
tość pozycji diugiej wzięta ze znakiem minus. Wynika z tego, ze suma wartości dłu­
giej i krótkiej pozycji wynosi 0. Zazwyczaj występuje jedna z dwóch następujących
n ie z a le z m e
sytuacji:
« wartość pozycji długiej jest dodatnia (np. 100), a wartość pozycji krótkiej jest
ujemna (w tym przykładzie -100); wtedy strona zajmująca pozycję długą traktuje
w sprawozdaniu finansowym ten instrument jako element aktywów, a strona zaj­
mująca pozycję krótka traktuje w sprawozdaniu finansowym ten instrument jako
zobowiązanie;
® wartość pozycji długiej jest ujemna (np. -200), a wartość pozycji krótkiej jest
dodatnia (w tym przykładzie 200); wtedy strona zajmująca pozycję długą traktuje
w sprawozdaniu finansowym ten instrument jako zobowiązanie, a strona zajmująca
pozycję krótką traktuje w sprawozdaniu finansowym ten instrument jako element
aktywów.
Należy jeszcze dodać, ze w momencie zawarcia kontraktu jego cena jest ustalona
na takim poziomie, ze wartość długiej i krótkiej pozycji wynosi 0, dlatego strony
zawierające ten kontrakt z reguły nie dokonują żadnej płatności.
W dalszych rozważaniach na temat wyceny „symetrycznych” instrumentów po­
chodnych pokażemy szczegółowe rozwiązania dotyczące obu rodzajów wyceny, tzn.
określenia ceny rynkowej instrumentu i określenia wartości pozycji w tym instrumen­
cie. Obecnie skoncentrujmy się na ogólnych uwagach dotyczących wyceny instrumen­
tów pochodnych, rozumianej jako określenie ceny rynkowej instrumentu.
W tej wycenie dominująca jest koncepcja wyceny arbitrażowej (arbitrage pricing).
Jak pamiętamy, arbitraż jest to strategia, w której nie występuje nakład początkowy,
która jest wolna od ryzyka i która przynosi w efekcie dodatni przepływ pieniężny.
Podobnie, arbitraż jest to strategia, która jest wolna od ryzyka, przynosi efekt w po­
staci dodatniego przepływu pieniężnego na początku i w której nie występują żadne
dodatnie am ujemne przepływy pieniężne.
Koncepcja wyceny arbitrażowej instrumentu pochodnego (a także innego in­
strumentu finansowego) ma u podstaw załozeme, ze cena instrumentu pochodnego
ustalona jest na takim poziomie, iż me jest możliwe skonstruowanie strategii arbit­
rażowej, w której występowałby ten instrument finansowy.
Przedstawimy teraz ogólny przykład ilustrujący zastosowanie koncepcji wyceny
arbitrażowej, w którym występują hipotetyczne dłużne instrumenty finansowe.
263
Przykład. D ane sa trzy instrumenty diuzne: instrum ent A - roczna obligacja
zerokuponowa o wartości nominaJnej 100 zi, instrum ent B - dwuletnia obligacja
zerokuponowa o wartości nominalnej 100 zi, instrument C - dwuletnia obligacja
o wartości nominalnej 100 zi i oprocentowaniu 10%, w której odsetki płacone są raz
w roku. Zaióżmy, ze cena instrum entu A wynosi 90,91 zi, a cena instrumentu B wy~
nosi 82,645 zi, przy czym instrumenty te sa dobrze wycenione na rynku. Pojawia się
pytanie o wartość instrum entu C. Okazuje się, ze w wyniku zastosowania koncepcji
wyceny arbitrażowej otrzymujemy wartość równa 100 zi. W celu uzasadnienia tego
stwierdzenia rozpatrzymy dwie sytuacje, w których możliwe jest skonstruowanie
strategii arbitrażowej.
Sytuacja 1, Zaióżmy, ze cena instrum entu C na rynku wynosi 97 zi. Oznacza to,
ze instrument ten jest niedowartościowany, czyli warto go kupić. W tym wypadku
możliwa jest następująca strategia arbitrażowa:
zakup (długa pozycja) 10 instrumentów C, sprzedaz (krótka pozycja)
i instrumentu A oraz 11 instrumentów B.
Zauważmy, ze strategia ta pr 2ynosi w momencie jej skonstruowania przychód netto:
90,91 zi (sprzedaz 1 instrumentu A) + 909,09 zi (sprzedaz 11 instrumentów B) - 970 zi (zakup 10 instrumentów C),
co daje 30 zi.
Suma ta wynika z różnicy między wartością instrumentu C równa 100 zi a ceną
równa 97 zi, po uwzględnieniu, ze zakup dotyczy 10 instrumentów.
Zauważmy, ze realizacja tej strategii w ciągu 2 lat me wymaga żadnych dodat­
kowych przepiywów pieniężnych - jest to strategia samofinansująca się. Dodatnie
przepiywy pieniężne otrzymywane z tytuiu zakupu 10 instrumentów C sa następujące:
po pierwszym roku 100 zi, po drugim roku 1100 zi. Jest to dokładnie równe zobo­
wiązaniom, czyli ujemnym przepiywom pieniężnym z tytuiu sprzedazy 1 instrumentu
A i 11 instrumentów B.
Skoro strategia jest samofinansująca się, a na początku generowany jest dodat­
kowy przepiyw pieniężny równy 30 zi, wynika z tego możliwość arbitrażu. To zaś nie
jest zgodne z koncepcją wyceny arbitrażowej, zakładającej brak możliwości dokonania
arbitrażu.
Sytuacja 2. Zaióżmy, ze cena instrum entu C na rynku wynosi 104 zi. Oznacza
to, ze instrument ten jest przewartościowany, czyli warto go sprzedać. W tym wypad- /
ku możliwa jest następująca strategia arbitrażowa:
sprzedaz (krótka pozycja) 10 instrumentów C, zakup (długa pozycja)
1 instrumentu A oraz 11 instrumentów B.
Zauważmy, ze strategia ta przynosi w momencie jej skonstruowania przychód netto:
1040 zi (sprzedaz 10 instrumentów C) - 90,91 zi (zakup 1 instrumentu A) -909,09 zi (zakup 11 instrumentów B),
co daie 40 zi.
264
Suma ta wynika z różnicy miedzy ceną instrumentu C równa 104 zi a wartością
równą 100 zi, po uwzględnieniu, ze sprzedaż dotyczy 10 instrumentów.
Zauważmy, ze realizacja tej strategii w ciągu 2 lat nie wymaga żadnych dodat­
kowych przepiywów pieniężnych - jest to strategia samofinansująca się. Dodatnie
przepływy pieniężne otrzymywane z tytuiu zakupu 1 instrumentu A i 11 instrumentów
g sa następujące: po pierwszym roku 100 zi, po drugim roku 1100 zi. Jest to dokład­
nie równe zobowiązaniom, czyli ujemnym przepływom pieniężnym z tytuiu sprzedazy
10 instrumentów C.
Skoro strategia jest samofinansująca się, a na początku generowany jest dodat­
kowy przepiyw pieniężny równy 40 zi, wynika z tego możliwość arbitrażu. To zaś nie
jest zgodne z koncepcją wyceny arbitrażowej, zakładającej brak możliwości dokonania
arbitrażu.
Wynika z tego, ze w koncepcji wyceny arbitrażowej wartość instrumentu C wynosi
100 zi. Przy tej cenie me jest możliwe skonstruowanie strategii arbitrażowej.
W kolejnych punktach rozdziaiu szczegółowo omówione zostaną zagadnienia
zwigzane z wycena instrumentów pochodnych, analizą ryzyka tych instrumentów oraz
ich zastosowaniem.
7.2. Wycena opcji - wprowadzenie
Jako pierwszy instrument pochodny rozwazymy opcję. W tym przypadku wycena jest
rozumiana przede wszystkim jako określenie wartości opcji. Z drugiej jednak strony,
jest to również określenie wartości pozycji. Konkretnie wartość długiej pozycji w opcji,
czyli pozycji posiadacza opcji, to mc innego, jak wiaśme określenie wartości opcji.
Z kolei wartość krótkiej pozycji w opcji, czyli pozycji wystawcy opcji, jest równa
wartości opcji ze znakiem ujemnym. Rozumienie wyceny opcji jest zawsze takie samo,
niezależnie od tego, czy wycena dokonywana jest w momencie zawierania transakcji,
czy t.ez jakiś czas po jej zawarciu (gdy wycena jest dokonywana np. na potrzeby
sprawozdania finansowego). Po prostu cena rynkowa opcji to jednocześnie wartość
pozycji długiej posiadacza opcji.
Zanim przejdziemy do omówienia modeli wyceny opcji, konieczne jest przed­
stawienie pewnych pojęć i zalezności dotyczących wartości opcji, które są wykorzys­
tywane w modelach wyceny opcji. Są to następujące kwestie:
• opcja in-the~money, out-of-the-money, at-the-money,
• wartość wewnętrzna i wartość czasowa opcji,
• czynniki wpływające na wartość opcji,
• granice wartości opcji,
• parytet put-calU
• współczynniki greckie.
265
7.2.1. Opcja in-the-m oney, out-of-the-m oney, at-the-money
Niezaiezme od rodzaju opcji (cali lub put, europejska lub amerykańska) można
wyróżnić trzy sytuacje w zaiezności od relacji miedzy ceną instrumentu podstawowego
a cena wykonania opcji. Zwyczajowo dla tych trzech sytuacji stosowane sa specjalis­
tyczne zwroty w języku angielskim:
• opcja jest m-the-money, krótko: opcja ITM;
• opcja jest out-of-the-money, krótko: opcja OTM;
• opcja jest at-the-money, krótko: opcja ATM.
Opcja jest m-the-money, gdy wykonanie jej jest opłacalne, tzn. gdy:
• w przypadku opcji cali: wartość instrum entu podstawowego jest wyzsza niz
cena wykonania;
• w przypadku opcji put. wartość instrumentu podstawowego jest niższa niż cena
wykonania.
Opcja jest out-of-the-money, gdy wykonanie jej me jest opiacalne, tzn. gdy:
• w przypadku opcji cali. wartość instrumentu podstawowego jest niższa niż cena
wykonania;
• w przypadku opcji put. wartość instrum entu podstawowego jest wyzsza niż
cena wykonania.
Opcja jest at-the-money, gdy wartość instrumentu podstawowego jest równa cenie
wykonania (dotyczy to opcji cali i opcji put).
Rysunki 7.1 i 7.2 przedstawiają interpretację graficzną tych trzech pojęć.
Na obu rysunkach przedstawiony jest wykres przychodu z opcji w zaiezności od
ceny instrumentu podstawowego. Jak widać, opcja jest ITM, gdy przychód ten jest
dodatni, w pozostaiych przypadkach opcja jest OTM lub ATM.
7.2.2. Wartość wewnętrzna Swartość czasowa opcji
Wartość opcji, czyli inaczej premia, może być (poza pewnymi wyjątkami) przed­
stawiona jako suma dwóch składników, w następujący sposób:
wartość opcji = wartość wewnętrzna opcji + wartość czasowa opcji.
266
Wartość wewnętrzna (intrinsic value) może być interpretowana jako suma, którą
mozna by otrzymać, gdyby opcja byia w danym momencie wykonana. Wartość we­
w n ętrzn a jest dodatnia w przypadku opcji ITM. Wtedy wartość wewnętrzna określona
jest iako:
• w przypadku opcji cali: cena instrumentu podstawowego minus cena wykonania;
• w przypadku opcji put: cena wykonania minus cena instrumentu podstawowego.
Z kolei w przypadku opcji OTM oraz ATM wartość wewnętrzna wynosi 0.
Wartość czasowa {time value) jest to różnica między wartością opcji a wartością
w e w n ętr zn ą . Jeśli wartość wewnętrzna jest równa 0, to jedyną składową wartości
opcji iest wartość czasowa. Interpretacja wartości czasowej jest następująca: jest to
w artość nadziei” uczestników rynku, ze opcja o zerowej wartości wewnętrznej (OTM
tut) ATM) stanie się opcją ITM.
Zauważmy, ze:
przed dniem wygaśnięcia:
• opcja ITM ma wartość wewnętrzną i wartość czasową;
« opcje OTM i ATM mają tylko wartość czasową;
w dniu wygaśnięcia:
• opcja ITM ma tylko wartość wewnętrzną;
• opcje OTM i ATM me mają ani wartości wewnętrznej, ani wartości czasowej;
opcje te wygasają niewykonane.
Należy dodać, ze przedstawione pojęcia odnoszą się przede wszystkim do opcji
amerykańskich, a także do europejskich opcji cali wystawionych na instrumenty’
podstawowe, które me przynoszą dochodów w okresie do wygaśnięcia opcji. W przy­
padku europejskich opcji p u t powyzsze interpretacje me mogą być zastosowane, gdyz
zdarza się, ze wartość takiej opcji jest niższa niż jej wartość wewnętrzna. Traktują
o tym rozwazama w dalszej części.
7.2.3. Czynniki wpływające na wartość opcji
Na wartość opcji wpiywa kilka czynników. Jak zobaczymy, wszystkie one są uwzględ­
nione w modelach wyceny opcji, które są omówione w dalszej części. Obecnie
przedstawimy te czynniki, przy czym odnoszą się one do następujących rodzajów
opcji: opcji na akcje, opcji na indeksy akcji i opcji walutowych. Czynniki te są
następujące:
a cena wykonania,
o cena instrumentu podstawowego,
• długość okresu do terminu wygaśnięcia,
® zmienność cen instrumentu podstawowego,
® stopa procentowa (dana jako stopa wolna od ryzyka),
• stopa dywidendy (w przypadku opcji na akcje ■ opcji na indeksy akcji) lub
stopa procentowa w kraju obcej waluty (w przypadku opcji walutowych).
Obecnie przedstawimy wpiyw każdego z tych czynników na wartość opcji, przy
czym wpiyw ten jest analizowany przy zaiozemu, ze pozostaie czynniki wpływające
na wartość opcji nie zmienią się.
267
Jeśli chodzi o wpiyw ceny wykonania, to:
9 spośród dwóch opcji cali różniących sie tylko cena wykonania, wyzszą wartość
ma opcja o niższej cenie wykonania (opcja cali to prawo kupna instrumentu podstawo­
wego po ustalonej cenie, wiec im ta cena jest niższa, tym wyzsza wartość tego prawą)a spośród dwóch opcji put różniących się tylko cena wykonania, wyższa wartość ma
opcja o wyzszej cenie wykonania (opcjap u t to prawo sprzedazy instrumentu podstawo­
wego po ustalonej cenie, więc im ta cena jest wyzsza, tym wyzsza wartość tego prawa).
Cena instrumentu podstawowego to główny czynnik mający wpiyw na wartość
opcji, ale rówmez na wartość innych instrumentów pochodnych, co wynika wprost
z definicji instrumentu pochodnego. Im wyzsza cena instrumentu podstawowego, tym;
® wyzsza wartość opcji cali;
® niższa wartość opcji put.
Prawidłowości te wynikają z jednej strony z wykresów wypiaty i dochodu dla
opcji, z drugiej zaś strony z faktu, ze wyższa wartość instrum entu podstawowego
oznacza wyzsza wartość prawa kupna po ustalonej cenie (opcja cali) oraz niższą
wartość prawa sprzedazy po ustalonej cenie (opcja put).
Długość okresu do terminu wygaśnięcia wpływa dodatnio na wartość amerykań­
skiej opcji (call i put). Im bowiem dłuższy okres do term inu wygaśnięcia, tym większą
szansa, ze opcja (call i put) stanie się opcją ITM. Po prostu, dłuzszy okres do terminu
wygaśnięcia oznacza większą wartość czasową opcji. W przypadku opcji europejskiej
od tej zalezności mogą sie czasem zdarzyć wyjątki.
Zmienność cen instrumentu podstawowego (volatility) jest to bardzo ważny czyn­
nik. Jest ona mierzona za pomocą odchylenia standardowego stopy zwrotu, pr2 y
czym najczęściej stosowana jest koncepcja logarytmiczne] stopy zwrotu, czyli logarytmu naturalnego ilorazu ceny z danego okresu j ceny z okresu poprzedniego.
Jest to przy tym jedyny czynnik, w przypadku którego określenie wartości przez
analityka dokonującego wyceny opcji nie jest zadaniem iatwym. Zależność jest tu
następująca: im wyzsza zmienność ceny instrum entu podstawowego, tym wyzsza
wartość opcji (call i put). Jest tak dlatego, ze jeśli występuje duża zmienność ceny
instrumentu podstawowego, to jest możliwość pojawienia się bardzo wysokiej i bardzo
niskiej ceny instrumentu podstawowego. Bardzo wysoka cena instrumentu podsta­
wowego oznacza, ze opcja cali staje sie ITM, czyli zwiększa się jej wartość. Bardzo
niska cena instrumentu podstawowego oznacza, ze opcja put staje się ITM, czyli
zwiększa się jej wartość.
Stopa procentowa (określona tutaj jako stopa wolna od ryzyka) wpiywa na
wartość opcji (przy innych czynnikach mezmiemających się) następująco. Wzrost
stopy procentowej oznacza spadek wartości obecnej (bieżącej) ceny wykonania opcji.
W konsekwencji oznacza to wzrost wartości opcji cali i spadek wartości opcji put.
Jeśli instrument podstawowy, na który wystawiona jest opcja, przynosi dochody
w terminie przed wygaśnięciem opcji, to stopa określająca te dochody wpiywa na
wartość opcji. Chodzi tutaj o:
o stopę dywidendy - w przypadku opcji na akcje i opcji na indeksy;
*» stopę w kraju obcej waluty, określoną jako stopa procentowa wolna od ryzyka
w tym kraju - w przypadku opcji walutowych.
268
Jeśli stopy te rosną, to spada wartość opcji cali i rośnie wartość opcji put.
Podsumowanie kierunku wpiywu poszczególnych czynników na wartość opcji
przedstawia tabela 7.1. W tej tabeli wskazany jest kierunek wpływu, gdy wartość
d a n eg o C2ynnika rośnie (w przypadku ceny wykonania oznacza to me wzrost ceny
wykonania, lecz po prostu wyższa cene wykonania).
Tabela 7.1. Wpiyw czynników na wartość opcii
Czynnik
Opcia cali - wpływ
Opcja put - wpływ
dodatni
uiemny
dodatni
dodatni
dodatni
uiemny
uiemny
dodatni
dodatni
dodatni
uiemny
dodatni
Cena instrumentu podstawowego
Cena wykonania
Długość do terminu wygaśnięcia
Zmienność
Stopa procentowa
Stopa dywidendy, stopa zagraniczna
Nale 2y jeszcze raz podkreślić, ze wpiyw każdego czynnika jest analizowany przy
założeniu jednoczesnego braku wpiywu mnych czynników.
7,2.4. Granice wartości opcji
Obecnie podamy kilka nierówności, które powinna speiniać wartość opcji. Nierów­
ności te pozwalają na oszacowanie dolnej i górnej granicy wartości opcji. Przyjmijmy
na początku, ze rozpatrujemy opcje europejskie wystawione na akcję, która nie daje
dywidendy w okresie do wygaśnięcia opcji.
W przypadku opcji cali i opcji put zaleznosci są następujące:
c ^ 0,
(7.1)
C
(7.2)
c ^ S -P V (X ),
(7.3)
P ** o,
(7.4)
p^P V {X \
(7.5)
p ^P V (X )-S ,
(7.6)
gdzie: c - wartość europejskiej opcji calh p - wartość europejskiej opcji put;
S - wartość akcji; X - cena wykonania; P V - oznaczenie wartości obecnej, z za­
stosowaniem stopy wolnej od ryzyka.
Nierówności (7.1) i (7.4), oznaczające meujemność wartości opcji, me wymagają
komentarza. Nierówność (7.2) oznacza, ze opcja cali, będąca prawem kupna in­
strumentu podstawowego, me może być drozsza niż sam instrum ent podstawowy
(każdy kupi wtedy instrument podstawowy zamiast kupować prawo kupna tego in­
strumentu). Nierówność (7.5) porównuje przeliczony na moment obecny nakład
z efektem. Nakładem jest cena opcji put, efektem zaś wartość obecna ceny wykonania.
