Teoretyczna i rzeczywista wartość walutowych instrumentów

Krzysztof Piontek
Katedra Inwestycji Finansowych i Ubezpieczeń
Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu
Teoretyczna i rzeczywista wartość walutowych
instrumentów pochodnych – rynek polski
1. Wprowadzenie
W ostatnim okresie obserwuje się w Polsce wzrost znaczenia instrumentów
pochodnych. Związane jest to niewątpliwie z szybkim rozwojem rynku instrumentów
pochodnych, a także ze wzrostem wiedzy inwestorów. Jednym z najlepiej rozwiniętych
rynków wydaje się być rynek instrumentów pochodnych na walutę. Terminowe transakcje
walutowe stanowią jedną z wielu możliwości zabezpieczenia się przed ryzykiem kursu
walutowego. Wiele podmiotów gospodarczych wykorzystuje terminowe transakcje walutowe
w operacjach hedgingowych, a nie w celach spekulacyjnaych. Operacje hedgingowe
wykorzystują więc głownie eksporterzy i importerzy dóbr i usług, którzy zabezpieczają
złotówkową wartość swoich należności i zobowiązań w walucie obcej płatnych w przyszłości.
Istnieje jednak również niemała grupa inwestorów, dla których walutowe instrumenty
pochodne stają się bazą do inwestycji spekulacyjnych.
Dla obydwu tych grup inwestorów,
istotnego znaczenia nabiera zagadnienie
prawidłowego określenia wartości analizowanych instrumentów. W warunkach rynku
efektywnego wartość instrumentu finansowego jest jego ceną. Poszukiwana więc będzie
odpowiedź na pytanie, jaka jest „sprawiedliwa” cena instrumentu. Wyznaczenie takiej ceny
pozwala na zidentyfikowanie instrumentów niedowartościowanych i przewartościowanych,
a to z kolei wpływa na wybór odpowiedniej strategii inwestycyjnej.
W dalszej części pracy przedstawione zostaną podstawowe metody wyceny
walutowych kontraktów terminowych i opcji oraz dokonana zostanie przykładowa wycena
takich instrumentów dla rynku polskiego.
2. Metody wyceny walutowych instrumentów pochodnych.
Niezależnie od instrumentu podstawowego, na który zostały wystawione instrumenty
pochodne, metody wyceny tych instrumentów wykorzystywane są do rozwiązywania
następujących problemów:
•
określenia właściwej ceny instrumentu pochodnego w momencie jego wystawienia,
•
wyceny takiego instrumentu w dowolnym momencie przed datą wygaśnięcia.1
Do podstawowych metod wyceny instrumentów pochodnych należą:
• metoda wyceny przez portfel wolny od ryzyka.
•
metody numeryczne.
2.1. Metoda wyceny przez portfel wolny od ryzyka.
Metoda ta opiera się na takiej konstrukcji
portfela składającego się z instrumentu
bazowego oraz wystawionego na niego instrumentu pochodnego, aby niezależnie od zmiany
ceny instrumentu podstawowego portfel przyniósł stały zysk. Jest to więc portfel wolny od
ryzyka zmiany kursu instrumentu bazowego. Idea tej metody opiera się na stwierdzeniu, że
jeżeli jest to portfel wolny od ryzyka, to powinien przynosić dochód równy stopie wolnej od
ryzyka. Wynika z tego, że wartość portfela musi być równa zdyskontowanej (sprowadzonej do
wartości bieżącej) wartości końcowej portfela, przy czym dyskontowanie odbywa się
z zastosowaniem stopy wolnej od ryzyka2. Dodatkowym założeniem, które należy
uwzględnić jest brak możliwości arbitrażu. Konsekwencją tego jest fakt, że cena powinna być
ustalona na takim poziomie, aby nie był możliwy czysty arbitraż, czyli inwestowanie bez
angażowania środków własnych lub realizowanie dochodów wolnych od ryzyka. Gdyby
powyższy warunek nie został spełniony, na rynku pojawili by się arbitrażyści, którzy
kupowaliby dobro po niższej cenie na jednym rynku, a sprzedawali po cenie wyższej na
innym rynku lub konstruowali określone strategie inwestycyjne umożliwiające uzyskanie
dochodu bez ryzyka. Działalność taka powinna doprowadzić do takich ruchów cen, by zanikła
możliwość arbitrażu, czyli do ustalenia się prawidłowej (sprawiedliwej) ceny instrumentu.
