Opcje o odwrotnie uwarunkowanej premii - Annales UMCS

ANNALES
U N I V E R S I TAT I S M A R I A E C U R I E - S K à O D O W S K A
LU B LI N – P OL ONIA
VOL. XLVI, 4
SECTIO H
2012
Uniwersytet Mikoáaja Kopernika w Toruniu, Katedra Ekonometrii i Statystyki
EWA DZIAWGO
Opcje o odwrotnie uwarunkowanej premii
Reverse pay-later options
Sáowa kluczowe: opcja kupna, opcja sprzedaĪy
Key words: call option, put option
WstĊp
Wzrost zmiennoĞci warunków rynkowych przyczynia siĊ do zwiĊkszenia ryzyka związanego z prowadzeniem dziaáalnoĞci gospodarczej. Dlatego umiejĊtne wdraĪanie nowych
metod zarządzania ryzykiem moĪe przyczyniü siĊ do poprawy wyników finansowych firmy,
a tym samym do uzyskania przez nią lepszej pozycji w konkurencyjnym otoczeniu. Instrumenty pochodne, które są transakcjami terminowymi, umoĪliwiają zabezpieczenie siĊ przed
niekorzystną zmianą ceny instrumentu bazowego1 w przyszáoĞci2. W grupie instrumentów
pochodnych istotne miejsce zajmują kontrakty opcyjne. Nabywca opcji kupna/sprzedaĪy
ma prawo zakupu/sprzedaĪy instrumentu bazowego po okreĞlonej cenie (cena wykonania)
w okreĞlonym czasie (czas wykonania). Wystawca opcji ma obowiązek wykonania umowy,
o ile kontrakt jest realizowany. Istniejąca niesymetrycznoĞü praw i obowiązków naáoĪonych
na strony transakcji powoduje, Īe opcje są szczególnym instrumentem zarządzania ryzykiem3.
1
Instrumentem bazowym jest instrument, na który dany instrument pochodny zostaá wystawiony.
R.M. Stultz, Risk Management and Derivatives, Southwestern 2003; R. Flavell, Swaps and Other
Instruments, Wiley, Chichester 2002.
3
K. Jajuga, Zarządzanie ryzykiem, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2007, s. 73; W. TarczyĔski,
Instrumenty pochodne na rynku kapitaáowym, PWE, Warszawa 2003; J.C. Hull, Options, Futures and Other
Derivatives, Prentice Hall International, Inc. 2002, s. 194.
2
118
EWA DZIAWGO
W przypadku kontraktów opcyjnych duĪe znaczenie ma rozpatrywanie wartoĞci
greckich wspóáczynników, które są miarami wraĪliwoĞci cen opcji. OkreĞlają one
wpáyw czynnika ryzyka na cenĊ opcji.
W artykule przedstawiono wáasnoĞci opcji o odwrotnie uwarunkowanej premii:
funkcjĊ wypáaty, wpáyw wybranych czynników na cenĊ opcji oraz ksztaátowanie
siĊ wartoĞci greckich wspóáczynników: delta, gamma, vega, theta, rho. W artykule
porównano wáasnoĞci opcji zwykáych i tych o odwrotnie uwarunkowanej premii.
Ilustracja empiryczna zawarta w artykule zostaáa przeprowadzona na podstawie
symulacji wyceny opcji walutowych wystawionych na EUR/PLN.
1. Opcje o odwrotnie uwarunkowanej premii
– charakterystyka instrumentu
Opcje o odwrotnie uwarunkowanej premii (ang. reverse pay-later options) naleĪą
do klasy opcji pojedynczych4, które charakteryzują siĊ nieciągáoĞcią funkcji dochodu.
W dniu rozliczenia nabywca opcji o odwrotnie uwarunkowanej premii:
• jest zobowiązany do zapáaty premii, o ile opcja jest typu nie-w-cenie5,
• nie páaci premii, jeĞli opcja jest typu w-cenie lub po-cenie.
Funkcja wypáaty opcji kupna o odwrotnie uwarunkowanej premii ma postaü:
⎧ ST − K , gdy ST ≥ K
wc = ⎨
gdy ST < K
⎩ − c,
(1)
gdzie:
wc – funkcja wypáaty opcji kupna o odwrotnie uwarunkowanej premii,
ST – cena instrumentu bazowego w chwili T,
c – premia,
K – cena wykonania opcji,
T – czas wygaĞniĊcia opcji.
Funkcja wypáaty opcji sprzedaĪy o odwrotnie uwarunkowanej premii ma postaü:
⎧ K − ST , gdy ST ≤ K
wp = ⎨
gdy ST > K
⎩ − p,
(2)
gdzie:
wp – funkcja wypáaty opcji sprzedaĪy o odwrotnie uwarunkowanej premii,
p – premia,
pozostaáe oznaczenia są takie same jak we wzorze (1).