Z nierówności wynika, ze nakład me może być większy niż efekt.
269
Bardziej szczegółowego Komentarza wymagają dwie pozostaie nierówności. Na
wstępie rozwazmy nierówność (7.3). Dla jej wyjaśnienia przeanalizujemy dwie moż­
liwe strategie inwestycyjne, w których długość okresu inwestowania jest równa d łu g o ­
ści okresu do terminu wygaśnięcia opcji:
Strategia 1. Zakup akcji.
Strategia 2. Zakup opcji cali na tę akcję plus inwestycja wolna od ryzyka, której
wartość końcowa równa jest cenie wykonania opcji.
Wartości końcowe obu strategii są następujące:
Strategia 1. Cena akcji w momencie wygaśnięcia - oznaczmy ją S*
Strategia 2. Suma wartości strategii składowych, przy czym wartość inwestycji
woinej od ryzyka wynosi X , a wartość opcji zalezy od tego, czy jest ona wykonana.
W efekcie otrzymujemy:
• jeśli opcja wygasa niewykonana (S* = sJ), to wartość końcowa wynosi 0 + X = X\
• jeśli opcja jest wykonana (5* > X ), to wartość końcowa wynosi (5* - X ) + X = S*:
Jak zatem widać, jeśli opcja jest wykonana, to obie strategie dają ten sam wynik.
W odwrotnej sytuacji wynik strategii 2 jest wyzszy (lub równy). Oznacza to, że
dzisiejsza wartość (nakład) w strategii 2 musi być me mniejsza niż w strategii 1.
W efekcie otrzymujemy:
C + P V (X ) s* S.
Nierówność ta po przekształceniu daje wzór (7.3).
Teraz rozpatrzmy nierówność (7.6). Dla jej wyjaśnienia przeanalizujemy dwie
możliwe strategie inwestycyjne, w których długość okresu inwestowania jest równa
długości okresu do terminu wygaśnięcia opcji:
Strategia 1. Zakup akcji.
Strategia 2. Wystawienie opcji put na tę akcję plus inwestycja wolna od ryzyka,
której wartość końcowa równa jest cenie wykonania opcji.
Wartości końcowe obu strategii są następujące:
Strategia 1. Cena akcji w momencie wygaśnięcia - oznaczmy ją S
Strategia 2. Suma wartości strategii składowych, przy czym wartość inwestycji :
wolnej od ryzyka w ynosić, a wartość opcji (tutaj wzięta ze znakiem ujemnym, gdyz :
opcja jest wystawiana) zaiezy od tego, czy jest ona wykonana. W efekcie otrzymujemy:
• jeśli opcja wygasa niewykonana (S* X ), to wartość końcowa wynosi 0 + X = X\
• jeśli opcja jest wykonana (5* <
to wartość końcowa wynosi - (X - S*) + X ~ S*
Jak zatem widać, jeśli opcja jest wykonana, to obie strategie dają ten sam wynik.
W odwrotnej sytuacji wynik strategii 2 jest niższy (lub równy). Oznacza to, ze dzisiej­
sza wartość (nakład) w strategii 2 musi być nie większa niż w strategii 1. W efekcie :
otrzymujemy:
-p + P V (X ) ^ S .
Nierówność ta po przekształceniu daje wzór (7.6).
Przedstawione zaiezności, dane wzorami (7.1)-(7.6) dotyczą opcji europejskiej)
wystawionych na akcję, która me daje dywidendy w okresie do wygaśnięcia opcji.
Część z tych zaiezności pozostaje aktualna, gdy rozwazymy opcje amerykańskie.
potyczy to zalezności dla opcji cali, danych wzorami (7.1)-(7.3), oraz zalezności danej
;VZorem (7.4). Zmieniają się natomiast dwie zalezności dla opcjiput, które przyjmują
postać:
P ^X ,
(7.7)
P :* X -S,
(7.8)
gdzie: P - wartość amerykańskiej opcji put.
Zalezności dane w postaci nierówności w odniesieniu do europejskiej opcji cali
i amerykańskiej opcji cali są takie same (wzory (7.1)-(7.3)). Wynika to z ogólnej
prawidłowości, która wskazuje, ze w przypadku amerykańskiej opcji cali wystawionej
na akcję, która me daje dywidendy w okresie do wygaśnięcia opcji, me jest opłacalne
wykonanie tej opcji przed terminem wygaśnięcia. Ogólny argument uzasadniający to
stwierdzenie jest następujący: zapłacenie ceny wykonania wcześniej pozbawia inwes­
tora dochodu (przy stopie wolnej od ryzyka), który mógłby być uzyskany w okresie
do terminu wygaśnięcia opcji.
Wynika z tego również, ze wartości europejskiej iamerykańskiej opcji cali wy­
stawionej na akcję, która me daje dywidendy, sąrówne. Właściwość
ta dotyczy
również opcji wystawionych na mny instrument podstawowy, który me przynosi
- dochodów w okresie do wygaśnięcia opcji.
Z kolei w przypadku amerykańskiej opcji put wystawionej na akcję, która me
daje dywidendy w okresie do wygaśnięcia opcji, jest opiacalne wykonanie tej opcji
przed terminem wygaśnięcia. Ogólny argument uzasadniający to stwierdzenie jest
następujący: otrzymanie ceny wykonania wcześniej daje możliwość dodatkowego
dochodu inwestora (przy stopie wolnej od ryzyka), który nie mógłby być uzyskany,
gdyby opcja me zostaia wykonana. Wynika z tego, ze opcja amerykańska put jest
więcej warta niż opcja europejska put. Ponieważ w przypadku opcji amerykańskiej
put jej wartość może być równa wartości wewnętrznej, a opcja europejska put
jest warta mniej niż opcja amerykańska put (gdyz opiaca się wcześniejsze wykonanie
■i opcji amerykańskiej), wynika z tego, ze wartość europejskiej opcji put może być niższa
niż jej wartość wewnętrzna. Oznacza to, ze przedstawiona wcześniej interpretacja
wartości czasowej jako części składowej wartości opcji me jest w tym przypadku
zasadna.
Na zakończenie dodajmy jeszcze, ze w przypadku opcji na potrzeby wyznaczania
wartości bieżącej (obecnej) najczęściej przyjmuje się koncepcję kapitalizacji ciągiej.
Przedstawione zalezności dla opcji europejskich na akcję medającą dywidendy
zmieniają się, gdy opcja wystawiona jest na akcję, która przyniesie dywidendę w okre­
sie do terminu wygaśnięcia opcji. Zmieniają się wtedy nierówności (7.3) ■ (7.6),
przyjmując postać:
c Ss 5 - PV(D) - P V (X ),
p & PV(X) - S + PV(D),
(7.9)
(7.10)
gdzie: PV(D) - wartość obecna dywidend wypłaconych w okresie do terminu wygaś­
nięcia opcji.
271
I:
Przykład. Cena akcji wynosi 50 zi. Rozpatrywane sg dwie opcje, cali i pm
z terminem wygaśnięcia pół roku i ceną wykonania 48 zi. Stopa wolna od ryzyka
wynosi 8%. Wiadomo, ze zostaną wypiacone dwie dywidendy (na 1 akcję): pierwsza
za miesiąc, w wysokości 1,2 zi, druga za 4 miesiące, w wysokości 1,5 zi. Najpierw
wyznaczymy wartość obecna dywidend. Wynosi ona:
PV(D) = l,2e~°'0Ml/11) + l,5e~0’08'i4/1^ = 2,65.
Z kolei po podstawieniu do wzorów (7.9) i (7.10) otrzymujemy:
c s* 50 - 2,65 - 48e-°’0S Ü'5 = 1,23,
p ^ 48e“0’08'0’5 - 50 + 2,65 = -1,23.
Jak widać, w tym przykładzie druga nierówność (dla opcji p u t) nie wnosi nowej
informacji, gdyz z oczywistych powodów wartość opcji przede wszystkim musi być
meujemna, a zatem rówmez większa od wartości ujemnej.
Na zakończenie przedstawimy jeszcze ogólniejsza postać wzorów (7.9)-(7.10).
Dotyczy ona sytuacji, gdy mamy dowolny instrum ent podstawowy, który może przy­
nosić dochody w okresie do wygaśnięcia opcji. Wtedy wzory będące uogólnieniami
wzorów (7.3) i (7.6) oraz wzorów (7.9) i (7.10) sa następujące:
c 3* Se(b~r)T- X c - rT,
(7.11)
p > X e -rT- S é b~rYf.
(7.12)
gdzie: T - czas do wygaśnięcia opcji (wyrażony w latach); r - stopa wolna od ryzyka;
b - tzw. stopa cost-of-carry (cost-of-carry ratę).
Nie wchodząc na razie w szczegóły dotyczące interpretacji stopy cost-of-carry,
przedstawimy tylko jej szczególne przypadki, pozwalające na uzyskanie różnych
szczegółowych wariantów wzorów (7.11) i (7.12). Sa to następujące przypadki:
o b - r - opcja na akcję medająca dywidendy,
® b - r - q - opcja na akcję przynosząca dywidendę lub na mdeks giełdowy
(ej oznacza stopę dywidendy),
o b = r - ;/-o p q a walutowa (rf oznacza stopę wolna od ryzyka w kraju obcej waluty),
® b = 0 - opcja na kontrakt futures.
Nierówności dane wzorami (7.1)-(7.3) zilustrowane sa na rysunku 7.3.
Rysunek 7.3. Granice wartości dla opcii
0
272
D'
A PV{X)
cali
Rysunek ten przedstawia zalezność wartości opcji cali od ceny instrumentu
podstawowego (dla ustalenia uwagi instrumentem podstawowym jest akcja). Rozważa­
ny jest pewien okres przed terminem wygaśnięcia. Na rysunku zaznaczone są trzy linie,
które określają zakres możliwych wartości, jakie może przyjąć opcja. W szczególności:
• lima przechodząca przez punkty 0 oraz A odzwierciedla warunek (7.1) - pod
uwagę bierze sie tylko punkty poiozone powyżej lub na linii;
• lima przechodząca przez punkty 0 oraz B odzwierciedla warunek (7.2) - pod
uwagę bierze sie tylko punkty poiozone na prawo lub na linii;
• lima przechodząca przez punkty A oraz C odzwierciedla warunek (7.3) - pod
uwagę bierze sie tylko punkty poiozone na lewo lub na linii.
Wynika z tego, ze zakres możliwych wartości, jakie może przyjąć ta opcja cali,
iest określony poprzez figurę zawartą miedzy punktami 0, A , B i C, przy czym ta
figura jest nieograniczona od góry (od strony odcinka BC ). Zauważmy, ze w miarę
zbliżania sie opcji do terminu wygaśnięcia obszar możliwych wartości będzie sie
zmiemai. Ściślej, ponieważ wzrasta wartość obecna ceny wykonania (az do osiągnięcia
ceny wykonania - w dmu będącym terminem wygaśnięcia), zatem linia przechodząca
przez punkty A i C będzie przesuwać się (równolegle) w prawo.
Na rysunku zaznaczona jest również krzywa, która ilustruje zalezność wartości
opcji od ceny akcji. Krzywa ta (w danym dniu) mieści sie w nieograniczonej figurze
zawartej miedzy punktami 0 , A , B i C . Jest to oczywiście krzywa rosnąca (wzrost
ceny akcji oznacza wzrost wartości opcji kupna). Odległości miedzy punktami lezą­
cymi na tej krzywej a punktami lezącymi na iamanej przechodzącej przez punkty 0,
A i C odzwierciedlają wartości czasowe opcji. Są to np. odlegiości miedzy punktami
D i D' oraz E i E'.
Z kolei nierówności przedstawione wzorami (7.4), (7.7) i (7.8), dotyczące am e­
rykańskiej opcji jout, przedstawione są na rysunku 7.4.
Rysunek 7.4. Granice wartości dia amerykańskie)
opcji put
Rysunek ten przedstawia zalezność wartości amerykańskiej opcji put od ceny
instrumentu podstawowego (dla ustalenia uwagi instrumentem podstawowym jest
akcja). Opcja znajduje sie przed terminem wygaśnięcia. Na rysunku zaznaczone są
trzy linie, które określają zakres możliwych wartości, jakie może przyjąć opcja.
W szczególności:
• linia przechodząca przez punkty 0 oraz A odzwierciedla warunek (7.4) - pod
uwagę bierze sie tylko punkty poiozone powyżej lub na linii;
273
• linia przechodzącą przez punkty B oraz C odzwierciedla warunek (7.7) - p0(j
uwagę bierze się tylko punkty położone poniżej lub na linii;
• linia przechodząca przez punkty A oraz B odzwierciedla warunek (7.8) - p0(j
uwagę bierze się tylko punkty poiozone na prawo lub na linii.
Wynika z tego, ze zakres możliwych wartości, jakie może przyjąć ta opcja sprzedazy, jest określony poprzez figurę zawartą miedzy punktami A , B i C, przy czym ta
figura jest nieograniczona z prawej strony (od strony odcinka AC).
Na rysunku zaznaczona jest również krzywa, która ilustruje zalezność wartości
opcji od ceny akcji. Krzywa ta (w danym dniu) mieści się w nieograniczonej figurze
zawartej między punktami A , B i C. Jest to oczywiście krzywa malejąca (wzrost ceny
akcji oznacza spadek wartości opcji kupna). Odlegiości między punktami lezącymi
na tej krzywej a punktam i lezącymi na iamanej przechodzącej przez punkty .4
B i C odzwierciedlają wartości czasowe opcji.
Z kolei nierówności przedstawione wzorami (7.4)-(7.6), dotyczące europejskiej
opcji put, przedstawione są na rysunku 7.5.
;
Rysunek 7.5. Granice wartości dla europejskiej ■
opcji put
Jak widać, rysunek ten różni się od poprzedniego tym, ze wartość opcji może>
być niższa od wartości wewnetrznej.
7.2.5. Parytet put-call
Parytet ten, czasem nazywany parytetem sprzedaz-kupno, jest to zalezność, jaka zachodzi
między wartością opcji cali i opcji put. Obie rozwazane opcje są europejskie, są wystawione na ten sam instrument podstawowy, mają tę samą cenę wykonania i ten sarii
termin wygaśnięcia. Ponownie rozpatrzymy dwie strategie inwestycyjne, o długości okresu-':
inwestowania równej długości do terminu wygaśnięcia opcji, przy czym instrumentem"
podstawowym jest akcja spótki medająca dywidendy w okresie do wygaśnięcia opcji:
Strategia 1. Zakup opcji cali plus inwestycja wolna
od
ryzyka, której
końcowa równa jest cenie wykonania opcji.
Strategia 2. Zakup opcji p u t plus zakup akcji.
%■
Wartości końcowe w obu strategiach zalezą od tego,
czy
opcje są wykon
Możliwe są dwie sytuacje:
■
1.
Cena akcji w momencie wygaśnięcia opcji jest niższa niż cena wykonania (cz
5* < X ); wówczas wykonywana jest opcja p u t, a opcja cali wygasa niewykonana.
W artość końcowa inwestycji wynosi:
• strategia 1: O + X = X;
• strategia 2: (X - S*) + S* = X .
2.
Cena akcji w momencie wygaśnięcia opcji jest wyzsza lub równa cenie wyko­
nania (czyli S* ss X ); wówczas wykonywana jest opcja cali, a opcja put wygasa nie­
w ykonana. W artość końcowa inwestycji wynosi:
• strategia 1: (S* ~ X ) + X = S * :
• strategia 2 :0 + S * = S *
Jak zatem widać, w każdej z dwócń sytuacji wartość końcowa obu strategii
jest równa. Oznacza to, że wartość obecna (nakład) w obu strategiach jest równy,
czyli:
c + P V (X )= p + S.
(7.13)
Wzór (7.13) może być zastosowany do określenia wartości opcji p u t, gdy znana
jest wartość opcji cali, i na odwrót, pod warunkiem znajomości wartości instrumentu
p o d sta w o w eg o i charakterystyk opcji. Przy określaniu wartości bieżącej ceny wyko­
nania, która występuje we wzorze (7.13), najczęściej przyjmuje się koncepcję kapita0 .
.-S!
lizacji c ią g ic j .
Przykład. Cena akcji wynosi 50 zi. Dane sa dwie opcje wystawione na tę akcję:
opcja cali i opcja p u t. Cena wykonania obu opcji wynosi 48 zi, a termin wygaśnięcia
3 miesiące. Cena opcji cali wynosi 3,5 zi. Stopa wolna od ryzyka wynosi 10%. Na
podstawie wzoru (7.13) otrzymujemy wartość opcji put\
p = c + PV(X) - S = 3,5 + 48e“0’1'0,25 —50 = 0,31.
IjUfe
Wzór (7,13) może być również zastosowany w innym celu, mianowicie do iden■ lif. tyfikacji możliwej strategii arbitrażowej. Strategia ta obejmuje wszystkie możliwe
'pv,cztery instrumenty, któiych wartości występują we wzorze (7.13). Instrumentami
tymi są: opcja cali, opcja put, akcja oraz instrum ent wolny od ryzyka, który w ter­
minie wygaśnięcia opcji daje przepiyw pieniężny równy cenie wykonania opcji.
Przeprowadzenie strategii arbitrażowej jest możliwe, gdy parytet put-call nie jest
v spełniony, czyli w miejsce równości we wzorze (7.13) występuje nierówność. Przy
¡¡¡K ^ •
Jeśli lewa strona we wzorze (7.13) jest większa niż prawa strona, to strategia
arbitrażowa jest następująca: wystawić opcję cali, zająć pozycję krótka w instrumencie
Wolnym od ryzyka, kupić opcję put i kupić akcję;
• jeśli lewa strona we wzorze (7.13) jest mniejsza niż prawa strona, to strategia
arbitrażowa jest następująca: kupić opcję cali, zajać pozycję długą w instrumencie
i : Wolnym od ryzyka, wystawić opcję put i sprzedać (np. krótko) akcję.
^aic widać, idea tych strategii wykorzystuje fakt występowania nierówności we
f ^ ^ o r z e (7.13), co wskazuje na konieczność zajęcia długiej pozycji tam, gdzie wartość
jest niższa, i jednocześnie krótkiej pozycji tam, gdzie wartość jest wyzsza.
I
Przykład. Cena akcji wynosi 50 zi. Dane są dwie opcje wystawione na tę akcję:
^ >r\ ° ‘)c,a CQtt i opcja put. Cena wykonania obu opcji wynosi 48 zi, a termin wygaśnięcia
97^
3 miesiące. Cena opcji cali wynosi 4,5 zi, opcji p ut zaś 0,5 zi. Stopa wolna od ryzyka
wynosi 10%. Po podstawieniu do wzoru (7.13) otrzymujemy nierówność:
4,5 + 48e_0’125 > 0,5 + 50.
Różnica między lewa i prawa strona wynosi 0,81 zi. Sugeruje to przeprowadzenie
strategii arbitrażowej, która poiega na: wystawieniu opcji cali, zajęciu pozycji krótkiei
w instrumencie wolnym od ryzyka, kupieniu opcji p u t i kupieniu akcji. W ten sposób
generowany jest dochód netto (wynoszący 0,81 zł) w momencie początkowym strate­
gii, Strategia ta jest wolna od lyzyka, gdyż jej wartość końcowa - po trzech miesiącach
- me zalezy od ceny akcji. DJa zilustrowania tego faktu rozważymy dwa scenariusze
kształtowania się ceny akcji po trzech miesiącach:
Scenariusz 1. Cena akcji wynosi 52 zi. W tym wypadku wykonywana jest opcja
cali, wygasa zaś opcja put. Wartość końcowa strategii wynosi:
52 zi (cena akcji) + 0 zi (wartość opcji put) ~ 48 zi (wartość inwestycji wolnej
od ryzyka) - 4 zi (wartość opcji cali), czyli 0 zi.
