Zasady zachowania w mechanice

1
Układ izolowany (zamknięty)-zbiór materii, który nie oddziałuje
w żaden sposób z otoczeniem.
Zasady zachowania mówią, że w układzie izolowanym pewne
wielkości fizyczne pozostają stałe (są zachowane). Do wielkości
tych należą energia, pęd i moment pędu.
2
Całkowita energia układu zamkniętego jest stała. Energii nie
można wytwarzać, energia nie może znikać.
Energia może przybierać różne formy
na przykład energii mechanicznej lub
energii cieplnej
James Prescott Joule
(1818-1889)
Aparat Joule’a
3
W układzie w którym działają jedynie
siły zachowawcze energia
mechaniczna jest zachowana.
Energia mechaniczna
początkowa
Ei  U i  Ki
Energia mechaniczna
końcowa
Ef U f  K f
Ei  E f
4
Pęd jest iloczynem masy ciała i jego prędkości. Pęd jest
wielkością wektorową.
Wektor pędu ma taki sam kierunek i
taki sam zwrot jak wektor prędkości.
Wymiarem pędu jest [ML/T]
(w układzie SI: kg‧m/s)
px  mvx
p y  mvy
p  mv
pz  mvz
5
Druga zasada dynamiki Newtona:
dv d mv  dp
 F ma  m dt  dt  dt
Wypadkowa siła działająca na ciało jest równa szybkości
zmiany jego pędu
W układzie izolowanym:
dp
0
dt
czyli
F  0
p  const
z czego wynika, że:
Jeżeli wypadkowa siła
działająca na ciało wynosi
zero to pęd ciała jest
zachowany.
6
dp1
F21 
dt
Z III zasady dynamiki:
dp 2
F12 
dt
F21  F12  0
dp1 dp 2 d

 p1  p 2   0
dt
dt
dt
pc  p1  p 2  const
Siły F12 i F21 nie są siłami
zewnętrznymi, ale działają między
elementami układu. Całkowity
pęd układu jest więc zachowany.
7
pc   pi  const
pcx  const
Pęd całkowity układu jest
zachowany jeśli nie działa
siła zewnętrzna.
pcz  const
pcy  const
Składowe x, y, z całowitego
pędu układu są zachowane
jeśli nie działa siła
zewnętrzna.
8
dp
F
 dp  Fdt
dt
tf
p  p f  pi   Fdt  I
ti
I – popęd (impuls) siły
1 tf
F   Fdt
t ti
F
I  Ft
- średnia siła w przedziale czasu t
pole
9
tf
p1   F21dt
ti
tf
p 2   F12dt
ti
p1  p 2  0
pc  p1  p 2  const
Całkowity pęd układu izolowanego przed
zderzeniem jest równy całkowitemu
pędowi po zderzeniu
10
ZDERZENIE SPRĘŻYSTE
PRZED
PO
ZDERZENIE NIESPRĘŻYSTE
PRZED
PO
Energia mechaniczna jest zachowana jest tylko podczas zderzenia
sprężystego. Pęd jest zachowany podczas każdego zderzenia.
11
ŚM
rŚM
r m r m



M
m
i
i
i
i
i
ŚM
ŚM
ŚM
ŚM
Siła przyłożona do środka masy bryły
nie powoduje jej obrotu, a jedynie
ruch postępowy w kierunku siły
xŚM
x1m1  x2 m2

m1  m2
12
v ŚM
drŚM
1


dt
M
dri  mi v i
 mi dt  M
Mv ŚM   mi v i   pi pc
a ŚM
środek
masy
dv ŚM
1


dt
M
 mi
dv i
1

dt
M
m a
i i
Ma ŚM   mi ai   Fi
 F  Ma
ŚM
dp c

dt
13
14
τ  rF
  rF sin 
15
L  r p
L  mvr sin 
Moment pędu cząstki
względem środka
układu współrzędnych
jest iloczynem
wektorowym wektora
położenia r i pędu p
16
dp
 τ  r   F  r  dt
dL d
dp dr
dp
 r  p   r 
 p  r
dt dt
dt 
dt
dt
0
ponieważ wektor prędkosci i pędu są
wzajemnie równoległe
dL
 τ  dt
Wypadkowy moment siły
działającej na cząstkę
jest równy pochodnej po
czasie (szybkości zmian)
jej momentu pędu
17
Moment pędu układu jest równy sumie momentów pędu
jego elementów:
L c   Li
Moment pędu układu może zmieniać się tylko pod
wpływem zewnętrznego momentu siły:
dLi d
dL c
 τ zew   dt  dt  Li  dt
Szybkość zmian momentu pędu układu jest równa
wypadkowemu zewnętrznemu momentowi siły
18
L   mi ri  
2
 m r   I
2
i i
dL
d
I
 I
dt
dt
dL
  zew
dt
dL
 τ  dt  I
Wypadkowy moment siły
działającej na bryłę
sztywną jest równy
szybkości zmian jej
momentu pędu
19
20
Całkowity moment pędu układu jest stały (co do wartości jak
i kierunku) jeśli wypadkowy zewnętrzny moment siły jest
równy zero.
dL
 τ  dt  0
L  const
21
K  U  const
Kiedy nie ma sił
niezachowawczych (brak tarcia,
brak zderzeń niesprężystych)
p  const
Kiedy wypadkowa siła działająca
na układ jest równa zero
L  const
Kiedy wypadkowy moment siły
działający na układ jest równy zero
22