4
A. Napiórkowski, Charakterystyka, wycena i zastosowanie wybranych opcji egzotycznych, Narodowy
Bank Polski, Warszawa 2002, s. 30.
5
Opcja kupna/sprzedaĪy jest w-cenie/nie-w-cenie (ang. in-the-money/out-of-the-money), jeĞli bieĪąca cena
instrumentu bazowego jest wiĊksza/mniejsza od ceny wykonania. JeĪeli bieĪąca cena instrumentu bazowego
jest mniejsza/wiĊksza od ceny wykonania, to opcja kupna/sprzedaĪy jest nie-w-cenie/w-cenie. JeĞli cena instrumentu bazowego równa siĊ cenie wykonania, to opcja kupna/sprzedaĪy jest po-cenie (ang. at-the-money).
OPCJE O ODWROTNIE UWARUNKOWANEJ PREMII
119
2. WáasnoĞci opcji kupna o odwrotnie uwarunkowanej premii
– analiza empiryczna
RozwaĪania dotyczą wpáywu wybranych czynników na ksztaátowanie siĊ ceny
opcji kupna o odwrotnie uwarunkowanej premii. Na cenĊ zwykáej opcji w istotny
sposób wpáywają: cena instrumentu bazowego, cena wykonania opcji, czas wygaĞniĊcia oraz zmiennoĞü ceny instrumentu bazowego.
Na rysunku 1 przedstawiono ksztaátowanie siĊ ceny opcji kupna o odwrotnie
uwarunkowanej premii i zwykáej opcji kupna z ceną wykonania 4,08 PLN. Termin
wygaĞniĊcia rozpatrywanych opcji wynosi 4 miesiące. Symulacja wyceny zostaáa przeprowadzona dla okresu 01.04.2011–30.06.2011 r. Opcje są wystawione na
EUR/PLN. W rozpatrywanym okresie opcje byáy typu nie-w-cenie, a w okresie
12.05.2011–16.05.2011 r. oraz 18.05.2011–26.05.2011 r. silnie-nie-w-cenie. Na rysunku 2 przedstawiono wpáyw bieĪącej ceny instrumentu bazowego na ksztaátowanie
siĊ ceny opcji kupna o odwrotnie uwarunkowanej premii oraz zwykáej opcji kupna.
Termin wygaĞniĊcia rozpatrywanych opcji wynosi 4 miesiące, a cena wykonania
wynosi 4,08 PLN.
0,14
0,12
cena (PLN)
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
01.04 08.04 15.04 22.04 02.05 11.05 18.05 25.05 01.06 08.06 15.06 22.06 30.06
data
opcja o odwrotnie uwarunkowanej premii
opcja zwykła
Rysunek 1. Ksztaátowanie siĊ ceny opcji kupna o odwrotnie uwarunkowanej premii i zwykáej opcji kupna
ħródáo: opracowanie wáasne.
EWA DZIAWGO
120
0,7
cena opcji (PLN)
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
3,94
3,96
3,98
4
4,02
4,04
4,06 4,08
4,1
4,12
4,14
4,16
4,18
cena instrumentu bazowego (PLN)
opcja o odwrotnie uwarunkowanej premii
opcja zwykła
Rysunek 2. Wpáyw ceny instrumentu bazowego na cenĊ opcji kupna o odwrotnie
uwarunkowanej premii oraz na cenĊ zwykáej opcji kupna
ħródáo: opracowanie wáasne.
Z analizy ksztaátowania siĊ cen przedstawionych na rysunkach 1 i 2 wynika, Īe:
• opcja kupna o odwrotnie uwarunkowanej premii jest droĪsza od zwykáej opcji
kupna,
• wiĊksze wahania ceny wystĊpują w przypadku opcji o odwrotnie uwarunkowanej premii,
• wzrost/spadek ceny instrumentu bazowego wpáywa na wzrost/spadek ceny opcji
kupna o odwrotnie uwarunkowanej premii zwykáej oraz zwykáej opcji kupna,
• jeĞli opcja jest silnie-nie-w-cenie, to cena opcji kupna o odwrotnie uwarunkowanej premii jest nieznacznie wyĪsza od ceny zwykáej opcji kupna,
• zbliĪanie siĊ ceny instrumentu bazowego do ceny wykonania wpáywa na
znaczny wzrost ceny opcji o odwrotnie uwarunkowanej premii,
• jeĞli cena instrumentu bazowego jest wyĪsza od ceny wykonania, to opcja
o odwrotnie uwarunkowanej premii jest znacznie droĪsza od opcji zwykáej.