Scenariusz 2. Cena akcji wynosi 44 zi. W tym wypadku wykonywana jest opcja
put, wygasa zaś opcja cali. Wartość końcowa strategii wynosi:
44 zi (cena akcji) + 4 zł (wartość opcji put) - 48 zi (wartość inwestycji wolnej
od ryzyka) - 0 zi (wartość opcji cali), czyli 0 zł.
W obu scenariuszach wartość końcowa strategii jest taka sama. Podobny efekt
otrzymuje się przy zaiozemu dowolnej ceny akcji po trzech miesiącach. Jest to stra­
tegia wolna od ryzyka, której wartość końcowa wynosi 0 zi, a na początku generuje
ona dochód netto równy 0,81 zi. Jest to zatem strategia arbitrażowa.
Należy jeszcze dodać, ze powyżej opisana strategia arbitrażowa przynosi efekt,
gdy koszty transakcji z ma związane są niższe niż dochód arbitrażowy.
Przedstawiony parytet put-call, w postaci wyrażonej wzorem (7.13), dotyczy opcji
wystawionych na akcję medającą dywidendy do wygaśnięcia opcji. Teraz podamy
ogólny wzór dla przypadku, gdy opcje są wystawione na dowolny instrument pod­
stawowy. Jedynym warunkiem jest to, ze opcje są europejskie, mają ten sam termin
wygaśnięcia i tę samą cenę wykonania. Wtedy parytet put-call dany jest następującym
wzorem:
c + Xz~rT = p + S e(b~r)T,
(7.14)
gdzie: b - tzw, stopa cost-of-cany (cost-of~carry rate), przy czym szczególne przypadki
to: b - r - opcja na akcję medającą dywidendy; b - r - ą - opcja na akcję dająca
dywidendę lub na indeks giełdowy (ą oznacza stopę dywidendy); b ~ r - r f - opcja
walutowa (rf oznacza stopę wolną od ryzyka w kraju obcej waluty); b = 0 - opcja na
kontrakt futures.
276
7 .2 .6 . W spółczynniki greckie
Współczynniki greckie (Greek coefficients, greeks) odgrywają dużą role w analizie
opcji- Ich nazwa wynika z tego, że sa one oznaczane głównie literami greckimi. Sa to
w s p ó łc z y n n ik i wrażliwości, przy czym zazwyczaj chodzi o wrażliwość wartości (ceny)
opcji względem czynnika, który wpływa na te cene.
Formalnie każdy z tych współczynników jest określony jako pochodna (m ate­
matyczna) wartości opcji względem konkretnego czynnika. Wynika z tego ogólna
interpretacja greckiego współczynnika, mianowicie wskazuje on, jak zmieni się war­
tość opcji, gdy wartość rozpatrywanego czynnika zmieni się o jednostkę, a wartości
pozostałych czynników me zmienią się. Wynika z tego, ze współczynniki greckie
można traktować jako miary ryzyka opcji.
Przy stosowaniu współczynników greckich należy pam iętać o dwóch ważnych
kwestiach związanych z interpretacją czynnika:
* rozwazać można jedynie wpiyw niewielkich zmian czynnika (z uwagi na to, ze
formalnie współczynnik grecki jest pochodną w sensie matematycznym);
• przy rozpatrywaniu wpiywu danego czynnika abstrahuje się od wpływu innych
czynników, które przeciez w praktyce tez mogą się zmienić.
Przedstawimy tutaj kilka greckich współczynników. Określają one wpiyw więk­
szości wcześniej przedstawionych czynników. Jedynym czynnikiem, który nie jest tu
rozpatrywany, jest cena wykonania. Wynika to z faktu, ze cena wykonania (w stan­
dardowych opcjach) me ma charakteru dynamicznego. Trudno jest zatem mówić
o wpływie zmiany ceny wykonania na wartość opcji.
Definicje greckich współczynników przedstawione są w odniesieniu do opcji cali
(opcji kupna), jednak taicie same definicje występują w odniesieniu do opcji put (opcji
sprzedazy).
Najważniejszym współczynnikiem greckim jest współczynnik delta. Określa on
wrażliwość wartości opcji na zmiany ceny instrum entu podstawowego. Dany jest
następującym wzorem:
gdzie: d - symbol pochodnej.
Współczynnik delta określa, o ile w przybliżeniu zmieni się wartość opcji, gdy
cena instrumentu podstawowego wzrośnie o jednostkę.
Najważniejsze właściwości współczynnika delta są następujące:
• w przypadku opcji cali współczynnik delta zawiera sie w przedziale [0, 1];
• w przypadku opcji p ut współczynnik delta zawiera się w przedziale [-1 , 0];
® im bardziej opcja jest OTM, tym współczynnik delta jest bliższy 0 (dodatni
lub ujemny);
« im bardziej opcja jest ITM, tym współczynnik delta jest bliższy 1 (opcja cali)
lub - 1 (opcja put);
« współczynnik delta określony w odniesieniu do instrum entu podstawowego
wynosi 1.
Współczynnik delta może być określony również w odniesieniu do portfela opcji.
Stosowany jest tu następujący wzór:
<5P = ¿*.-<5/,
' =I
(7.16)
gdzie: n - liczba rodzajów opcji w portfelu; x; - liczba opcji i-tego rodzaju w portfelu.
Jak wynika ze wzoru (7.16), współczynnik delta portfela jest to ważona suma
współczynników delta składowych portfela, przy czym wagami są liczby odpowiednich
składowych w portfelu.
Przykład. Dana jest akcja pewnej spółki oraz opcja cali na tę akcję. Współczynnik
delta tej opcji wynosi 0,25. Utworzony jest portfel zawierający 50 sztuk akcji kupio­
nych (czyli długa pozycja) oraz 200 sztuk opcji cali wystawionych (czyli krótka pozy­
cja). W portfelu na każdą kupioną opcję przypadają 4 wystawione opcje. Zauważmy,
ze 4 jest to odwrotność współczynnika delta.
Współczynnik delta portfela wynosi zgodnie ze wzorem (7.16), przy czym znaki
odzwierciedlają długie i krótkie pozycje:
dp = 50 • 1 - 200 ■0,25 = 0.
Ponieważ współczynnik delta portfela wynosi 0, oznacza to, ze rozwazany portfel
jest w danym momencie niewrażliwy na zmiany cen akcji spółki, czyli jest to portfel
wolny od ryzyka cen akcji.
Przedstawiona strategia otrzymywania portfela wolnego od ryzyka cen instrumentu
podstawowego jest nazywana strategią delta-hedgingu lub strategią delta-neutralną. Sam
portfel utworzony w ten sposób nazywa się portfelem delta-neutralnym. Z przedstawio­
nego przykładu można wyciągnąć ogólniejszy wniosek, mianowicie: w celu skonstruowa­
nia strategii delta-hedgmgu dla portfela zawierającego akcje i opcje cali należy na każdą
zakupioną akcję wystawić liczbę opcji cali równą odwrotności współczynnika delta.
Należy jednak zwrócić uwagę, ze portfel delta-neutralny jest wolny od ryzyka
w danym momencie. Z uwagi na to, ze współczynnik delta może się zmieniać, skon­
struowany portfel może przestać być delta-neutralny po upiywie pewnego czasu.
Ilustruje to przykład, będący kontynuacją poprzedniego przykładu.
Przykład. Dana jest akcja pewnej spółki oraz opcja cali na tę akcję. Współczynnik
delta tej opcji wynosi 0,25. Utworzony jest portfel zawierający 50 sztuk akcji kupio­
nych (czyli długa pozycja) oraz 200 sztuk opcji cali wystawionych (czyli krótka pozy­
cja). Jest to (jak wskazywaliśmy) portfel delta-neutralny. Jednak po upiywie pewnego
czasu współczynnik delta opcji rośnie i wynosi 0,5. Współczynnik delta portfela wynosi
teraz:
<5p = 50 ■1 - 200 ■0,5 = - 50.
Oznacza to, ze w przypadku wzrostu (spadku) ceny akcji o jednostkę wartość portfela
spadnie (wzrośnie) o ok. 50 jednostek. Portfel ten me jest juz wolny od ryzyka.
278
Z przedstawionego przykładu wynika, ze współczynnik delta może się zmieniać
w miare zmian cen instrum entu podstawowego. Tempo tych zmian informuje o tym,
na ile utworzony portfel delta-neutralny może (w przybliżeniu) takim portfelem
pozostać. Inform uje o tym kolejny współczynnik grecki, który teraz przedsta­
wimy. Jest to współczynnik gamma. Określa on wrażliwość współczynnika delta na
zmiany ceny instrum entu podstawowego, jest zatem pochodna współczynnika delta
względem ceny instrum entu podstawowego, czyli po prostu drugą pochodną war­
tości opcji względem ceny instrum entu podstawowego - zgodnie z następującym
wzorem:
dd
d2c
Y ~ d S ~ dS2 '
(7' 17)
Współczynnik gamma określa, o ile w przybliżeniu zmieni się wartość współ­
czynnika delta opcji, gdy cena instrum entu podstawowego wzrośnie o jednostkęNajważniejsze właściwości współczynnika gamma sa następujące:
• współczynnik gamma przyjmuje wartości meujemne;
• najwyzsze wartości współczynnik gamma przyjmuje dla opcji ATM znajdują­
cych się blisko term inu wygaśnięcia;
® współczynnik gamma określony w odniesieniu do instrumentu podstawowego
wynosi 0;
• współczynnik gamma dla portfela opcji jest to ważona suma współczynników
gamma składowych portfela, przy czym wagami sa liczby odpowiednich składowych
w portfelu (taka sama właściwość jak dla współczynnika delta) - w ten sposób
otrzymamy wzór analogiczny do wzoru (7.16).
Ostatnia właściwość sugeruje strategię tworzenia portfela złozonego z opcji
i instrumentu podstawowego, tak aby jednocześnie współczynnik delta tego portfela
oraz współczynnik gamma tego portfela byiy równe 0. Taka strategia nosi nazwę
delta-gamma hedgingu, portfel zaś nazwę delta-gamma neutralnego. Jest to portfel
w danym momencie niewrażliwy na zmiany ceny instrumentu podstawowego, ale
dodatkowo o właściwości pozostania niewrażliwym.
Trzecim współczynnikiem greckim, który przedstawimy, jest współczynnik vega.
Wyjątkowo współczynnik ten nie jest nazywany literą grecka (lecz siowem łacińskim),
ale w przeszłości był nazywany współczynnikiem kappa ■ do dziś czasem jest tak
oznaczany. Określa on wrażliwość wartości opcji na zmiany zmienności instrumentu
podstawowego, zgodnie ze wzorem:
3c
vega= K = — ,
(7.18)
óo
gdzie: o - odchylenie standardowe (logarytmicznej) stopy zwrotu.
Współczynnik vega określa, o ile w przybliżeniu zmieni się wartość opcji, gdy
zmienność instrum entu podstawowego wzrośnie o jednostkę.
Najwazmejsze właściwości współczynnika vega są następujące:
® współczynnik vega przyjmuje wartości meujemne;
• wartość vega maleje w miare zbliżania się do terminu wygaśnięcia opcji;
279
» współczynnik vega w odniesieniu do instrum entu podstawowego wynosi 0;
® współczynnik vega dla portfela opcji jest to ważona suma współczynników vega
składowych portfela, przy czym wagami sa liczby odpowiednich składowych w portfelu
(taka sama wiaściwość jak dla współczynników delta i gamma) - w ten sposób otrzy­
mamy wzór analogiczny do wzoru (7.16).
Ostatnia wiaściwość sugeruje strategię tworzenia portfela ziozonego z opcji
i instrumentu podstawowego, tali aby jednocześnie współczynniki delta, gamma i vega
tego portfela były równe 0. Taka strategia nosi nazwę delta-gamma-vega hedgingu.
portfel zaś nazwę delta-gamma-vega neutralnego. Jest to portfel w danym momencie
niewrażliwy na zmiany ceny instrum entu podstawowego i zmiany zmienności in­
strumentu podstawowego oraz dodatkowo o właściwości pozostania niewrażliwym
na zmiany ceny instrumentu podstawowego.
Przykład. Dana jest akcja pewnej spółki oraz 3 rodzaje opcji: opcja cali na akcję
z 3-miesiecznym terminem wygaśnięcia, oznaczona przez A, opcja cali na te akcję
z kilkudniowym terminem wygaśnięcia, oznaczona przez B, a opcja put na te akcję
z miesięcznym terminem wygaśnięcia, oznaczona przez C. Współczynniki greckie
tych opcji wynoszą:
® współczynnik delta - opcja A: 0,2, opcja B: 0,8, opcja C. -0 ,5 ;
® współczynnik gamma - opcja A: 5, opcja B: 8, opcja C. 6;
® współczynnik vega - opcja A: 10, opcja B: 2, opcja C. 4.
Inwestor zakupił 100 alccji spółki. W związku z tym pojawia się pytanie o liczbę
poszczególnych opcji, które oprócz tych akcji powinny się znaleźć w portfelu, tak
aby byl to portfel delta-gamma-vega neutralny. Oznacza to, ze współczynniki delta,
gamma i vega tego portfela powinny być równe 0. Po podstawieniu do trzech równań,
w których wykorzystany jest wzór (7.16) oraz analogiczne wzory dla współczynników
gamma i vega, otrzymujemy:
100 -f 0 ,2 ^ + 0 ,8 x b —0,5xc = 0,
0 + 0,5x^ + 8% + 6xc — 0,
0 + 10xw + 2x b -+■4xc = 0.
Po rozwiązaniu tego układu równań otrzymujemy:
xA = -28,17;
xB = -56,34;
xc = 98,59.
Oznacza to, ze w celu otrzymania portfela delta-gamma-vega neutralnego należy
oprócz zakupu 100 akcji dodatkowo wystawić ok. 28 opcji A, wystawić ok. 56 opcji
B oraz kupić ok. 99 opcji C.
Czwarty współczynnik grecki, który przedstawimy, jest to współczynnik theta.
Określa on wrażliwość wartości opcji na zmianę długości okresu do term inu wygaś­
nięcia, według następującego wzoru:
dT
280
(7.19)
Współczynnik theta określa, o ile zmieni się wartość opcji, gdy czas zmniejszy
się ° jednostkę, a pozostaie czynniki wpływające na wartość opcji me zmienią się.
Współczynnik ten przyjmuje wartości ujemne, co odzwierciedla fakt, ze w miarę
upływu czasu spada wartość czasowa opcji.
Podstawowe właściwości współczynnika theta sa następujące:
• przyjmuje on wartość ujemna dla obu rodzajów opcji;
• zazwyczaj w przypadku opcji ITM łub OTM współczynnik ten zbliża się do
zera w miarę zbliżania się do term inu wygaśnięcia.
Piątym > ostatnim spośród podstawowych współczynników greckich jest współ­
czynnik rho. Określa on wrażliwość wartości opcji na zmiany stopy procentowej (jest
to stopa wolna od ryzyka). Współczynnik ten dany jest następującym wzorem:
3c
(7.20)
W artość współczynnika rho określa, o ile zmieni się wartość opcji, gdy stopa
procentowa wzrośnie o jednostkę (z reguły o 1 pkt proc.).
Jeśli mamy do czynienia z opcją walutową, to wyróżnia się dwa współczynniki
rho, czasem oznaczane jako rh o l i rho2. Są to miary wrażliwości wartości opcji na
zmiany krajowej stopy procentowej (wolnej od ryzyka) i zmiany zagranicznej stopy
procentowej (wolnej od ryzyka).
Praktycy stosują jeszcze inne współczynniki; np. współczynnik lambda określa,
o ile procent zmieni się wartość opcji, gdy cena instrumentu podstawowego zmieni
się o 1%. Jest to po prostu miernik elastyczności.
7.3. Wycena opcji - model dwumianowy
Po przedstawieniu zagadnień wprowadzających do wyceny opcji można juz przejść
do omówienia podstawowych modeli wyceny opcji. Jako pierwszy przedstawimy
model dwumianowy. Autoram i tego modelu sa John Cox, Stephen Ross i Mark
Rubinstein, a oficjalnie został on opublikowany w 1979 r. M a on jedną podstawową
zaletę, którą jest prostota i łatwość przekazania ogólnej idei klasycznych modeli
wyceny opcji. Należy jednak zaznaczyć, ze model dwumianowy jest w pewnym sensie
modelem aproksymującym model Blacka-Scholesa-M ertona (opisany w następnym
punkcie rozdziału), a zatem w praktyce jest stosowany nieco rzadziej (przynajmniej
w odniesieniu do niektórych opcji).
Model dwumianowy wyceny opcji wykorzystuje przedstawiona wcześniej zasadę
wyceny arbitrażowej. Ma u podstaw założenie, ze zmiany ceny instrumentu pod­
stawowego kształtują się zgodnie z rozkładem dwumianowym, która to idea jest
zilustrowana na rysunku 7.6 w postaci tzw. drzewa dwumianowego.
Na rysunku tym przedstawione sa zmiany ceny instrumentu podstawowego w mo­
delu dwumianowym czterookresowym. Model ten ma u podstaw założenie skokowych
zmian cen instrumentu podstawowego w kolejnych okresach. Dla ustalenia uwagi na
rysunku tym instrum entem podstawowym jest akcja. W obecnym okresie cena ta
281
uuuitS
S
Rysunek 7.6. Drzewo dwumianowe czterookresowe
wynosi S, a w każdym z kolejnych okresów może wzrosnąć lub spaść. Na przykład
w pierwszym okresie cena może wzrosnąć do poziomu uS lub spaść do poziomu dS.
Oczywiście zasadne jest przyjęcie założenia, ze:
d < 1 < er < u,
gdzie: r - stopa wolna od ryzyka, wyrażona w skali okresu do wygaśnięcia opcji.
Zaiozenie to oznacza, ze wzrost ceny akcji w stosunku do ceny poprzedniej
powinien być większy, niż wynika to ze stopy wolnej od ryzyka (gdyz akcja jest
obarczona ryzykiem). Na rysunku widać, ze po upiywie czterech okresów otrzy­
mujemy pięć różnych możliwych wartości akcji, przy czym istnieją różne możiiwe
„ścieżki dojścia” do danego poziomu w ostatnim okresie. N a przykład wartość
oznaczona jako uuudS może być otrzymana w wyniku trzech wzrostów >jednego
spadku ceny w kolejnych okresach, a więc na cztery sposoby, gdyz spadek ceny
musi nastąpić w jednym z czterech kolejnych okresów, a w pozostałych muszą być
wzrosty.
Dla przedstawienia idei samego m odelu dwumianowego wyceny opcji pod
uwagę weźmiemy modei jednookresowy i rozpatrzymy go w odniesieniu do euro­
pejskiej opcji cali na akcję, która m e daje dywidendy w okresie do wygaśnięcia
opcji. Zakładamy, ze term in wygaśnięcia opcji jest zgodny z okresem drzewa dwu­
mianowego. Zilustrowane jest to na rysunku 7.7, przy czym w każdym węźle
drzewa dwumianowego zaznaczona jest cena akcji oraz (pod nią w nawiasie) war­
tość opcji.
uS
Rysunek 7.7. Zmiarw ceny akcji i ceny opcfi
w modelu dwumianowym lednookresowym
282
Jak wynika z rysunku, znane sa wartości opcji w terminie wygaśnięcia (koniec
gdyz sa one po prostu równe wartościom wewnętrznym opcji. Przyjmijmy,
ze czas do wygaśnięcia wynosi T (w iatach), a stopa wolna od ryzyka wynosi r.
Ideę m odelu dwumianowego przedstawimy w dwóch równoważnych wersjach.
Wersja L Polega ona na konstrukcji portfela ziozonego z jednej akcji (pozycja
długa) oraz h opcji cali (pozycja krótka), w proporcji określonej wartością h. Dzisiej­
sza wartość tego portfela wynosi:
o k r e su ),
S - hc.
Portfel ten jest skonstruowany w taki sposób, aby byi wolny od ryzyka cen akcji.
Oznacza to, ze portfel ten powinien mieć te sama wartość w terminie wygaśnięcia
opcji, niezalezme od tego, czy cena akcji wzrośnie, czy spadnie. Wobec tego powinna
t>yć spełniona zalezność:
uS ~h,cu ~ dS —hcd.
