Spektroskopia magnetyczna Literatura • Zbigniew Kęcki, Podstawy spektroskopii molekularnej, PWN Wwa 1992 lub nowsze wydanie Przypomnienie 1) Mechanika ruchu obrotowego - moment bezwładności, moment pędu, moment siły, II zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego, zjawisko precesji 2) Liczby kwantowe (główna, poboczna/orbitalna, magnetyczna, spinowa, spinowa magnetyczna) 3) Pole magnetyczne Plan wykładu 1) Liczby kwantowe 2) Wektorowy model atomu wieloelektronowego 3) Stany elektronowe w cząsteczkach 4) Moment magnetyczny elektronu 5) Moment pędu i moment magnetyczny jąder 6) Rezonans magnetyczny Spektroskopia optyczna a spektroskopia magnetyczna Spektroskopia optyczna oddziaływanie cząsteczek ze światłem; cząsteczki są zawsze gotowe do absorpcji kwantów promieniowania elektromagnetycznego z zakresu ~widzialnego. Spektroskopia magnetyczna oddziaływanie cząsteczek z promieniowaniem elektromagnetycznym o znacznie mniejszych częstotliwościach (i energiach kwantów) niŜ w przypadku swiatła; cząsteczki trzeba przygotować do absorpcji kwantów promieniowania elektromagnetycznego z zakresu mikrofal i fal radiowych. ∆E ∆E Stany elektronowe Energia stanów elektronowych jest zaleŜna przede wszystkim od głównej liczby kwantowej n (n = 1, 2, 3,...) Przypomnienie: Dla atomu wodoru lub wodoropodobnego (1 elektron + jądro o ładunku Ze) - En = -16π2Z2mre4/n2h2 Ale w niewielkim stopniu zaleŜy równieŜ od pozostałych liczb kwantowych Przypomnienie: Funkcja falowa atomu wodoru lub wodoropodobnego zaleŜy równieŜ od pozostałych liczb kwantowych: ψnlm = Rnl(r) Ylm(θ, φ) a Ŝeby wyznaczyć energię korzystamy z równania Schroedingera: ~ ψ (x) = Eψ (x) H nlm nlm Orbitalna liczba kwantowa l = 0, 1, 2, ..., n-1 L v poboczna (orbitalna) liczba kwantowa l = 0, 1, 2, 3, ... są tradycyjnie oznaczane s, p, d, f Orbitalna liczba kwantowa – bo jest związana „orbitalnym momentem pędu” L elektronu związanym z jego ruchem po „orbicie”. Choć pojęcia „orbita” i „orbitalny moment pędu” są sprzeczne z kwantowomechanicznym obrazem atomu to jednak „orbitalny moment pędu” jest realną, doświadczalnie mierzalną wielkością fizyczną. Orbitalny moment pędu L jest skwantowany i wynosi L = (l(l + 1))1/2ħ np. n=1 n=2 => => n=3 => l = 0 (s) l = 0 (s) l = 1 (p) l = 0 (s) l = 1 (p) l = 2 (d) => => => => => => L = (l(l + 1))1/2ħ = 0 L = (l(l + 1))1/2ħ = 0 L = (l(l + 1))1/2ħ = 21/2ħ L = (l(l + 1))1/2ħ = 0 L = (l(l + 1))1/2ħ = 21/2ħ L = (l(l + 1))1/2ħ = 61/2ħ Orbitalny moment pędu dla orbitali 1s, 2p i 3d w atomie wodoru L=0 Orientacja wektora L w przestrzeni jest przypadkowa; wartość L jednakowa dla wszystkich 5 orbitali d L = 21/2ħ L = 61/2ħ Magnetyczna liczba kwantowa Przy braku zewnętrznego pola magnetycznego orbitalne momenty pędu mają dowolną orientację. Zewnętrzne pole magnetyczne porządkuje orbitalne momenty pędu L elektronów. Dodatkowo: Kierunki orbitalnego momentu pędu względem zewnętrznego pola magnetycznego (kąty między tymi kierunkami) są skwantowane w taki sposób, Ŝe rzut L na kierunek pola przybiera wartości mlħ, gdzie ml jest magnetyczną liczbą kwantową. A więc rzut wektora L na kierunek zewnętrznego pola magnetycznego teŜ jest skwantowany! ml = -l, (-l + 1), (-l + 2), ..., 0 , ..., (l - 2), (l - 1), l Magnetyczna liczba kwantowa ml = -l, (-l + 1), (-l + 2), ..., 0 , ..., (l - 2), (l - 1), l Rzut orbitalnego momentu pędu elektronu na