2 1

SYSTEMY LICZBOWE
SYSTEM DWÓJKOWY
•Systemem liczbowym stosowanym w technice
cyfrowej jest system dwójkowy (binarny) – system
liczbowy o podstawie 2.
•Wynika to z wcześniej zauważonej właściwości
istnienia dwóch stanów, które można interpretować
jako dwie różne cyfry.
•W systemie dwójkowym w zapisie liczb używasz
dwóch cyfr: 0 i 1.
• Kolejne cyfry w liczbie są mnożone przez kolejne
potęgi liczby 2. Znajdziesz więc tu pozycję jedynek
(20), pozycję dwójek (21), czwórek (22), ósemek
(23), itd.
Wartości dziesiętne wybranych liczb
zapisanych w systemie dwójkowym:
Zapis w
systemie
dwójkowym
Wartość w
systemie
dziesiętnym
Wartość w
systemie
dziesiętnym
Zapis w systemie
dwójkowym
1
20 = 1
0,1
2-1 =0,5
10
21 = 2
0,01
2-2 =0,25
100
22 = 4
0,001
2-3 =0,125
1000
23 = 8
0,0001
2-4 =0,0625
10000
24 = 16
0,00001
2-5 =0,03125
100000
25 = 32
0,000001
2-6 =0,015625
1000000
26 = 64
0,0000001
2-7 =0,0078125
10000000
27 = 128
0,00000001
2-8 =0,00390625
100000000
28 = 256
0,000000001
2-9 =0,001953125
1000000000
29 = 512
0,0000000001
2-10 =0,0009765625
210 = 1024
0,00000000001
2-11 =0,00048828125
10000000000
Zamiana liczby z systemu
dziesiętnego na binarny.
W poniższej tabeli przedstawione jest działanie prowadzące do
zamiany zapisu liczby 283 z systemu dziesiętnego na system
dwójkowy:
Wzór ogólny liczby naturalnej
zapisanej w systemie binarnym
gdzie:
• k oznacza pozycję cyfry w liczbie
(liczoną od prawej do lewej),
•bk to cyfra z k-tej pozycji należąca
do zbioru cyfr sytemu binarnego,
bk є {0, 1}
Zamiana ułamka dziesiętnego
na binarny:
SYSTEMY:
ÓSEMKOWY
I
SZESNASTKOWY
SYSTEM ÓSEMKOWY
Liczby zapisywane są w pozycyjnym systemie
ósemkowym za pomocą ośmiu cyfr:
01234567
SYSTEM ÓSEMKOWY
Podstawą sytemu ósemkowego jest 8, czyli 23.
Dzięki temu zapis liczby binarnej skracany jest
trzykrotnie.
SYSTEM ÓSEMKOWY
SYSTEM SZESNASTKOWY
W tym systemie mamy szesnaście cyfr:
0123456789ABCDEF
Symbolom literowym odpowiadają
wartości dziesiętne:
A - 10, B - 11, C - 12, D - 13, E - 14, F - 15
SYSTEM SZESNASTKOWY
Podstawą systemu szesnastkowego jest
16, czyli 24, co pozwala skrócić zapis
binarny czterokrotnie.
Hex – system szesnastkowy (heksadecymalny)
Dec – system dziesiątkowy (decymalny)
Oct – system ósemkowy (oktalny)
Bin – system dwójkowy (binarny)
Wzór na wartość n-cyfrowej liczby
całkowitej zapisanej w dowolnym
systemie liczbowym:
gdzie:
• k oznacza pozycję cyfry
w liczbie (liczoną od prawej
do lewej),
• ck to cyfra z k-tej pozycji
należąca do zbioru cyfr
sytemu,
ck є {0, 1, …, r – 1}
Działania arytmetyczne w
różnych systemach liczbowych
Reguły rządzące działaniami arytmetycznymi w
różnych systemach liczbowych są takie same jak
w znanym Ci systemie dziesiętnym.
Pamiętasz, jak skonstruowana jest tabliczka
mnożenia. Na przecięciach wierszy i kolumn
znajdują się wyniki mnożenia odpowiednich liczb.
Aby ułatwić wykonywanie działań w dowolnym
systemie liczbowym, możesz stworzyć tabelę
mnożenia i dodawania cyfr w danym systemie.
Zapoznaj się z tabelkami działań w systemie
dwójkowym i czwórkowym. Możesz na tej
podstawie samodzielnie stworzyć analogiczne
tabele dla różnych systemów liczbowych.
System dwójkowy
System czwórkowy
Dalej
Zapoznaj się z umieszczonymi poniżej tabelkami
działań w systemie dwójkowym. Możesz na tej
podstawie samodzielnie stworzyć analogiczne
tabele dla różnych systemów liczbowych.
DODAWANIE
MNOŻENIE
+
0
1
×
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
10
1
0
1
System czwórkowy
Zapoznaj się z umieszczonymi poniżej tabelkami
działań w systemie czwórkowym. Możesz na tej
podstawie samodzielnie stworzyć analogiczne
tabele dla różnych systemów liczbowych.
DODAWANIE
MNOŻENIE
+
0
1
2
3
×
0
1
2
3
0
0
1
2
3
0
0
0
0
0
1
1
2
3
10
1
0
1
2
3
2
2
3
10
11
2
0
2
10
12
3
3
10
11
12
3
0
3
12
21
System dwójkowy
Znasz już sposób postępowania przy zamianie
liczby z układu dziesiętnego np. na układ
ósemkowy – obliczasz reszty z dzielenia przez
8 i zapisujesz je w odpowiedniej kolejności.
11000101001010111010010110111000011010110111
Na następnym slajdzie podany jest inny
sposób zamiany liczb z systemu dziesiętnego
na ósemkowy. Metoda ta wymaga wykonania
działań arytmetycznych w różnych systemach.
Omówimy ją na przykładzie: chcemy zapisać liczbę
835(10) w systemie ósemkowym
• Pierwsza cyfra od lewej to 8. Zapisujemy ją w systemie ósemkowym:
8(10) =10(8)
Następnie zamieniamy liczbę złożoną z dwóch pierwszych cyfr –
wykorzystujemy tu wynik otrzymany w poprzednim kroku:
83(10) =8(10) ·10(10) +3(10) =10(8) ·12(8) +3(8) =120(8) +3(8) =123(8)
Otrzymaną liczbę wykorzystamy teraz do zamianiy liczby złożonej z
trzech kolejnych cyfr: 835(10) =?(8)
835(10) =83(10) ·10(10) + 5(10) =123(8) ·12(8) + 5(8) =1476(8) + 5(8) =1503(8)
W przypadku większej liczby cyfr postępowanie należałoby powtórzyć.