W tabeli 1 przedstawiono wpáyw czasu wygaĞniĊcia na cenĊ opcji kupna o odwrotnie uwarunkowanej premii. Analiza zostaáa przeprowadzona dla opcji typu
silnie-nie-w-cenie, nie-w-cenie, po-cenie, w-cenie, silnie-w-cenie. Z kolei rysunek
3 ilustruje ksztaátowanie siĊ ceny dwóch opcji kupna o odwrotnie uwarunkowanej
premii, które róĪnią siĊ ceną wykonania. Jedna z analizowanych opcji (opcja 1) charakteryzuje siĊ ceną wykonania 4,08 PLN, natomiast cena wykonania drugiej opcji
(opcja 2) wynosi 3,95 PLN.
OPCJE O ODWROTNIE UWARUNKOWANEJ PREMII
121
Tabela 1. Wpáyw terminu wygaĞniĊcia na cenĊ opcji kupna o odwrotnie uwarunkowanej premii
Cena opcji (PLN)
Czas wygaĞniĊcia
(miesiące)
silnie-nie-w-cenie
nie-w-cenie
po-cenie
w-cenie
silnie-w-cenie
3
0,0353
0,0982
0,1599
0,285
0,4363
1
0,0116
0,0522
0,1086
0,2333
0,481
ħródáo: opracowanie wáasne.
cena opcji (PLN)
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
01.04 08.04 15.04 22.04 02.05 11.05 18.05 25.05 01.06 08.06 15.06 22.06 30.06
data
opcja 1
opcja 2
Rysunek 3. Wpáyw ceny wykonania na cenĊ opcji kupna o odwrotnie uwarunkowanej premii
ħródáo: opracowanie wáasne.
W przypadku opcji kupna o odwrotnie uwarunkowanej premii:
• krótszy termin wygaĞniĊcia wpáywa na:
– spadek ceny opcji typu silnie-nie-w-cenie, nie-w-cenie, po-cenie oraz w-cenie,
– wzrost ceny opcji typu silnie-w-cenie,
• opcje charakteryzujące siĊ niĪszą ceną wykonania są droĪsze.
W analizie kontraktów opcyjnych istotne jest rozpatrywanie ksztaátowania siĊ wartoĞci greckich parametrów. Wspóáczynnik delta wskazuje, o ile zmieni siĊ cena opcji, gdy
cena instrumentu bazowego zmieni siĊ o jednostkĊ. Z kolei wspóáczynnik gamma okreĞla
wzglĊdną zmianĊ wspóáczynnika delta wzglĊdem zmiany ceny instrumentu bazowego6.
Na rysunku 4 przedstawiono ksztaátowanie siĊ wspóáczynnika delta analizowanej
zwykáej opcji kupna oraz opcji kupna o odwrotnie uwarunkowanej premii (z ceną
wykonania 4,08 PLN). Natomiast rysunek 5 jest ilustracją ksztaátowania siĊ wartoĞci
wspóáczynnika gamma rozpatrywanej zwykáej opcji kupna oraz opcji kupna o odwrotnie uwarunkowanej premii.
6
E. Dziawgo, Modele kontraktów opcyjnych, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Mikoáaja Kopernika, ToruĔ 2003, s. 103.
EWA DZIAWGO
122
0,9
0,8
0,7
delta
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
01.04 08.04 15.04 22.04 02.05 11.05 18.05 25.05 01.06 08.06 15.06 22.06 30.06
data
opcja o odwrotnie uwarunkowanej premii
opcja zwykła
Rysunek. 4. Ksztaátowanie siĊ wartoĞci wspóáczynnika delta opcji kupna o odwrotnie
uwarunkowanej premii i zwykáej opcji kupna
ħródáo: opracowanie wáasne.
0,18
0,16
0,14
gamma
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
01.04 08.04 15.04 22.04 02.05 11.05 18.05 25.05 01.06 08.06 15.06 22.06 30.06
data
opcja o odwrotnie uwarunkowanej premii
opcja zwykła
Rysunek 5. Ksztaátowanie siĊ wartoĞci wspóáczynnika gamma opcji kupna o odwrotnie
uwarunkowanej premii i zwykáej opcji kupna
ħródáo: opracowanie wáasne.
Z analizy ksztaátowania siĊ wartoĞci wspóáczynnika delta i gamma opcji kupna
o odwrotnie uwarunkowanej premii wynikają nastĊpujące wnioski:
• jeĞli opcja jest typu silnie-nie-w-cenie, to wartoĞü wspóáczynnika delta opcji
o odwrotnie uwarunkowanej premii jest niĪsza od wartoĞci wspóáczynnika delta
zwykáej opcji kupna, co oznacza, Īe cena opcji o odwrotnie uwarunkowanej
premii jest wówczas mniej wraĪliwa na zmianĊ ceny instrumentu bazowego,
OPCJE O ODWROTNIE UWARUNKOWANEJ PREMII
123
• wartoĞü wspóáczynnika delta opcji o odwrotnie uwarunkowanej premii typu
w-cenie, po-cenie, nie-w-cenie jest wyĪsza od wartoĞci wspóáczynnika delta
opcji zwykáej,
• wzrost/spadek ceny instrumentu bazowego wpáywa na wzrost/spadek wartoĞci wspóáczynnika delta opcji o odwrotnie uwarunkowanej premii i zwykáej
opcji kupna,
• w porównaniu ze zwykáą opcją, wartoĞci wspóáczynnika delta opcji o odwrotnie
uwarunkowanej premii ulegają znaczniejszym wahaniom,
• wartoĞü wspóáczynnika gamma opcji o odwrotnie uwarunkowanej jest wyĪsza
od wartoĞci wspóáczynnika gamma opcji zwykáej,
• znaczniejsze wahania wartoĞci wspóáczynnika gamma wystĊpują w przypadku
opcji o odwrotnie uwarunkowanej premii.
