4.3. Energia grawitacyjna jednorodnej kuli. Aby obliczyć energię własną kuli o promieniu R i gęstości obliczamy energię oddziaływania pomiędzy pełną kulą o promieniu r a otaczającą ja powłoką kulistą o grubości dr i masie dm. Budowanie kuli będzie polegać na doklejaniu kolejnych zewnętrznych powłok dopóki promień kuli nie osiągnie wartości R. Praca potrzebna na „doklejenie” powłoki – przeniesienie jej z ∞: dW GMdm r masa tak tworzonej kuli i powłoki jest równa odpowiednio: 4 3 r 3 4 dm 3r 2 dr 3 M Całkowita praca potrzebna do utworzenia kuli: 4 3 r 4r 2 dr R R 16 W dW G 3 G 2 2 r 4 dr r 3 0 0 W 16 R5 3 GM 2 G 2 2 3 5 5 R W ten sposób obliczamy energię grawitacyjną gwiazd i planet. Przykładowo, grawitacyjna energia własna Słońca: M s 2 10 30 kg Rs 7 10 8 m 3 6,67 10 11 (2 10 30 ) 2 E p Slonca 3 10 32 J 8 2 5 (7 10 ) Jest to bardzo duża ilość energii i jest oczywiste, że w procesie grawitacyjnego zapadania się gwiazdy (do stadium białego karła o promieniu ok. 0,1 obecnego promienia Słońca) wyzwoli się ogromna ilość energii. 4.4. Prawa Keplera. I Wszystkie planety krążą po elipsach. W ognisku elipsy znajduje się Słońce. II Pola zakreślane przez wektor wodzący (od Słońca) w jednakowych odstępach czasu są równe. r r r+ r Zakreślane pole: S ( r r ) 1 2 tzw. „prędkość polowa” d s 1 d r 1 r (r m v) dt 2 dt 2m jeżeli nie działają siły zewnętrzne: ds L L const dt 2m ds const dt . III Kwadraty okresów obiegów różnych planet dookoła słońca są proporcjonalne do sześcianów dużych półosi elipsy. Powodem ruchu po orbicie jest siła dośrodkowa – jest nią siła grawitacji: m2 a2 M a1 m1 GMm m 2 r r2 2 T GM 4 2 2 r3 T T2 4 2 T12 a13 a 3 G ( M m) T22 a23 4.5. Przyspieszenie ziemskie. Energia potencjalna ciała o masie m znajdującego się w odległości x od powierzchni Ziemi jest: GMm GMm 1 Ep ( R x) R 1 x R Zakładając że x R R ziemi 6,48 10 6 m możemy wyrażenie w nawiasie rozwinąć w szereg McLaurina (przypadek szeregu Taylora): f ( x) f (0) x x2 xn n f ' ( 0) f ' ' (0) ... f (0) 1! 2! n! f ( 0) 0 l x x f ' (0) 1! R dla x R 1 1 (1) R 1 x 1 x R R bo f ' ( 0) 2 1 R l x2 x f ' ' (0) 2! R dla x R 2 bo f ' ' (0) 2 2 R 2 3 1 1 22 1 x R R 1 x 1 R R zatem: 3 x x x 1 x R R R 1 R 1 na podstawie założenia widać, że już trzeci wyraz szeregu jest zaniedbywalnie mały, a więc: GMm x GMm GMm x 1 R R R R2 GMm Ep mgx R Ep Wpływ szerokości geograficznej na wartość przyspieszenia ziemskiego. W związku z ruchem obrotowym Ziemi, należy uwzględnić działanie siły odśrodkowej bezwładności. Ciężar ciała na szerokości geograficznej : m r GMm m 2 r R2 r R cos mg mg R GM 4 2 2 R cos R2 T GM Na biegunie: 90 o g b 2 R GM 4 2 Na równiku 0 o g r 2 2 R T g Wahadło Foucaulta Rcos R r Kula wahadła Foucaulta wykonuje wahania nad pierścieniem o promieniu r, a płaszczyzna wahań obraca się w kierunku ruchu wskazówek zegara. Ziemia w swoim ruchu obrotowym stanowi nie inercjalny układ odniesienia, prędkości względne krańcowych punktów pierścienia – północnego i południowego są różne. Szybciej porusza się punkt leżący dalej od osi obrotu. Obliczamy prędkości liniowe odpowiednio północnego i południowego punktu pierścienia: v N R cos r sin v s R cos r sin Różnica pomiędzy każdą z tych prędkości a prędkością środka pierścienia wahadła Foucaulta: . v r sin Skoro obwód pierścienia wynosi 2r więc pełny obrót płaszczyzny wahań jest: T0 (r sin ) 2r Stąd okres obiegu: 2r T 24h T0 2 r sin sin sin T Na biegunie, gdy 0 o T0 Obserwacja wahadła Foucaulta stanowi dowód na nieinercjalność Ziemi. 4.6. Twierdzenie o wiriale w zastosowaniu do pola grawitacyjnego. Ep Cr F Ep c r r2 stała c=GMm gdzie c mnożąc obustronnie przez r 2 rMa r c 2 r r M a r r r czyli c M a r r wynika stąd, że Ep M a r jeśli policzymy d M r v M r v M r v dt 2 Ek czyli: M a r Ep M d r v 2 Ek E p dt (*) skoro r v const ponieważ gdy rośnie r to maleje v (prędkość orbitalna satelity). Cząstka będąca w polu siły proporcjonalnej do 1 jest cząstką w r2 stanie związanym potencjałem przyciągającym. Wówczas lewa strona równania (*) jest równa zero. A więc: 0 2 Ek E p Ek 1 Ep 2 Stabilny układ grawitacyjny ma Ep , musi więc mieć (zgodnie z powyższymi równaniami) energię kinetyczną (Ek) – czyli jest w ruchu. Na przykład zapadająca się gwiazda zwiększa przejawia się wzrostem temperatury! Ep , więc rośnie jej energia kinetyczna, która Temperatura Słońca 3 GM Jak wyliczono wcześniej: E p Slonca 2 5 R Z termodynamiki wiadomo, że średnia energia kinetyczna cząstki (He,H) jest: 3 E NkT gdzie k – stała Boltzmana; k 2 całkowita energia N-atomów: Ek 3 NkTśr 2 Z twierdzenia o wiriale otrzymano, że: średnia energia 3 3GMM Nk T 2 10 R kinetyczna atomów gdzie M M 1 3 GM 2 E p Slonca 2 10 R jest średnią masą atomu na Słońcu. N A zatem Tśr GMM 5Rk na Słońcu są zjonizowane atomy He i H czyli a zatem podstawiając dane otrzymamy: Tśr 107 K 103 eV czyli: M 2m p