Niedziesiątkowe systemy liczenia

Niedziesiątkowe systemy liczenia
Do napisania i zajęcia się tym bardzo starym i powszechnym
tematem skłoniła mnie sytuacja, która ma często miejsce na zajęciach
matematyki w szkole podstawowej, gimnazjum a nawet szkole
średniej. Otóż w kontakcie ucznia z pisaniem, czytaniem liczb wiąże
się problem ich zaszeregowania do odpowiedniego systemu,
większość uczniów nie wie lub nie zastanawia się skąd pochodzi
nazwa systemu dziesiątkowego, dwójkowego.
W tej pracy postaram się uczniom przybliżyć historię, zasady
funkcjonowania i wykonywania działań na liczbach w różnych
systemach.
Pojęcie i historia systemów
Przez system liczbowy rozumiemy sposób zapisywania i
nazywania liczb. Rozróżniamy pozycyjne systemy liczbowe i
addytywne systemy liczbowe.
W pozycyjnych systemach liczbowych liczbę przedstawia się
jako ciąg cyfr, a wartość poszczególnych znaków cyfrowych zależy
od ich położenia (pozycji) względem sąsiednich znaków cyfrowych.
Przykładami takiego systemu są m.in. dziesiątkowy system liczbowy,
dwójkowy system liczbowy.
W addytywnych systemach liczbowych wartość przedstawionej
liczby jest sumą wartości jej znaków cyfrowych. Na addytywnym
systemie zapisu opierają się systemy liczbowe: hieroglificzny,
rzymski, alfabetyczny.
Zanim system dziesiątkowy stał się systemem powszechnym,
różne narody i plemiona posługiwały się innymi systemami. Na
przykład system dwójkowy spotykano u niektórych plemion Australii
i Polinezji. Układ piątkowy zaś u indiańskiego plemienia Szoszonów
w Ameryce Południowej. Natomiast Majowie w I w. p.n.e. używali
układu dwudziestkowego. Pozostałości niektórych systemów
spotykamy do dnia dzisiejszego np. zastosowanie systemu
dwunastkowego znajdujemy w podziale roku na 12 miesięcy. W
handlu przetrwała jednostka tuzin. W miarach czasu i kąta zachował
się częściowo system sześćdziesiątkowy, pochodzący od
Babilończyków.
1
System dwójkowy jest powszechnie stosowany w maszynach
cyfrowych dzięki następującym własnościom:
o cyfry 0 i 1 łatwo jest realizować technicznie przez procesy
fizyczne, w których wyróżnia się tylko dwa stany: jeden z nich
reprezentuje 0, drugi 1; np. w elektronicznej maszynie cyfrowej
element półprzewodnikowy może znajdować się w jednym z
dwóch stanów- przewodzi prą elektryczny (cyfra 1) lub nie
przewodzi (cyfra 0).
o algorytmy działań w tym systemie są prostsze niż w innych
systemach liczbowych
o cyfry 0, 1 mogą być interpretowane jako wartości logiczne zdań
Aby uniknąć nieporozumień przyjęto następujące zapisy liczb w
innych układach pozycyjnych niż dziesiątkowy, np. :
w dwójkowym
(101)2 lub 101(2)
w czwórkowym
(3210)4 lub 3210(4)
Liczbę np. 110(2) czytamy „jeden-jeden-zero w systemie dwójkowym”
a nie „sto dziesięć”.
Przykłady budowy systemów liczenia
1. System dziesiątkowy:
 do zapisywania każdej liczby wystarczy 10 cyfr
(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)
 jednostka każdego następnego rzędu licząc od końca jest
dziesięć razy większa od rzędu poprzedniego
2. System dwójkowy:
 do zapisywania każdej liczby wystarczają dwie cyfry (0,1)
 jednostka każdego następnego rzędu jest dwa razy większa
od jednostki rzędu poprzedniego
2
3. System ósemkowy:
 dowolne liczby zapisujemy za pomącą nie więcej niż
ośmiu cyfr (0,1,2,3,4,5,6,7)
 jednostka każdego następnego rzędu jest 8 razy większa od
jednostki poprzedniego rzędu
Każdą liczbę naturalną można przedstawić w dowolnym systemie wg
schematu:
rząd,
pozycja
jednostka
rzędu
system
rząd,
dwójkowy pozycja
jednostka
rzędu
system
rząd,
trójkowy pozycja
jednostka
rzędu
system
rząd,
piątkowy pozycja
jednostka
rzędu
system
dziesiątkowy
0
1
2
3
4
5
1
100
0
10
101
1
100
102
2
1000
103
3
10000 100000
104
105
4
5
1
20
0
2
21
1
4
22
2
8
23
3
16
24
4
32
25
5
1
30
0
3
31
1
9
32
2
27
33
3
81
34
4
243
35
5
1
50
5
51
25
52
125
53
625
54
3125
55
A więc każda liczba naturalna m może być zapisana w postaci:
m=cnqn+cn-1qn-1+...+c2q2+c1q+c0, nN 0
gdzie liczby c0, c1,... , cn są równe 0,1, ... , q-1 oraz cn0.
