Równania Keplera dla orbit eliptycznych Pole grawitacyjne jest polem „zachowawczym” – suma energii potencjalnej i kinetycznej ciała, o ile nie działają inne siły, pozostaje stała 1 2 GMm mv E const 2 r (1) Wprowadzając współrzędne polarne (r, φ) , składowa radialna prędkości wynosi vr v cos a składowa kątowa v v sin r dr dt d dt (2 ) (3 ) gdzie r jest „promieniem wodzącym” planety a α kątem między wektorem prędkości a prostopadłą do promienia wodzącego We współrzędnych polarnych prawo zachowania energii przyjmuje postać: 2 2 1 dr d GMm E r 2 dt dt r (4 ) Prawo zachowania momentu pędu określa stałość iloczynu wektorowego r x p = const, co we współrzędnych polarnych p rm sin (5) a uwzględniając (3) d p rm r dt (6) skąd otrzymujemy d p dt mr 2 (7) podstawiając powyższe wyrażenie do prawa zachowania energii (4) otrzymujemy 2 1 dr p2 GMm m 2 2 E 2 dt m r r (8 ) Po przekształceniach 2 p2 2 E 2GM dr 2 2 m r dt m r dr 2 E 2GM p2 2 2 dt m r mr (9 ) (10 ) Podstawiamy teraz wyrażenie (10) do równania (7) d d dt p dr dt dr mr 2 1 2 E 2GM p2 2 2 m r m r (11) czyli d dr r2 b 2a b 2 1 r r2 (12 ) gdzie dokonaliśmy podstawień Równania Keplera dla orbit eliptycznych 2 b2 p2 2 Em p2 2 Em GMm a 2E b ( 13 ) Całkując (przez części) równanie (12 ) otrzymujemy 0 arc cos b 2 ar (14 ) r a 2 b2 Równanie (12) jest równaniem elipsy, o czym można się przekonać dokonując podstawienia czyli cos b 2 ar r a 2 b2 ( 15 ) b 2 r ( a a 2 b 2 * cos ) Równanie powyższe jest równaniem (parametrycznym) elipsy o dłuższej półosi a i krótszej b. POTENCJAŁ EFEKTYWNY Ogólnie, trajektorie w polu grawitacyjnym są krzywymi stożkowymi – okręgiem, elipsą, parabolą, hiperbolą, w zależności od prędkości ciała (komety, planety) Na poruszające się ciało w polu grawitacyjnym działa siła przyciągania plus siła (pozorna) odśrodkowa GMm d Fr 2 m r r dt 2 ( 16 ) podstawiając z równania (7) dφ/dr otrzymujemy Fr GMm p 2 3 r2 mr ( 17 ) a całkując to wyrażenie po dr dostajemy następujące wyrażenie na potencjał (efektywny) oddziaływania Równania Keplera dla orbit eliptycznych 3 GMm p2 U ef (r ) r 2mr 2 ( 18 ) Wykres tego potencjału przedstawia poniższy rysunek Pojęcie potencjału efektywnego wyjaśnia, kształt orbit. Jeśli planeta ma energię całkowitą odpowiadającą minimum potencjału, to jej odległość od Słońca jest stała (ruch po okręgu). Jeśli energia jest nieco wyższa, to odległość się zmienia, między minimum aphelium a maksimum perihelium (czyli jest eliptyczna). Jeśli energia wynosi zero (czyli ciało nadlatuje z „nieskończoności”, jak komety z obłoku Oortsa), to orbita jest paraboliczna, jeśli jest większa niż zero, to hiperboliczna. Równania Keplera dla orbit eliptycznych 4