W klasycznej wycenie poczynione są następujące założenia:
•
wszyscy inwestorzy mają dostęp do jednakowej informacji, podejmują decyzje kierując
się ogólnie rozumianą racjonalnością,
•
brak
kosztów
transakcji,
podatków,
depozytów
zabezpieczających
i
kosztów
manipulacyjnych,
•
istnieje możliwość inwestowania w instrumenty wolne od ryzyka o terminie wykupu
odpowiadającym terminowi wygaśnięcia rozpatrywanego instrumentu pochodnego,
1
Rynek Terminowy, październik 1998, Podstawy modelowania finansowego, M. Rutkowski
K. Jajuga, K. Kuziak, P. Markowski, Inwestycje finansowe, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej we
Wrocławiu, Wrocław 1997
2
•
istnieje możliwość zajmowania bez żadnych ograniczeń pozycji krótkich i długich
we wszystkich instrumentach dostępnych na rynku,
•
uczestnicy rynku mogą pożyczać i inwestować środki według tej samej wolnej od
ryzyka stopy procentowej.
W najbardziej klasycznym przykładzie zastosowania wyceny poprzez portfel wolny od ryzyka
rozpatruje się portfel złożony z zakupionego instrumentu podstawowego (długa pozycja)
i wystawionej opcji kupna (krótka pozycja).
Pomysł na wycenę derywatów za pomocą tworzenia pozbawionej ryzyka pozycji
zabezpieczonej można zastosować do wyceny kontraktów terminowych, opcji prostych, opcji
egzotycznych, a także w modelach uwzględniających różne ruchu kursów akcji.
2.2 Metody numeryczne.
Metody numeryczne służą do przybliżonego wyznaczania ceny opcji. Ich idea polega
na numerycznym rozwiązywaniu równania różniczkowego Blacka-Scholesa. Stosowanie
metod numerycznych staje się niezbędne również, przy wycenie instrumentów pochodnych
zależnych od trajektorii. Są to instrumenty, dla których funkcja wypłaty zależy od przebiegu
procesu ceny instrumentu podstawowego. Przykładowymi takimi opcjami są opcje typu
barierowego, azjatyckie i lookback.
Najpopularniejszymi metodami numerycznymi, wykorzystywanymi przy wycenie opcji, są:3
•
metoda dwumianowa,
•
metoda różnic skończonych,
•
metoda Monte Carlo,
•
metoda rekurencyjna,
•
metoda odbić lustrzanych.
Metody ta pozwalają obejść złożoność obliczeniową wyznaczania cen opcji. Ceną za to jest
jedna jak zwykle dokładność.
3.1. Wycena walutowych kontraktów terminowych.
Przez walutowy kontrakt terminowy rozumie się umowę między dwiema stronami,
w której jedna ze stron (sprzedawca kontraktu) zobowiązuje się do sprzedaży (dostawy)
3
A. Weron, Metody numeryczne w modelowaniu finansowym, Rynek Terminowy, luty 1999
A. Weron, R. Weron, Inżynieria finansowa, WNT, Warszawa 1998
określonej ilości waluty obcej w określonym czasie w przyszłości, natomiast druga ze stron
(nabywca kontraktu) zobowiązuje się do przyjęcia dostawy4.
Wyróżnia się kontrakty terminowe forward i futures. Można udowodnić, że ceny kontraktów
futures i forward są równe, jeśli stopy procentowe pozostają na niezmienionym poziomie oraz
jeśli pominięta zostanie, w przypadku kontraktów futures, tzw. premia reinwestycyjna. Premia
ta wynika z oczekiwanego zysku (lub straty) z reinwestycji pieniędzy otrzymanych w skutek
procesu marking to market. W dalszej części pracy zakłada się stałość stóp procentowych oraz
brak premii reinwestycyjnej.
Przyjmując następujące oznaczenia:
•
S – kurs spot (wyrażona w złotówkach cena waluty obcej),
•
r – roczna stopa wolna od ryzyka w Polsce w okresie T,
•
rf – roczna stopa wolna od ryzyka w USA w okresie T,
•
T – czas do terminu wykonania kontraktu,
kontrakt forward można wycenić na podstawie następującej strategii inwestycyjnej5.