Jeśli np. chcemy zapisać liczbę 53 w systemie dwójkowym, możemy
ją zapisać w postaci sumy, której składniki są potęgami liczby 2 ( od
największej do najmniejszej)
53= 32+21=32+16+5=32+16+4+1=
125+124+023+122+021+120=110101(2)
3
Chcąc zapisać liczby w systemach pozycyjnych o podstawie
większej niż dziesięć należy dysponować większą ilością cyfr. Np. w
systemie szesnastkowym bierzemy pierwszych 10 cyfr zgodnych z
systemem dziesiątkowym, zaś dalsze to:
A oznacza 10 w syst. dziesiątkowym
B
„ 11
„
C
„ 12
„
D
„ 13
„
E
„ 14
„
F
„ 15
„
A więc liczba (D4)16 oznacza 212 w systemie dziesiątkowym.
Działania w systemach innych niż dziesiątkowy
1. System dwójkowy- jeśli przy dodawaniu otrzymujemy dwie
jednostki rzędu niższego, zapisujemy je jako jedną jednostkę
rzędu następnego, np.
101(2)
+ 11(2)
_____________
1000(2)
2. System trójkowy- jeśli w wyniku dodawania otrzymujemy w
jakimś rzędzie trzy jednostki, stanowią one wtedy jedną
jednostkę rzędu następnego, np.
1201(3)
+ 212(3)
_____________
2120(3)
4
Odejmowanie w innych systemach wykonuje się analogicznie jak
w systemie dziesiątkowym, np.
1201(3)
- 212(3)
_____________
212(3)
Ponieważ w odjemnej jest mniej jedności niż w odjemniku
„rozmieniamy” jedną jednostkę rzędu 2 (dziewiątkę) na 3 jednostki
rzędu poprzedniego (pierwszego), zostawiając w tym rzędzie 2
jednostki, a jedną „rozmieniamy” na 3 jedności, otrzymujemy 4
jedności. Odejmujemy jedności 4-2=2, następnie cyfry rzędu
pierwszego 2-1=1 itd.
Obliczając iloczyny i ilorazy liczb naturalnych w systemach
niedziesiątkowych korzystamy z tabel mnożenia .
Tabelka w systemie dwójkowym:
x
0
1
0
0
0
1
0
1
Tabelka w systemie trójkowym:
x
0
1
2
0
0
0
0
1
0
1
2
2
0
2
11
5
Tabelka mnożenia w systemie piątkowym:
x
0
1
2
3
4
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
2
0
2
4
11
13
3
0
3
11
14
22
4
0
4
13
22
31
Mnożąc liczby sposobem pisemnym, korzystamy z tablic
mnożenia, np.
212(3)
x 22(3)
________
1201
+ 1201
______________
20211(3)
Do wykonania dzielenia sposobem pisemnym wystarcza znajomość
tabeli mnożenia, gdy dzielnik nie przekracza podstawy systemu
liczenia.
Zamiana systemu liczenia
Jest kilka sposobów przedstawiania liczby w innym systemie niż
jest obecnie:
 jeżeli mamy liczbę np. w systemie czwórkowym i chcemy
przedstawić ją w systemie piątkowym, zapisujemy tę liczbę
najpierw w systemie dziesiątkowym, a potem z systemu
dziesiątkowego przechodzimy na piątkowy wg wcześniej
opisanej metody
6
 wykonując operację innym sposobem można wykonać
prościej: chcąc przejść z podaną liczbą z systemu
dziewiątkowego na trójkowy , należy każdą cyfrę liczby
zapisać jako liczbę dwucyfrową w układzie trójkowym:
1
1
0
00
2
02
3
10
8
22
4
11
(9)
(3)
Czyli:
102384(9) = 10002102211(3)
Mam nadzieję, że przybliżyłem Ci pojęcie, nazwę i sposoby
pisania liczb w różnych systemach. Korzystając głównie z
systemu dziesiątkowego warto pamiętać też o innych systemach.
Publikację opracował :
Zenon Szubarczyk- nauczyciel
Publicznego Gimnazjum Nr 3
w Białej Podlaskiej
7