Wielokryterialna i wielopoziomowa ocena efektywności inwestycji

Wielokryterialna i wielopoziomowa ocena efektywności inwestycji
finansowych w warunkach niepewności.
Paweł Róg
Informatyka, rok V
Politechnika Częstochowska
Streszczenie. Ocena efektywności inwestycji finansowych jest zadaniem skomplikowanym. Ma bowiem ona za
zadanie wskazanie jak najlepszego rozwiązania spośród proponowanych, w sytuacji, kiedy nie są jeszcze
dokładnie znane wszystkie potrzebne do podjęcia decyzji parametry finansowe (np. wartości stóp procentowych
w czasie trwania inwestycji, przyszłe wpływy pieniężne). Innym problemem jest odpowiednie sformułowanie
i agregacja kryteriów oceny. Kryteria te mogą mieć charakter zarówno ilościowy (wskaźniki finansowe) jak
i jakościowy (werbalne oceny). Kryteriów może być wiele i na ogół niektóre z nich mają dużo większy wpływ
na końcową ocenę niż inne. Poza tym niektóre kryteria oceny muszą zostać rozbite na bardziej elementarne
kryteria niższego poziomu. Do rozwiązania tych problemów zastosowano, wykorzystujące arytmetykę
rozmytych przedziałów, metody reprezentacji niepewnych danych wejściowych, konstrukcji kryteriów,
określenia ich wpływu na globalną ocenę oraz agregacji w celu otrzymania końcowego kryterium globalnego.
Opracowano także, niezbędną w procesie podejmowania decyzji, unikalną metodę szeregowania rozmytych
przedziałów. Proponowaną metodę oceny efektywności inwestycji zilustrowano kompletnym przykładem
wyboru jednej z alternatywnych inwestycji finansowych.
1. Wstęp
Ocena efektywności przedsięwzięć inwestycyjnych jest zadaniem skomplikowanym.
Głównymi źródłami złożoności problemu są:
1. działanie w warunkach niepewności – dokładne określenie wartości niektórych
parametrów finansowych (np. stopy procentowej) odnoszących się do przyszłości jest
trudne lub wręcz niemożliwe.
2. wielokryterialność podejmowanych decyzji – parametrów opisujących efektywność
danego przedsięwzięcia może być co najmniej kilka (np. NPV, IRR, stopień ryzyka itp.),
każdy z nich ma inny charakter (nie można np. sumować NPV i IRR) oraz w innym
stopniu wpływa na ostateczną decyzję (dla jednego inwestora ważniejszy może być
większy zysk, dla drugiego – mniejsze ryzyko inwestycji).
3. wielopoziomowość podejmowanych decyzji – niektóre z parametrów mogą być
otrzymane w wyniku agregacji parametrów podrzędnych.
2. Rozmyte przedziały
W warunkach, kiedy nie są znane dokładne wartości parametrów, wygodnie jest posługiwać
się przedziałami rozmytymi. Przedstawiony na rys. 1 przedział rozmyty, jest szczególnym
przypadkiem zbioru rozmytego o funkcji przynależności μ(x). Umożliwia on zdefiniowanie
wartości nieprecyzyjnego parametru poprzez podanie zakresu możliwych jego wartości
[a1, a2] oraz zakresu wartości najbardziej prawdopodobnych [b1, b2]. Dzięki podzieleniu
przedziału rozmytego na α-przekroje, które są zwykłymi przedziałami, operacje arytmetyczne
na rozmytych przedziałach możemy sprowadzić do, wykonywanych na odpowiednich αpoziomac, operacji arytmetycznych na zbiorze zwykłych przedziałów. Poniżej przedstawiono
cztery podstawowe operacje arytmetyki zwykłych przedziałów:
X  Y  x  y, x  y ,
X  Y  x  y, x  y

 