1) kupno e
−rf T
jednostek waluty obcej,
2) sprzedaż kontraktu forward opiewającego na jednostkę danej waluty obcej.
Po prostych obliczeniach uwzględniających fakt, że wartość bieżąca przychodów musi być
równa wartości poniesionych kosztów, otrzymuje się wartość kontraktu terminowego.
T
365 = Se ( rˆ − rˆf )T
F=S
T
1+ rf
365
1+ r
Stopy procentowe r̂ i r̂ f podane są odpowiednio dla przypadku kapitalizacji ciągłej.
Nietrudno wykazać, że powyższa wartość kontraktu terminowego jest ceną uniemożliwiającą
arbitraż. Jeśli F > Se
( rˆ − rˆf )T
, to możliwe jest osiągnięcie wolnego od ryzyka dochodu poprzez
jednoczesne zajęcie krótkiej pozycji w kontrakcie terminowym i zakup waluty. W sytuacji,
gdy F < Se
( rˆ − rˆf )T
, zysk przynosi strategia odwrotna, czyli sprzedaż bądź krótka sprzedaż
waluty oraz jednoczesna zajęcie pozycji długiej w kontrakcie terminowym.
3.2. Wycena opcji walutowych
Opcja walutowa to umowa między dwiema stronami: nabywcą (posiadaczem) a
sprzedawcą (wystawcą). Nabywca opcji walutowej ma prawo do kupna (opcja typu call) /
4
5
J. Dzieża, O zabezpieczeniu przed ryzykiem walutowym, Rynek Terminowy nr 2, październik 1998
J. Hull, Kontrakty terminowe i opcje. Wprowadzenie., WIGPRESS, Warszawa 1997
sprzedaży (opcja typu put) waluty, natomiast wystawca tej opcji ma obowiązek
sprzdaży/kupna tej waluty w przyszłości po określonej w momencie zawierania transakcji
cenie6.
Poniżej przedstawione zostaną modele wyceny europejskiej opcji kupna wystawionej
na walutę obcą. Cenę analogicznej europejskiej opcji sprzedaży można wyznaczyć korzystając
z zależności zwanej parytetem sprzedaży i kupna. Relacja ta dana jest następującym wzorem:
c + Xe − rˆT = p + Se
− rˆ f T
, gdzie:
c – cena europejskiej opcji kupna,
p – cena europejskiej opcji sprzedaży,
X – cena wykonania opcji.
Pozostałe oznaczenia jak wyżej.
Dalsza część pracy dotyczyć będzie europejskiej opcji kupna.
Różnice we współczesnych modelach wyceny opcji spowodowane są odmiennymi
założeniami o zmianach kursów akcji w czasie. Poniżej zaprezentowane zostaną dwa
podstawowe modele wyceny opcji walutowych. W obydwu modelach podstawą
wyprowadzenia odpowiednich wzorów jest tworzenie pozbawionej ryzyka pozycji
zabezpieczonej.
3.2.1. Model drzew dwumianowych.
Model ten (dla opcji na akcje nie przynoszącą dywidendy) został opracowany w 1979
przez J. Coxa, S. Rossa i M. Rubinsteina. Zakłada się w nim, że zmiany cen zachodzą w
sposób skokowy. Podstawą tego modelu jest założenie, że procentowe zmiany kursu
instrumentu podstawowego mają rozkład dwumianowy.
Rozpatrując model jednookresowy, możliwe są następujące scenariusze zdarzeń:
•
kurs waluty spadnie z poziomu S do poziomu dS, a cena opcji zmaleje odpowiednio z
poziomu c do wartości cd, (d<0),
•
kurs waluty wzrośnie z poziomu S do wartości uS, a cena opcji wzrośnie do wartości cu,
(u>0).
uS, cu
S,c
dS, cd
6
W. Tarczyński, M. Zwolankowski, Inżynieria finansowa, Placet, Warszawa 1999
Możliwe jest skonstruowanie portfela wolnego od ryzyka (zawierającego h opcji kupna w
pozycji krótkiej i jednostki waluty obcej w pozycji długiej), jeżeli spełniony jest warunek:
h=
uS − dS
.
cu − cd
Stopa zwrotu tak skonstruowanego portfela musi być stopą wolną od ryzyka, co prowadzi
(poprzez porównanie wartości bieżącej portfela z kosztem jego utworzenia) do wyznaczenia
ceny walutowej opcji sprzedaży.