Wspóáczynnik vega okreĞla, o ile wzroĞnie cena opcji, gdy odchylenie standardowe
zmieni siĊ o jednostkĊ7. WiĊksza wartoĞü wspóáczynnika vega Ğwiadczy o duĪym
wpáywie wszelkich wahaĔ zmiennoĞci ceny instrumentu bazowego na cenĊ opcji.
Na rysunku 6 przedstawiono ksztaátowanie siĊ wartoĞci wspóáczynnika vega analizowanej opcji kupna o odwrotnie uwarunkowanej premii oraz zwykáej opcji kupna.
W tabeli 2 zaprezentowano wartoĞci wspóáczynnika vega dla róĪnych typów opcji
kupna o odwrotnie uwarunkowanej premii8. Analiza zostaáa przeprowadzona dla opcji
typu silnie-nie-w-cenie, nie-w-cenie, po-cenie, w-cenie, silnie-w-cenie.
1,6
1,4
1,2
vega
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
01.04 08.04 15.04 22.04 02.05 11.05 18.05 25.05 01.06 08.06 15.06 22.06 30.06
data
opcja o odwrotnie uwarunkowanej premii
opcja zwykła
Rysunek 6. Ksztaátowanie siĊ wartoĞci wspóáczynnika vega opcji kupna o odwrotnie
uwarunkowanej premii i zwykáej opcji kupna
ħródáo: opracowanie wáasne.
7
8
Odchylenie standardowe jest miarą zmiennoĞci ceny instrumentu bazowego.
Cena wykonania analizowanych opcji wynosi 4,08 PLN, a czas wygaĞniĊcia to 4 miesiące.
EWA DZIAWGO
124
Tabela 2. WartoĞü wspóáczynnika vega opcji kupna o odwrotnie uwarunkowanej
premii i zwykáej opcji kupna (dla róĪnych typów opcji)
WartoĞü wspóáczynnika vega
Rodzaj opcji
silnie-nie-w-cenie
nie-w-cenie
po-cenie
w-cenie
silnie-w-cenie
Zwykáa opcja kupna
0,6111
0,7822
0,806
0,7676
0,6919
Opcja kupna o odwrotnie
uwarunkowanej premii
0,8756
1,4209
1,505
1,301
–0,2167
ħródáo: opracowanie wáasne.
Z analizy ksztaátowania siĊ wartoĞci wspóáczynnika vega wynikają nastĊpujące
wnioski:
• jeĞli opcja jest typu nie-w-cenie, po-cenie, w-cenie, to wartoĞü wspóáczynnika
vega opcji kupna o odwrotnie uwarunkowanej premii jest wyĪsza od wartoĞci
wspóáczynnika vega zwykáej opcji kupna,
• najwiĊksza wartoĞü wspóáczynnika vega opcji o odwrotnie uwarunkowanej
premii wystĊpuje w przypadku, kiedy opcja jest typu po-cenie,
• jeĞli opcja o odwrotnie uwarunkowanej premii jest silnie-w-cenie, to wspóáczynnik vega opcji jest ujemny; oznacza to, Īe wzrost zmiennoĞci wpáywa
wówczas na spadek ceny opcji.
Kolejną miarą wraĪliwoĞci ceny opcji jest wspóáczynnik theta, który okreĞla
zmianĊ wartoĞci opcji, gdy dáugoĞü okresu do terminu wygaĞniĊcia spadnie o jednostkĊ. Na rysunku 7 przedstawiono ksztaátowanie siĊ wartoĞci wspóáczynnika
theta analizowanej opcji kupna o odwrotnie uwarunkowanej premii oraz zwykáej
opcji kupna. W tabeli 3 przedstawiono wartoĞci wspóáczynnika theta opcji kupna
o odwrotnie uwarunkowanej premii typu silnie-nie-w-cenie, nie-w-cenie, po-cenie,
w-cenie, silnie-w-cenie9.