Wynika z tego, ze liczba akcji opcji cali wystawionych na 1 akcję musi speiniać
następujący warunek:
S(u - d )
cu ~ c d
Zauważmy, ze współczynnik /i, zwany również współczynnikiem zabezpieczającym
(hedge ratio), jest to iloraz różnicy cen akcji i różnicy cen opcji, w momencie wygaś­
nięcia opcji.
Wersja 2. Polega ona na konstrukcji portfela ziozonego z A akcji (pozycja długa)
oraz 1 opcji cali (pozycja krótka), w proporcji określonej wartością A. Dzisiejsza
wartość tego portfela wynosi:
A S -c.
Portfel ten jest skonstruowany w taki sposób, aby byi woiny od ryzyka cen akcji.
Oznacza to, ze portfel ten powinien mieć tę samą wartość w terminie wygaśnięcia
opcji, niezalezme od tego, czy cena akcji wzrośnie, czy spadnie. Wobec tego powinna
być speimona zalezność:
A uS - cH= AdS - cd.
Wynika z tego, że liczba zakupionych akcji przypadających na 1 opcję cali musi
speiniać następujący warunek:
Zauważmy, ze współczynnik A jest to iloraz różnicy cen opcji i różnicy cen akcji,
w momencie wygaśnięcia opcji. Jest to również po prostu omówiony wcześniej współ­
czynnik grecki nazywany właśnie współczynnikiem delta (z tego wyniJka jednorodność
oznaczenia). Jednocześnie współczynnik ten to odwrotność współczynnika zabez­
pieczenia fi, co potwierdza równoważność obu wersji. Z uwagi na tę równoważność
283
dałszy opis idei modelu dwumianowego podamy w odniesieniu do wersji drugiej,
czyli tei, w której występuje współczynnik A.
Powyżej zostai utworzony portfel, którego wartość me zalezy od kształtowania
się cen akcji, czyli wolny od ryzyka. Powinien on zatem przynosić stopę dochodu
równa stopie wolnej od ryzyka. Wynika to z zasady braku arbitrażu. Istnienie moż­
liwości arbitrażowych doprowadziłoby bowiem do uzyskania stopy zwrotu wyższej
niż stopa wolna od ryzyka. Wynika z tego, że wartość portfela musi być równa
wartości obecnej (bieżącej) obliczonej z końcowej wartości portfela, z zastosowaniem
stopy wolnej od ryzyka. Otrzymujemy zatem (przyjmując, jak to się zwykle czyni,
konwencję kapitalizacji ciągłej):
O'1
Po podstawieniu do powyzszego wzoru otrzymanego wcześniej wzoru na A i po
przekształceniach otrzymujemy:
(7.21)
gdzie:
e" d
u ~d
(7.22)
Ze wzoru (7.21) wynika, ze wartość europejskiej opcji cali w modelu dwumianowym
jest to wartość obecna średniej ważonej możliwych wartości opcji w terminie wygaś­
nięcia, przy czym wagi zalezą od param etru g, określonego wzorem (7.22).
Mechanizm działania modelu dwumianowego jednookresowego może być zilu­
strowany na następującym przykładzie.
Przykład. Dana jest akcja, której cena wynosi 50 zł, oraz opcja europejska cali
na tę akcję, której cena wykonania wynosi 55 zi, z terminem wygaśnięcia 3 miesiące.
Stopa wolna od ryzyka wynosi 8%. Zakładamy, ze w momencie wygaśnięcia opcji
cena akcji może przyjąć jedną z dwóch wartości: 60 zi lub 40 zi. Wynika z tego, ze
u = 1,2, zaś d - 0,8. Wiadomo zatem, jakie są możliwe wartości opcji w terminie
wygaśnięcia; są to: 5 zi i 0 zi.
Jeśli zatem stworzymy portfel wolny od ryzyka, składający się z A akcji (długa ,
pozycja) oraz 1 opcji call (krótka pozycja), to:
A-
6 0 -4 0
= 0,25.
Wartość tego portfela w momencie wygaśnięcia wynosi:
0,25 • 60 - 5 = 10.
Z kolei wartość obecna tego portfela wynosi:
1 0 e - o , o s . o ,2 5 =
284
9 i S a
Ponieważ w skład tego portfela wchodzi A akcji i 1 opcja, otrzymujemy warunek
określający wartość obecna tego portfela:
9,80 = 0,25- 50 - c .
Wynika z tego, ze wartość opcji wynosi (okoio):
c = 2,70.
Oczywiście ten sam wynik otrzymujemy po zastosowaniu wzorów (7.21) i (7.22). Po
podstawieniu do wzoru (7.22) otrzymujemy bowiem:
gO.OS 0 ,25 _
0
T 2 --0 .8
8
- ° - 55'
Zgodnie ze wzorem (7.21) wartość opcji jest wartością obecna ważonej średniej
wartości opcji w terminie wygaśnięcia, a zatem:
^ _ 0,55 • 5 + 0,45 -0
C~
g0,08■0,25
—2,70.
W przedstawionej metodzie wyceny za pomocą modelu dwumianowego jednookresowego pojawiio się kluczowe zaiozenie dotyczące scenariuszy wzrostu i spadku
wartości instrum entu podstawowego (w tym przypadku akcji). Zaiozenie to jest
w gruncie rzeczy zaiozeniem zmienności cen instrumentu podstawowego. Jak wia­
domo z poprzednich rozważań, zmienność jest jednym z podstawowych czynników
wpływających na wartość opcji. Jest to przy tym jedyny czynnik, którego wartość
musi być określona przez analityka. Dla zilustrowania tego wpływu w modelu dwu­
mianowym podamy kolejny przykład, będący modyfikacją poprzedniego.
Przykład. D ana jest akcja, której cena wynosi 50 zi, oraz opcja europejska cali
na te akcję, której cena wykonania wynosi 55 zi, z terminem wygaśnięcia 3 miesiące.
Stopa wolna od ryzyka wynosi 8%. Zakładamy, ze w momencie wygaśnięcia opcji
cena akcji może przyjąć jedna z dwóch wartości: 70 zi lub 30 zi. Wiadomo zatem,
lakie sa możliwe wartości opcji w terminie wygaśnięcia; sa to: 15 zi i 0 zi. Jak widać,
w tym przykładzie skok cen akcji jest o 40%, czyli jest większy niż w poprzednim
pr2ykładzie, w którym wynosił 20%.
Po zastosowaniu wzorów (7.22) i (7.21) otrzymujemy:
gOjOS 0,25 —0 6
*—
L A - ó ś ~ = 0,525
oraz:
0,525 • 15 + 0,475 • 0
cu = — --------------e 0,08 -0 ,2 5
=
/ ,/ .£ .
112
Jest to zdecydowanie wyzsza wartość niż w poprzednim przykładzie, z uwagi na
wyzsza zmienność.
285
Iii
Najważniejszym problemem związanym z zastosowaniem modelu dwumianowego
w praktyce jest określenie wartości u oraz rf, odzwierciedlających wzrost i spadek.
ceny akcji (lub innego instrumentu podstawowego). Wartości te zalezą oczywiście
od zmienności cen instrumentu podstawowego. Jedno z najczęściej przyjmowanych
rozwiązań wyrażone jest następującymi wzorami:
u=
(7.23)
cl = e - " ^ .
(7.24)
gdzie: o - odchylenie standardowe stopy zwrotu; A t - długość okresu w modelu
dwumianowym.
Oczywiście kluczowe jest tu określenie wartości a. Problem ten zostanie omó­
wiony w następnym punkcie rozdziału.
Przedstawiony przykład oraz wzory wskazywały na sposób wyceny opcji europej­
skiej cali w modeiu dwumianowym jednookresowym. Sposób postępowania jest zbli­
żony także w innych sytuacjach.
1. Wycena w modelu wielookresowym. Zasada jest tu dokładnie taka sama jak
przedstawiona poprzednio, z tym ze wycena następuje sekwencyjnie „od końca”, co
oznacza, ze po określeniu wartości opcji w terminie wygaśnięcia (okres n) określa
się wartości opcji w kolejnych węziach okresu poprzedzającego (o numerze n - 1);
następnie na ich podstawie wartości opcji w węziach okresu wcześniejszego (o nu­
merze n - 2) ltd. az do otrzymania wartości w okresie, na który dokonywana jest
wycena.
2. Wycena opcji p u t. Wycena dokonywana jest tak samo jak dla opcji cali, z tym
ze oczywiście na początku określane są wartości opcji p u t w terminie wygaśnięcia.
3. Wycena opcji amerykańskich. W tym przypadku następuje modyfikacja pro­
cesu wyceny poprzez sprawdzenie w każdym węźle pośrednim, czy jest bardziej
opłacalne wykonanie opcji, czy trzymanie jej. W artość opcji w danym węźle jest wtedy
modyfikowana poprzez wzięcie większej z dwóch wartości: wartości opcji bez moż­
liwości wykonania i wartości w wypadku wykonania opcji.
Zasady te są zilustrowane w trzech kolejnych przykładach.
Przykład. Dana jest akcja, której cena wynosi 50 zi, oraz opcja europejska cali
na tę akcję, której cena wykonania wynosi 55 zi, z terminem wygaśnięcia pół roku.
Stopa wolna od ryzyka wynosi 8%. Rozpatrywany jest model dwumianowy dwu-
Rysunek 7.8. Wartość akcii i europeiskiei opcji ca//
w modelu dwuokresowym
286
0Kresowy, przy czym w każdym okresie cena akcji może wzrosnąć lub spaść o 20%.
■Wynika z tego, ze u = 1,2, zaś d - 0,8. Przykład jest zlustrowany na rysunku 7.8,
przy czym zaznaczone są również rezultaty wyceny.
Wartości opcji w okresie wygaśnięcia w kolejny cli węzłach wynoszą: 17 zi, 0 zi,
0 zi. P ° zastosowaniu wzoru (7.22) otrzymujemy:
g 0 , 0 8 - 0 ,2 5 _
Q o
* = i.2 -o :r~ = °'55W artość opcji w pierwszym okresie (węzei górny) jest to zdyskontowana ważona
Średnia opcji w węz iach kolejnego okresu, a zatem:
0,55 17+ 0,45-0
c = — —----- ----- --------- = O 16
gO.OK ■0 ,2 5
W drugim węźle tego okresu wartość opcji oczywiście wynosi 0. Ostatecznie otrzy­
mujemy wartość opcji w momencie wyceny:
C~
0,55-9,16 + 0,45-0
_
gO.OS■0,25
~ 4,94.
Zauważmy jeszcze, ze w
każdym węźle (oprócz terminu
wygaśnięcia)można wy­
znaczyć wartość współczynnika A. Na przykład w górnym węźle okresu pierwszego
wartość ta wynosi:
A = - 17 ~ ° = 0,708.
7 2 -4 8
Przykład. Dana jest akcja, której cena wynosi 50 zi, oraz opcja europejska p u t
na tę akcję, której cena wykonania wynosi 55 zi, z terminem wygaśnięcia pół roku.
Stopa wolna od ryzyka wynosi 8%. Rozpatrywany jest model dwumianowy dwuokresowy, przy czym w każdym okresie cena akcji może wzrosnąć lub spaść o 20%.
W'ynika z tego, ze u = 1,2, zaś d = 0,8. Przykład jest zlustrowany na rysunku 7.9,
przy czym zaznaczone są również rezultaty wyceny.
Rysunek 7.9. Wartość akcji i europeiskiei opcji put
w modelu dwuokresowym
Wartości opcji w okresie wygaśnięcia w kolejnych węziach wynoszą: 0 zi, 7 zi,
23 zi. Po zastosowaniu wzoru (7.22) otrzymujemy:
287
Otrzymujemy wartości w węziach pierwszego okresu:
Pd ~
gO.OK•0,25
13,92.
Ostatecznie otrzymujemy wartość opcji w momencie wyceny:
P ~~
0,55-3,09 + 0,45 -13,92 _ ^
g0,08•0.2S
Przykład. D ana jest akcja, której cena wynosi 50 zi, oraz amerykańska opcjaput
na tę akcję, której cena wykonania wynosi 55 zi, z term inem wygaśnięcia pól roku.,
Stopa wolna od ryzyka wynosi 8%. Rozpatrywany jest model dwumianowy dwuokresowy, przy czym w każdym okresie cena akcji może wzrosnąć lub spaść o 20%.
Wynika z tego, ze u ~ 1,2, zaś d = 0,8. Przykład jest zlustrowany na rysunku 7.10,
przy czym zaznaczone sa również rezultaty wyceny.
72
60
Rysunek 7.10. Wartość akcji i amerykańskie! opcji
put w modelu dwuokresowvm
Wartości opcji w okresie wygaśnięcia w kolejnych weziach wynoszą: 0 zi, 7 zi,
23 zi. Po zastosowaniu wzoru (7.22) otrzymujemy:
Dia określenia wartości opcji w węziach pierwszego okresu najpierw wyznaczamy
wartości lei opcji w przypadku braku możliwości wykonania (tak jak dla opcji euro­
pejskiej):
288
Następnie należy zbadać możliwości wykonania tej opcj’i w Każdym weźle pierwszego
okresu. Ponieważ cena wykonania wynosi 55 zi, a ceny akcji w górnym > dolnym
weźle odpowiednio 60 zi i 40 zi, widać, ze możliwość wykonania jest jedynie w dolnym
węźle i wtedy w przypadku wykonania otrzymuje się 15 zi. Oznacza to konieczność
modyfikacji wartości opcji w dolnym węźle, gdyz 13,92 < 15, czyli wykonanie opcji
w tym węźle jest korzystne dla posiadacza. Oznacza to, ze w efekcie otrzymujemy po
modyfikacji i odpowiedniej zmianie symbolu wartości opcji:
Pu = 3,09;
Pd = 15.
Ostatecznie otrzymujemy wartość opcji w momencie wyceny:
D _ 0,55 ■3,09 + 0,45 ■15
*
g0.08 0.25
~ O,¿O.
Jak widać, z uwagi na możliwość wcześniejszego wykonania otrzymaliśmy wartość
wyższą niż dla opcji europejskiej o tych samych param etrach, rozpatrywanej w po­
przednim przykładzie.
Warto jeszcze dodać, że w ogólnym modelu dwumianowym, liczącym n okresów,
wzór na wartość opcji cali jest następujący (taki sam jest wzór na wartość opcji pat):
c = errTt (
~ s )n
max{0;
- .¥}).
(7.25)
Na zakończenie rozważań o modelu dwumianowym warto jeszcze raz podsumo­
wać ideę wyceny zawarta w tym modelu (dla ustalenia uwagi przedstawimy ją w od­
niesieniu do opcji cali):
Tworzy się portfel ziozony z akcji (długa pozycja) i opcji cali (krótka pozycja)
w takiej proporcji, aby ten portfel byi w danym momencie wolny od ryzyka. Przy braku
arbitrażu oznacza to, że stopa zwrotu tego portfela jest równa stopie wolnej od ryzyka.
Na tej podstawie, znając cenę akcji, bezpośrednio wyznacza się wartość opcji.
7.4. Wycena opcji - model Blacka-Scholesa-Mertona
Przejdziemy teraz do omówienia podstawowego modelu wyceny opcji, który od
nazwisk autorów nazywany jest modelem Blacka-Scholesa-M ertona. Model ten
powstał w zasadzie na początku lat 70. Formalnie za rok powstania uważa się rok
1973, w którym opublikowane zostały dwa artykuły: napisany przez Fischera Blacka
i Myrona Scholesa artykuł o wycenie opcji na akcję, która nie przynosi dywidendy
(w okresie do wygaśnięcia opcji), oraz napisany przez R oberta M ertona artykui
o wycenie bardziej ogólnej opcji na akcję, która może dawać dywidendę. Pierwszy
model wyceny opcji nazywany jest modelem Blacka-Seholesa, bardziej ogólny zaś
modelem Blacka-Scholesa-M ertona. W ramach tego modelu można z kolei wyróżnić
inne modele szczegółowe, o których piszemy w dalszych rozważaniach. Na wstępie
należy zaznaczyć, ze model B lacka-Scholesa-M ertona może być traktowany jako
289
pewne uogólnienie modelu dwumianowego. Jeśli bowiem w modelu dwumianowym
zwiększać będziemy liczbę okresów, to w granicy (gdy liczba okresów zdąza do
nieskończoności) otrzymujemy właśnie model Blacka-Schoiesa-M ertona.
Idea wyceny w modelu Blacka-Scholesa-Mertona jest taka sama jak w modelu dwu­
mianowym, mianowicie: tworzy się portfel ziozony z akcji (długa pozycja) i opcji cali (¡krót­
ka pozycja) w takiej proporcji, aby ten portfel byi w danym momencie wolny od ryzyka.
Przy braku arbitrażu oznacza to, ze stopa zwrotu tego portfela jest równa stopie wolnej
od ryzyka. Na tej podstawie, znając cenę akcji, bezpośrednio wyznacza się wartość opcji.
Model B1a cka~S ch o le sa-M er to n a stosowany jest do wyceny opcji europejskich.
Podobnie jak w przypadku modelu dwumianowego, tak i tutaj czyni się zaiozenie
odnośnie do procesu kształtowania się cen instrum entu podstawowego. Zaiozenie
to giosi, ze proces cen jest tzw. geometrycznym ruchem Browna, według wzoru (jest
to uproszczona postać wzoru na geometryczny ruch Browna):
a ,v
- £ - = # + os,
(7.26)
gdzie: A - symbol oznaczający przyrost zmiennej; ¡1 ~ wartość oczekiwana procesu,
zwana dryfem (dri.fi); o - odchylenie standardowe procesu, zwane zmiennością (volatility); s - składnik losowy procesu, o którym zakłada się, ze ma standaryzowany
rozkład normalny (średnia równa 0, odchylenie standardowe równe 1).
Jak wynika ze wzoru (7.26), geometryczny ruch Browna jest to proces o staiei
wartości oczekiwanej, zakłócony składnikiem losowym, którego wartości zalezą od
param etru zmienności - im param etr ten jest większy, tym większe zakłócenia.
Przykład. Rozważmy geometryczny ruch Browna, w którym param etr dryfu
wynosi 0,08, a param etr zmienności 0,24. Otrzymujemy zatem następujący model:
= 0,08 + 0,24e.
Jeśli przyjmiemy wartość początkowa (dla m om entu zerowego) równą np. 100, to
możemy otrzymać przykładową trajektorię tego procesu. Przedstawiona jest ona na
rysunku 7.11.
Czas
Rysunek 7.11. Przykład geometrycznego ruchu Browna, parametr zmienności 0,24
290
i
Kontynuując ten przykład, rozwazmy teraz geometryczny ruch Browna, w którym
parametr dryfu jest taki sam jak poprzednio, czyli wynosi 0,08, param etr zmienności
zaś wynosi 0,48. Otrzymujemy zatem następujący model:
————0,08 + 0,48f.
Jeśli przyjmiemy wartość początkową (dla momentu zerowego) równą np. 100, to
możemy otrzymać przykładową trajektorię tego procesu. Przedstawiona jest ona na
rysunku 7.12.
Czas
Rysunek 7.12. Przykład geometrycznego ruchu Browna, parametr zmienności 0,48
Zaiozem e geometrycznego ruchu Browna implikuje podstawową właściwość
modelu Blacka-Scholesa-M ertona, mianowicie to, ze rozkład ceny instrumentu pod­
stawowego w dowolnym momencie, w szczególności w momencie wygaśnięcia opcji,
jest to rozkład logarytmiczno-normalny, co równocześnie oznacza, ze rozkład logarytmu naturalnego ceny instrumentu podstawowego jest rozkładem normalnym. W ar­
tość oczekiwana i wariancja tego rozkładu wynoszą:
E(ln S,) = In SQ+
- ^ -jć ,
F(ln St) = o 2t,
(7.27)
(7.28)
gdzie: S0 - cena instrumentu podstawowego w momencie początkowym; - obecna
cena instrumentu podstawowego.
Korzystając z wiaściwości rozkładu normalnego, można otrzymać przedział ufno­
ści dla ceny instrumentu podstawowego w dowolnym okresie. Ilustruje to następny
przykład.
