AS: Metody oceny projektów gospodarczych

AS: Metody oceny projektów gospodarczych
MOPG – podstawowa treść wykładu
A. Oceniając efektywność przedsięwzięć inwestycyjnych najczęściej wykorzystuje się mierniki finansowe sklasyfikowane w
dwóch grupach metod – prostych i dyskontowych.
B. Metody proste oceniają opłacalność inwestycji bazując na prognozowanych przepływach pieniężnych bez uwzględnienia
zmian wartości pieniężnych w czasie. Do tych metod zalicza się:

okres zwrotu nakładów inwestycyjnych, nazywany także okresem spłaty (Payback Period - PP),

księgową (średnią) stopę zwrotu (Accounting (Average) Rate of Return - ARR),

prostą stopę zysków z zainwestowanych kapitałów (Return on Investment Capital - ROIC),

koncepcję progu rentowności (Break Even Point Approach – BEP).
C. Metody dyskontowe analizują opłacalność przedsięwzięcia inwestycyjnego opierając się na zaktualizowanych
wartościach przyszłych strumieni pieniężnych możliwych do osiągnięcia z danego projektu rozwojowego. Bazują więc one
na dyskontowanych przepływach pieniężnych, czyli przepływach uwzględniających zarówno czynnik zmiany wartości
pieniężnych w czasie, jak i wszystkie składniki ryzyka inwestycyjnego. Do dyskontowych metod oceny opłacalności
inwestycji zalicza się następujące mierniki:

wartości obecnej netto (Net Present Value - NPV),

wewnętrznej stopy zwrotu z inwestycji (Internal Rate of Return - IRR),

zmodyfikowanej wewnętrznej stopy zwrotu z inwestycji (Modified Internal Rate of Return - MIRR).

indeksu zyskowności inwestycji (Profitability Index - PI),

zdyskontowany okres zwrotu (Discounted Payback Period - DPP).
1. Proste metody oceny opłacalności projektów inwestycyjnych
Okres zwrotu nakładów inwestycyjnych
A. Okres zwrotu nakładów inwestycyjnych (okres spłaty) oznacza czas, w jakim przewiduje się zrównanie wartości
początkowego nakładu z nadwyżkami finansowymi, których uzyskania oczekuje się dzięki realizacji danego projektu. Innymi
słowy jest minimalna wymagana liczba lat potrzebna do odzyskania z przyszłych wpływów środków finansowych
poniesionych na przedsięwzięcie inwestycyjne.
B. Najprostszą metodą obliczania okresu zwrotu jest kumulowanie planowanych przepływów pieniężnych z wartością
początkowego nakładu inwestycyjnego i sprawdzenie, kiedy suma ta wyniesie zero.
C. Jeśli okres zwrotu nakładów inwestycyjnych jest mniejszy lub równy przyjętej liczbie dopuszczalnych lat zwrotu
wydatków na przedsięwzięcie, to dana inwestycja jest akceptowana do realizacji. Natomiast, gdy okres zwrotu nakładów
inwestycyjnych jest większy niż ustalona graniczna liczba lat zwrotu, wówczas to przedsięwzięcie jest odrzucane jako
nieefektywne. Graniczny okres, przyjęty jako dopuszczalny, jest zazwyczaj określony na podstawie dotychczasowych
doświadczeń innych firm inwestujących w podobne przedsięwzięcia.
D. Omawiane metoda cechuje się licznymi wadami:

nie bierze się w niej pod uwagę całego okresu funkcjonowania projektu,

pomija się w ocenie strumienie efektów wykraczające poza okres zwrotu nakładów,

metoda ta nie uwzględnia zmiany wartości pieniądza w czasie, pomija się tutaj zatem wpływ czasu na wartość efektów
wyrażonych w pieniądzu,

okres zwrotu nie daje odpowiedzi, czy projektowane przedsięwzięcie zapewnia zyskowność, jaką można by osiągnąć w
przypadku innej formy lokaty kapitału (np. na rachunku inwestycyjnym w banku).
E. Zaletą kryterium okresu zwrotu jest prostota obliczeń i łatwość interpretacji wyników. Kryterium to preferuje inwestycje
o szybkim okresie zwrotu i z tego powodu jest przydatne w warunkach niepewności i ryzyka, będącego wynikiem walki
konkurencyjnej na rynku oraz szybkiego postępu naukowo-technicznego. Okres zwrotu jest preferowany w sytuacjach, w
których są potrzebne szybkie oceny i decyzje, nie powinien być natomiast stosowany do oceny projektów
charakteryzujących się długim horyzontem czasowych realizacji.
PRZYKŁAD:
Przedsiębiorstwo LM rozważa podjęcie realizacji jednego z dwóch możliwych przedsięwzięć inwestycyjnych, wymagających
takiej samej wartości zaangażowanego kapitału, dla których przygotowano następujące preliminarze finansowe przyszłych
oczekiwanych z nich korzyści (dane w tys. zł):
1
AS: Metody oceny projektów gospodarczych
OKRES
PLANOWANE PRZEPŁYWY PIENIĘŻNE NETTO
PROJEKT L
PROJEKT M
0
(1.000)1
(1.000)
1
500
(500)
2
400
100
3
300
300
4
100
500
5
(100)
1.000
Ustal okres zwrotu nakładów inwestycyjnych poniesionych na projekt L lub na projekt M.
ROZWIĄZANIE:
Najłatwiej wyznaczymy okres zwrotu poprzez sumowanie przepływów pieniężnych od okresu „0” do okresu „n” i
sprawdzanie, kiedy suma ta wyniesie zero.
I tak:
Okres zwrotu dla projektu L (PP) = ponad 2 lata
Okres zwrotu dla projektu M (PP) = prawie 5 lat
Wynika z tego, że bardziej opłacalnym jest projekt L, gdyż charakteryzuje się krótszym okresem spłaty (zwrotu)
poniesionych na jego sfinansowanie nakładów kapitałowych.
Księgowa (średnia) stopa zwrotu (ARR)
A. Księgowa stopa zwrotu (ARR) jest to przeciętna wartość okresowej dochodowości możliwej do osiągnięcia z inwestycji w
zakładanym czasie jej eksploatacji. Oblicza się ją jako wartość średniej arytmetycznej z przyszłych strumieni pieniężnych
generowanych z inwestycji w relacji do wartości początkowego nakładu inwestycyjnego. Prezentuje to poniższy wzór:
i
 CF
n 1
ARR =
n
I
x 100%
gdzie:
ARR – księgowa stopa zwrotu,
i
 CF
n 1
n
– przeciętna z jednego okresu wartość przyszłych przepływów pieniężnych netto możliwych do osiągnięcia z
inwestycji,
I – wartość początkowego nakładu inwestycyjnego.
B. Przy wyborze lepszego wariantu inwestycji należy się kierować maksymalizacją wskaźnika ARR. ARR jest wygodnym
narzędziem rozpatrywania projektów. Przede wszystkim cechuje się dużą prostotą i łatwością obliczeń.
C. Do wad miernika ARR możemy zaliczyć:

nie uwzględnianie czynnika czasu w analizie zmian wartości pieniężnych w okresie wykorzystywania inwestycji,

nie wprowadzenie jakiejkolwiek obiektywnej reguły decyzyjnej,

oparcie analizy atrakcyjności przedsięwzięcia od średniej wartości przyszłych korzyści, co oznacza przykładowo, że
ujemne przepływy pieniężne uzyskiwane w pierwszych latach eksploatacji inwestycji mogą być pokryte wysokimi
dodatnimi przepływami z późniejszych lat wykorzystania projektu.
Z listy wad wynika, że miernik ARR może być, podobnie jak okres zwrotu, stosowany jako pomocnicze narzędzie wyboru
przedsięwzięć na wstępnym etapie rozpatrywania alternatywnych projektów inwestycyjnych.
PRZYKŁAD:
Wyznacz księgową stopę zwrotu (ARR) dla projektów L i M rozważanych przez przedsiębiorstwo LM, i opisanych w treści
poprzedniego przykładu.
ROZWIĄZANIE:
Wartość wpisana w nawiasie, to wartość ujemna. W tym przykładzie chodzi o wartość wydatku
inwestycyjnego (wypływu środków kapitałowych niezbędnych na pokrycie nakładu inwestycyjnego).
1
2
AS: Metody oceny projektów gospodarczych
Dla projektu L średnia okresowa wartość przepływów pieniężnych wyniesie:
3
i
 CF
n 1
n
=
500  400  300  100  100
= 240 tys. zł
5
Tak więc ARR dla projektu L jest równe:
ARR = (240 tys. zł / 1.000 tys. zł) x 100% = 24%
ARR dla projektu M postaraj się obliczyć sam.
Stopa zwrotu z zaangażowanych kapitałów (ROIC)
A. Stopa zwrotu z zaangażowanych w inwestycję kapitałów stanowi relację średniej wartości zysków operacyjnych po
opodatkowaniu uzyskiwanych z przedsięwzięcia w zakładanym okresie jego eksploatacji i wartości całkowitych nakładów
inwestycyjnych (nakładów kapitałowych) poniesionych na sfinansowanie tego projektu.
B. Stopę zwrotu z zaangażowanych kapitałów najczęściej ustala się według następującej formuły:
ROIC =
NOPAT
IC
x 100%
gdzie:
NOPAT – średni roczny poziom zysku operacyjnego po opodatkowaniu możliwy do osiągnięcia z danej inwestycji,
IC – wartość początkowego nakładu inwestycyjnego (wartość ogółem kapitału zaangażowanego w przedsięwzięcie).
C. Posługując się miernikiem ROIC wybiera się te projekty inwestycyjne, które przy tych samych nakładach kapitałowych
przynoszą wyższą okresową stopę zwrotu.
PRZYKŁAD:
Firma KLON chce zrealizować jedną z dwóch możliwych i dostępnych inwestycji. Zarówno projekt A, jak i projekt B
wymagają zaangażowania 2.500 tys. zł. Oceniono, że projekty te mogą w kolejnych pięciu latach wygenerować następujące
zyski operacyjne po opodatkowaniu (NOPAT):
ROK
PROJEKT A
PROJEKT B
1
300.000 zł
500.000 zł
2
400.000 zł
300.000 zł
3
500.000 zł
100.000 zł
4
600.000 zł
50.000 zł
5
700.000 zł
- 100.000 zł
Firma oczekuje średnio w roku co najmniej 12% stopy zwrotu od zaangażowanych kapitałów. Posługując się kryterium ROIC
wybierz bardziej efektywny projekt inwestycyjny.
ROZWIĄZANIE:
Dane:
Wartość zaangażowanego kapitału na jeden projekt = 2.500 tys. zł
Średni roczny poziom zysku operacyjnego po opodatkowaniu (NOPAT) projektu A = 500 tys. zł
Średni roczny poziom zysku operacyjnego po opodatkowaniu (NOPAT) projektu B = 850 tys. zł
Oczekiwana stopa zwrotu = 12% rocznie
ROIC (projekt A) = (500.000 zł / 2.500.000 zł) x 100% = 20%
ROIC (projekt B) = (850.000 zł / 2.500.000 zł) x 100% = 34%
Oba rozważane projekty inwestycyjne są efektywne dla przedsiębiorstwa, bowiem mogą przynieść stopę zwrotu od
zaangażowanych kapitałów wyższą od oczekiwanej stopy zwrotu. Jednakże projekt B charakteryzuje się większym
miernikiem ROIC i to on powinien być zaakceptowany do realizacji.
2. Metody dyskontowe oceny opłacalności przedsięwzięć inwestycyjnych
Wartość obecna netto (NPV)
A. Metoda wartości obecnej netto (NPV) polega na porównaniu nakładów przewidywanych na realizację inwestycji z sumy
spodziewanych nadwyżek pieniężnych możliwych do osiągnięcia z projektowanego przedsięwzięcia w kolejnych okresach
AS: Metody oceny projektów gospodarczych
jego eksploatacji, ale po uprzednim sprowadzeniu ich przyszłej wartości do aktualnego poziomu (zdyskontowania) z
uwzględnieniem kosztu zaangażowanego kapitału (wymaganej stopy zwrotu).
B. Wartość obecną netto (nazywaną także wartością bieżącą netto lub wartością zaktualizowaną netto) definiuje się zatem
jako wartość różnicy między sumą zdyskontowanych kosztem kapitału prognozowanych przepływów pieniężnych możliwych
do osiągnięcia w przyszłych okresach eksploatacji inwestycji i wartości początkowej poniesionego nakładu inwestycyjnego.
C. Kryterium NPV może być również określane jako wartość otrzymana przez zdyskontowanie, oddzielnie dla każdego
okresu prognozy, różnicy między wpływami i wydatkami pieniężnymi osiąganymi z inwestycji przez cały czas eksploatacji
przedsięwzięcia, przy stałym poziomie oczekiwanej stopy zwrotu (stopy dyskontowej). Różnica ta jest dyskontowana na
moment, w którym przewidywane jest rozpoczęcie budowy obiektu lub początek inwestycji.
D. Metoda NPV opiera się na następujących zasadach:

skalkulowane na poszczególne przyszłe lata eksploatacji inwestycji przepływy pieniężne sprowadza się do aktualnej ich
wartości za pomocą wyznaczonej stopy dyskontowej,

wielkość stopy dyskontowej jest związana z wysokością stopy zwrotu reprezentującej oczekiwaną minimalną stopę
zyskowności kapitału, który ma być zaangażowany przy realizacji danego projektu (najczęściej jest to stopa średnio
ważonego kosztu kapitału – WACC),

zdyskontowane kwoty przepływów pieniężnych, których osiągnięcie przewidywano na poszczególne lata, sumuje się
oraz porównuje ich łączną wartość z wielkością nakładu inwestycyjnego, ustalając różnicę,

za korzystne uważa się wszystkie te projekty, przy których kwota zdyskontowanych przepływów pieniężnych pokrywa
co najmniej niezbędne nakłady inwestycyjne (NPV musi być wtedy dodatnie lub przynajmniej równe zero),

warianty projektów inwestycyjnych, przy których preliminowane przepływy pieniężne (po ich zdyskontowaniu) nie
zapewniają pełnego pokrycia początkowych nakładów inwestycyjnych (NPV ujemne), należy odrzucić jako
nierentowne, bowiem nie zapewniają one postulowanej zyskowności kapitału, który trzeba zaangażować w realizację
danego wariantu projektu.
E. Wartość obecną netto (NPV) wylicza się na podstawie następującej formuły:
n FCF
i I
0
i
i 1(1  r )
NPV  
lub w wersji formuły rozszerzonej:
NPV 
FCF3
FCFi
FCF1
FCF2


 ... 
 I0
(1  r ) (1  r ) 2 (1  r )3
(1  r )i
gdzie:
Io – wartość początkowego nakładu inwestycyjnego,
r – oczekiwana, stała w każdym okresie zakładanej eksploatacji inwestycji stopa zwrotu z zaangażowanych w
przedsięwzięcie funduszy, najczęściej związana z szacowanym kosztem kapitału pokrywającego wymagane nakłady
inwestycyjne,
FCFi – projektowane przyszłe wolne przepływy pieniężne netto możliwe do osiągnięcia w kolejnych okresach eksploatacji
inwestycji,
n – liczba przewidywanych okresów prognozy finansowej dla danej inwestycji.
F. Jeśli wartość NPV jest dodatnia, to dany projekt inwestycyjny należy zaakceptować do realizacji, ponieważ:

generuje on sumę wartości bieżącej przyszłych przepływów pieniężnych wyższą od początkowego nakładu
kapitałowego,

przynosi wyższą od oczekiwanej stopę zwrotu z inwestycji,

wypracowuje taką wartość dochodów, które umożliwiają pokrycie kosztu kapitału zaangażowanego w finansowanie
przedsięwzięcia,

tworzy nadwyżkę finansową, która może być wykorzystana do finansowania kolejnych przedsięwzięć inwestycyjnych
przedsiębiorstwa,

zwiększa zasoby przedsiębiorstwa,

zwiększa wartość przedsiębiorstwa.
G. Przy ujemnym NPV inwestycję (lub rozpatrywany jej wariant) powinniśmy odrzucić jako nierentowną, gdyż
przedsięwzięcie:

w ustalonym okresie jego eksploatacji nie przynosi oczekiwanej przez inwestora stopy zwrotu od zainwestowanych
kapitałów,
4
AS: Metody oceny projektów gospodarczych



nie zapewnia pokrycia kosztów kapitału finansującego dany projekt,
nie generuje nadwyżki finansowej, czyli nie zwiększa zasobów przedsiębiorstwa,
niszczy wartość podmiotu gospodarczego.
H. W sytuacji, gdy wszystkie rozpatrywane warianty projektów inwestycyjnych cechują się dodatnim wskaźnikiem NPV,
do realizacji akceptuje się tę inwestycję lub ten wariant przedsięwzięcia, który dla tej samej wartości nakładów
inwestycyjnych, przy poziomie tej samej oczekiwanej stopy zwrotu oraz dla tego samego okresu planowanej eksploatacji
projektu tworzy największą wartość obecną netto. Innymi słowy, w wyborze najlepszego wariantu inwestycyjnego
posługujemy się kryterium maksymalizacji miernika NPV, gdyż tylko takie przedsięwzięcie w największym stopniu zwiększa
wartość przedsiębiorstwa.
I. Zaletami metody NPV są przede wszystkim następujące jego cechy:

uwzględnianie w analizie opłacalności inwestycji zmiennej wartości pieniądza w czasie,

możliwość wyboru takiego wariantu projektu inwestycyjnego, który daje lepsze efekty w sytuacji ograniczonej dla firmy
dostępności do kapitałów,

uwzględnienie w kalkulacji prognozowanych korzyści (przepływów pieniężnych) z całego planowanego okresu
funkcjonowania (eksploatacji) projektu inwestycyjnego,

jest obiektywnym kryterium ułatwiającym podejmowanie wszelkich decyzji inwestycyjnych,

jest wskaźnikiem najlepiej opisującym możliwości firmy w realizacji strategii wzrostu wartości dla właścicieli.
J. Podstawowymi wadami metody NPV są następujące cechy tego wskaźnika:

trudności w wyborze odpowiedniej stopy dyskontowej,

przyjmowanie na ogół stałej oczekiwanej stopy zwrotu dla kolejnych okresów eksploatacji inwestycji,

trudności w naliczaniu premii za ryzyko danego projektu inwestycyjnego,

kłopoty w ustalaniu przyszłych możliwych do osiągnięcia wartości przepływów pieniężnych.
K. Miernik NPV może być obliczany w arkuszu kalkulacyjnym EXCEL przy wykorzystaniu wbudowanych w nim funkcji
finansowych. Za pomocą tego programu komputerowego wartość NPV oblicza się deklarując następujący zapis funkcji:
= NPV (stopa dyskontowa; wartość FCF1; wartość FCF2 ...) + (– Io)
lub odwołując się do adresów komórek, przykładowo:
= NPV (A2; B1:F1) + A1
gdzie:
A2 – adres komórki arkusza kalkulacyjnego, w którym znajduje się wielkość oczekiwanej stopy zwrotu,
B1:F1 – adresy komórek w arkuszu kalkulacyjnym, w których znajdują się wartości prognozowanych przepływów
pieniężnych,
A1 – adres komórki w arkuszu kalkulacyjnym, w której wpisana wartość nakładu inwestycyjnego (ze znakiem ujemnym).
PRZYKŁAD:
Na podstawie kryterium wartości obecnej netto (NPV) wybierz jeden spośród dwóch rozważanych projektów
inwestycyjnych, planowanych do realizacji przez przedsiębiorstwo GRAB. Zarówno projekt A, jak i projekt B wymagają
zaangażowania 1.500 tys. zł. Oceniono, że projekty te mogą w kolejnych pięciu latach wygenerować następujące wolne
przepływy pieniężne (FCF):
ROK
PROJEKT A
PROJEKT B
1
300.000 zł
500.000 zł
2
400.000 zł
300.000 zł
3
500.000 zł
100.000 zł
4
600.000 zł
- 50.000 zł
5
700.000 zł
- 100.000 zł
Zakładany nakład inwestycyjny mógłby zostać sfinansowany kapitałami o średnim koszcie ich pozyskania równym 12%
rocznie (taka jest minimalna oczekiwana roczna stopa zwrotu z przedsięwzięcia).
ROZWIĄZANIE:
Dane:
Io = 1.500.000 zł, r = 12% rocznie, wartości planowanych przepływów pieniężnych podane są w tabeli w treści przykładu
Projekt A:
5
AS: Metody oceny projektów gospodarczych
FCF3
FCF5
FCF1
FCF2
FCF4




 I0 =
(1  r ) (1  r ) 2 (1  r )3 (1  r ) 4 (1  r )5
300.000
400.000
500.000
600.000
700.000





 1.500.000 = 221.135 zł
(1  0,12) (1  0,12) 2 (1  0,12)3 (1  0,12) 4 (1  0,12)5
NPV 
Gdybyśmy chcieli skorzystać z arkusza kalkulacyjnego EXCEL, wówczas należałoby zdeklarować do obliczenia następującą
funkcję:
= NPV (12%; A1:A5) – 1 500 000
Projekt B:
FCF3
FCF5
FCF1
FCF2
FCF4




 I0 =
(1  r ) (1  r ) 2 (1  r )3 (1  r ) 4 (1  r )5
500.000
300.000
100.000
 50.000
 100.000