Tabela 3. WartoĞü wspóáczynnika theta opcji kupna o odwrotnie uwarunkowanej premii
i zwykáej opcji kupna (dla róĪnych typów opcji)
WartoĞü wspóáczynnika theta
Rodzaj opcji
silnie-nie-w-cenie
nie-w-cenie
po-cenie
w-cenie
silnie-w-cenie
Zwykáa opcja kupna
–0,1051
–0,1397
–0,1723
–0,164
–0,153
Opcja kupna o odwrotnie
uwarunkowanej premii
–0,1446
–0,2344
–0,3947
–0,183
0,5168
ħródáo: opracowanie wáasne.
9
Cena wykonania wynosi 4,08 PLN, czas wygaĞniĊcia – 4 miesiące.
OPCJE O ODWROTNIE UWARUNKOWANEJ PREMII
125
data
01.04 08.04 15.04 22.04 02.05 11.05 18.05 25.05 01.06 08.06 15.06 22.06 30.06
0
−0,05
theta
−0,1
−0,15
−0,2
−0,25
−0,3
−0,35
opcja o odwrotnie uwarunkowanej premii
opcja zwykła
Rysunek 7. Ksztaátowanie siĊ wartoĞci wspóáczynnika theta opcji kupna
o odwrotnie uwarunkowanej premii i zwykáej opcji kupna
ħródáo: opracowanie wáasne.
Z analizy ksztaátowania siĊ wartoĞci wspóáczynnika theta wynikają nastĊpujące
wnioski:
• jeĞli opcja jest typu silnie-nie-w-cenie, nie-w-cenie, po-cenie, w-cenie, to wartoĞü wspóáczynnika theta opcji kupna o odwrotnie uwarunkowanej premii jest
niĪsza od wartoĞci wspóáczynnika theta zwykáej opcji kupna,
• najmniejsza wartoĞü wspóáczynnika theta opcji o odwrotnie uwarunkowanej
premii wystĊpuje w przypadku, kiedy opcja jest typu po-cenie,
• jeĞli opcja o odwrotnie uwarunkowanej premii jest silnie-w-cenie, to wspóáczynnik theta opcji jest dodatni. W tym przypadku krótszy termin wygaĞniĊcia
wpáywa na wzrost ceny opcji.
3. WáasnoĞci opcji sprzedaĪy o odwrotnie uwarunkowanej premii
– analiza empiryczna
RozwaĪania dotyczą wpáywu ceny instrumentu bazowego, ceny wykonania,
zmiennoĞci i czasu wygaĞniĊcia na ksztaátowanie siĊ ceny opcji sprzedaĪy o odwrotnie
uwarunkowanej premii. Na rysunku 8 przedstawiono ksztaátowanie siĊ ceny opcji
sprzedaĪy o odwrotnie uwarunkowanej premii i zwykáej opcji sprzedaĪy z ceną wykonania 3,875 PLN. Termin wygaĞniĊcia rozpatrywanych opcji wynosi 4 miesiące.
Symulacja wyceny zostaáa przeprowadzona dla okresu 01.04. 2011–30.06.2011 r. Opcje
wystawione są na EUR/PLN. W rozpatrywanym okresie opcje byáy typu nie-w-cenie,
a w okresie 01.04.2011–07.04.2011 r. oraz 21.06.2011–30.06.2011 r. silnie-nie-w-cenie.
EWA DZIAWGO
126
Na rysunku 9 przedstawiono wpáyw bieĪącej ceny instrumentu bazowego na ksztaátowanie siĊ ceny analizowanej opcji sprzedaĪy o odwrotnie uwarunkowanej premii
oraz zwykáej opcji sprzedaĪy. W tabeli 4 zaprezentowano wpáyw czasu wygaĞniĊcia na cenĊ opcji sprzedaĪy o odwrotnie uwarunkowanej premii. Analiza zostaáa
przeprowadzona dla opcji typu silnie-nie-w-cenie, nie-w-cenie, po-cenie, w-cenie,
silnie-w-cenie10.
Tabela 4. Wpáyw terminu wygaĞniĊcia na cenĊ opcji sprzedaĪy o odwrotnie uwarunkowanej premii
Cena opcji (PLN)
Czas wygaĞniĊcia
(miesiące)
silnie-nie-w-cenie
nie-w-cenie
po-cenie
w-cenie
silnie-w-cenie
3
0,0252
0,0548
0,0978
0,1544
0,2615
1
0,0028
0,0169
0,0539
0,1259
0,3422
ħródáo: opracowanie wáasne.
0,09
0,08
cena (PLN)
0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
0
01.04 08.04 15.04 22.04 02.05 11.05 18.05 25.05 01.06 08.06 15.06 22.06 30.06
data
opcja o odwrotnie uwarunkowanej premii
opcja zwykła
Rysunek 8. Ksztaátowanie siĊ ceny opcji sprzedaĪy o odwrotnie uwarunkowanej
premii i zwykáej opcji sprzedaĪy
ħródáo: opracowanie wáasne.