Przykład. Rozwazamy akcję pewnej spółki. Cena tej akcji w momencie począt­
kowym wynosi 100 zi. Zakładamy, ze proces ceny tej akcji kształtuje się zgodnie
z geometrycznym ruchem Browna, następującej postaci:
O
= 0,08 + 0,24e.
291
Rozwazmy cenę tej akcji po 3 miesiącach. Z rozwazań wynika, ze rozkiad łogarytmu
naturalnego ceny po 3 miesiącach jest to rozkład normalny, którego parametry
zgodnie ze wzorami (7.27) i (7.28) wynoszą:
/
0 242\
£ (ln S,) = In 100 + i 0,08 —
10,25 = 4,632,
V(\n St) = 0,242- 0,25 = 0,0144.
Na tej podstawie można wyznaczyć przedziai ufności dla łogarytmu naturalnego ceny.
Zakładając poziom ufności równy 0,95, otrzymujemy przedziai ufności, który powstaje
poprzez dodanie do wartości oczekiwanej i odjęcie od wartości oczekiwanej wielkości
równej 1,96 razy odchylenie standardowe (czyli pierwiastek kwadratowy z wariancji).
W ten sposób otrzymujemy przedziai:
4,632 - 1,96 •a/0,0144 < In S, < 4,632 + 1,96 ■V0,0144,
czyli:
81,19 < S, < 129,96.
Założenie geometrycznego m chu Browna jest kluczowe w modelu Blacka-Schoiesa-M ertona, lecz me jedyne. Oprócz zwykłych zaiozeń, które tradycyjnie przyjmuje
się w klasycznych modelach finansowych, takich jak brak podatków i kosztów transak­
cji oraz doskonała podzielność instrumentów finansowych, przyjmuje się jeszcze dwa
istotne zaiozema:
© stałość stopy procentowej (stopy wolnej od ryzyka) w okresie do wygaśnięcia
opcji,
® stałość param etru zmienności (volatility) w okresie do wygaśnięcia opcji.
Jaic ¡uz wspomnieliśmy idea wyceny w modelu B lacka-Scholesa-M ertona jest
taka sama jak w modelu dwumianowym, tzn. polega na tworzeniu portfela wolnego
od ryzyka. Jednak w modelu dwumianowym portfel ten byi tworzony w danym węźle
drzewa dwumianowego, natomiast w modelu B lacka-Scholesa-M ertona portfel ten
jest hipotetycznie tworzony w danym momencie. Oznacza to, ze po upływie dowolnie
niewielkiego okresu portfel ten może przestać być wolny od ryzyka.
Model Blacka-Schoiesa-M ertona w formalny sposób jest wyprowadzony właśnie
przy zaiozemu geometrycznego ruchu Browna w odniesieniu do ceny instrumentu
podstawowego oraz przy uwzględnieniu przedstawionej idei portfela wolnego od
ryzyka. W rezultacie otrzymuje sie końcową postać analityczną modelu. D ana jest
ona następującymi wzorami:
c=
292
~X&-'TN (d 2),
(7.29)
p = Xe~ rTN ( - d2) - S e{b^ )TN ( - d x),
(7.30)
ln (S /X ) + (b + 0 3 o 2)T
dt - —
—,
oyT
(7.31)
(7.32)
gdzie: S - cena instrumentu podstawowego; X - cena wykonania; T - czas do wygaś­
nięcia; r - stopa procentowa (stopa wolna od ryzyka); o - zmienność instrumentu
podstawowego (odchylenie standardowe stopy zwrotu); N(d) ~ wartość dystrybuanty
standaryzowanego rozkładu normalnego w punkcie d\ b - stopa cost-of-carry.
Przedstawiony model, dany wzorami (7.29)-(7.32), jest to model ogólny, w ra­
mach którego można wyróżnić cztery szczególne przypadki, w zależności od tego,
jaką wartość przyjmuje stopa cost-of-carry. Podobnie jak w poprzednich rozważaniach,
wartości te są następujące:
1. Opcja na akcję medającą dywidendy. W tym przypadku b = r. W efekcie
otrzymujemy model Blacka-Scholesa z 1973 r.
2. Opcja na akcję dającą dywidendę lub na indeks giełdowy. W tym przypadku
h = r - q {q oznacza stopę dywidendy). W efekcie otrzymujemy model M ertona
z 1973 r. (jest to bezpośrednie uogólnienie modelu Blacka-Scholesa).
3. Opcja walutowa. W tym przypadku b = r —r f (//oznacza stopę wolna od ryzyka
w kraju obcej waluty). W efekcie otrzymujemy model Garmana-Kohlhagena z 1983 r.
4. Opcja na kontrakt futures. W tym przypadku b = 0. W efekcie otrzymujemy
model Blacka z 1976 r.
M odel Blacka-Scholesa-M ertona jest stosowany do wyceny opcji europejskich.
Jeśli chodzi o opcje amerykańskie, to jedynym przypadkiem, w którym model może
być stosowany, jest wycena amerykańskiej opcji cali na instrument podstawowy, który
nie przynosi dochodów w okresie do wygaśnięcia opcji (takim instrumentem jest
akcja niedająca dywidendy). Wtedy wartość amerykańskiej opcji cali jest równa
wartości europejskiej opcji cali.
Oczywiście najbardziej znany jest klasyczny model Blacka-Scholesa wyceny euro­
pejskiej opcji cali na akcję niedającą dywidendy. Dla porządku podamy wzory dla
tego modelu:
c = S N fo ) - X z rTN (d2),
(7.33)
p = X z rTN (- d2) ~ S N (- d j ,
(7.34)
_ In(£/Ar) + (r+ 0 ,5 cr2)7 ’
(7.35)
(7.36)
Pomimo z pozoru maio „przyjaznych” wzorów dla modelu Blacka-ScholesaMertona, model ten może być dość jednoznacznie zinterpretowany, co jest bardzo
istotne dla użytkowników wyceniających opcje. Przede wszystkim na podstawie tego
modelu można wyprowadzić następujące zależności, ilustrujące wpiyw pojedynczych
czynników na wartość europejskiej opcji cali iput, gdy wartości pozostałych czynników
nie zmieniają sie:
293
• przy wzroście ceny instrumentu podstawowego rośnie wartość opcji cali i spada
wartość opcji put;
• im wyzsza cena wykonania, tym niższa w artość opcji cali i tym wyzsza wartość
opcji put;
• im dluzszy okres do wygaśnięcia opcji, tym wyzsza wartość opcji {cali i put);
• przy wzroście stopy procentowej rośnie wartość opqi cali i spada wartość opcji put:
• im większa zmienność instrum entu podstawowego, tym wyzsza wartość opcji
(cali i pul).
Weźmy teraz pod uwagę szczególny przypadek, czyli model Blacka-SchoJesa
dany wzorami (7.33)-(7.36), i dla ustalenia uwagi rozwazmy opcję cali oraz dwa przy­
padki kształtowania się wartości dys tryb u anty, oznaczonych jako N (d x) oraz N (d2):
1. Przyjmijmy, ze obie wartości są bliskie 0. Wtedy po podstawieniu do wzoru
(7.33) otrzymujemy wartość opcji w przybliżeniu równą 0, ale jednak dodatnią. Jest
tak, gdy opcja jest OTM, wtedy opcja me ma wartości wewnętrznej.
2. Przyjmijmy, ze obie wartości są bliskie 1. Wtedy po podstawieniu do wzoru
(7.33) otrzymujemy:
c * * S -P V (X ),
przy czym lewa strona jest jednak większa od prawej. Łatwo zauwazyć, ze jest to
zgodne z przedstawioną poprzednio nierównością (7.3).
W praktyce obie wartości dystrybuanty odbiegają od tych krańcowych przypad­
ków. Jak się okazuje, N{cll) jest związane ze współczynnikiem delta, co pokażemy
w dalszej części. Z kolei N (d 2) interpretowane jest jako prawdopodobieństwo, ze
opcja będzie ITM w terminie wygaśnięcia.
W celu praktycznego stosowania modelu Blacka-Scholesa-M ertona niezbędna
jest znajomość wartości wszystkich czynników wpływających na wartość opcji. Sprawa
jest oczywista, jeśli chodzi o cenę wykonania, cenę instrum entu podstawowego (np.
akcji) i długość okresu do terminu wygaśnięcia. Stosunkowo proste jest tez oszaco­
wanie stopy wolnej od ryzyka, a także stopy procentowej wolnej od ryzyka w kraju
waluty zagranicznej (w przypadku opcji walutowej). Stopą tą jest stopa rentowności
bonów skarbowych lub (częściej) stopa z rynku międzybankowego (np. LIBO R czy
EU RIBO R). W przypadku opcji na akcję przynoszącą dywidendę lub opcji na indeks
giełdowy zachodzi konieczność określenia również stopy dywidendy (dla akcji poje­
dynczej spółki lub akcji wchodzących w sktad portfela indeksu giełdowego), co może
być w przybliżeniu określone przy załozemu, ze istnieje pewna regularność w wy­
płacanych dywidendach.
Jeśli chodzi o stopy procentowe (wolne od ryzyka), to niezbędne jest poczynienie
jeszcze jednej uwagi. W modelu B lacka-Scholesa-M ertona powinna być stosowana
stopa procentowa uzyskana przy zastosowaniu kapitalizacji ciągłej. W praktyce jednak
często stopa procentowa ma u podstaw zaiozenie kapitalizacji prostej. Zachodzi
wówczas konieczność przekształcenia tej stopy, zgodnie ze wzorem:
r = ln (l + r0),
gdzie: rQ- stopa procentowa przy załozemu kapitalizacji prostej.
294
W dalszycli przykładach będziemy zakładać, ze stopa procentowa ma u podstaw
kapitalizacji ciągłej.
W przypadku ostatniego z omawianych czynników, czyli param etru zmienności
(odchylenia standardowego stopy zwrotu), określenie jego wartości jest zadaniem
stosunkowo trudnym. Dodajmy, ze wartość tego param etru wykorzystywana jest
r6wniez w modelu dwumianowym, do określenia wielkości skoku, na co wskazują
wzory (7.23) * (7.24).
W praktyce do określania zmienności stosowane jest jedno z dwóch podejść:
• zmienność historyczna (historical volatility),
• zmienność implikowana (implied volatility).
Podejście od strony zmienności Historycznej polega na oszacowaniu odchylenia
standardowego stopy zwrotu za pomocą danych historycznych. Jedna z najprostszych
m e to d polega na zastosowaniu następującej procedury:
• oszacowanie tygodniowych logarytmicznych stóp zwrotu;
• wyznaczenie średniej arytmetycznej tych stóp zwrotu;
• wyznaczenie odchylenia standardowego tych stóp - jest to oczywiście odchyle­
nie standardowe wyrażone w skali tygodniowej;
• wyrażenie odchylenia standardowego w skali rocznej poprzez pomnożenie
otrzymanego odchylenia przez pierwiastek kwadratowy z liczby 52.
M etod zmienności historycznej jest bardzo duzo. Na przykład, w powyżej przed­
stawionej procedurze można wziąć pod uwagę dzienne stopy zwrotu zamiast tygo­
dniowych stóp zwrotu - w konsekwencji oczywiście zmieni to sposób dostosowania
odchylenia standardowego do skali roczne), Innym sposobem jest zastosowanie idei
wazema danych historycznych w taki sposób, aby dane bliższe okresowi teraźniej­
sz e m u miały większe wagi niż dane starsze. W ostatnich kilkunastu latach bardzo
popularne staiy się modele klasy GARCH. Są to modele ekonometrii finansowej,
z których pierwszy byi model ARCH, zaproponowany w 1982 r. przez Roberta Engle.
Dzięki postępowi technologicznemu w informatyce ta dość skomplikowana grupa
modeli może być stosunkowo iatwo zastosowana w praktyce.
Podejście od strony zmienności implikowanej jest inne, gdyz nie korzysta się
w mm z danych historycznych. Dla uproszczenia przedstawimy to podejście na szcze­
gółowym modelu, czyli danym wzorami (7.33)-(7.36) modelu Blacka-Scholesa, przy
czym dla ustalenia uwagi rozwazymy tylko opcję cali. Zauważmy, ze model ten
w uproszczony sposób może być zapisany następująco:
z a ło ż e n ie
c = f( S ,X , r T , o ) .
(7.37)
We wzorze (7.37) wartość opcji cali jest to funkcja pięciu zmiennych, których wartości
są znane: ceny akcji, ceny wykonania, stopy procentowej, czasu do wygaśnięcia i pa­
rametru zmienności. Funkcję daną wzorem (7.37) można odwrócić, otrzymując:
a = h(S, X , /-, T, c).
(7.38)
Wzór (7.38) przedstawia wiaśme model implikowanej zmienności. W tym wzorze
parametr zmienności traktowany jest jako nieznana wielkość, która jest funkcją
znanych wielkości: ceny akcji, ceny wykonania, stopy procentowej, czasu do wygaś295
mecia j ceny opcji. Jak widać, do określenia param etru zmienności korzysta sie z ceny
opcji na rynku. Jest to po prostu odwrócenie modelu Blacka-Scholesa, przy zaiozeniu, ze ceny opcji na rynku kształtują się zgodnie z tym modelem. Ze względu na
skomplikowanie modelu Blacka-Scholesa określenie funkcji h we wzorze (7.38), a co
za tym idzie - okres lenie parametru zmienności, zwanej tu implikowaną zmiennością,
jest możliwe za pomocą algorytmów numerycznych.
Zauważmy jeszcze, ze we wzorze (7.38) dwa argumenty, czyli cena instrumentu
podstawowego oraz stopa procentowa, sa takie same, niezaieznie od charakterystyk
danej opcji. Natomiast mogą być różne ceny wykonania oraz różne terminy wygaś­
nięcia i wtedy oczywiście różne sa tez ceny opcji. Z tego wynika, ze po zastosowaniu
wzoru (7.38) w odniesieniu do opcji z różnymi cenami wykonania otrzymamy różne
oszacowania param etru zmienności. Często jest tak, ze wyzsze oszacowania zmien­
ności otrzymuje sie przy wysokich i niskich cenach wykonania, niższe zaś przy Śred­
nich cenach wykonania. Zjawisko to nazywane jest uśmiechem zmienności (volatility
smile) z uwagi na kształt wykresu zalezności zmienności od ceny wykonania. Podob­
nie, po zastosowaniu wzoru (7.38) w odniesieniu do opcji z różnymi terminami
wygaśnięcia otrzymamy różne oszacowania param etru zmienności.
Obecnie w trzech przykładach przedstawimy zastosowanie różnych wariantów
modelu Biacka-Scholesa-M ertona w praktyce.
Przykład. Rozwazane są dwie opcje europejskie, call i put, z terminem wygaśnię­
cia 3 miesiące, wystawione na akcję, której cena wynosi 48 zi. Wiadomo, ze w okresie
3 miesięcy akcja me przyniesie dywidendy. Cena wykonania obu opcji wynosi 50 zl
Stopa wolna od ryzyka wynosi 10%, zmienność zaś, oszacowana na podstawie danych
historycznych, wynosi 20%. W tym przypadku można zastosować model BlackaScholesa. Najpierw po podstawieniu do wzorów (7.35) i (7.36) otrzymujemy:
= ln(4g/sp) + (o.i-^
.gyągs 3 _
0,2-\iU25
dz = -0,10822 - 0,1 ■V025 = -0,20822.
Wartość dystrybuanty standaryzowanego rozldadu normalnego wynosi:
N id,) = 0,4569,
N ( - d }) ~ 0,5431,
N (d 2) = 0,4175,
N ( - d 2) = 0,5825.
Po podstawieniu do wzorów' (7.33) i (7.34) otrzymujemy wartości opcji call i put:
c = 48 • 0,4569 - SOe^0’1 °’2S ■0,4175 = i ,57,
p = 50e~0,1'0>25 •0,5825 - 48 • 0,5431 = 2,34.
Kolejny przykład iest modyfikacją poprzedniego.
Przykład, Rozwazane sa dwie opcje europejskie, call \ p u t, z terminem wygaś-;
męcia 3 miesiące, wystawione na akcję, której cena wynosi 48 zi. Cena wykonania
296
obu opcji wynosi 50 zi. Stopa wolna od ryzyka wynosi 10%, zmienność zaś, oszaco­
wana na podstawie danych historycznych, wynosi 20%. Tym razem jednak wiadomo,
że zostanie wypiacona dywidenda, a stopa dywidendy zostaia oszacowana (oczywiście
w skali rocznej)na poziomie 2%. W tym przypadku można zastosować model Mertona, przy czym b = 0,1 - 0,02 = 0,08. Najpierw po podstawieniu do wzorów (7.31)
i (7.32) otrzymujemy:
= jn(48/50) + (0.08 + 0,5.0.2*). 0,25 =
0,2VO25
d2 = - 0,15822 - 0,2 •^ 0 2 5 - - 0,25822.
Wartość dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego wynosi:
N id,) = 0,4371,
N (d2) = 0,3981,
N (~d;) = 0,5629,
N (~ d2) = 0,6019.
Po podstawieniu do wzorów (7.29) i (7.30) otrzymujemy wartości opcji cali i put:
c = 48e(Q'Q8~Q’1> 0'25 •0,4371 - 50e“°'10'25 •0,3981 = 1,46,
p = 5 0 e'0:10,25 •0,6019 - 48e^0S"0'1>0-25 • 0,5629 = 2,47.
Porównując otrzymane wyniki z wynikami poprzedniego przykładu, należy stwierdzić,
ze potwierdziła się zależność, iż zwiększenie stopy dywidendy (w tym wypadku z 0%
na 2%) oznacza spadek wartości opcji cali i wzrost wartości opcji put.
Koleiny przykład dotyczy opcji walutowych.
Przykład. Rozwazane sa dwie walutowe opcje europejskie, cali i p u t, z terminem
wygaśnięcia 3 miesiące, wystawione na kurs euro. Obecny kurs euro (kurs spot)
wynosi 4,10 zi za 1 euro. Cena wykonania obu opcji wynosi 4 zi. Stopa wolna od
ryzyka wynosi w Polsce 6%, a w krajach strefy euro 2%, natom iast zmienność
kursuwalutowego, oszacowana na podstawie danych historycznych,wynosi 25%.
W tym przypadku można zastosować model Garm ana-K ohlhagena, przy czym
b = 0,06 - 0,02 = 0,04. Najpierw po podstawieniu do wzorów (7.31) ■ (7.32) otrzy­
mujemy:
_ In(4,l/4) + (0,04 + tK5 0,22) 0.25 =
0,25 V0^5
d2 = 0,34002 - 0,25^005* = 0,21502.
Wartość dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego wynosi:
N (d y) = 0,6331,
N (~ d ,) = 0,3669,
M(d2) = 0,5851,
N ( - d 2) = 0,4149.
Po podstawieniu do wzorów (7.27) i (7.28) otrzymujemy wartości opcji cali i put:
C = 4,1 e^’04- 0-«'0’25 • 0,6331 - 4e~0’1 ^ •0,5851 = 0,2744,
p = 4e-°’1 0-25 - 0,4149 - 4?i e(°-04- 0’1’ °-25 • 0,3669 = 0,1367.
Jak widać, ceny opcji wynoszą odpowiednio 27 gr i 14 gr.
Wskazywaliśmy poprzednio, ze praktycznie jedynym param etrem w modelu Blacka-Schoiesa-M ertona, który me jest bezpośrednio znany i powinien być oszacowany,
jest param etr zmienności. Następny przykład wskazuje, ze oszacowanie to ma wpiy\y
na wycenę. Zilustrujemy to na przykładzie klasycznego modelu Blacka-Scholesa.
Przykład. Rozwazana jest opcja europejska cali, z terminem wygaśnięcia 3 miesiące,
wystawiona na akcję, której cena wynosi 48 zi. Wiadomo, ze w okresie 3 miesięcy akcja
me przyniesie dywidendy. Cena wykonania wynosi 50 zi. Stopa wolna od ryzyka wynosi
10%, zmienność zaś, oszacowana na podstawie danych historycznych, wynosi 20%. W jed­
nym z poprzednich przykładów obliczona byia wartość tej opcji, wynosiła ona 1,57 zi,
Tabela 7.2 przedstawia wartości tej opcji przy zaiozemu różnych wartości para­
m etru zmienności.
