Tales z Miletu

Tales z Miletu, gr. Θαλης
(ok. 620 – 540 p.n.e.) był
greckim filozofem
i matematykiem, astronomem,
inżynierem, politykiem,
podróżnikiem i kupcem,
zaliczanym do siedmiu mędrców
starożytnej Grecji. Uznawany
jest za twórcę podstaw nauki
i filozofii europejskiej.
Tales prowadził badania nad udowodnieniem swoich
twierdzeń oraz twierdzeń wcześniej postawionych
przez matematyków egipskich, dając podstawy nauce
przez zapoczątkowanie systematycznej
rozbudowy pojęć i twierdzeń geometrycznych.
Talesowi z Miletu przypisuje się wiele twierdzeń
z geometrii:
 Średnica dzieli okrąg na połowy.
 Dwa kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego
są równe.
 Jeśli dwie linie przecinają się, to dwa kąty
przeciwległe są równe.
 Kąt wpisany na półokręgu jest kątem prostym.
 Trójkąt jest określony, jeżeli dana jest jego
podstawa i kąty przy podstawie.
Jeżeli ramiona kąta przetniemy prostymi
równoległymi, to stosunki długości odcinków
wyznaczonych przez te proste na jednym
ramieniu kąta, są równe stosunkom długości
odpowiednich odcinków na drugim ramieniu
kąta.
OA OA'

OB OB '
AA' OA

BB ' OB
OA
OA'

AB
A' B'
OC
OC '

AC
A' C '
Jeżeli ramiona kąta przecięte są kilkoma prostymi i stosunki
długości odcinków na jednym ramieniu kąta równe są stosunkom
długości odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta, to dane
proste są równoległe.
Twierdzenie Talesa ma liczne zastosowania
praktyczne i teoretyczne. Przedstawię trzy
z nich:
 Pomiar wysokości piramidy
 Pomiar odległości statku od brzegu
 Podział odcinka w danym stosunku
Według legendy Tales wyznaczył
wysokość piramidy w Egipcie na
podstawie długości cienia rzucanego
przez kij, czym wprawił w zdumienie
kapłanów. Oto jak tego dokonał:
Na podstawie wniosku z twierdzenia Talesa zachodzi proporcja
|OA|:|OB| = |AA′|:|BB′| skąd |BB′|=|AA′|·|OB|:|OA|.
Znając |AA′| – długość kija,
mierząc |OA| – długość jego cienia
i |OB| – długość cienia piramidy,
natychmiast wyliczamy jej wysokość.
Analogicznie można obliczać wysokość innego wysokiego
przedmiotu.
Nieco inne rozumowanie pozwala
obliczyć odległość statku
znajdującego się na morzu.
Z wniosku z twierdzenia Talesa mamy:
(|A′A|+x):|B′A′| = x:|BA|
skąd x=|A′A|·|BA|:(|B′A′|-|BA|).
Mierząc długości odcinków występujących w tej równości wyznaczamy x.
Dane są dwa odcinki o długościach a i b.
Dany odcinek AB podzielić w stosunku:
a
b
Rzut oka na rysunek i twierdzenie Talesa pozwalają stwierdzić,
że punkt P dzieli odcinek w wymaganym stosunku.
Powyższa konstrukcja była podstawą greckiej arytmetyki
– pozwalała mnożyć i dzielić odcinki, które Grecy utożsamiali z liczbami.
PITAGORAS z SAMOS (ok. 572 - ok. 497 p.n.e.). Urodził się na wyspie
Samos, a zmarł w Metaponcie. Znany jest głównie z słynnego twierdzenia
o trójkącie prostokątnym, powszechnie znanego jako twierdzenie
Pitagorasa.
Ów grecki matematyk, filozof, półlegendarny założyciel słynnej Szkoły
Pitagorejskiej, był także twórcą kierunku filozoficzno-religijnego zwanego
pitagoreizmem. Elementami pitagoreizmu są: muzyka, harmonia i liczba,
rozpatrywane przede wszystkim jako czynniki wychowawcze, służące
zbliżeniu do Boga.
Około 532 r. p.n.e. Pitagoras opuścił wyspę Samos wyemigrował do kolonii
jońskich w Italii. Osiedlił się w Krotonie, gdzie właśnie założył związek
pitagorejski. Tam też rozwinął żywą działalność naukową, filozoficzną
i polityczną. Po spaleniu szkoły filozof zamieszkał w Metaponcie, gdzie
przebywał aż do śmierci.
Wersja geometryczna:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma pól kwadratów
zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu
kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.
c
2
a2
Wersja algebraiczna:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów
długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi
długości przeciwprostokątnej.
b
2
c
a
a b  c
2
b
2
2
Założenie:
Teza:
Trójkąt ABC jest prostokątny
Dowód:
a 2  b2  c2
Długość boku kwadratu ABCD wynosi
Zatem pole tego kwadratu wynosi
a  b
a  b 2
Kwadrat ten składa się z kwadratu o boku c oraz czterech
przystających trójkątów prostokątnych. Jego pole możemy więc
zapisać:
1
a
b
c 2  4  ab
2
Porównując ze sobą oba pola otrzymamy:
c
b
a  b   c  4  1 ab
2
a 2  2ab  b 2  c 2  2ab
2
2
c
c
Ostatecznie otrzymamy:
a 2  b2  c2
Jest to teza naszego twierdzenia.
a
b
c
a
b
a
Jeżeli suma kwadratów długości dwóch boków
trójkąta, jest równa kwadratowi długości
trzeciego boku trójkąta, to trójkąt jest
prostokątny.
Pitagorejczycy byli uczniami Pitagorasa. Oto ich
najważniejsze osiągnięcia:
 Udowodnili twierdzenie Pitagorasa.
 Spośród wszystkich liczb naturalnych, wyróżniali pewne
nieskończone ciągi liczb zwane ogólnie liczbami
wielokątnymi, a więc trójkątne, czworokątne, pięciokątne.
 Zajmowali się także liczbami doskonałymi. Liczba
doskonała, to taka liczba, której suma dzielników od niej
mniejszych jest równa tej liczbie. Takimi liczbami są np. 6,
28, 496, 8128.
 Szukali także par liczb zaprzyjaźnionych, tj. takich,
których suma dzielników jednej z nich jest równa drugiej,
np. 220 i 284.
 Zajmowali się proporcjami, lecz szczególnie dla dalszego
rozwoju matematyki miało stwierdzenie istnienia odcinków
niewspółmiernych.
Przy tworzeniu prezentacji korzystano ze stron:





http://www.szkoly.edu.pl/gim.margonin/starozyt/tales.htm
http://pl.wikipedia.org/wiki/Tales_z_Miletu
http://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Talesa
http://www.szkoly.edu.pl/gim.margonin/starozyt/pitag.htm
http://www.szkoly.edu.pl/gim.margonin/niezbed/tw_pit.html