PRAWA ZACHOWANIA

PRAWA ZACHOWANIA
Prawa zachowania – najbardziej fundamentalne prawa:
o ”zewnętrzne”: prawo zachowania pędu, prawo zachowania momentu pędu, prawo
zachowania energii;
o ”wewnętrzne”: prawa zachowania np. całkowitej liczby nukleonów w reakcji
jądrowej, zachowanie liczby leptonowej, barionowej
Zachowanie pędu
Pojęciem nierozłącznie związanym z pojęciem siły jest pojęcie masy bezwładnej
(inercjalnej). Masa bezwładna jest miarą oporu jaki stawia przyśpieszane ciało.
Pęd cząstki:
r
r
p = mv
Równanie to można zapisać w postaci:
r
r
r r
p = i mv x + j mv y + kmv z
z
vA
Całkowity pęd izolowanego układu cząstek
pozostaje stały.
mA
rB
rA
O
r
r
mAv A + mBv B = const
mB
Dla układu złożonego z wielu cząstek mamy:
vB
y
x
Zasada zachowania pędu dla
dwóchrizolowanych
cząstek
r
m Av A + mBv B = const
N
r
r
r
r
mAv A + mBv B + L + mNv N = ∑ mi v i = const
i =1
http://oen.dydaktyka.agh.edu.pl/dydaktyka/fizyka/a_fizyka/04_pracaienergia/sld021.htm
http://oen.dydaktyka.agh.edu.pl/dydaktyka/fizyka/a_fizyka/04_pracaienergia/sld022.htm
http://oen.dydaktyka.agh.edu.pl/dydaktyka/fizyka/a_fizyka/04_pracaienergia/sld023.htm
Zderzenie sprężyste niecentralne
Całkowity pęd
r
r
r
r
p1pocz + p2 pocz = p1koń + p2koń
i energia
E1pocz + E2 pocz = E1koń + E2koń
muszą być zachowane.
Dla składowych pędu mamy równania
m1v1pocz = m1v1koń cos θ1 + m2v 2koń cos θ 2
0 = −m1v 1koń sin θ1 + m2v 2koń sin θ 2
zaś dla energii
1
1
1
2
2
m1v1pocz = m1v1koń + m2v 22koń
2
2
2
Zachowanie momentu pędu
r
Moment pędu (kręt) cząstki o pędzie p i znajdującej się w punkcie określonym wektorem
r
wodzącym r jest zdefiniowanym wzorem:
r r
r r r
L = r × mv = r × p
Wektor momentu pędu możemy wyrazić za pomocą wektorów jednostkowych i składowych
pędu, jako
r
L=
r
i
x
r
j
y
r
k
z
px
py
pz
r
r
r
= i (ypz − zpy ) + j (zpx − xpz ) + k (xpy − ypx )
Siła jest przyczyną ruchu postępowego.
r
Moment siły (inaczej moment obrotowy), zwykle oznaczany symbolem T , jest przyczyną
ruchu obrotowego.
(a)
(b)
z
z
p
F
m
m
r
k
i
x
L
j
r
y
T
O
x
r
(a) Cząstka o masie m i pędzie p w kierunku –y będzie miała moment pędu
y
r r r
L = r × p.
r
(b) Cząstka o masie m, na którą działa siła
r Fr (wr płaszczyźnie yz) ma moment
obrotowy względem początku układu równy T = r × F
Moment siły
r r r
T = r×F
Różniczkując moment pędu względem czasu
r
r
r r d
r
dL d r
=
× mv + r × (mv)
dt dt
dt
r
r
r
r
r
r
Ponieważ dr dt = v, (dr dt ) × mv = 0 oraz F = (d dt )(m v ), więc
r
dL r r r
= r ×F =T
dt
r
Pochodna momentu pędu względem czasu t jest równa momentowi siły T
działającemu na tę cząstkę.
Ruch planet
o
o
Siły przyciągania
grawitacyjnego skierowane
promienia toru ciała
r r wzdłuż
r
r
r
r i F są zgodnie skierowane, więc T = r × F = 0 i z wyrażenia (2.10) otrzymujemy,
r
że moment pędu L = const
Dla układu wielu ciał i sił
r n r d⎛n r⎞
T = ∑Ti = ⎜ ∑ Li ⎟
dt ⎝ i =1 ⎠
i =1
Wypadkowy moment siły układu izolowanego jest zerowy (momenty sił pochodzące od
sił wewnętrznych działających pomiędzy dowolną parą cząstek, znoszą się wzajemnie)
d
dt
i dlatego
( )
r
∑L = 0
r
∑ L = const
Jest to prawo zachowania momentu pędu: jeżeli wypadkowy moment sił zewnętrznych
działających na układ jest równy zeru, to całkowity moment pędu tego układu jest
stały.
Obracający się dysk
Rozważmy ciało stałe obracające się z prędkością kątową ω wokół przytwierdzonej osi
przechodzącej przez środek masy ciała. Jeżeli element masy Δ m j położony jest w
odległości rj od osi obrotu, to jego prędkość vj = rjω, a moment pędu ciała jest sumą
(
)
L = ∑ r j Δm j v j = ∑ r j Δm j (r j ω ) = ∑ r j2 Δm j ω
L
Wielkość w nawiasie nazywamy
momentem bezwładności
I = ∑ r j2 Δm j
vj
Δm j
Obracający się dysk
W przypadku ciągłego rozkładu masy
I = ∫ r 2 dm
Zatem:
L = Iω
Ponieważ T = dL/dt, możemy napisać:
dω
T =I
= Iα
dt
gdzie α oznacza przyśpieszenie kątowe.