Tabela 7.2. Zależność wartości opcji oa wartości param etru zmienności
Zmienność (odchylenie standardowe stopy zwrotu) (% )
W artość opcji
2
5
10
15
20
25
50
75
100
0,01
0,19
0,63
1,10
1,57
2,05
4,44
6,82
9,17
Wyniki zawarte w tablicy 7.2 potwierdzają znaczenie jakości oszacowania para­
metru zmienności dla wyceny opcji.
Na podstawie modelu B lacka-Scholesa-M ertona można wyznaczyć wzory na
współczynniki greckie dla opcji cali i put, które byty omówione poprzednio. Są one
następujące:
• współczynnik delta:
(7.39)
<5„1= e(^ ,‘>r[A '(d ,)-l];
(7.40)
• współczynnik gamma:
ycaii
ynut
n (d l)e (-b~':)T
(7.41)
So^[f
przy czym: n(cl) - wartość gęstości standaryzowanego rozkładu normalnego w punkcie A\
298
współczynnik vega:
Kan =
= Se(b- r17«(¿i)
.
(7.42)
współczynnik theta:
2^r
0
- ( b - r y S ę P -^ N id J - r X e rTN (d2),
iSc^ r^YiiÓ, ^<7
= --------- v 17 + (6 - r)5e^ - r)rM - dj) + rSTe“ r7W (- rf2).
2yT
(7.43)
(7.44)
Przykład. Rozwazane są dwie opcje europejskie, cali i put, z terminem wygaś­
nięcia 3 miesiące, wystawione na akcję, której cena wynosi 48 zi. Wiadomo, ze
w okresie 3 miesięcy akcja me przyniesie dywidendy. Cena wykonania obu opcji
wynosi 50 zi. Stopa wolna od ryzyka wynosi 10%, zmienność zaś, oszacowana na
podstawie danych historycznych, wynosi 20%. W jednym z poprzednich przykładów
obliczyliśmy juz następujące wielkości:
d, = -0,10822,
d2 = -0,20822,
N(d¡) = 0,4569,
N (d2) = 0,4175,
N ( - d x) = 0,5431,
N ( - d 2) = 0,5825.
Na tej podstawie obliczymy:
• wartości współczynnika delta (wzory (7.39) i (7.40)):
ócoll = 0,4569,
ópu, = 0,4569 - 1 = - 0,5431;
• wartości współczynnika gamma (wzór (7.41)):
1
P - 0 , 5 (0 ,4 5 6 9 ) -
y“" = r'" = 48 •0,2 ■V0,25 = °'0749;
• wartości współczynnika vega (wzór (7.42)):
Kau = Ku, = 48 • —L . e-o,5(o,4569)^
V2
= 8,626.
Niska wartość współczynnika gamma wskazuje na duzą stabilność w czasie współ­
czynnika delta.
7,5. Wycena opcji - inne zagadnienia
W tym punkcie rozdziału przedstawimy rozwazama ściśle związane z modelami
wyceny opcji omówionymi poprzednio. Mają one charakter nieco bardziej zaawan­
sowany, niemniej jednak są bardzo istotne z punktu widzenia praktyki.
299
Pierwsze zagadnienie to zastosowanie modelu Blacka-Schoiesa-M ertona do
wyceny składników Jcapitaiu spółki, tzn. do wyceny długu i kapitału własnego. Oka­
zuje sie - problem ten wprowadziliśmy juz w rozdziale 4 przy omawianiu modeli
wyceny akcji - ze składniki te można traktować jako opcje, w szczególności:
* kapitai wiasny może być traktowany jako pozycja długa w opcji cali wystawionej
na wartość aktywów spółki, przy czym cena wykonania opcji to wartość długu w ter­
minie zapadalności (tutaj: terminie wygaśnięcia opcji);
• dług może być traktowany iako suma dwóch składników: pozycji długiej w in­
strumencie dłużnym wolnym od ryzyka i pozycji krótkiej w opcji put wystawionej na
wartość aktywów spółki, przy czym cena wykonania opcji to wartość długu w terminie
zapadalności (tutai: terminie wygaśnięcia opcji).
Oznacza to, że do wyceny składników kapitału można wykorzystać model Blacka-Scholesa-Mertona. Po raz pierwszy podejście to zaproponował R obert Merton
w 1974 r. W modelu M ertona wartość kapitału własnego (traktowana jako wartość
opcji cali wystawionej na wartość aktywów spółki) wyrażona jest następującym wzorem:
c = VN(d,) - Fe~rTN (d z),
ln(V /F ) + (r + 0,5o2)T
—
d, = -----— —— ------a
dz - d }- <W 7\
gdzie: V - wartość aktywów spółki; F ~ wartość nominalna długu; T - termin zapadal­
ności długu; a - zmienność aktywów spółki; r - stopa wolna od ryzyka.
W tym modelu zakłada się, ze spółka ma tylko jeden rodzaj długu, który w caiości
zostanie spiacony w terminie zapadalności, a przed tym terminem me beda dokonane
żadne piatności z tego tytułu.
Przykład. Rynkowa wartość aktywów spółki wynosi 50 min zł. Spółka ma dług
w wysokości 30 min zi, który ma być w caiości spiacony za 4 lata. Stopa wolna od
ryzyka wynosi 5%, a zmienność aktywów spółki (odchylenie standardowe stopy zwro­
tu) wynosi 25%.
Po podstawieniu do powyzszych wzorów otrzymujemy:
d y ~ 1,67166,
d2 = 1,17166
oraz:
N(dy) = 0,952704,
N (d 2) = 0,879333.
Po podstawieniu do wzoru otrzymujemy wartość kapitału wiasnego równa 26,037
min zi. Oznacza to, ze wartość długu wynosi 23,963 min zi.
Przedstawione w poprzednich punktach rozdziału modele wyceny opcji, czyli
model dwumianowy i model Blacka-Scholesa-M ertona, w zaprezentowanej postaci
nie mogą być stosowane do wyceny opcji na stopę procentowa. Jednym z głównych
powodów tego jest fakt, ze w opcjach na stopę procentowa indeksem podstawowym
300
taK naprawdę jest nie jedna stopa procentowa, lecz caia struktura terminowa stóp
procentowych. Powoduje to określone problemy. Nie ma dziś jednoznacznego sta­
nowiska, jakie modele wyceny powinny być stosowane do wyceny tego rodzaju opcji.
Przedstawimy teraz najprostsze podejście, które może być wykorzystane w tej
sytuacji. M a ono u podstaw omawiany juz model dwumianowy. Sa tu jednak trzy
podstawowe różnice w stosowaniu.
Po pierwsze, w celu skonstruowania drzewa dwumianowego należy założyć pe­
wien model zmian stopy procentowej. Jest to mny model niż w przypadku innych
instrumentów podstawowych, takich jak akcje czy waluty. Konstrukcja tego modelu
wykracza poza problematykę tej książki, tu jedynie dodajmy, że skoki stopy procen­
towej powinny odzwierciedlać zmienność (volatility) stóp procentowych.
Druga podstawowa różnica polega na tym, ze przy określaniu wartości opcji jako
zdyskontowanej średniej ważonej liczonej z wartości opcji w kolejnych weziach przyj­
muje sio wagi 0,5, me zaś takie, jakie wynikają ze stosowanego juz wzoru (7.22).
Trzecia podstawowa różnica polega na tym, ze przy dyskontowaniu stosowana
jest koncepcja kapitalizacji prostej.
Przykład drzewa dwumianowego stosowanego w modelach wyceny opcji na stopę
procentową przedstawiony jest na rysunku 7.13.
9,603%
7 862%
Rysunek 7.13. Przykład drzewa dwumianowego
stopy procentowei
6,437%
Rysunek ten przedstawia drzewo dwuokresowe. Stopa procentowa w okresie
zerowym wynosi 7,5%, a pozostałe wartości określone są na podstawie modelu
struktury terminowej stóp procentowych z uwzględnieniem zmienności stóp procen­
towych, równej tutaj 10% (omówienie tego modelu wykracza poza tematykę tej
książki). Zauważmy, ze stopy procentowe w węzłach tego okresu powiązane są na­
stępującą zaleznością:
8,481% = e2 0,1• 6,944%.
Podobne zależności zachodzą dla wartości w weziach drugiego okresu:
9,603% = e2 0’! 7,862%,
7,862% = e20'1- 6,437%.
Wartość w wykładniku uwzględnia właśnie zmienność wynoszącą 10%.
Powyżej przedstawione drzewo dwumianowe (odniesione do stopy referencyjnej)
jest wykorzystane przy wycenie dwóch opcji na stopę procentową, opcji cap ifloor. Są to
opcje wielookresowe, składające się ze zwykłych opcji na stopę procentową, zwanych
301
caplet i jloorlet. Wartość opcji wielookresowej jest sumą zwykłych opcji wchodzących
w jej skład. Wycena tych opcji zlustrowana jest w następnych dwóch przykładach.
Przykład. Rozwazamy Kontrakt cap o term inie wygaśnięcia 2 lata, rozliczany raz
w roku, a zatem mamy tu do czynienia z dwoma opcjami caplet. W artość nominalna
kontraktu wynosi 1 min zi. Stopa określona w kontrakcie wynosi 7%. Oznacza to, ze
każdy z capietów jest wykonywany, jeśli stopa referencyjna jest wyższa niż 7%.
Wycena pierwszego capletu przedstawiona jest na rysunku 7.14, przy czym w kaz-^
dym węźle drzewa dwumianowego górna liczba to wartość opcji, a dolna liczba to
stopa procentowa (wzięta z rysunku 7.13)
14 810
;
8,481%
6888,37 y'
7,5%
\
Rysunek 7.14. Wycena pierwszego capletu
0
6,944%
Zauważmy, ze w pierwszym okresie, czyli terminie wygaśnięcia pierwszego capjetu, w górnym węźle wartość opcji określona jest następująco:
(0,08481 - 0,07) -1000 000 = 14 810.
Z kolei wartość capletu w momencie wyceny jest zdyskontowaną ważona średnią,
przy czym wagi wynoszą 0,5, a zatem:
1 (0,5 • 14 810 + 0,5 • 0) = 6888,37.
1,075
W podobny sposób przebiega wycena drugiego capietu, z tym że przeprowadzana
jest ona sekwencyjnie „od końca”. Wyniki przedstawione są na rysunku 7.15.
26 030
9,603%
15 970,54
8,481%
7^5% '^ ® \
y * 7^862°/
4030,15
6,944%
Rysunek 7.15. Wycena drugiego capletu
0
6,437%
Wartość kontraktu cap jest to suma wartości obu capietów, a zatem wartość ta
wynosi 16191,02 zi (tj. 6888,37 + 9302,65).
Przykfad. Rozwazamy kontrakt floor o terminie wygaśnięcia 2 lata, rozliczany
raz w roku, a zatem mamy tu do czynienia z dwoma opcjami floorlet. W artość nomi­
nalna kontraktu wynosi 1 min zi. Stopa określona w kontrakcie wynosi 7%. Oznacza
to, ze każdy z floorletów jest wykonywany, jeśli stopa referencyjna jest niższa niż 7%.
302
Wycena pierwszego floorletu jest przedstawiona na rysunku 7.16, przy czym
w jtazdym węźle drzewa dwumianowego górna liczba to wartość opcji, a dolna liczba
to stopa procentowa (wzięta z rysunku 7.13).
o
,481%
Rysunek 7.16. Wycena pierwszego floorletu
Zauważmy, ze w pierwszym okresie, czyli terminie wygaśnięcia pierwszego floorletu,
w dolnym węźle wartość opcji określona jest następująco:
(0,07 - 0,06944) ■1000000 = 560.
% kolei wartość floorletu w momencie wyceny jest zdyskontowaną ważoną średnią,
przy czym wagi wynoszą 0,5, a zatem:
1
(0,5 - 0 + 0,5 • 560) = 260,47.
1,075
W podobny sposób przebiega wycena drugiego floorletu, z tym ze przeprowadzana
jest ona sekwencyjnie „od końca”- Wyniki przedstawione są na rysunku 7.17.
o
9,603%
o
8,481%
1224 29
v o
p
7 5%’
gó20/
Rysunek 7.17. Wycena drugiego floorletu
2632,22
6,944%
5630
6,437%
Wartość kontraktu floor jest to suma wartości obu floorletów, a zatem wartość
ta wynosi 1484,76 zi (tj. 260,47 + 1224,29).
Podejście przedstawione powyżej może być zastosowane również do wyceny
obligacji z wbudowanymi opcjami, w szczególności obligacji callable i putable. Ponie­
waż zarówno obligacja, jak i wbudowane opcje zalezą od stopy procentowej, wycena
dokonywana jest iączme.
Na początku, wyiączme w charakterze ilustracji metody, przedstawimy wycenę
zwykłej obligacji (bez opcji). Podstawą wyceny będzie to samo drzewo dwumianowe,
przedstawione na rysunku 7.13.
Przykład. Rozwazana jest obligacja 3-letnia. Jej wartość nominalna wynosi 100,
a oprocentowanie 8,5%, piacone raz w roku. Na podstawie drzewa dwumianowego
dokonamy wyceny tej obligacji. Wyniki zawiera rysunek 7.18.
303
100
Rysunek 7.18. Wvcena obligacji za pomocą
modelu dwumianowego
8,5
Na rysunku przedstawione jest drzewo dwumianowe trzyokresowe, przy czym
w każdym węźle przedstawione są trzy liczby, kolejno: wartość obligacji, wartość
odsetek przysługujących w tym okresie i wartość stopy procentowej (wzięta z rysunku
7.13). Wyjątkiem są węziy w okresie trzecim, gdzie me jest podana wartość stopy
procentowej, gdyz jest to termin wykupu i wartość ta nie ma tu znaczenia. Wyjątkiem
jest również okres zerowy, gdzie me ma odsetek (zakładamy, ze wycena jest dokony­
wana tuz po piatności odsetek).
Jako przykład obliczeń pokażemy wycenę obligacji w środkowym węźle drugiego
okresu. Jest to ważona średnia z przepływów otrzymanych z tytuiu posiadania obli­
gacji na koniec kolejnego trzeciego okresu, czyli w terminie wykupu. Te przepływy
to wartość nominalna plus odsetki. Przy zaiozemu wag równych 0,5 otrzymujemy:
1 * — [0,5 • (100 + 8,5) + 0,5 • (100 + 8,5)] - 100,59.
Podobnie, w górnym węźle pierwszego okresu otrzymujemy:
1,08481
[0,5 • (98,99 + 8,5) + 0,5 ■(100,59 + 8,5)] = 99,82.
Taka sama idea stosowana jest przy wycenie obligacji callable i putable. Jedyna
modyfikacja wiąże się z koniecznością sprawdzenia, czy w danym węźle nie jest
opiacalne wykonanie danej opcji. Ilustrują to dwa następne przykłady, będące kon­
tynuacją poprzedniego.
Przykład. Rozwazana jest obligacja 3-letma. Jest to obligacja callable, w której
emitent ma prawo do wykupu po cenie 100 w każdym roku (czyli w każdym węźle).
Jej wartość nominalna wynosi 100, a oprocentowanie 8,5%, piacone raz w roku.
W poprzednim przykładzie dokonaliśmy wyceny tej obligacji bez opcji cali - jej
wartość wynosi wtedy 102,07. Wyniki wyceny obligacji callable zawiera rysunek 7.19.
. Na rysunku tym znaczenie liczb jest takie samo jak poprzednio. Tym razem
jednak w każdym węźle zachodzi konieczność sprawdzenia, czy m e jest opiacalne
304
100
8,5
100
8,5
100,72
7,5%
Rysunek 7.19. Wycena obligacji callable
100
8,5
100
8,5
wykonanie opcji (tutaj przez emitenta). Jest tak np. w środkowym węźle drugiego
okresu. Bez rozpatrywania opcji cali wartość ta wynosiła 100,59. Jest oczywiste, ze
emitentowi opłaca się wykonanie po cenie 100 - jest to przeciez jego zobowiązanie
(im niższe, tym lepiej). Wynika z tego, że w przypadku obligacji callable modyfikacja
następuje, gdy cena wykonania jest niższa niż wartość obligacji bez opcji.
Z rysunku wynika, ze wartość obligacji callable wynosi 100,72, a zatem wartość
samej opcji cali jest równa 1,35 (tj. 102,07 - 100,72).
Przykład. Rozwazana jest obligacja 3-letma. Jest to obligacja putable, w której
emitent ma prawo do wykupu po cenie 101 w każdym roku (czyli w każdym węźle).
Jej wartość nominalna wynosi 100, a oprocentowanie 8,5%, płacone raz w roku.
W poprzednim przykładzie dokonaliśmy wyceny tej obligacji bez opcji put - jej
wartość wynosi wtedy 102,07. Wyniki wyceny obligacji putable zawiera rysunek 7.20.
100
8,5
100
8.5
102.71
7,5%
Rysunek 7.20. Wycena obligacji putable
100
8.5
100
8,5
Na rysunku tym znaczenie liczb jest takie samo jak poprzednio. Tym razem
lednak w każdym węźle zachodzi konieczność sprawdzenia, czy me jest opłacalne
wykonanie opcji (tutaj przez posiadacza). Jest tak np. w środkowym węźle drugiego
okresu. Bez rozpatrywania opcji put wartość ta wynosiła 100,59. Jest oczywiste, ze
305
posiadaczowi opiaca się wykonanie po cenie 101 - są to przeciez jego aktywa (¡m
wyzsze, tym lepiej). Wynika z tego, ze w przypadku obligacji putable modyfikacja
następuje, gdy cena wykonania jest wyzsza niż wartość obligacji bez opcji.
Z rysunku wynika, ze wartość obligacji putable wynosi 102,71, a zatem wartość
samej opcjip u t jest równa 0,64 (tj. 102,71 -102,07).
7.6. Analiza i wycena kontraktów futures i forward
Obecnie przejdziemy do omówienia wyceny „symetrycznych” instrumentów pochod­
nych, najpierw kontraktów terminowych, futures i forward. Dokonamy tu rozróżnienia
między wyceną rozumianą jako określenie ceny rynkowej instrum entu i wyceną
rozumianą jako określenie wartości pozycji w instrumencie.
7.6.1. W ycena jako określenie ceny rynkowej instrumentu
W przypadku kontraktu terminowego (futures lub forward) cena rynkowa jest to
jednocześnie cena terminowa obowiązująca w dniu realizacji kontraktu. Nie będziemy
tu czynić różnicy między wyceną kontraktu futures i kontraktu forward. Dla ustalenia
uwagi omówimy wycenę kontraktu forward, pamiętając, ze w ten sam sposób doko­
nuje się wyceny kontraktu futures.
W celu przedstawienia idei wyceny kontraktu forward rozwazmy hipotetyczny
kontrakt na akcję pewnej spółki, przy czym akcja ta me przyniesie dywidendy przed
terminem realizacji kontraktu. Załóżmy, ze inwestor zamierza stać się posiadaczem
akcji najpóźniej w dniu realizacji kontraktu forward. Są co najmniej dwie strategie
prowadzące do realizacji zamierzonego celu:
1. Zakup akcji juz dziś i przetrzymanie jej do terminu realizacji kontraktu.
2. Zakup (zajęcie długiej pozycji) kontraktu forward dziś i realizacja tego kontraktu.
Obie strategie dają ten sam wynik końcowy, jednak pierwsza strategia wymaga
poniesienia nakładów dziś, druga zaś poniesienia nakładów w momencie realizacji
kontraktu. W celu doprowadzenia do równoważności obu strategii należy następująco
zmodyfikować pierwszą z nich:
1.
Zaciągnięcie kredytu i zakup akcji dziś, przetrzymanie akcji i zwrot kredyt
w terminie realizacji kontraktu.