kierunek pola magnetycznego Orbitalny moment pędu elektronu, L np. n = 3 => l = 0 (s) => L=(l(l + 1))1/2ħ = 0 l = 1 (p) => L=(l(l + 1))1/2ħ = 21/2ħ => ml = -1, 0 lub 1 mlħ = -ħ, 0 lub ħ l = 2 (d) => L=(l(l + 1))1/2ħ = 61/2ħ => ml = -2, -1, 0, 1 lub 2 mlħ = -2ħ, -ħ, 0, ħ lub 2ħ => ml = 0 mlħ = 0 Przykład: B n=3 l = 2 (d) L=(l(l + 1))1/2ħ = 61/2ħ L 35o L 66o ml = -2, -1, 0, 1 lub 2 90o mlħ = -2ħ, -ħ, 0, ħ lub 2ħ cos α = mlħ/L α = 35o, 66o, 90o, ... L L L B L Precesja orbitalnego momentu pędu elektronu pod wpływem zewnętrznego pola magnetycznego i wokół jego kierunku 35o B Precesja orbitalnego momentu pędu elektronu pod wpływem zewnętrznego pola magnetycznego i wokół jego kierunku ml 2 1 0 -1 -2 ml n=3 l = 2 (d) 2 ml = -2, -1, 0, 1 lub 2 KaŜda z moŜliwych orientacji L ma określoną energię oddziaływania z zewnętrznym polem magnetycznym, a więc wskutek skwantowania orientacji równieŜ energie 1 elektronu (o określonych liczbach n i l) są 0skwantowane. n = 3, l = 2 -1 -2 ⇒5 ((2l +1)) poziomów energetycznych ⇒bez zewn. pola magnetycznego te poziomy mają jednakową energię (poziom l jest (2l +1)- krotnie zdegenerowany) ml Bez zewnętrznego pola magnetycznego orbital s nie jest zdegenerowany n=3 l = 2 (d) p – jest zdegenerowany 3-krotnie 2 d – jest zdegenerowany 5-krotnie 1 Itd. ml = -2, -1, 0, 1 lub 2 0 -1 -2 Kształty orbitali s, p i d w zewnętrznym polu Bez zewnętrznego pola momenty pędu elektronów nie są przestrzennie zorientowane; na kaŜdym poziomie o liczbie kwantowej l znajduje się 2(2l + 1) elektronów o takiej samej energii (choć na róŜnych orbitalach); zewnętrzne pole orientuje momenty pędu Spinowa liczba kwantowa Spinowa liczba kwantowa s - jest analogiczna do orbitalnej liczby kwantowej l, ale odnosi się do „ruchu obrotowego” elektronu wokół własnej osi a nie po „orbicie” wokół jądra - przyjmuje tylko jedną skwantowaną wartość (inaczej niŜ l) s = ½ - efektem jej skwantowania jest skwantowanie wektora momentu pędu elektronu (związanego z jego „obrotem” wokół własnej osi) zwanego spinem, który przyjmuje wartość S = (s(s + 1))1/2ħ - s=½ => S = (31/2/2)ħ Spinowa magnetyczna liczba kwantowa, ms - jest analogiczna do magnetycznej liczby kwantowej ml (kwantuje wartość rzutu wektora S na kierunek zewnętrznego pola magnetycznego), - przyjmuje dwie wartości, ms=-s i ms=s a więc ms=-½ i ms=½ , - więc rzut spinu S na kierunek zewnętrznego pola magnetycznego teŜ jest skwantowany i przyjmuje wartości msħ a więc -½ħ i ½ħ - spin precesuje wokół kierunku zewnętrznego pola magnetycznego podobnie jak wektor L 55o S = (s(s + 1))1/2ħ = (31/2/2)ħ msħ = ½ħ cos α = msħ/S =3-1/2 => α = 550 α 55o spin, S Wektorowy model atomu wieloelektronowego Zakaz Pauliego W danym atomie elektrony nie mogą mieć jednakowych wszystkich liczb kwantowych. Muszą się róŜnić przynajmniej jedną z nich: n, l, ml, s, ms. ⇒ n = 1, l = 0 (s), ml = 0, s = ½, ms = +½ lub -½ n = 2, l = 0 (s), => 2 elektrony 2 elektrony l = 1 (p), ml = -1, 0 lub 1 n = 3, l = 0 (s), +6 elektronów 2 elektrony l = 1 (p), ml = -1, 0 lub 1 l = 2 (d), ml = -2, -1, 0, 1 lub 2 +6 elektronów +10 elektronów W kolejnych atomach o rosnącej liczbie elektronów, powłoki są zajmowane przez kolejne elektrony wg schematu: Liczba 1s22s22p63s23p63d104s24p64d104f14... n l elektronów na danej podpowłoce l Momenty pędu elektronów w atomie dodają się wektorowo Wypadkowy wektor momentu pędu orbitalnego, L : L = ∑ Li Li – orbitalne momenty pędów poszczególnych elektronów. Wypadkowy wektor spinu, S: S = ∑ Si Si – spiny poszczególnych elektronów Całkowity moment pędu wszystkich elektronów atomu, J: J=L+S Suma orbitalnych momentów pędu elektronów (L) w atomie jest skwantowana Atom wieloelektronowy Atom 1-elektronowy ILI = (L(L + 1))1/2ħ ILI = (l(l + 1))1/2ħ L - orbitalna liczba kwantowa wszystkich elektronów w atomie L = 0, 1, 2, 3, 4, 5... S, P, D, F, G, H – termy elektronowe w atomie (określają orbitalny moment pędu wszystkich elektronów atomu) term elektronowy – stan elektronów w atomie l = 0, 1, 2, 3, n-1 s, p, d, f, g, h – orbitale atomowe (określają orbitalny moment pędu pojedynczego elektronu w atomie) orbital – stan pojedynczego elektronu w atomie Suma spinów elektronów (S) w atomie jest skwantowana Atom wieloelektronowy Atom 1-elektronowy ISI = (S(S + 1))1/2ħ ISI = (s(s + 1))1/2ħ S - spinowa liczba kwantowa wszystkich elektronów w atomie s - spinowa liczba kwantowa jednego elektronu w atomie S = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, ... s = 1/2 2S + 1 - multipletowość termu -term singletowy 2S + 1 = 1, S = 0 - wszystkie elektrony w atomie są sparowane -term dubletowy 2S + 1 = 2, S = ½ - jeden elektron w atomie jest niesparowany -term trypletowy 2S + 1 = 3, S = 1 - dwa elektrony w atomie są niesparowane Całkowity moment pędu (J) wszystkich elektronów w atomie jest skwantowany IJI = (J(J + 1)) 1/2ħ J - liczba kwantowa całkowitego momentu pędu wszystkich elektronów w atomie J = (L + S), (L + S - 1), (L + S - 2),... IL - SI L = 0, 1, 2, 3, 4, 5... S = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, ... => J = 0 lub J = n(½), gdzie n jest naturalną liczbą parzystą lub nieparzystą (J ≥ 0) W atomach kwantowanie dotyczy całkowitego momentu pędu J a nie oddzielnych momentów pędu (orbitalnych i spinowych poszczególnych elektronów)! Całkowite wektory L i S kwantują się niezaleŜnie tylko w bardzo silnym polu. Momenty pędu zamkniętych powłok elektronowych Dla zamkniętych powłok elektronowych (powłokę tworzą wszystkie elektrony o danej głównej liczbie kwantowej n) momenty pędu elektronów zerują się: L = 0, S = 0 i J = 0 => wystarczy sumować momenty pędu elektronów walencyjnych, aby wyznaczyć całkowity moment pędu J. Stany elektronowe w cząsteczkach Moment magnetyczny elektronu Spinowy moment pędu i moment magnetyczny elektronu związany ze spinem Wirowy ruch elektronu dookoła własnej osi nadaje mu: a) Moment pędu (obrotowy ruch masy), zwany spinem S = (s(s + 1))1/2ħ, s=½ b) Dipolowy moment magnetyczny (obrotowy ruch ładunku) mµ Obrotowy ruch elektronu moŜna przyrównać do prądu elektrycznego w kołowej pętli przewodnika 4. równanie Maxwella – przepływ prądu generuje wirowe pole magnetyczne: rot B = (4π/c)J + (ε/c) dE/dt mµ S Zwroty wektorów spinu S i momentu magnetycznego mµ elektronu są przeciwne Ile wynosi moment magnetyczny elektronu? Magneton Bohra, µB Magneton Bohra, µB, jest jednostką elektronowego momentu magnetycznego: µB = eħ/2me me – masa elektronu e – ładunek elektronu Moment magnetyczny związany ze spinem elektronu, µespin, jest równy: µespin = 2 (s(s + 1))1/2 µB = 31/2 µB s=½ Przypomnienie: S = (s(s + 1))1/2ħ, Sparowanie dwóch elektronów znosi zarówno ich spiny jak i ich momenty magnetyczne związane ze spinem. Niesparowany elektron odpowiada za trwały moment magnetyczny w