10
Cena wykonania analizowanych opcji wynosi 3,875 PLN.
OPCJE O ODWROTNIE UWARUNKOWANEJ PREMII
127
0,4
cena opcji (PLN)
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
3,78
3,8
3,82 3,84
3,86 3,88
3,9
3,92 3,94
3,96 3,98
4
4,02
cena instrumentu bazowego (PLN)
opcja o odwrotnie uwarunkowanej premii
opcja zwykła
Rysunek 9. Wpáyw ceny instrumentu bazowego na cenĊ opcji sprzedaĪy
o odwrotnie uwarunkowanej premii oraz na cenĊ zwykáej opcji sprzedaĪy
ħródáo: opracowanie wáasne.
Z analizy ksztaátowania siĊ cen wynikają nastĊpujące wáasnoĞci opcji sprzedaĪy
o odwrotnie uwarunkowanej premii:
• opcja o odwrotnie uwarunkowanej premii jest droĪsza od zwykáej opcji
sprzedaĪy,
• w porównaniu ze zwykáą opcją cena opcji o odwrotnie uwarunkowanej premii
ulega wiĊkszym wahaniom,
• wzrost/spadek ceny instrumentu bazowego wpáywa na spadek/wzrost ceny
opcji o odwrotnie uwarunkowanej premii zwykáej oraz zwykáej opcji,
• w przypadku, kiedy opcja jest silnie-nie-w-cenie, cena opcji o odwrotnie uwarunkowanej premii jest nieznacznie wyĪsza od ceny zwykáej opcji,
• zbliĪanie siĊ ceny instrumentu bazowego do ceny wykonania wpáywa na
znaczny wzrost ceny opcji o odwrotnie uwarunkowanej premii,
• jeĞli cena instrumentu bazowego jest niĪsza od ceny wykonania, to opcja
o odwrotnie uwarunkowanej premii jest znacznie droĪsza od opcji zwykáej,
• krótszy termin wygaĞniĊcia wpáywa na:
– spadek ceny opcji typu silnie-nie-w-cenie, nie-w-cenie, po-cenie oraz w-cenie,
– wzrost ceny opcji typu silnie-w-cenie.
Z analizy ksztaátowania siĊ cen dwóch opcji sprzedaĪy o odwrotnie uwarunkowanej premii róĪniących siĊ ceną wykonania (przedstawionych na rysunku 10) wynika,
Īe wzrost/spadek ceny wykonania wpáywa na wzrost/spadek ceny opcji sprzedaĪy
o odwrotnie uwarunkowanej premii11.
11
Cena wykonania jednej opcji wynosi 3,875 PLN (opcja 1). Cena wykonania rozpatrywanej drugiej
opcji to 3,95 PLN (opcja 2).
EWA DZIAWGO
128
0,18
cena opcji (PLN)
0,16
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
01.04 08.04 15.04 22.04 02.05 11.05 18.05 25.05 01.06 08.06 15.06 22.06 30.06
data
opcja 1
opcja 2
Rysunek 10. Wpáyw ceny wykonania na cenĊ opcji sprzedaĪy o odwrotnie uwarunkowanej premii
ħródáo: opracowanie wáasne.
Rysunek 11 jest ilustracją ksztaátowania siĊ wspóáczynnika delta analizowanej
zwykáej opcji sprzedaĪy oraz opcji sprzedaĪy o odwrotnie uwarunkowanej premii
(z ceną wykonania 3,875 PLN). Natomiast rysunek 12 przedstawia ksztaátowanie siĊ
wartoĞci wspóáczynnika gamma rozpatrywanej zwykáej opcji sprzedaĪy oraz opcji
sprzedaĪy o odwrotnie uwarunkowanej premii.
data
01.04 08.04 15.04 22.04 02.05 11.05 18.05 25.05 01.06 08.06 15.06 22.06 30.06
0
–0,1
delta
–0,2
–0,3
–0,4
–0,5
–0,6
–0,7
opcja o odwrotnie uwarunkowanej premii
opcja zwykła
Rysunek 11. Ksztaátowanie siĊ wartoĞci wspóáczynnika delta opcji sprzedaĪy
o odwrotnie uwarunkowanej premii i zwykáej opcji sprzedaĪy
ħródáo: opracowanie wáasne.
gamma
OPCJE O ODWROTNIE UWARUNKOWANEJ PREMII
129
0,1
0,09
0,08
0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
0
01.04 08.04 15.04 22.04 02.05 11.05 18.05 25.05 01.06 08.06 15.06 22.06 30.06
data
opcja o odwrotnie uwarunkowanej premii
opcja zwykła
Rysunek 12. Ksztaátowanie siĊ wartoĞci wspóáczynnika gamma opcji sprzedaĪy
o odwrotnie uwarunkowanej premii i zwykáej opcji sprzedaĪy
ħródáo: opracowanie wáasne.