Se
− rˆf t
− hc = (uS − hc u )e − rˆt
[
]
c = e − rˆt pc u + (1 − p )c d , gdzie:
p=
e
( rˆ − rˆf ) t
−d
u−d
t – okres pomiędzy kolejnymi zmianami cen wyrażony w ułamku roku.
Wartości u i d wyznacza się z następujących wzorów:
u = eσ
t
oraz d = e −σ t , gdzie σ jest zmiennością kursów.
Model jednookresowy jest bardzo prostym modelem dającym jedynie przybliżoną wartość
opcji. Do wyznaczenia dokładniejszy wartości należy użyć modelu n-okresowego. W
ogólnym modelu dwumianowym, liczącym n okresów, wartość opcji jest określona
następującym wzorem:
n

n!
c = e − rˆnt ∑ 
p k (1 − p ) n − k max 0; u k d n − k S − X
k = 0  k! ( n − k )!
{
}

3.2.2. Model Garmana-Kohlhagena
Model ten został wyprowadzony przez Garmana i Kohlhagena w 1983, którzy
zastosowali podejście analogiczne do tego, jakie 10 lat wcześniej zastosował Merton do
wyceny opcji na akcje o stałej stopie dywidendy. Model ten jest jedną z wielu modyfikacji
modelu Blacka-Scholesa. Również w tym przypadku rozpatruje się portfel wolny od ryzyka,
którego wartość zależy od składnika odzwierciedlającego wpływ zmian kursu walutowego
oraz składnika odzwierciedlającego upływ czasu. Podstawowym założeniem tego modelu
(odmiennym od modelu dwumianowego) jest to, że kurs instrumentu podstawowego zmienia
się w sposób ciągły zgodnie z geometrycznym ruchem Browna, danym następującym
wzorem:
dS
= µdt + σdz
S
dz = ε dt
ε ∼ N(0,1)
Z założenia tego wynika, że kursy zachowują się zgodnie z rozkładem logarytmicznonormalnym.
W modelu Garmana-Kohlhagena utworzony portfel jest portfelem wolnym od ryzyka przez
nieskończenie krótki okres, co stanowi podstawową różnicę w stosunku do metody wyceny
opcji przy pomocy drzew dwumianowych.
Zastosowanie założeń modelu Blacka-Scholesa do wyceny opcji walutowej prowadzi do
równania różniczkowego, którego rozwiązanie znane jest właśnie jako wzór GarmanaKohlhagena:
c = Se
− rˆ f T
N (d 1 ) − Xe − rˆT N (d 2 )
σ2
S 
T
ln  +  rˆ − rˆ f +
2 
X 
d1 =
σ T
d2 =
S
ln
X
σ2
 

T
ˆ
ˆ
+
−
−
r
r
 
f
2 
 
σ T
gdzie: σ- volatility (zmienność) – miara niepewności co do stopy zwrotu z danego
instrumentu7,
T – długość okresu do terminu wygaśnięcia opcji, wyrażona w latach,
N(d) – wartość dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego dla argumentu
równego d.
Warto zaznaczyć również, że w granicy (tzn. przy zwiększaniu liczby okresów
w modelu dwumianowym, co odpowiada skracaniu okresów pomiędzy zmianami cen do
nieskończoności, czyli przechodzeniu do ciągłych zmian kursów waluty obcej) model
dwumianowy jest równoważny modelowi Garmana-Kohlhagena.
4. Problemy związane z wyceną instrumentów pochodnych
Przy stosowaniu obu powyższych modeli wyceny, należy mieć na uwadze, że
przedstawione modele cechuje szereg obciążeń. Podstawowe wynikają z faktu, że przyjęta
w modelach dynamika zmian kursów jedynie przybliża rzeczywiste zmiany. Nie spełnione
są również założenia o stałości wariancji zmian kursów, o doskonałej podzielności
7
Zmienność instrumentu jest odchyleniem standardowym stopy zwrotu z danego instrumentu dla okresu jednego
roku, przy czym stopa zwrotu jest kapitalizowana w sposób ciągły.
aktywów,
o zerowych podatkach i kosztach transakcji. Nawet, gdyby spełnione były wszystkie
teoretyczne założenia modeli, odmienne wyceny opcji wynikałyby z różnej oceny danych
wejściowych do modeli. Problemy sprawiają:
•
zmienność kursów (volatility),
•
ocena odpowiedniej stopy wolnej od ryzyka.