W tej sytuacji obie strategie me wymagają nakładu początkowego i dają ten sam
efekt końcowy w postaci posiadania akcji. Wynika z tego, ze aby nie byio możliwości
arbitrażu, cena kontraktu forward płacona w drugiej strategii musi być równa sumie
piaconej w pierwszej strategii. Suma ta jest równa dzisiejszej cenie akcji (jest to
jednocześnie wielkość zaciągniętego kredytu) powiększonej o odsetki z tytułu kredytu.
W ten sposób otrzymujemy wzór na wycenę kontraktu terminowego forward na akcję,
która nie daje dywidendy:
F = *S(l + rT),
(7.45)
gdzie: F - wartość kontraktu fonvard] S - cena akcji; T - długość okresu do terminu
realizacji kontraktu; r - stopa procentowa (wolna od ryzyka).
306
Przykład. Dany jest 6-rmesieczny Kontrakt forward- na akcję, Która w ciągu 6 mie­
sięcy nie przyniesie dywidendy. Cena akcji wynosi 100 zi, a stopa wolna od ryzyka
wynosi 8%. Po podstawieniu do wzoru (7.45) otrzymujemy wartość kontraktu forward:
F = 100(1+0,08-0,5) = 104.
Jest to wartość, która gwarantuje brak możliwości arbitrażu. Każda inna wartość
prowadzi do możliwości uzyskania dochodu arbitrażowego. Dla zilustrowania tego
problemu rozwazymy dwie sytuacje:
1. Cena kontraktu forward wynosi 108 zi, czyli jest wyzsza niż wartość wynika­
jąca z modelu wyceny. Wtedy można przeprowadzić arbitraż, który nazywa się
cash-and-carry. Arbitraż ten potęga na równoczesnym zajęciu krótkiej pozycji w kon­
trakcie forward i długiej pozycji na rynku spot. W analizowanym przykładzie jest to
sprzedaz kontraktu forward na akcję i zakup akcji. W tym celu przeprowadzone są
następujące transakcje:
• Obecnie: kredyt na 6 miesięcy w wysokości 100 zi (przy stopie 8%), zakup
akcji za 100 zi oraz sprzedaż kontraktu forward na akcję po 108 zi. Transakcje te me
wymagają żadnych nakładów.
« Z a 6 miesięcy: dostawa akcji w kontrakcie forward i otrzymanie 108 zi, zwrot
Kredytu z odsetkami, w sumie 104 zi. W efekcie uzyskuje się dochód arbitrażowy
równy 4 zi - jest to dokładnie różnica między ceną forward na rynku a wartością
wynikającą z wyceny.
2. Cena kontraktu forward wynosi 101 zi, czyli jest niższa niż wartość wynikająca
z modelu wyceny. Wtedy można przeprowadzić arbitraż, który nazywa się reverse
cash-and-carry. Arbitraż ten polega na równoczesnym zajęciu długiej pozycji w kon­
trakcie forward i krótkiej pozycji na lynku spot. W analizowanym przykładzie jest to
zakup kontraktu forward na akcję i sprzedaz akcji. W tym celu przeprowadzone są
następujące transakcje:
® Obecnie: sprzedaz akcji za 100 zi, depozyt na 6 miesięcy w wysokości 100 zi
(przy stopie 8%) oraz zakup kontraktu forward na akcję po 101 zi. Transakcje te me
wymagają żadnych nakładów.
® Z a 6 miesięcy: otrzymanie dochodu z depozytu z odsetkami, w sumie 104 zi,
otrzymanie akcji w kontrakcie forward i zapiaceme 101 zi. W efekcie uzyskuje się
dochód arbitrażowy równy 3 zi - jest to dokładnie różnica między wartością wynika­
jącą z wyceny a ceną forward na rynku.
Przedstawiona tu zostaia idea oraz sposób wyceny kon traktu forward (lub futures)
na akcję, która me przynosi dywidendy. Zauważmy, ze w powyzszych rozwazamach
przyjęto koncepcję kapitalizacji prostej, czyli zgodnej z okresem do realizacji kon­
traktu. Tak najczęściej czym się w praktyce. Czasem jednak w rozwazamach teoretycz­
nych spotyka się dwa inne rozwiązania, w których zakłada się kapitalizację roczną
lub kapitalizację ciągią. Wtedy w miejsce wzoru (7.45) otrzymujemy odpowiednio:
F = S(1 + r)T.
(7.46)
F = S&rT:
(7.47)
307
Przedstawiliśmy sposób wyceny kontraktu forward na akcję, która nie przynosi
dywidendy. Na podobnej zasadzie opiera się wycena innych kontraktów forward
Obecnie przedstawimy te wycenę, przyjmując caiy czas zaiozeme kapitalizacji prostej
1, Wycena kontraktu forward na akcję lub indeks giełdowy. Jest to uogólnienie przy.
padku omówionego poprzednio. Tutaj wzór na wycenę przyjmuje następującą postać:
F = {S ~ P V D )(l + rT),
(7.48)
gdzie: PVD - wartość obecna dywidend, które zostaną wypiacone do terminu reali­
zacji kontraktu.
Jak widać, w tym wypadku cena akcji jest pomniejszona o wartość obecna dywidend
które zostaną wypiacone. Wynika to z faktu, iż cena zakupu akcji, stanowiąca nakiad na
zajęcie pozycji na rynku spot, jest pomniejszona o dochód, który przyniosą dywidendy.
Przykład. Dany jest 6-miesieczny kontrakt forward na akcję, która za miesiąc
przyniesie dywidendę w wysokości 2 zi, a za 4 miesiące dywidendę w wysokości 3 zi.
Cena akcji wynosi 100 zi, a stopa wolna od ryzyka wynosi 8%. Najpierw obliczymy
wartość obecna dywidend. Wynosi ona:
2
PVD =
+
3
= 4,91.
Po podstawieniu do wzoru (7.48) otrzymujemy wartość kontraktu forward:
F = (100 - 4,91) (1 + 0,08 • 0,5) = 98,89.
2.
Wycena kontraktu forward na obligację o staiym oprocentowaniu. Tutaj wzór
na wycenę przyjmuje następującą postać:
F = ( S - P V C ) ( l + rT),
(7.49).
gdzie: S - cena obligacji; PVC - wartość obecna odsetek, które zostaną wypiacone.
do terminu realizacji kontraktu.
Jak widać, jest to podobny wzór jalc poprzednio, przy czym rolę dywidend speł­
niają odsetki.
Przykład. Rozwazmy obligację o wartości nominalnej 1000 zi i oprocentowaniu
6%, w przypadku której odsetki piacone są raz w roku. Cena tej obligacji wynosi 980
zi. Kontrakt forward na tę obligację ma 6 miesięcy do term inu realizacji, jest to
dokładnie 182 dni. Za 3 miesiące (dokładnie 91 dni) zostaną wypiacone kolejne
odsetki. Stopa wolna od ryzyka wynosi 8%.
Najpierw obliczymy wartość obecna odsetek. Wynosi ona:
PVC =
308
60
= 58,83.
po podstawieniu do wzoru (7.49) otrzymujemy wartość kontraktu forward:
18*7 \
= 957,92.
365 /
F = (980 - 58,83) (1 + 0,08 • — -
3.
Wycena kontraktu forward na walutę. Tutaj wzór na wycenę przyjmuje na­
stępującą postać:
gdzie: S - kurs spot waluty; rf - stopa wolna od ryzyka w kraju obcej waluty.
Przykład. Rozważymy 6-miesięczny kontrakt na euro. Kurs spot wynosi 4 zi za
i euro. Stopa wolna od ryzyka w Polsce (np. W IBOR) wynosi 5%, a stopa wolna od
ryzyka w krajach strefy euro (np. EU R IB O R ) wynosi 2%. Po podstawieniu do wzoru
(7.50) otrzymujemy wartość kontraktu forward:
_
. 1 + 0,05-0,5
_
F = 4 ------------------ = 4 06
1 + 0,02 • 0,5
Wycena kontraktu walutowego forward (podobnie jalc innych kontraktów for­
ward) ma u podstaw koncepcję wyceny arbitrażowej. Dla zilustrowania tego problemu
weźmy pod uwagę jeszcze raz kontrakt z poprzedniego przykładu (dla ustalenia uwagi
jest on wystawiony na 1000 euro), którego wartość wynosi 4,06 zi, i rozpatrzmy dwie
sytuacje.
Sytuacja 1. Cena kontraktu forward na rynku wynosi 4,02 zi, a zatem jest niższa.
Umożliwia to dokonanie arbitrażu reverse cash-and-carry, za pomocą następujących
transakcji:
• Obecnie; kredyt na 6 miesięcy (przy stopie 2%) w wysokości 990,10 euro,
zamiana na ziote - otrzymujemy 3960,40 zi, zainwestowanie tej lewoty w depozyt
(przy stopie 5%) oraz zajęcie pozycji długiej w kontrakcie forward na 1000 euro po
cenie równej 4,02 zi. Transakcje te me wymagają żadnych nakładów.
• Za 6 miesięcy: otrzymanie depozytu z odsetkami w kwocie 4059,41 zi, zapiata
za dostawę 1000 euro (łącznie 4020 zł), zwrot kredytu z odsetkami, w sumie 1000
euro. W efekcie uzyskuje się dochód arbitrażowy równy ok. 40 zi (w przeliczeniu na
i euro jest to 0,04 zł) - jest to dokładnie różnica miedzy wartością wynikająca
z wyceny a ceną forward na rynku.
Sytuacja 2. Cena kontraktu forward na rynku wynosi 4,09 zi, a zatem jest wyzsza.
Umożliwia to dokonanie arbitrażu cash-and-carry, za pomoeg. następujących transakcji:
• Obecnie: kredyt na 6 miesięcy (przy stopie 5%) w wysokości 3960,98 zi, za­
miana na euro —otrzymujemy 990,24 euro, zainwestowanie tej kwoty w depozyt (przy
stopie 2%) oraz zajęcie pozycji krótkiej w kontrakcie forward na 1000 euro po cenie
równej 4,09 zi. Transakcje te nie wymagają żadnych nakładów.
• Za 6 miesięcy: otrzymanie depozytu z odsetkami w kwocie 1000,15 euro,
utrzymanie piatności z tytuiu dostawy 1000 euro (łącznie 4090 zł), zwrot kredytu
309
z odsetkami, w sumie 4060 euro. W efekcie uzyskuje się dochód arbitrażowy równy
ok. 30 zi (w przeliczeniu na 1 euro jest to 0,03 zł) - jest to dokładnie różnica między
ceną forward na rynku a wartością wynikająca z wyceny.
4.
Wycena kontraktu FRA. Jak wiadomo, kontrakt FR A jest to w istocie kontrakt
forward na stopę procentową. Tutaj wzór na wycenę jest następujący:
F(s, v) ~
l + r,+ł,(j + v)/365)
l + r/s/3 6 5 )
365
(7.51)
gdzie: F(s, v) ~ wartość kontraktu FRA rozliczanego za i dni na stopę procentową
za s dni dotyczącą v dni; r, - stopa procentowa (spot) dotycząca i dni; rJ+lJ - stopa
procentowa (spot) dotycząca s + i' dni.
We wzorze (7.51) występuje liczba dni w roku równa 365, jednak w części krajów
przyjmuje się 360 dni i wtedy zachodzi konieczność odpowiedniej modyfikacji tego
wzoru.
Podstawowa idea, z której wynika wzór na wycenę FRA, jest następująca: In­
westycja na s + v dni przy stopie rs+v jest równoważna inwestycji na s dni przy stopie
r„ a następnie remwestycji na v dni przy stopie kontraktu FRA. Korzystając z tej
idei, po odpowiednich przekształceniach otrzymuje się wzór (7.51).
Przykład. Rozwazmy kontrakt FRA rozliczany za 91 dni (3 miesiące) dotyczący
stopy 182-dniowej (6-miesięcznęj). W stosowanej konwencji zapisu jest to FR A 3 x 9 .
Stopa procentowa (spot) 91-dmowa wynosi 5,2%, a stopa procentowa (spot) 273-dmowa wynosi 5,4%. Po podstawieniu do wzoru (7.51) otrzymujemy:
F(91,182) =
1 + 0,054(273/365)
. 1 + 0,052(91/365)
-1
365
182
= 0,0543 = 5,43%.
W wyniku wyceny otrzymujemy stopę kontraktu FRA.
W przedstawionych przypadkach zaiozyliśmy koncepcję kapitalizacji prostej. Jak
się okazuje, pewne ciekawe właściwości można otrzymać przy użyciu rzadziej w prak­
tyce stosowanej koncepcji kapitalizacji ciągiej. Wtedy wycena kontraktu forward na
akcję i na walutę może być przedstawiona za pomocą następującego wzoru:
F = S&bT.
(7.52)
gdzie: b - tzw. stopa cost-of-cany (cost-of-cany rate), przy czym szczególne przypadki
to: b = r ~ kontrakt na akcję niedającą dywidendy; b ~ r - q - kontrakt na akcję
dającą dywidendę tub na indeks giełdowy (q oznacza stopę dywidendy); b = r —rf
- kontrakt walutowy (rf oznacza stopę wolną od ryzyka w kraju obcej waluty).
We wzorze (7.52) występuje stopa cost-of-cany, która występowała również przy
prezentacji zagadnienia wyceny opcji. Wtedy nie przedstawiliśmy interpretacji tej
wielkości, uczynimy to teraz. Otóż stopę tę określa koszt utrzymania pozycji na rynku
spot, czyli rynku instrumentu podstawowego. W przedstawionym wyżej przykładzie
kontraktu forward na akcję niedającą dywidendy ten koszt utrzymania pozycji to po
prostu stopa procentowa, przy jakiej zaciągnięty jest kredyt na zakup akcji. Jeśli
z kolei mamy do czynienia z kontraktem na akcję dającą dywidendy, to koszt utrzy­
mania pozycji jest to stopa, przy jakiej zaciągnięty jest kredyt, pomniejszona o stopę
d y w id e n d y wypłaconej w okresie utrzymywania pozycji w akcji. Wreszcie, w przypad­
ku kontraktu na walutę koszt utrzymania pozycji to stopa, przy jakiej zaciągnięty
jest kredyt na zakup obcej waluty, pomniejszona o stopę depozytu w obcej walucie
w okresie utrzymywania pozycji w tej walucie.
Przykład. Rozwazymy 6 -miesięczny kontrakt na euro (ten sam, który występowai
w jednym z poprzednich przykładów). Kurs spot wynosi 4 zi za 1 euro. Stopa wolna
od ryzyka w Polsce (np. W IBOR) wynosi 5%, a stopa woina od ryzyka w krajach
strefy euro (np. EU RIBO R) wynosi 2%. Po podstawieniu do wzoru (7.52) otrzymu­
jemy wartość kontraktu fotwarci:
F = 4 e(o.o5 - 0,02)-o,5 4 ^0 6 .
Jak widać, otrzymaliśmy (po zaokrągleniach) ten sam rezultat co przy zastosowaniu
koncepcji kapitalizacji prostej. Różnica między tymi dwoma rezultatami występuje,
ale na kolejnych miejscach po przecinku.
Do tej pory rozważaliśmy wycenę kontraktu forward. W zasadzie w podobny
sposób przebiega wycena Kontraktu futures. Dotyczy to w szczególności kontraktu
na akcję, indeks giełdowy i walutę.
7.6.2. Wycena jako określenie wartości pozycji
w instrumencie
Po zawarciu kontraktu terminowego (w pozycji długiej lub krótkiej) często zachodzi
potrzeba określenia wartości pozycji zajętej w tym kontrakcie. W momencie zawie­
rania kontraktu jego cena zazwyczaj jest tak ustalona, aby wartość obu pozycji byia
równa 0. Jednak po upiywie pewnego okresu parametry rynkowe zmieniają się tak,
ze dla jednej strony wartość pozycji jest dodatnia, dla drugiej zaś ujemna. Obecne
rozwazama dotyczą wiaśnie tej sytuacji, przy czym tym razem kontrakty futures
i forward omawiane sa osobno.
Jeśli chodzi o wycenę pozycji w kontrakcie futures, to wartość pozycji na koniec
dnia wynosi 0, ze względu na procedurę marking to market. Oznacza to, ze posiadacz
pozycji, która ma wartość ujemną, płaci posiadaczowi, który ma wartość dodatnią.
Wobec tego w przypadku kontraktu futures można teoretycznie mówić jedynie o war­
tości pozycji w różnych momentach dnia roboczego, a to w praktyce w zasadzie me
jest wykorzystywane.
Przejdziemy zatem do wyceny pozycji w kontrakcie forward. Dla ustalenia uwagi
przyjmiemy, ze wycenie podlega pozycja długa w tym kontrakcie. Jak juz wskazywaliś­
my, wartość pozycji krótkiej jest to wartość pozycji długiej pomnożona przez -1 . Na
początku rozwazymy, podobnie jak poprzednio, najprostszy kontrakt, mianowicie
kontrakt na akcję medająca dywidendy przed terminem realizacji kontraktu.
3X1
W artość pozycji długiej w tym kontrakcie dana jest następującym wzorem:
V,=zS' ~ l + r ( T - t ) ;
(7'53)
gdzie: V. - wartość pozycji długiej w kontrakcie w momencie t; S . - cena akcji
w momencie t; F - cena kontraktu forward w momencie zawarcia (umownie: w mo­
mencie 0); T - dzień realizacji kontraktu; t ~ dzień wyceny.
We wzorze (7.53) zaiożyliśmy - jak to sie zwykle czym - koncepcję kapitalizacji
prostej. W przypadku, gdy zaiozymy kapitalizację roczna lub ciągią, otrzymujemy
odpowiednio następujące wzory:
'•-*
,,- V
V' = S ,— ^ K
(7-55)
Przejdziemy teraz do uzasadnienia wzoru (7.53). Wynika on z idei kontraktu
forward. Jak juz wskazywaliśmy w rozdziale 1, przychód kupującego ten kontrakt
(długa pozycja) w momencie realizacji jest równy cenie instrumentu podstawowego
(w tym przykładzie akcji) minus ustalona cena kontraktu. Ponieważ wycena jest
dokonywana w pewnym dniu przed realizacją kontraktu, przychód ten musi byc
„sprowadzony” na moment wyceny pozycji. W przypadku ceny instrumentu pod­
stawowego jest to po prostu wzięcie ceny z tego dnia, a cena Kontraktu musi zostać
zdyskontowana. Operacje te uwzględnione sa wiaśnie we wzorze (7.53), a także we
wzorach (7.54) i (7.55).
Przykład. Rozwazany jest kontrakt forward na akcję,która me daje dywidendy.
Trzy miesiące temu strona zajęia pozycję długą w tym kontrakcie, przy czym cena
forward wynosiia 52 zi. Do realizacji kontraktu pozostało 6 miesięcy. Obecna cena
akcji wynosi 51 zi, a stopa wolna od ryzyka wynosi 8%. Po podstawieniu do wzoru
(7.53) otrzymujemy:
52
V = 51 - - —
----- = 1
‘
1 + 0,08'0,5
Wartość pozycji długiej wynosi 1 zi, co oznacza, ze w tym samym kontrakcie wartość
pozycji krótkiej wynosi - 1 zł.
Rozwazmy jeszcze raz wzór (7.53) w dwóch szczególnych momentach.
1.
Jeśli wycena pozycji dokonywana jest w momencie zawarcia kontraktu, czyli
t = 0, to:
V ° = S ° ~ “l + r f
Zauważmy, ze po uwzględnieniu wzoru (7.45) na wycenę - rozumianą jako cena
rynkowa - otrzymujemy wartość długiej pozycji równa 0. Tyle samo oczywiście wynosi
312
wartość krótkiej pozycji. Wynika z tego, ze w momencie zawarcia kontraktu forward
wartość obu pozycji wynosi 0. Z tego powodu strony nie musza pfacić za zajęcie
pozycji w tym kontrakcie. Podobna wiaściwość zachodzi dla kontraktu futures. Co
prawda obie strony w tym kontrakcie musza wpłacić depozyt zabezpieczający, jednak
me jest to ekwiwalent wartości pozycji.
2.