Z analizy ksztaátowania siĊ wartoĞci wspóáczynnika delta i gamma opcji sprzedaĪy
o odwrotnie uwarunkowanej premii wynikają nastĊpujące wnioski:
• jeĞli opcja jest typu silnie-nie-w-cenie, to wartoĞü wspóáczynnika delta opcji
o odwrotnie uwarunkowanej premii jest wyĪsza od wartoĞci wspóáczynnika
delta zwykáej opcji sprzedaĪy,
• wartoĞü wspóáczynnika delta opcji o odwrotnie uwarunkowanej premii typu
w-cenie, po-cenie, nie-w-cenie jest niĪsza od wartoĞci wspóáczynnika delta
opcji zwykáej,
• wzrost/spadek ceny instrumentu bazowego wpáywa na wzrost/spadek wartoĞci
wspóáczynnika delta opcji o odwrotnie uwarunkowanej premii i zwykáej opcji,
• w porównaniu ze zwykáą opcją wartoĞci wspóáczynnika delta opcji o odwrotnie
uwarunkowanej premii ulegają znaczniejszym wahaniom,
• wartoĞci wspóáczynnika gamma opcji o odwrotnie uwarunkowanej premii są
wyĪsze od wartoĞci wspóáczynnika gamma opcji zwykáej,
• znaczne wahania wartoĞci wspóáczynnika gamma wystĊpują w przypadku
opcji o odwrotnie uwarunkowanej premii.
Na rysunku 13 przedstawiono ksztaátowanie siĊ wartoĞci wspóáczynnika vega
opcji sprzedaĪy o odwrotnie uwarunkowanej premii oraz zwykáej opcji sprzedaĪy.
W tabeli 5 zaprezentowano wartoĞci wspóáczynnika vega dla róĪnych typów opcji
sprzedaĪy o odwrotnie uwarunkowanej premii (z ceną wykonania 3,875 PLN). Analiza zostaáa przeprowadzona dla opcji typu silnie-nie-w-cenie, nie-w-cenie, po-cenie,
w-cenie, silnie-w-cenie.
EWA DZIAWGO
130
1,4
1,2
vega
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
01.04 08.04 15.04 22.04 02.05 11.05 18.05 25.05 01.06 08.06 15.06 22.06 30.06
data
opcja o odwrotnie uwarunkowanej premii
opcja zwykła
Rysunek 13. Ksztaátowanie siĊ wartoĞci wspóáczynnika vega opcji sprzedaĪy
o odwrotnie uwarunkowanej premii i zwykáej opcji sprzedaĪy
ħródáo: opracowanie wáasne.
Tabela 5. WartoĞü wspóáczynnika vega opcji sprzedaĪy o odwrotnie uwarunkowanej premii
i zwykáej opcji sprzedaĪy (dla róĪnych typów opcji)
WartoĞü wspóáczynnika vega
Rodzaj opcji
silnie-nie-w-cenie
nie-w-cenie
po-cenie
w-cenie
silnie-w-cenie
Zwykáa opcja kupna
0,5317
0,7181
0,7695
0,7453
0,6767
Opcja kupna o odwrotnie
uwarunkowanej premii
0,7267
1,2655
1,5756
1,3511
–0,0275
ħródáo: opracowanie wáasne.
Wspóáczynnik vega opcji o odwrotnie uwarunkowanej premii charakteryzuje siĊ
nastĊpującymi wáasnoĞciami:
• jeĞli opcja jest typu nie-w-cenie, po-cenie, w-cenie, to wartoĞü wspóáczynnika vega opcji sprzedaĪy o odwrotnie uwarunkowanej premii jest wyĪsza od
wartoĞci wspóáczynnika vega zwykáej opcji sprzedaĪy,
• najwyĪsza wartoĞü wspóáczynnika vega opcji o odwrotnie uwarunkowanej
premii wystĊpuje w przypadku, kiedy opcja jest typu po-cenie,
• w przypadku, kiedy opcja o odwrotnie uwarunkowanej premii jest silnie-w-cenie, to wspóáczynnik vega opcji jest ujemny. Wówczas wzrost zmiennoĞci
ceny instrumentu bazowego wpáywa na spadek ceny opcji.
Rysunek 14 ilustruje ksztaátowanie siĊ wartoĞci wspóáczynnika theta opcji sprzedaĪy o odwrotnie uwarunkowanej premii oraz zwykáej opcji sprzedaĪy. W tabeli 6
przedstawiono wartoĞci wspóáczynnika theta opcji sprzedaĪy o odwrotnie uwarunko-
OPCJE O ODWROTNIE UWARUNKOWANEJ PREMII
131
wanej premii typu silnie-nie-w-cenie, nie-w-cenie, po-cenie, w-cenie, silnie-w-cenie.