X  Y  min x  y, x  y , x  y, x  y , max x  y, x  y , x  y, x  y ,
1 1
X
 x, x    ,  ,
Y
 y y 
gdzie X  x, x  , Y  x, x .
μ(x)
α-przekrój na α-poziomie 0.4
1
α-poziomy
0.5
0
0
a1
b2
b1
x
a2
Rys. 1. Przedział rozmyty i jego dekompozycja na α-przekroje
3. Kryteria oceny
Aby ocenić obliczone wartości parametrów finansowych, wykorzystujemy kryteria oceny.
Kryteria te opisują, jakie wartości parametrów są przez nas pożądane a jakie są nie do
przyjęcia. Umożliwiają one także ujednolicenie kryteriów odwzorowując ich wartości do
przedziału [0, 1]. Na Rys. 2 przedstawiono przykładowy kształt kryterium oceny.
μ(IRR)
1
punkty
charakterystyczne
μ(IRR1)
0
0
IRRmax
IRRmin
IRR
IRR1
Rys. 2. Kryterium oceny
4. Macierz parzystych porównań
Macierz parzystych porównań jest macierzą kwadratową i umożliwia nam, na podstawie
porównywania kryteriów parami, wyznaczenie współczynników względnej ważności każdego
z nich. Przy wypełnianiu macierzy wykorzystujemy następująca tabelę ocen lingwistycznych:
Tabela 1. Lingwistyczne oceny ważności kryteriów
Ocena lingwistyczna
Dwa kryteria są identyczne
Pierwsze jest niewiele ważniejsze niż drugie, są prawie takie same
Pierwsze jest ważniejsze niż drugie
Liczba odpowiadająca
ocenie
1
3
5
Pierwsze jest sporo ważniejsze niż drugie
Pierwsze jest znacznie ważniejsze niż drugie
7
9
5. Przykład wyboru projektu inwestycyjnego
Spróbujmy dokonać oceny efektywności dwóch proponowanych nam inwestycji.
Spodziewane przepływy pieniężne w latach przedstawia Tabela 2. Jak widać, w roku
pierwszym ponosimy nakłady, natomiast w latach następnych przewidywane są zyski.
Zarówno wielkości przepływów pieniężnych jak i wielkość stopy dyskontowej d nie są znane
precyzyjnie i są przedstawione w postaci rozmytych przedziałów.
Tabela 2. Porównywane projekty inwestycyjne
rok 1
rok 2
rok 3
rok 4
inwestycja 1
(-8.00, 7.05, -6.95-, -6.95)
(4.95, 4.95, 5.05, 6.00)
(3.95, 3.95, 4.05, 5.00)
(1.95, 1.95, 2.05, 3.00)
inwestycja 2
(-8.00, -7.50-, 6.95, -6.00)
(4.00, 4.95, 5.50, 6.00)
(3.00, 3.95, 2.50, 3.00)
(1.00, 1.95, 2.50, 3.00)
d
(0.21, 0.23, 0.25, 0.27
(0.21, 0.23, 0.25, 0.27)
(0.21, 0.23, 0.25, 0.27)
(0.21, 0.23, 0.25, 0.27)
Warto odnotować, że dane dotyczące drugiej inwestycji mają charakter mniej precyzyjny, to
znaczy mamy większą szerokość przedziałów.
Określmy następujące kryteria oceny:
1. Net Present Value (NPV)
2. Internal Rate of Return (IRR)
3. ilościowe ryzyko finansowe Rm
4. niepewność inwestycji dd
NPV możemy obliczyć z następującego wzoru:
n 1
ki
,
i
t 0 (1  d )
gdzie: n – ilość okresów, k i - przepływ pieniężny w i-tym okresie (wartość rozmyta),
d – stopa procentowa (wartość rozmyta).
NPV  
Na Rys. 3. widzimy wyniki obliczeń dla danych z Tabeli 1 (lewa strona rysunku) oraz wyniki
oceny tych obliczeń za pomocą kryterium (prawa strona rysunku).
μ(NPV)
1
0
0
4.1
NPV
0
1
Inwestycja 1
Inwestycja 2
Kryterium oceny
Rys. 3. Ocena NPV dla proponowanych projektów inwestycyjnych
IRR możemy obliczyć rozwiązując następujące nieliniowe równanie względem d:
n 1
ki
 0.