Szacowanie zmienności jest najtrudniejszym zagadnieniem w wycenie opcji. Jeśli nie
możliwe jest zastosowanie metody negocjacyjnej8 lub zmienności implikowanej, to należy
wyznaczyć ją na podstawie danych historycznych, korzystając z następujących wzorów:
 S 
xi = ln i 
 S i −1 
σ=
1 n
(xi − x )2 * N
∑
n − 1 i =1
Si – kurs waluty w i-tym dniu, (i=1, ...,n),
x - średnia wartość xi,
N – liczba sesyjnych dni roboczych.
Dużą subiektywnością cechuje się tutaj długość okresu, dla którego wyznaczać się powinno
wartość odchylenia standardowego zmian kursów.
Przyjmuje się, że zmienność powinno wyznaczać się z jak najdłuższego szeregu
zapewniającego stałość wariancji.9 W praktyce nie jest to jednak takie proste.
W celu wyznaczenia wariancji zmian kursów w skali roku, należy wariancję dzienną
pomnożyć przez liczbę roboczych dni w roku. Niektóre prace podają, że takich dni w roku jest
250 (liczba dni transakcyjnych). Inni autorzy sugerują, że w czasie dni nietransakcyjnych ceny
instrumentów zmieniają się również (co objawia się zwiększoną wariancją zmian po dniach
nietransakcyjnych). Po oszacowaniu wariancji z próby wyrażonym w stosunku rocznym
należy zastanowić się jeszcze, czy przyszły okres, obejmujący pozostały czas do wygaśnięcia
opcji, jest porównywalny do okresu próby.
We wszystkich przedstawionych modelach zakłada się, że możliwe jest zaciąganie i
udzielanie pożyczek po tej samej stopie procentowej, co oczywiście nie jest spełnione, gdyż
inwestor (bank) płaci inne oprocentowanie za środki przyjęte w depozyt od innych banków
(średnio jest to stopa WIBID) oraz po innej stopie procentowej jest skłonny udzielić pożyczki
8
9
D. Gątarek, R. Maksymiuk, Wycena i zabezpieczenie pochodnych instrumentów finansowych, Liber 1998
R. A. Haugen, Teoria nowoczesnego inwestowania, WIGPRESS, Warszawa 1996
innym bankom (średnio - stopa WIBOR). Stopę wolną od ryzyka można przybliżać również
odmiennymi instrumentami (np. 52-tygodniowe bony skarbowe).
Powoduje to, że te same instrumenty pochodne mogą zostać odmiennie wycenione przez
różne banki. Na wycenę wpływa również sytuacja w banku, czy posiada on np. wolne środki
walutowe, czy musi je pozyskać na rynku w celu zabezpieczenia pozycji terminowej.
Odmiennym problemem jest fakt, że żaden bank nie sprzedaje kontraktów po
teoretycznej cenie sprawiedliwej, lecz pobiera jeszcze narzut, którego wielkość uzależniona
jest od polityki banku.
5. Przykładowa wycena polskich instrumentów walutowych
W dalszych rozważaniach, jako przybliżenia stóp zwrotu z instrumentów wolnych od
ryzyka, wykorzystane zostały stopy LIBOR i WIBID dla odpowiednio depozytów jedno-,
trzy- i sześciomiesięcznych. Wyceny dokonane zostały dla dni 16.02.1999 i 15.03.1999.
LIBOR r f
WIBID r
LIBOR r̂ f
WIBID r̂
16.02.1999
1M
3M
4,94%
5,00%
13,09%
12,71%
4,82%
4,88%
12,30%
11,96%
6M
5,06%
12,18%
4,94%
11,49%
LIBOR r f
WIBID r
LIBOR r̂ f
WIBID r̂
15.03.1999
1M
2M
4,94%
5,00%
13,18%
12,85%
4,82%
4,88%
12,38%
12,09%
6M
5,06%
12,58%
4,94%
11,85%
5.1. Wycena walutowych kontraktów forward.
Poniżej
przedstawione
zostały
przykładowe
wyceny
sprzedaży
kontraktów
walutowych. Jako cena spot przyjęta została cena dolara, po której banki średnio sprzedawały
dolary na rynku międzybankowym.
spot
cena teoret.