 1.500.000 = - 831.754 zł
(1  0,12) (1  0,12) 2 (1  0,12)3 (1  0,12) 4 (1  0,12)5
NPV 
Gdybyśmy chcieli skorzystać z arkusza kalkulacyjnego EXCEL, wówczas należałoby zdeklarować do obliczenia następującą
funkcję:
= NPV (12%; B1:B5) – 1 500 000
Z przedstawionych wyliczeń wynika, że projekt A powinien być przyjęty do realizacji. Przedsięwzięcie to cechuje się dodatnią
wartością obecną netto, choć wymaga takiego samego nakładu inwestycyjnego jak nierentowny projekt B, planowane jest
do eksploatacji w tym samym czasie co projekt konkurencyjny, finansowane jest jak projekt B kapitałami o koszcie
pozyskania wynoszącym 12% rocznie. Projekt A, jeśli zostanie zrealizowany i przyniesie takie korzyści jak wynika z planu
finansowego, zwiększy zasoby i wartość przedsiębiorstwa GRAB.
Wewnętrzna stopa zwrotu z inwestycji (IRR)
A. Wewnętrzna stopa zwrotu z inwestycji (IRR) jest definiowana jako stopa zwrotu od zainwestowanych kapitałów, która
przynosi wartość obecną netto (NPV) przedsięwzięcia inwestycyjnego równą zero.
B. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) jest także definiowana jako taka średnia okresowa stopa zyskowności projektu
inwestycyjnego, przy której następuje zwrot poniesionych wydatków inwestycyjnych oraz pokrycie kosztu kapitału
zaangażowanego w rozwój firmy.
C. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) jest rozumiana również jako stopą dyskontową, przy której wartość obecna wydatków
pieniężnych jest równa zaktualizowanej wartości przyszłych wpływów pieniężnych generowanych w całym okresie
eksploatacji przedsięwzięcia inwestycyjnego. Przy tej stopie zwrotu wartość obecna efektów z inwestycji równa się wartości
obecnej nakładów inwestycyjnych.
D. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) może być w końcu zdefiniowana jako średnia w jednym okresie stopa dyskontowa,
która zrównuje wartość obecną oczekiwanych wpływów środków pieniężnych z planowanego przedsięwzięcia z wartością
obecną oczekiwanych wydatków na inwestycję. 2
E. Obliczona wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) obrazuje graniczną stopę zwrotu możliwą do osiągnięcia z analizowanego
przedsięwzięcia inwestycyjnego. Osiąganie później niższej stopy zwrotu niż wyznaczona stopa graniczna spowoduje, że dana
inwestycja będzie dla firmy nieopłacalna – będzie przynosić jej straty finansowe.
F. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) jest zwykle porównywana ze stopą średnio ważonego kosztu kapitału (WACC), a decyzja
dotycząca inwestowania zapada według schematu:

IRR > WACC – projektowaną inwestycję lub jej wariant można realizować; zarządzający podejmuje decyzję akceptującą
realizację planowanego przedsięwzięcia, ponieważ projekt ten zwiększy wartość przedsiębiorstwa,
2
Por. E.F. Brigham, L.C. Gapenski, Zarządzanie finansami, tom I, PWE, Warszawa 2000, s. 303.
6
AS: Metody oceny projektów gospodarczych


IRR < WACC – należy zaniechać realizacji inwestycji lub jej wariantu, bowiem projekt ten jest dla firmy nieopłacalny;
zarządzający podejmuje decyzje o odrzuceniu planowanego przedsięwzięcia, ponieważ projekt ten zmniejszy wartość
przedsiębiorstwa,
IRR = WACC – inwestycja może zostać podjęta, jednakże badane przedsięwzięcie jest dość ryzykowne i wrażliwe na
zmienność czynników wpływających na poziom średnio ważonego kosztu kapitału (np. wielkości stopy oprocentowania
kredytów); badany projekt jest obojętny w kształtowaniu wartości przedsiębiorstwa.
G. Wewnętrzną stopę zwrotu z inwestycji (IRR) można obliczyć rozwiązując następujące równanie:
n

FCFn
i
i 1(1  IRR )
 I0  0
lub w wersji formuły rozszerzonej:
FCF3
FCFi
FCF1
FCF2


 ... 
 I0  0
2
3
(1  IRR ) (1  IRR )
(1  IRR )
(1  IRR )i
gdzie:
Io – wartość początkowego nakładu inwestycyjnego,
IRR – poszukiwana wewnętrzna stopa zwrotu z inwestycji,
FCFi – projektowane przyszłe wolne przepływy pieniężne możliwe do osiągnięcia z inwestycji w kolejnych latach jej
eksplotacji,
n – liczba zakładanych okresów prognozy przepływów pieniężnych możliwych do osiągnięcia z inwestycji.
H. Rozwiązanie równania określającego IRR nie zawsze jest proste, ponieważ w grę wchodzi zwykle równanie wielomianu
wyższego rzędu. W praktyce stosuje się do ustalenia IRR programy komputerowe (np. arkusz kalkulacyjny EXCEL) lub
kalkulatory finansowe. Korzystając z arkusza EXCEL należałoby zadeklarować programowi rozwiązanie następującej funkcji:
= IRR (wartość FCFo; wartość FCF1; ...; wartość FCFi)
lub odwołując się do adresów komórek, przykładowo:
= IRR (A1:F1)
gdzie:
A1:F1 – adresy komórek w arkuszu kalkulacyjnym, w których znajdują się wartości prognozowanych przepływów
pieniężnych oraz początkowego nakładu inwestycyjnego (ze znakiem ujemnym).
I. Do głównych zalet miernika IRR zalicza się:

uwzględnienie w kalkulacji zmiennej wartości pieniądza w czasie,

przyjęcie do wyboru inwestycji obiektywnego kryterium, jakim jest stopa zwrotu,

łatwość porównania ze sobą kilku projektów inwestycyjnych.
J. Wyróżnia się następujące wady wskaźnika IRR:

możliwość wyboru przedsięwzięcia, które tworzy największą stopę zwrotu, ale przynosi relatywnie mniejszą wartość
obecną netto niż inne projekty inwestycyjne; oznacza to, że posługując się kryterium IRR nie zawsze wybierze się
działania inwestycyjne, które będą maksymalizować wartość przedsiębiorstwa,

możliwość wystąpienia wielu IRR lub nie wystąpienia żadnej wielkości stopy zwrotu,