Cena wykonania rozpatrywanych opcji wynosi 3,875 PLN.
data
01.04 08.04 15.04 22.04 02.05 11.05 18.05 25.05 01.06 08.06 15.06 22.06 30.06
0
theta
-0,05
-0,1
-0,15
-0,2
opcja o odwrotnie uwarunkowanej premii
opcja zwykła
Rysunek 14. Ksztaátowanie siĊ wartoĞci wspóáczynnika theta opcji sprzedaĪy
o odwrotnie uwarunkowanej premii i zwykáej opcji sprzedaĪy
ħródáo: opracowanie wáasne.
Tabela 6. WartoĞü wspóáczynnika theta opcji sprzedaĪy o odwrotnie uwarunkowanej
premii i zwykáej opcji sprzedaĪy (dla róĪnych typów opcji)
WartoĞü wspóáczynnika theta
Rodzaj opcji
silnie-nie-w-cenie
nie-w-cenie
po-cenie
w-cenie
silnie-w-cenie
Zwykáa opcja kupna
–0,0662
–0,0888
–0,0913
–0,0774
–0,0588
Opcja kupna o odwrotnie
uwarunkowanej premii
–0,0858
–0,1425
–0,1569
–0,1142
0,3528
ħródáo: opracowanie wáasne.
Z analizy ksztaátowania siĊ wartoĞci wspóáczynnika theta wynikają nastĊpujące
wnioski:
• jeĞli opcja jest typu nie-w-cenie, po-cenie, w-cenie, to wartoĞü wspóáczynnika theta opcji sprzedaĪy o odwrotnie uwarunkowanej premii jest niĪsza od
wartoĞci wspóáczynnika theta zwykáej opcji sprzedaĪy,
• najniĪsza wartoĞü wspóáczynnika theta opcji o odwrotnie uwarunkowanej
premii wystĊpuje w przypadku, kiedy opcja jest typu po-cenie,
• jeĞli opcja o odwrotnie uwarunkowanej premii jest silnie-w-cenie, to wspóáczynnik theta opcji jest dodatni. W tej sytuacji krótszy termin wygaĞniĊcia
wpáywa na wzrost ceny opcji.
132
EWA DZIAWGO
ZakoĔczenie
Opcja o odwrotnie uwarunkowanej premii jest droĪsza od zwykáej opcji. JeĞli
w dniu wygaĞniĊcia opcja jest typu w-cenie lub po-cenie, to nabywca opcji nie páaci
premii i opcja o odwrotnie uwarunkowanej premii generuje wiĊkszy zysk. JeĪeli
w dniu wygaĞniĊcia opcja jest nie-w-cenie, wystawca opcji o odwrotnie uwarunkowanej premii otrzymuje wyĪszy zysk niĪ w przypadku analogicznej opcji standardowej.
W porównaniu ze zwykáą opcją cena opcji o odwrotnie uwarunkowanej premii jest
bardziej wraĪliwa na zmianĊ ceny instrumentu bazowego, czasu wygaĞniĊcia oraz
zmiennoĞci ceny instrumentu bazowego. Cena opcji o odwrotnie uwarunkowanej
premii ulega znaczniejszym wahaniom. Dlatego opcja o odwrotnie uwarunkowanej
premii stanowi atrakcyjny instrument transakcji spekulacyjnych. Opcja o odwrotnie
uwarunkowanej premii jest szczególnym instrumentem finansowym dla inwestorów,
którzy nie mają wątpliwoĞci związanych z ksztaátowaniem siĊ ceny instrumentu
bazowego w przyszáoĞci.
Bibliografia
1. Dziawgo E., Modele kontraktów opcyjnych, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Mikoáaja
Kopernika, ToruĔ 2003.
2. Flavell R., Swaps and Other Instruments, Wiley, Chichester 2002.
3. Hull J.C., Options, Futures and Other Derivatives, Prentice Hall International, Inc. 2002.
4. Jajuga K., Zarządzanie ryzykiem, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2007.
5. Napiórkowski A., Charakterystyka, wycena i zastosowanie wybranych opcji egzotycznych, Narodowy Bank Polski, Warszawa 2002.
6. Stultz R.M., Risk Management and Derivatives, Southwestern 2003.
7. TarczyĔski W., Instrumenty pochodne na rynku kapitaáowym, PWE, Warszawa 2003.
Reverse pay-later options
Reverse pay-later option are singular pay-off options. The article presents the issues connected with
reverse pay-later options: characteristics of instruments, the pay-off function, the influence of selected
factors (the price of the underlying instrument, the option’s strike price, the option’s time to maturity,
the volatility of underlying instrument prices) on the price of those options. The empirical illustrations
included in the article are concerned with the pricing simulations of the currency options on EUR/PLN.