BACP
BRE
ING
B. Zachodni
16.02.1999
3,819
1M
3M
3,8448
3,8917
3,8467
3,8944
3,8474
3,8917
3,8216
3,8682
3,8491
3,8960
5.2. Wycena opcji walutowych
spot
6M
4,0009
3,9517
3,9298
-
cena teoret.
BACP
BRE
ING
B. Zachodni
15.03.1999
3,885
1M
3M
3,9116
3,9603
3,9372
3,9918
3,9385
3,9824
3,9689
4,0163
3,9614
4,0408
6M
4,027
3,0470
4,0828
-
Poniżej przedstawione zostały przykładowe wyceny opcji typu call na dolara. Jako
cena spot przyjęta została średnia cena dolara na rynku międzybankowym odpowiednio w
dniach 16.02.1999 i 15.03.1999.
Historyczna zmienność kursu dolara wyznaczona została na podstawie danych z rocznego
okresu poprzedzającego dzień wyceny opcji. Wariancja dziennych logarytmicznych stóp
zwrotu dla kolejnych dni tygodnia przedstawiona została poniżej.
poniedziałek
4,50e-5
wtorek
4,26e-5
środa
5,56e-5
czwartek
4,02e-5
piątek
4,25e-5
Uzasadnione jest więc przyjęcie założenia, że efektywnych dni sesyjnych w roku jest około
250. W dalszych obliczeniach przyjęta została liczba 252 dni sesyjnych w roku.
Zmienność kursu dolara oszacowana została odpowiednio na poziomie 11,83% dla
16.02.1999 i 12,10% dla dnia 15.03.1999. Kurs spot przyjęto odpowiednio jako 3,821 i
3,935.
BACP
X
G-K
C-R-R
call
BRE
X
G-K
C-R-R
call
ING
X
G-K
C-R-R
call
Kr. Bank
X
G-K
C-R-R
call
1M
3,8820
358
359
625/753
16.02.1999
3M
6M
3,9040
3,9680
833
1185
835
1189
1099/1326 1527/1842
1M
3,8503
494
492
593/678
16.02.1999
3M
6M
3,8997
3,9647
853
1200
853
1202
1034/1184 1477/1688
1M
3,8520
486
484
590/637
16.02.1999
3M
6M
3,9080
3,9850
815
1111
813
1111
1005/1106 1439/1616
1M
3,8490
501
498
518/568
16.02.1999
3M
6M
3,8984
3,9630
859
1207
859
1208
915/1020 1368/1538
X
G-K
C-R-R
call
15.03.1999
1M
3M
6M
3,9580
4,0120
4,0810
558
924
1308
556
925
1309
621/665 1089/1206 1513/1675
X
G-K
C-R-R
call
15.03.1999
1M
3M
3,9418
3,9895
642
1034
647
1037
539/586
968/1046
6M
4,0590
1411
1408
1402/1511
X
G-K
C-R-R
call
15.03.1999
1M
3M
3,9710
4,0300
496
842
493
839
499/593
864/1062
6M
4,1060
1196
1196
1256/1541
X
G-K
C-R-R
call
15.03.1999
1M
3M
3,9378
3,9887
663
1038
670
1041
461/518
907/1013
6M
4,0605
1404
1401
1316/1471
X – kurs realizacji,
G-K – cena na podstawie modelu Garmana-Kohlhagena,
C-R-R – cena na podstawie modelu Coxa-Rossa-Rubinsteina,
call – rzeczywista cena, po której banki kwotowały odpowiednio skup i sprzedaż danej opcji
Ceny podane są jako ceny opcji zakupu 10.000 USD.
Rozbieżności pomiędzy cenami teoretycznymi i rzeczywistymi analizowanych
instrumentów wynikają bezpośrednio z opisanych w punkcie 4. obciążeń modeli. Odmienna
może być ocena zmienności instrumentu podstawowego, cena spot, po której bank ma
możliwość kupna i sprzedaży waluty. Każdy z banków charakteryzuje się odmienna sytuacją
w zakresie wolnych środków złotówkowych i walutowych. Różna jest również marża
pobierana przez banki, która zawyża ceny instrumentów itd.
Przedstawione modele zakładają również normalność rozkładu logarytmicznych dziennych
stóp zwrotu. Założenie to nie jest spełnione w przypadku kursów USD/zł, co łatwo sprawdzić
przy pomocy testu χ2.