W układzie środka masy energia kinetyczna
K=
Tak więc
czyli
1
1
1
2
2
(
)
Δ
m
v
=
Δ
m
r
ω
=
∑
∑
j j
j j
2
2
2
1 2
K = Iω
2
1 L2
1 (Iω )
=
K=
2 I
2 I
2
(∑ Δm r )ω
2
j j
2
Zachowanie energii
a)
b)
z
z
vA
A
O
dr
α
r
C
F
A
B
dr
r
Fc
α
B
vB
O
y
x
y
x
D
r
r
(a) Praca wykonana przez siłę F przy przesunięciu cząstki na odległość dr jest
B r
r
r r
r
równa dW = F ⋅ dr . (b) W przypadku siły zachowawczej Fc praca W AB = ∫ Fc ⋅ dr jest
A
niezależna od toru łączącego punkty A i B
Różniczkowa praca siły F jest zdefiniowana jako:
r r
dW = F ⋅ dr
Całkowita praca siły F wzdłuż toru AB
r r B
= ∫ F ⋅ dr = ∫ Fcosα dr
B
W AB
Jeżeli
r
F
A
A
jest wypadkową wszystkich sił działających na cząstkę, to
r r B dvr r B r r
= ∫ F ⋅ dr = ∫ m dr = ∫ mv dv
dt
A
A
A
B
W AB
r
r
ponieważ dr / dt = v . Po scałkowaniu
W AB =
vB
∫ mv
vA
dv =
1
1
mv B2 − mv A2 = K B − K A
2
2
Wielkość K = (1 2)mv 2 nazywamy energią kinetyczną. Zasada równoważności pracy i
energii mówi, że wypadkowa praca wykonana przez wszystkie siły działające na
cząstkę równa jest odpowiedniej zmianie energii kinetycznej cząstki.
r
O sile Fc mówimy że jest siłą zachowawczą, jeżeli
r
r
r
W AB = ∫ Fc ⋅ dr = ∫ Fc ⋅ dr = const
ACB
ADB
r
Jeżeli praca wykonana przez siłę Fc przemieszczająca cząstkę z punktu A do B jest
r
niezależna od toru łączącego punkty A i B, to siła Fc jest siłą zachowawczą.
Przykład
A
y
h1-h2
m
h1
Fg = m g
r
j
O
B
i
h2
x
Praca wykonana przez zachowawczą siłę grawitacyjną jest niezależna od drogi
między punktami A i B.
r
r
r
Ponieważ Fg = − j mg , więc praca wykonana przez siłę grawitacyjną Fg jest równa
W AB =
h2
h2
r
r
r
∫ (− j mg ) ⋅ (i dx + j dy ) = ∫ − mgdy = mg (h1 − h2 ) = mgh
h1
h1
Ponieważ praca wykonana przez siłę grawitacyjną jest niezależna od tego po jakim
torze porusza się cząstka między punktami A i B, więc jest to siła zachowawcza.
Energię potencjalną definiujemy jako pracę wykonaną przez siłę zachowawczą
r
r
= ∫ Fc ⋅ dr = U A − UB
B
U AB
A
Skalarna funkcja
r położenia U(x,y,z) jest funkcją energii potencjalnej związaną z siłą
zachowawczą Fc . Wielkości UA i UB są wartościami funkcji U(x,y,z) wyznaczonymi w
punktach końcowych toru. Zwykle B wybiera się w nieskończoności i przyjmuje, że UB = 0.
Wtedy energia potencjalna w dowolnym punkcie A wynosi
U A = U AB
A r
r r Ar r
r
= ∫ Fc ⋅dr = − ∫ Fc ⋅dr = − ∫ Fc ⋅ dr
B
A
B
∞
Energia potencjalna w dowolnym punkcie jest zdefiniowana jako praca wykonana
przez równą, lecz przeciwnie skierowaną siłę, potrzebną do przemieszczenia cząstki
z nieskończoności do danego punktu położenia.
Włączając zarówno siły zachowawcze jak i niezachowawcze
W AB (zachowawcze ) + W AB (niezachowawcze ) = K B − K A
Ponieważ W AB ( zachowawcze ) = U A − UB , więc:
W AB (niezachowawcze) = (K B − K A ) − (U A − UB )
lub
W AB (niezachowawcze) = (K B + UB ) − (K A + U A )
Jeżeli wszystkie siły są zachowawcze
K A + U A = K B + UB = const
Jest to prawo zachowania energii mechanicznej: jeżeli wszystkie siły działające na
cząstkę są zachowawcze, to całkowita energia cząstki w każdym jej położeniu jest
wielkością stałą zwaną całkowitą energią mechaniczną.
Jeżeli uwzględnimy wszystkie siły, to praca wykonana przez siły niezachowawcze pojawi
się zawsze w postaci jakiejś formy energii. Jeżeli np. siła niezachowawcza jest siłą tarcia, to
energia powstająca w wyniku jej działania ma postać energii wewnętrznej.
Zasada zachowania energii: energia układu izolowanego może przekształcać się z
jednej postaci w inną, jednak energia całkowita w jej różnorodnych formach nie może
być ani stworzona z niczego, ani też unicestwiona.