trudność w liczeniu, jeśli nie wykorzystuje się w tym celu kalkulatora finansowego lub odpowiedniego oprogramowania
komputerowego.
PRZYKŁAD:
Planujesz sfinansowanie inwestycji o wartości 1.350.000 zł. Szacujesz, że przedsięwzięcie to w kolejnych pięciu latach jego
eksploatacji przyniesie ci wolne przepływy pieniężne netto o następujących wartościach: - 500.000 zł, 900.000 zł, 1.100.000
zł, 1.500.000 zł, - 350.000 zł. Oczekiwana przez ciebie stopa zwrotu z zaangażowanych kapitałów, równa kosztom kapitałów,
które sfinansują inwestycję wynosi 15% rocznie. Jaką średnią roczną wewnętrzną stopę zwrotu osiągniesz z tego
przedsięwzięcia i czy inwestycja ta jest dla ciebie opłacalna?
ROZWIĄZANIE:
Dane:
7
AS: Metody oceny projektów gospodarczych
Io = 1.350.000 zł, FCF1 = - 500.000 zł, FCF2 = 900.000 zł, FCF3 = 1.100.000 zł, FCF4 = 1.500.000 zł, FCF5 = - 350.000 zł
8
Aby obliczyć IRR należy rozwiązać następujące równanie:
FCF3
FCFi
FCF1
FCF2


 ... 
 I0  0
(1  IRR ) (1  IRR ) 2 (1  IRR )3
(1  IRR )i
 500.000
900.000
1.100.000 1.500.000  350.000




 1.350.000  0
(1  IRR ) (1  IRR ) 2 (1  IRR )3 (1  IRR ) 4 (1  IRR )5
Korzystając z arkusza kalkulacyjnego EXCEL wpisujemy następującą funkcję:
= IRR (-1350000; -500000; 900000; 1100000; 1500000; -350000)
Otrzymujemy wynik równy:
IRR = 21,95%
Wewnętrzna stopa zwrotu z tego przedsięwzięcia (IRR) wyniesie około 22% średnio rocznie. Będzie większa od kosztu
kapitału finansującego inwestycję (oczekiwanej stopy zwrotu) o około 7 pkt procentowych. Zatem planowane
przedsięwzięcie może być podjęte do realizacji, bowiem jest opłacalne z punktu widzenia ekonomicznego.
Zmodyfikowana wewnętrzna stopa zwrotu z inwestycji (MIRR)
A. Zmodyfikowana wewnętrzna stopa zwrotu (MIRR) jest to taka stopa dyskontowa (stopa zwrotu z inwestycji), przy której
łączna wartość przyszła wszystkich dodatnich przepływów pieniężnych możliwych do osiągnięcia z inwestycji będzie po ich
zdyskontowaniu równa wartości obecnej wszystkich ujemnych przepływów pieniężnych związanych z danym
przedsięwzięciem.
B. Zmodyfikowana wewnętrzna stopa zwrotu (MIRR) to inaczej taka stopa dyskontowa, która zrównuje wartość wpływów
pieniężnych z inwestycji na koniec okresu danego projektu z sumą nakładów początkowych.3
C. Zmodyfikowana wewnętrzna stopa zwrotu (MIRR) może być w końcu zdefiniowana jako wielkość stopy dyskontowej,
dla której wartość bieżąca sumy reinwestowanych według sposobności rynkowych wpływów pieniężnych jest równa sumie
wartości bieżącej wydatków.4
D. W wyznaczaniu miernika MIRR wykorzystuje się dwie wielkości oczekiwanej stopy zwrotu: stopę kosztu kapitału oraz
stopę reinwestycji.
E. Wszystkie ujemne przepływy pieniężne (nawet te z ich niekonwencjonalnego układu) są dyskontowane przy
wykorzystaniu stopy kosztu kapitału firmy. W ten sposób bieżąca wartość ujemnych przepływów pieniężnych jest równa:
n
DCOF =

COFi
i  0 (1  r )
i
gdzie:
DCOF – zdyskontowane wszystkie ujemne przepływy pieniężne przewidywane dla danego projektu inwestycyjnego,
COFi – ujemne przepływy pieniężne w danym okresie,
r – wymagana przez inwestora stopa zwrotu równa kosztowi kapitału finansującego inwestycję.
F. Z kolei wszystkie dodatnie przepływy pieniężne możliwe do osiągnięcia z inwestycji w zakładanym okresie jej
eksploatacji są kapitalizowane na koniec okresu prognozy finansowej ustaloną oczekiwaną stopą reinwestycji (reivestment
assumption). Najczęściej przyjmuje się, że stopa przy której będą reinwestowane osiągane z przedsięwzięcia nadwyżki
wpływów nad wydatkami odpowiada docelowej stopie kosztu kapitału przedsiębiorstwa.5 Oczywiście inwestor może przyjąć
inną stopę reinwestycji, na przykład związaną z poziomem rentowności długoterminowych obligacji skarbowych (wolna od
ryzyka stopa zwrotu). Łączna wartość przyszła skapitalizowanych dodatnich przepływów pieniężnych nosi nazwę wartości
terminowej lub końcowej (terminal value - TV). Oblicza się ją według formuły:
Por. D.J. Leahigh, Zarządzanie finansami, PWE, Warszawa 1999, s. 83.
Por. A. Rutkowski, Zarządzanie finansami, PWE, Warszawa 2000, s. 224.
5
Por. dyskusję na ten temat w: E.F. Brigham, L.C. Gapenski, Zarządzanie finansami, tom I, op. cit., s. 313 i 320.
3
4
AS: Metody oceny projektów gospodarczych
n
TV =
 CIFi  (1  rinw. )
9
n i
i 0
gdzie:
CIFi – dodatnie przepływy pieniężne z danego okresu,
rinw. - przyjęta przez inwestora stopa reinwestycji dodatnich przepływów pieniężnych,
pozostałe oznaczenia jak w poprzednim wzorze.
G. Następnie poszukuje się takiej stopy zwrotu, która zrównałaby wartość obecną wszystkich dodatnich i reinwestowanych
przepływów pieniężnych (TV) z wartością obecną wszystkich ujemnych przepływów pieniężnych (DCOF). Ta poszukiwana
stopa zwrotu jest określana jako MIRR. Obliczenie jej wartości można zapisać jako rozwiązanie następującego równania:
n
n