cząsteczce! Orbitalny moment pędu i związany z nim moment magnetyczny elektronu Ruch elektronu dookoła jądra nadaje mu: a) Orbitalny moment pędu (ruch masy po orbicie), L = (l(l + 1))1/2ħ, l=0,1,... n-1 b) Dipolowy moment magnetyczny (ruch ładunku po orbicie) mµ Ruch elektronu po orbicie moŜna przyrównać do prądu elektrycznego w kołowej pętli przewodnika mµ e Zwroty wektorów orbitalnego momentu pędu L i związanego z nim momentu magnetycznego mµ elektronu są przeciwne L Orbitalny moment magnetyczny µeorb = (l(l + 1))1/2 µB Orbitalny moment magnetyczny µeorb moŜe nadać substancji cechy paramagnetyczności (która z reguły jest związana ze spinowym momentem magnetycznym µespin). Przypomnienie: L = (l(l + 1))1/2ħ Współczynnik magnetogiryczny, ge Stosunek magnetogiryczny γe ≡ stosunek momentu magnetycznego do momentu pędu elektronu. Dla momentów spinowych: γespin = µespin/S = 2µB/ħ = 2 e/2me = gespin e/2me µespin = 2 (s(s + 1))1/2 µB S = (s(s + 1))1/2ħ µB = eħ/2me gespin = 2 jednostka współczynnika magnetogirycznego Dla momentów orbitalnych: γeorb = µeorb/L = µB/ħ = 1 e/2me = georb e/2me georb = 1 µeorb = (l(l + 1))1/2 µB L = (l(l + 1))1/2ħ µB = eħ/2me ge – współczynnik magnetogiryczny (spinowy lub orbitalny) Diamagnetyki i paramagnetyki Cząsteczki, których wszystkie elektrony są sparowane (wszystkie spinowe i orbitalne momenty magnetyczne są skompensowane) nie wykazują trwałego momentu magnetycznego i są diamagnetyczne. Nieskompensowane spinowe i orbitalne momenty magnetyczne niesparowanych elektronów odpowiadają za paramagnetyczność cząsteczki. SprzęŜenie LS, wzór Landego Jeśli cząsteczka ma kilka niesparowanych elektronów to ich momenty pędu (orbitalne i spinowe) sumują się wektorowo: J = L + S. Podobnie sumują się ich momenty magnetyczne. Wektory L i S nie są niezaleŜne – występuje sprzęŜenie LS. Wówczas współczynnik magnetogiryczny g jest określony wzorem Landego: J(J+1) + S(S+1) – L(L+1)] g=1+ 2J(J+1) gdzie J, S, L są liczbami kwantowymi całkowitą, spinową i orbitalną. Graniczne wartości g: L = 0, L = 0 => J = S, g=2 S = 0, S = 0 => J = L, g=1 Przypadki pośrednie: 1≤g≤2 Oddziaływanie cząstki paramagnetycznej z otoczeniem i oddziaływania wewnątrzmolekularne -mogą powodować 1) odchylenie wartości g poza granice 1 ≤ g ≤ 2 2) ograniczenie lub zablokowanie ruchu orbitalnego (=> zniesienie sprzęŜenia LS) g = 2 (tylko spinowy moment pędu) Energia Em oddziaływania trwałego momentu magnetycznego elektronu z zewnętrznym polem magnetycznym B0 MJ = + ½ stan dubletowy E1 = -½gµBB0 55o (½(½ + 1))1/2 55o E2 = MJ = -½ J = (½(½ + 1))1/2ħ Em = MJgµBB0 B0 - indukcja magnetyczna zewnętrznego pola magnetycznego MJ – całkowita magnetyczna liczba kwantowa, MJ = J, J-1, J-2, ... –J , kwantująca rzut wektora J na kierunek B0 W układach ciekłych i gazowych najczęściej J = S (i J = S) bo L = 0, MJ = J, J-1, J-2, ... –J = +½ i -½ (w cząsteczce jest jeden niesparowany +½gµBB0 elektron), g = 2 ∆E = E2 – E1 = gµBB0 ...energia Em oddziaływania dla J > 1/2 B0 MJ = + 1 stan tripletowy E1 = -gµBB0 (1(1 + 1))1/2 MJ = 0 E2 = 0 MJ = -1 E3 = +gµBB0 J=1 W układach ciekłych i gazowych najczęściej J = S (i J = S) bo L = 0, MJ = J, J-1, J-2, ... –J = -1, 0 i 1 (w cząsteczce są 2 niesparowane elektrony) g=2 Em = MJgµBB0 ∆E = E3- E2 = E2- E1 = gµBB0 J = (1(1 + 1))1/2ħ Bez zewnętrznego pola magnetycznego momenty magnetyczne są zorientowane bezładnie => energia ich oddziaływania z polem jest zerowa. W polu magnetycznym zerowa energia momentów magnetycznych rozszczepia się na 2J + 1 równoodległych poziomów, ∆E = gµBB0 zjawisko Zeemana (g – współczynnik rozszczepienia spektroskopowego) Moment pędu i moment magnetyczny jąder Moment pędu protonu, I - czyli spin protonu (analogicznie do spinu elektronu) jest związany z wirowaniem protonu dookoła własnej osi i wynosi: I = (I(I+1))1/2ħ I = ½ - kwantowa liczba spinowa protonu = (31/2/2)ħ => spin protonu ma taką samą wartość jak spin elektronu (choć masy są bardzo róŜne!): S = (s(s + 1))1/2ħ, s = ½ Moment magnetyczny protonu -jest związany z „wirowaniem” ładunku (spinem protonu), -ma zwrot zgodny ze zwrotem momentu pędu protonu (dodatni ładunek!), -jego jednostką jest magneton jądrowy, µN : µN = eħ/2mp µN = µB/1836 µB = eħ/2me bo mp = 1836me Moment magnetyczny neutronu Neutron ma spin o kwantowej liczbie spinowej I = ½ Neutron, choć nie ma ładunku, ma takŜe moment magnetyczny o wartości -1,913 µN (o przeciwnym znaku do spinu). Momenty magnetyczne protonów i neutronów w jądrze dodają się wektorowo => wypadkowy moment magnetyczny jąder parzysto-parzystych (o parzystej liczbie protonów i neutronów) wynosi zero. Oddziaływanie spinu jądra z zewnętrznym polem magnetycznym γN = moment magnetyczny jądra moment pędu jądra jądrowy stosunek magnetogiryczny = gN (e/2mp) jądrowy współczynnik magnetogiryczny gN = 5.59 – proton gN =0.40 – jądro 14N jednostka jądrowego współczynnika magnetogirycznego Przypomnienie: dla elektronu γe = µe/L = ge e/2me ge = 1(orb) ... 2(spin) γN i gN – określają z jaką siłą jądrowy moment magnetyczny oddziałuje z zewnętrznym polem magnetycznym: MI – magnetyczna liczba kwantowa kwantująca Em = MIgN µNB0 przestrzennie spin jądra; rzut spinu na kierunek pola wynosi MIħ, MI = I, I-1, ..., -I Zewnętrzne pole magnetyczne rozszczepia energie spinów na 2I + 1 poziomów odległych od siebie o ∆E = gNµNB0 To rozszczepienie jest ~103 mniejsze niŜ w zjawisku Zeemana (µN << µB) Rezonans magnetyczny Jądrowy Elektronowy Em = MJgµBB0 Em = MIgN µNB0 ∆E = gµBB0 ∆E = gNµNB0 Promieniowanie elektromagnetyczne o częstotliwości ν dopasowanej do przerw energetycznych pomiędzy sąsiednimi poziomami energii oddziaływania spinów z polem magnetycznym jest absorbowane: hν = gµBB0 warunki rezonansu hν = gNµNB0 ν i B0 muszą być wzajemnie dopasowane, bo ∆E zaleŜy od B0; dla B0 = 1 T: ν ≈ 30 GHz, λ ≈ 1 cm ν ≈ 10 MHz, λ ≈ 30 m Niesparowane elektrony pochłaniają mikrofale Jądra pochłaniają promieniowanie radiowe Rezonans magnetyczny – c.d. Reguły wyboru absorpcji spinowej – przejście absorpcyjne moŜe zajść tylko pomiędzy sąsiednimi poziomami: hν = ∆E Em ∆J = 1 dla elektronów ∆I = 1 dla jąder I=1 I = 3/2 hν = gNµNB0 hν = gNµNB0 hν = gNµNB0 0 hν = gNµNB0 hν = gNµNB0 Obsadzenia spinowych poziomów energetycznych Stosunek obsadzeń sąsiednich poziomów spinowych (wyŜszego, nw, do niŜszego, nn, B0 = 1 tesla, T = 300 K) a) Dla niesparowanego elektronu: nw/nn = exp(-∆E/kT) = exp(- gµBB0/kT) = 0,99551 b) Dla protonu nw/nn = exp(-∆E/kT) = exp(- gNµNB0/kT) = 0,9999932 ⇒stany o wyŜszych energiach prawie tak samo obsadzone jak te o niŜszych energiach ⇒aparatura musi być bardzo czuła (po osiagnięciu wartości nw/nn = 1, absorpcja ustaje, bo emisja wymuszona równowaŜy absorpcję) ⇒zwiększenie czułości przez zwiększanie B0 lub obniŜanie temperatury