Jeśli wycena pozycji dokonywana jest w momencie realizacji kontraktu, czyli
t = T, to:
K = s n ~~FW artość pozycji długiej jest tu różnicą między ceną instrum entu podstawowego
w dniu realizacji a uzgodnioną ceną kontraktu. Jest to oczywiście przychód strony
długiej w dniu realizacji kontraktu.
Przedstawimy teraz sposób wyceny pozycji (dla ustalenia uwagi jest to pozycja
długa) w innych kontraktach forward. Przyjmujemy caty czas zatozeme kapitalizacji
prostej.
1. Wycena kontraktu forward na akcję lub indeks giełdowy. Tutaj wzór na wycene pozycji przyjmuje następującą postać:
V = S , - PVD - — f :
1+r(T~t)
(7.56)
v
'
2. Wycena kontraktu forward na obligację o stałym oprocentowaniu. Tutaj wzór
na wycenę pozycji przyjmuje następującą postać:
V. ~ S , - PVC - ^
x1+r ( T - t )
(7.57)
v
3. Wycena kontraktu forward na walutę. Tutaj wzór na wycenę pozycji przyjmuje
następującą postać:
Y =
_________ F
'
1+ r f ( T - t ) 1+ r ( T - t )
/n co\
V'
Przykład. Rozwazymy 6-miesieczny kontrakt na euro, który zostai zawarty po
cenie 4,06 zi za euro. Upiynęiy 3 miesiące, a zatem pozostały 3 miesiące do realizacji.
Kurs spot wynosi 4,10 zi za 1 euro. Stopa wolna od ryzyka w Polsce wynosi 5%,
a stopa wolna od ryzyka w krajach strefy euro wynosi 2%. Po podstawieniu do wzoru
(7.58) otrzymujemy wartość pozycji długiej w tym kontrakcie:
V.
■
4<1° ---- —
----------= 0,06972.
1 + 0,02-0,25
1 + 0,05 • 0,25
Jest to wartość w przeliczeniu na 1 euro. Jeśli kontrakt jest wystawiony na 1000
euro, to wartość pozycji długiej wynosi 69,72 zi.
313
4.
Wycena kontraktu FRA. Wzór na wycenę długiej pozycji w kontrakcie FR
jest następujący (odnosi się do wartości nominalnej kontraktu równej 1 zł):
1
l + r\_ t( s -i) /3 6 5
1 + jF(s, v)
l + r; +v,_f(i + v - i) /3 6 5 '
(7-59)
gdzie: Vt(s, v) ~ wartość pozycji w momencie t kontraktu FRA, który w momencie
zawarcia miai termin rozliczenia za s dni, na stopę procentową za i’ dm dotyczącą
v dni; rl_. - stopa procentowa (spot) w momencie t dotycząca s - t dni;
- stopa
procentowa (spot) dotycząca s + v - 1 dm.
We wzorze (7.59) występuje liczba dm w roku równa 365, jednak w części krajów
przyjmuje się 360 dm i wtedy zachodzi konieczność odpowiedniej modyfikacji tego
wzoru.
Interpretacja wzoru (7.59) jest następująca: jest to różnica między wartością
obecną kwoty 1 zi otrzymanej w momencie rozliczenia kontraktu F R A a wartością
obecną wartości końcowej kwoty 1 zi zainwestowanej w momencie rozliczenia FRA
przy stopie FRA.
Przykład. Rozwazmy kontrakt FR A rozliczany za 91 dm (3 miesiące), dotyczący
stopy 182-dniowej (6-miesięcznej). W stosowanej konwencji zapisu jest to FR A 3x9.
Kontrakt zostai zawarty 30 dm wcześniej, a stopa kontraktu wynosiła 5,43%. Obecnie
stopa procentowa (spot) 61-dmowa wynosi 5,3%, a stopa procentowa (spot) 243-dmowa wynosi 5,4%. Po podstawieniu do wzoru (7.59) otrzymujemy:
1
1 + 0,0543
^3o(9 U 8 2 ) - 1 + 0j053 .61/365 ~ 1 + 0,054 ■243/365 = ~ 0’02649'
Jest to wartość odpowiadająca 1 zi wartości nominalnej. Jeśli zatem kontrakt jest na
100 tys. zi, to wartość pozycji długiej wynosi -2649 zł. Oczywiście wartość pozycji
krótkiej wynosi wtedy 2649 zi.
7.7. Wycena kontraktów swap
Ostatni rodzaj instrumentów pochodnych, którego wycenę tu przedstawimy, to kon­
trakt swap. Jest to „symetryczny” instrument pochodny, a zatem występują tu dwa
rodzaje wyceny: wycena rozumiana jako określenie ceny rynkowej instrum entu oraz
wycena rozumiana jako określenie wartości pozycji. Zanim przejdziemy do omówie­
nia szczegółów dotyczących wyceny konkretnych instrumentów, podamy ogólną ideę.
Wynika ona z konstrukcji kontraktu swap. Ilustruje to rysunek 7.21.
Na rysunku tym przedstawiony jest ogólny schemat kontraktu swap. W regular­
nych okresach strona A dokonuje piatności A dla strony B, otrzymuje zaś od tej
PłatnośćA
A
314
Płatność B
B
Rysunek 7.21
strony płatności B. Nie ma przy tym znaczenia,
płatności netto, tzn. piąci tylko jedna ze stron (w
czy w efekcie dokonywane są jedynie
zalezności od wartości obu płatności),
ęzy tez piacą obie strony. Ponieważ płatności dokonywane sa w różnych okresach w przy­
szłości, a wycena dokonywana jest obecnie, naturalne jest to, ze wycena ma u podstaw
wartości obecne przepływów pieniężnych dokonanych przez obie strony. Ściślej:
e wartość pozycji strony A to wartość przepływów pieniężnych otrzymanych
przez te stronę (przepływów B ) minus wartość przepływów pieniężnych płaconych
przez tę stronę (przepływ ów ^),
• wartość pozycji strony B to wartość przepływów pieniężnych otrzymanych przez
tę stronę (przepływów A ) minus wartość przepływów pieniężnych płaconych przez
tę stronę (przepływów B) - jest to oczywiście wartość pozycji strony A pomnożona
przez -1 ,
« w momencie zawarcia kontraktu swap jego parametry, tzn. indeksy określające
przepływy pieniężne dokonywane przez obie strony, ustalone sa w taki sposób, ze
w artość pozycji obu stron jest równa 0.
Jak widać, idea stosowana przy wycenie kontraktu swap jest taka sama jak
w przypadku Kontraktu forward. Jest tak również dlatego, ze kontrakt swap formalnie
może być traktowany jako portfel kontraktów forward.
Przejdziemy teraz do omówienia wyceny na najczęściej występujący kontrakt
swap, mianowicie kontrakt swap na stopę procentową (Interest Rate Swap).
7.7.1. W ycena jako określenie ceny rynkowej Instrumentu
W przypadku Kontraktu swap na stopę procentową cena jest rozumiana jalco ustalona
stopa procentowa, która jest płacona przez stronę dokonującą płatności według stałej
stopy procentowej. Z kolei płatności według zmiennej stopy procentowej określone
są w sposób naturalny, gdyz pod uwagę bierze się zazwyczaj przeciętną stopę kredy­
tów na rynku międzybankowym (np. WIBOR, LIBOR, EURIBOR).
Zgodnie z przedstawioną powyżej zasadą wyceny stała stopa procentowa kontrak­
tu swap powinna być określona w taki sposób, aby wartość pozycji obu stron była
równa 0, tzn. aby wartości obecne przepływów otrzymywanych i przepływów płaconych
były równe. Można dowieść, ze stopa ta jest określona według następującego wzoru:
(7.60)
gdzie: FS - stała stopa Kontraktu swap\ PV(C,) - wartość obecna przepływu pienięż­
nego równego 1 w okresie i; n - liczba płatności w kontrakcie swap; m - liczba
płatności w ciągu roku w kontrakcie swap.
We wzorze (7.60) przyjmuje się dla ustalenia uwagi, ze przepływy pieniężne są
równe 1. Wyznaczenie stopy kontraktu swap me jest bowiem zalezne od skali prze­
pływów pieniężnych. Z kolei konkretne zastosowanie wzoru (7.60) załezy od przyjętej
konwencji dotyczącej kapitalizacji przy wyznaczaniu wartości obecnej:
315
■i ■:
* przy kontraktach swap zawieranych na okres do roku stosowana jest konwencja
kapitalizacji prostej (przy tym są jeszcze dwie możliwości co do przyjętej liczby dni
w roku: 360 lub 365);
* przy kontraktach swap zawieranych na okresy dłuzsze stosowana jest konwen­
cja kapitalizacji rocznej;
* w rozważaniach teoretycznych nierzadko stosowana jest konwencja kapitalizacji
ciągiej.
Przykład. Rozwazany jest swap na stopę procentową, o terminie 1 rok. Z m ien n a
stopa procentowa określona jest jako stopa 3-miesięczna LIBOR. Płatności dokony­
wane są raz na kwartai, a zatem w sumie są 4 płatności. Przyjęta liczba dni w roku
wynosi 360. Na potrzeby określenia wartości obecnej dane są następujące stopy spot:
90-dniowa: 4,2%, 180-dmowa: 4,4%, 270-dmowa: 4,5%, 360-dniowa: 4,6%.
Po podstawieniu do wzoru (7.60) otrzymujemy wartość stopy kontraktu:
i + 0,046-360/360
4 = 4,52%.
\ 1 + 0.042 •90/360 + i + 0,044 • 180/360 + X+ 0,045 - 270/360 + i + 0,046 ■360/360 /
Przykład. Rozwazany jest swap na stopę procentową, o terminie 3 lata. Zmienna
stopa procentowa określona jest jako stopa 12-miesięczna WIBOR. Płatności dokony­
wane są raz na rok, a zatem w sumie są 3 piatności. N a potrzeby określenia wartości
obecnej dane są następujące stopy spot: roczna: 4%, dwuletnia: 5%, trzyletnia: 5,5%,
Po podstawieniu do wzoru (7.60) otrzymujemy wartość stopy kontraktu:
1
FS =
1
1
(1 + 0,055y
1
1
= 5,24%.
\ 1 + 0,04 + (1 + 0,05)2 + (1 + 0,055)3 /
Należy jeszcze dodać, ze w praktyce kontrakty swap oferowane są przez banki,
które podają (kwotują) dwie stopy (bid oraz ask). Oznacza to, że bank dodaje i odej­
muje pewną niewielką wartość od wartości wycenionej według wzoru (7.60).
Bardzo podobnie przebiega wycena - rozumiana jako określenie ceny rynkowej
- w odniesieniu do kontraktu walutowego swap. Jak pamiętamy, są cztery podstawo­
we walutowe kontrakty swap:
® strona A otrzymuje piatności w krajowej walucie według staiej stopy procen­
towej, dokonuje zaś piatności w obcej walucie według staiej stopy procentowej;
® strona A otrzymuje piatności w krajowej walucie według staiej stopy procen­
towej, dokonuje zaś piatności w obcej walucie według zmiennej stopy procentowej;
o strona A otrzymuje piatności w krajowej walucie według zmiennej stopy pro­
centowej, dokonuje zaś piatności w obcej walucie według staiej stopy procentowej;
o strona A otrzymuje piatności w krajowej walucie według zmiennej stopy pro­
centowej, dokonuje zaś piatności w obcej walucie według zmiennej stopy procentowej.
316
Oczywiście zmienna stopa w danej walucie określana jest jako wiaściwa stopa
w danej walucie, stosowana w k on tra k ta ch swap na stopę procentowa.
Okazuje się, ze stała stopa procentowa w danej walucie określana jest dokładnie w taki
sam sposób jak w kontrakcie swap na stopę procentową, czyli według wzoru (7.60).
Oprócz tego muszą być jeszcze określone wartości nominalne w różnych walu­
tach. Zasada jest tu również prosta: relacje wartości nominalnych m usza odpowiadać
Kursowi walutowemu w momencie zawierania kontraktu swap. Jeśli zatem np. kurs
ten wynosi 1 euro = 4 zi, to wiaściwe wartości nominalne to np. 1 min euro i 4 min zł.
Spełnienie tych zasad gwarantuje, ze wartość pozycji w kontrakcie dla każdej
strony wynosi 0, czyli w momencie zawierania kontraktu nie dokonują one żadnych
płatności.
referen cyjn a
Przyldad. Rozważany jest walutowy kontrakt swap, o terminie 3 lata. W tym
Kontrakcie strona A dokonuje piatności w dolarach (jest to waluta obca dla tej strony)
według stałej stopy, otrzymuje zaś piatności w ziotych (jest to waluta krajowa dla tej
strony) również według staiej stopy. Płatności dokonywane sa raz na rok, a zatem
w sumie są 3 piatności. Wartości nominalne piatności sa następujące: 1 min dolarów
i 3 min zł. Wartościom tym odpowiada kurs walutowy w momencie zawierania kon­
traktu: 1 doi. = 3 zi.
Stopy spot sa następujące:
• w ziotych: roczna 4%, dwuletnia 5%, trzyletnia 5,5%,
• w dolarach: roczna 2%, dwuletnia 2,4%, trzyletnia 2,6%.
Stopy kontraktu sa wyznaczane na podstawie wzoru (7.60), jak w swapie na stopę
procentowa. W poprzednim przykładzie otrzymaliśmy stopę dla piatności w ziotych
- wynosi ona 5,24%. Z kolei po podstawieniu do wzoru (7.60) otrzymujemy stopę
dla piatności w dolarach:
i _ _ J ____
(1 + 0,026)3
1
FS
1
1
1
2,59%.
\ 1 + 0,02 + (1 + 0,024)2 + (1 + 0,026)3 /
Otrzymane stopy określają warunki każdego z czterech możliwych walutowych
kontraktów swap. Sa one następujące:
• strona A otrzymuje piatności w ziotych według stopy 5,24%, a dokonuje piat­
ności w dolarach według stopy 2,59%;
• strona A otrzymuje płatności w ziotych według stopy 5,24%, a dokonuje piat­
ności w dolarach według stopy 12-miesięcznej LIBOR;
• strona A otrzymuje piatności w ziotych według stopy 12-miesięcznej WIBOR,
a dokonuje piatności w dolarach według stopy 2,59%;
• strona A otrzymuje piatności w ziotych według stopy 12-miesięcznej WIBOR,
a dokonuje piatności w dolarach według stopy 12-miesięcznej LIBOR.
Jeśli chodzi o wartości nominalne w obu walutach, to ich relacja musi odpowia­
dać kursowi walutowemu 1 doi. = 3 zi.
317
7.7.2. Wycena jako określenie wartości pozycji w instrumencie
Jeśli chodzi o swap na stopę procentową, to idea wyceny pozycji jest bardzo prosta1
Dla ustalenia uwagi rozwazmy stronę otrzymująca płatności według staiej stopy
procentowej, a piacącą według zmiennej stopy procentowej. Na potrzeby wyceny
sytuację tej strony możemy utożsamiać z długą pozycją w obligacji o staiym oprocen­
towaniu i krótką pozycją w obligacji o zmiennym oprocentowaniu. Wobec tego
wartość pozycji w kontrakcie swap dla tej strony to wartość obligacji o stałym opro­
centowaniu minus wartość obligacji o zmiennym oprocentowaniu. Takie podejście
wynika z faktu, ze płatności w kontrakcie swap są takie same jak piatności z tytułu
obligacji, przy czym dodatkowo w obligacji dochodzi spiata wartości nominalnej
w terminie wykupu. Ponieważ jednak każda ze stron dokonuje na rzecz drugiej
piatności tej samej wielkości, piatności te wzajemnie się kompensują.
Przykład. Rozwazany jest swap na stopę procentową, którego wartość nominalna
wynosi 100 tys. zi, a do terminu wygaśnięcia pozostały 2 lata. Zmienna stopa procen­
towa określona jest jako stopa 12-miesięczna LIBOR, przy czym wartość tej stopy
określająca następną płatność wynosi 4,8%. Uzgodniona stała stopa procentowa
wynosi 5,24%. Płatności dokonywane są raz na rok. D ane są również następujące
stopy spot: roczna 4,8%, dwuletnia 4,9%. Dokonamy wyceny pozycji strony otrzy­
mującej piatności o stałym oprocentowaniu, przyjmując, ze po 2 latach następuje
„wymiana wartości nominalnej”
W artość piatności (obligacji) o stałym oprocentowaniu wynosi:
5,24
105,24
= 100,63.
1,048 + 1,0492
Wartość piatności (obligacji) o zmiennym oprocentowaniu wynosi:
104,8
V"“ ' = TÓ48 = 10°'
Oznacza to, ze wartość pozycji w kontrakcie wynosi 100,63 -1 0 0 = 0,63 tys. zi, czyli
630 zi. Wobec tego wartość pozycji drugiej strony wynosi -6 3 0 zi.
W analogiczny sposób przeprowadzana jest wycena, rozumiana jako określenie
wartości pozycji w instrumencie, w odniesieniu do swapu walutowego. Jedyna mody­
fikacja dotyczy uwzględnienia kursu walutowego, gdyz piatności są w różnych walu­
tach. Oznacza to, ze wartość pozycji dla strony otrzymującej piatności w walucie
krajowej jest równa wartości obecnej przepływów otrzymywanych minus wartość
obecna przepływów piaconych pomnożonych przez kurs walutowy w dniu wyceny.
Oczywiście oba rodzaje płatności traktowane są jako płatności z tytuiu obligacji,
podobnie jak w swapie na stopę procentowaPrzykład. W jednym z poprzednich przykładów rozpatrywaliśmy walutowy kon­
trakt swap, o terminie 3 lata. W tym kontrakcie strona A dokonuje piatności w dola­
318
rach według stopy 2,59% od wartości nominalnej 1 min doi., a otrzymuje piatności
w z ło ty c h według stopy 5,24% od wartości nominalnej 3 min zi. Po upływie roku
strona A dokonuje wyceny pozycji. W dniu wyceny stopy spot są następujące:
• w ziotych: roczna 3%, dwuletnia 4%,
« w dolarach: roczna 2%, dwuletnia 2,5%.
jCurs walutowy wynosi: 1 doi. = 3,2 zi.
Wartość obecna piatności otrzymywanych w ziotych (traktowanych jako obliga­
da) jest następująca (w tys. zł):
157,2 3157,2
^
'+
= 3071,63.
1,03
1,042
W artość
obecna piatności piaconych w dolarach (traktowanych jako obligacja)
(w tys. doi.):
je s t
n a stęp u ją c a
25,90
1025,90
T 0 T +TÓ 25^=
_
'
po uwzględnieniu kursu walutowego otrzymujemy wartość pozycji dla strony A (w tys. zł):
3071,63 - 3,2 • 1001,86 = -134,32.
W analogiczny sposób można dokonać wyceny pozycji w innych rodzajach kon­
traktu walutowego swap.
7.8. Strategie inwestycyjne z zastosowaniem
instrum entów pochodnych
Instrumenty pochodne są instrumentami zabezpieczającymi przed ryzykiem. Jednak
bardzo często mogą być stosowane w strategiach inwestycyjnych. Strategie te polegają
na zajmowaniu pozycji w kilku instrumentach, po to aby osiągnąć wymagany profil
dochodu i ryzyka z punktu widzenia instrumentu podstawowego. Przez profil do­
chodu i ryzyka rozumie się tu kształtowanie się dochodu ze strategii inwestycyjnej
w zalezności od ceny instrum entu podstawowego. W tym punkcie rozdziału przed­
stawimy podstawowe strategie inwestycyjne, w który cii występują instrumenty po­
chodne.
Dla ustalenia uwagi załóżmy, ze instrumentem podstawowym jest akcja spółki.
Istnieje 6 prostych strategii inwestycyjnych, w których indeksem podstawowym jest
cena akcji. Są to:
« zakup opcji kupna (long cali),
• wystawienie opcji kupna (short cali),
® zakup opcji sprzedazy (long put),
® wystawienie opcji sprzedazy (short put),
® zakup kontraktu terminowego (long forward),
® sprzedaz kontraktu terminowego (short forwcird).
319