 CIFi  (1  r )
COFi
i  0 (1  r )
i
=
n i
i 0
(1  MIRR ) n
lub prościej:
DCOF =
TV
(1  MIRR ) n
Wynika z tego, że zmodyfikowaną wewnętrzną stopę zwrotu z inwestycji (MIRR) wylicza się z następującego wzoru:
MIRR  n
TV
1
DCOF
gdzie:
oznaczenia jak w poprzednich wzorach.
H. Wielkość zmodyfikowanej wewnętrznej stopy zwrotu (MIRR) można również ustalić wykorzystując arkusz kalkulacyjny
EXCEL. Należy w tym przypadku wpisać do komputera następujące równanie:
= MIRR (FCF 0:FCFn; stopa dyskontowa; stopa reinwestycji)
lub odnosząc się do adresów komórek:
= MIRR (A1:A6; B1; C1)
gdzie:
A1:A6 – projektowane dla danej inwestycji przepływy pieniężne począwszy od okresu 0,
B1 – stopa dyskontowa (oczekiwana stopa zwrotu, stopa kosztu kapitału),
C1 – stopa reinwestycji.
I. Zasady decyzyjne w przypadku zastosowania zmodyfikowanej wewnętrznej stopy zwrotu (MIRR) są podobne jak przy
stosowaniu wskaźnika IRR. Zatem, jeśli:

MIRR jest większa od oczekiwanej stopy zwrotu (kosztu kapitału), to taki projekt inwestycyjny powinien zostać
zaakceptowany do realizacji,

MIRR jest mniejsza od oczekiwanej stopy zwrotu (kosztu kapitału), to taki projekt inwestycyjny powinien zostać
odrzucony jako niereentowny.
J. Do podstawowych zalet wskaźnika MIRR zalicza się:

jednoznaczność uzyskanego wyniku (stopa MIRR jest zawsze jedna, nie ma więc problemu jej wielokrotności, jak bywa
w przypadku kryterium IRR),

uwzględnianie zmiany wartości pieniądza w czasie,

stopa kapitalizacji stosowana w tej metodzie jest bardziej uzasadniona niż ta, która występuje przy IRR.
AS: Metody oceny projektów gospodarczych
K. Za wadę MIRR uważa się fakt, iż stosując ten miernik można wybrać taki projekt inwestycyjny, który nie będzie
maksymalizował wartości przedsiębiorstwa. Zawsze w takich okolicznościach konieczna jest weryfikacja przedsięwzięcia
kryterium wartości obecnej netto (NPV).
PRZYKŁAD:
Ustal zmodyfikowaną wewnętrzną stopę zwrotu (MIRR) z inwestycji o planowanym okresie eksploatacji wynoszącym 5 lat,
opisanej następującymi zmiennymi:

wartość początkowego nakładu inwestycyjnego wyniesie 750.000 zł,

w latach nieparzystych (czyli w roku 1, 3 i 5) inwestycja wygeneruje dodatnie wolne przepływy pieniężne o wartości
950.000 zł w każdym z tych okresów,

w latach parzystych (czyli w roku 2 i 4) inwestycja będzie deficytowa i przyniesie ujemne przepływy pieniężne o
wartości 350.000 zł w każdym z tych okresów.
Oczekiwana stopa zwrotu z tego przedsięwzięcia (koszt kapitału) została ustalona na 10% rocznie, natomiast stopa
reinwestycji równa stopie rentowności długoterminowych obligacji skarbowych jest równa 6%.
ROZWIĄZANIE:
Dane:
COFo = 750.000 zł, COF2 = 350.000 zł, COF4 = 350.000 zł
CIF1 = 950.000 zł, CIF3 = 950.000 zł, CIF5 = 950.000 zł
r = 10% rocznie, rinw. = 6% rocznie, n = 5 lat
Najpierw obliczymy łączną zdyskontowaną wartość ujemnych przepływów pieniężnych (COF):
n
DCOF =

COFi
i  0 (1  r )
i
 750.000 
350.000
(1  0,1) 2

350.000
(1  0,1) 4
= 1.278.311 zł
Następnie obliczymy łączną wartość końcową kapitalizowanych dodatnich przepływów pieniężnych:
n
TV =
 CIFi  (1  rinw. )
n i
i 0
 950.000  (1  0,06) 4  950.000  (1  0,06) 2  950.000 =
= 3.216.773 zł
Znając te wartości możemy obliczyć MIRR korzystając z następującej zależności:
MIRR  n
TV
3.216.773
1  5
 1 = 0,203 (20,3%)
DCOF
1.278.311
Wynika z tego, że zmodyfikowana wewnętrzna stopa zwrotu dla tego przedsięwzięcia jest większa od oczekiwanej stopy
zwrotu (kosztu kapitału), a więc inwestycja ta może być zaakceptowana do realizacji.
Indeks zyskowności inwestycji
A. Indeks zyskowności inwestycji (Profitable Index – PI), nazywany również wskaźnikiem dochodowości lub rentowności
przedsięwzięcia jest rozumiany jako relacja wartości obecnej przepływów pieniężnych możliwych do osiągnięcia w
przyszłych okresach eksploatacji planowanego projektu i wartości początkowego nakładu inwestycyjnego. W tym
kontekście indeks zyskowności inwestycji (PI) oblicza się według następującej formuły:
PI 
NPV
I0
+1
gdzie:
PI – indeks zyskowności,
Io – początkowy nakład inwestycyjny,
NPV – wartość obecna netto dla danego projektu inwestycyjnego.
B. Przydatność zastosowania indeksu zyskowności występuje głównie wtedy, gdy oceniający inwestycje chce porównać ze
sobą kilka projektów cechujących się zróżnicowaną wartością początkowego nakładu kapitałowego i są to przy okazji
przedsięwzięcia wzajemnie wykluczające się. Jeśli nawet są to inwestycje finansowane funduszami pozyskanymi przy tym
samym koszcie kapitałowym, mogące generować wolne przepływy pieniężne w tym samym okresie zakładanej ich
10
AS: Metody oceny projektów gospodarczych
eksploatacji, ale różnią się kwotą nakładu, to wartości NPV ustalone dla nich będą odmienne. Wybór właściwego projektu
staje się więc utrudniony. W takich okolicznościach, posługując się indeksem zyskowności menedżer finansowy może
wyselekcjonować to przedsięwzięcie, które w rzeczywistości będzie maksymalizować korzyści finansowe przedsiębiorstwa.
C. Przy wyborze indeksem zyskowności właściwego wariantu inwestycji kierujemy się następującym schematem
decyzyjnym:

jeśli PI jest większy od jedności, to dana inwestycja jest opłacalna i można ją zrealizować,

jeśli PI jest mniejszy od jedności, to rozpatrywany projekt inwestycyjny należy odrzucić jako nierentowny.
Jeśli dla wszystkich rozpatrywanych projektów otrzymujemy indeksy zyskowności większe od jedności, wybieramy ten
wariant przedsięwzięcia, który przynosi nam większą jego wielkość.
PRZYKŁAD:
Inwestor ma do wyboru dwa wzajemnie wykluczające się projekty inwestycyjne, które byłyby eksploatowane w tym samym
okresie, i dla których charakterystyki finansowe przedstawia poniższe zestawienie (wartości w złotych):
OKRES (ROK)
0
1
2
3
4
5
PROJEKT A
-1.000.000
300.000
500.000
700.000
900.000
1.100.000
PROJEKT B
-750.000
400.000
500.000
600.000
700.000
800.000
Ze względu na to, iż ryzyko każdego z tych przedsięwzięć jest takie samo, koszt kapitału, który sfinansowałby którykolwiek z
rozważanych projektów został ustalony na 10% rocznie.
Dokonaj wyboru bardziej opłacalnej inwestycji.
ROZWIĄZANIE:
Najpierw spróbujmy wybrać lepszy projekt inwestycyjny posługując się kryterium wartości obecnej netto (NPV):
NPV (projekt A) = 1.509.596 zł
NPV (projekt B) = 1.452.495 zł
Metoda NPV wskazuje, że powinniśmy przyjąć projekt A, ponieważ może przynieść inwestorowi większą wartość korzyści
finansowych. Jednakże wiemy, że projekt ten wymaga większego zaangażowania kapitałowego. W celu bardziej
wiarygodnej analizy oceńmy oba przedsięwzięcia indeksem zyskowności:
PI A 
NPVA
1.509.596
1 
 1  2,51
I0
1.000.000
PI B 
NPVB
1.452.495
1 
 1  2,94
I0
750.000
Projekt B cechuje się wyższym wskaźnikiem zyskowności i to on powinien zostać wybrany do realizacji.
Zdyskontowany okres zwrotu
A. Zdyskontowany okres zwrotu definiowany jest jako liczba lat, po których zdyskontowane i skumulowane przepływy
pieniężne osiągane z inwestycji będą równały się wartości początkowego nakładu kapitałowego.
B. Zdyskontowany okres zwrotu można także określić jako okres, po jakim nastąpi zrównanie wartości bieżącej wpływów z
wartością bieżącą wydatków.6
C. Wadą tego miernika jest to, że nie informuje on inwestora o możliwej do osiągnięcia stopie zwrotu z rozważanego
przedsięwzięcia.
PRZYKŁAD:
Dla przepływów pieniężnych z poprzedniego przykładu wyznacz zdyskontowane okresy zwrotu rozważanych projektów
inwestycyjnych.
6
Por. A. Rutkowski, Zarządzanie finansami, op. cit., s. 216.
11
AS: Metody oceny projektów gospodarczych
ROZWIĄZANIE:
Najłatwiej będzie wyznaczyć zdyskontowany okres zwrotu posługując się zestawieniem tabelarycznym (dane w złotych):
PROJEKT A
OKRES
PRZEPŁYWY PIENIĘŻNE
ZDYSKONTOWANE PRZEPŁYWY SKUMULOWANE ZDYSKONTOWANE
PIENIĘŻNE (r = 10%)
PRZEPŁYWY PIENIĘŻNE
0
-1.000.000
-1.000.000
-1.000.000
1
300.000
272.727
-727.273
2
500.000
413.223
-314.050
3
700.000
525.920
211.870
4
900.000
614.712
826.582
5
1.100.000
683.013
1.509.595
Zdyskontowany okres zwrotu = 2 + (314.050 / 525.920) = 2,6 roku
PROJEKT B
OKRES
0
1
2
3
4
5
PRZEPŁYWY PIENIĘŻNE
ZDYSKONTOWANE PRZEPŁYWY SKUMULOWANE ZDYSKONTOWANE
PIENIĘŻNE (r = 10%)
PRZEPŁYWY PIENIĘŻNE
-750.000
-750.000
-750.000
400.000
363.636
-386.364
500.000
413.223
26.859
600.000
450.789
477.648
700.000
478.109
955.575
800.000
496.737
1.452.494
Zdyskontowany okres zwrotu = 1 + (386.364 / 413.223) = 1,94 roku
Jeśli dwa rozpatrywane projekty są wzajemnie wykluczające się, to do realizacji powinno być zaakceptowane
przedsięwzięcie B, gdyż charakteryzuje się krótszym zdyskontowanym okresem zwrotu.
12