i
t 0 (1  d )
W przypadku rozmytych przedziałów rozwiązanie powyższego równania oznacza
rozwiązanie zbioru równań – po jednym równaniu dla każdego α-poziomu:
n 1
ki 
~
0,

i
t 0 (1  d  )
gdzie [ki] α i [d] α są ostrymi przedziałami.
Znajdujące się po prawej stronie „zero”, to w rzeczywistości symetryczny względem zera
przedział. Rozwiązanie więc polega na znalezieniu takiego d, które spełniając równanie
jednocześnie da najwęższy przedział „zerowy” po jego prawej stronie. Ponieważ
rozwiązujemy powyższe równanie dla każdego z α-poziomów, dla jednego przedziału
otrzymujemy w rzeczywistości zbiór rozwiązań. Dla jego przeanalizowania wprowadzono
następujące wielkości, które zostały następnie zagregowane i poddane ocenie kryterium IRR:
10
najmniej oczekiwana
wartość IRR
(najmniej
pewna)
IRR min 
 IRR NPV
i
i 0
2i
10
 NPV
2i
i 0
 NPV1i 
 NPV1i 
10
najbardziej oczekiwana (najbardziej pewna)
wartość IRR
IRR max 
 IRR 
i
i 0
10

i 0
10
średnia wartość IRR
IRR avg 
i
i
 IRR
i 0
i
11
IRR mr  IRR10
IRRlr  IRR0
najbardziej prawdopodobna wartość IRR
najmniej prawdopodobna wartość IRR
Interpretacja [NPV1, NPV2]α jako miernika niepewności IRRα pozwala zaproponować
wskaźnik ilościowego ryzyka finansowego wyrażony w jednostkach monetarnych (stopień
niepewności otrzymanych wartości IRRx będący konsekwencją niepewności danych
wejściowych):
 IRR NPV
10
Rm 
i 0
i
11
i
 NPV i

.
Dla ułatwienia analizy wskaźnik Rm można przeskalować zgodnie ze wzorem:
Rm  Rm min
Rms 
,
Rm max  Rm min
gdzie: Rmmin – minimalna wartość Rm, Rmmaz – maksymalna wartość Rm.
Jako miarę niepewności inwestycji można zastosować miarę rozmycia otrzymanej wartości
NPV:
10
NPV i  NPV i
dd   i
i 0 NPV 0  NPV 0
IRR, Rms i dd zostały poddane ocenie odpowiednich kryteriów w sposób podobny jak NPV.
Mając zdefiniowane wszystkie szczegółowe kryteria, możemy zdefiniować kryterium
globalne:




D  min  IRR  1 ,  NPV  2 ,  Rms  3 ,  dd  4 .
Wagi 1  4 możemy otrzymać z następującej, określonej przy pomocy eksperta, macierzy
parzystych porównań:

IRR
NPV
Rms
dd

IRR
1
1/5
1/6
1/7
NPV
5
1
1
1/8
Rms
6
1
1
1/3
dd
7
8
3
1
Otrzymano następujące wagi:
IRR
NPV
Rms
dd
0.629206
0.185895
0.138989
0.0459103
W wyniku obliczeń otrzymano następujące wartości kryterium globalnego:
μ(D)
1
Inwestycja 1
Inwestycja 2
0
0
1
Rys. 4. Otrzymane wartości kryterium globalnego
D
Po defuzyfikacji otrzymujemy następujące wartości oceny dla obu projektów inwestycyjnych:
Ocena globalna
Projekt 1
0.702
Projekt 2
0.026
Widać wyraźną przewagę projektu 1.
6. Wnioski
Przedstawiona w wielkim skrócie metoda wielokryterialnej i wielopoziomowej oceny
projektów inwestycyjnych w warunkach niepewności jest metodą uniwersalną. Umożliwia
ona wspieranie podejmowania decyzji w różnych dziedzinach, wszędzie tam, gdzie można
określić zbiór kryteriów oceny. Uwzględnia ona nierównoważność i różnorodność kryteriów,
ich hierarchiczną budowę oraz niepewność ocen ekspertów. Jest efektywna i wygodna do
praktycznego stosowania.