Model urodzin i śmierci

Modelowanie pojedynczej populacji .
W pierwszej części wykładu
przedstawimy podstawowe
modele opisujące ekosystem, w
którym występuje tylko jedna
populacja i opiszemy dynamikę
takiej populacji w zależności od
przyjętego modelu
heurystycznego i formalizmu
matematycznego.
Model Malthusa 1789
Założenia:
•w środowisku występuje jeden gatunek
•zasoby są nieograniczone
•populacja jest jednorodna
•osobniki nie umierają
•każdy osobnik wydaje na świat
Thomas Robert Malthus (1766- 1834)
– ekonomista i duchowny
anglikański, który prowadził badania
z pogranicza ekonomii i socjologii.
Zajmował się teorią ludności oraz
problemami płac i pieniądza. W 1805
roku został pierwszym w Anglii
profesorem ekonomii politycznej.
potomstwo co Ƭ jednostek czasu,
Ƭ jest ustalone i jednakowe dla wszystkich osobników
•zawsze jeden rodziciel rodzi λ dojrzałych potomków
•momenty rozmnażania są w dowolnym przedziale czasu
rozłożone jednostajnie
Równanie.
Równanie opisujące średnią liczebność populacji N(t) w chwili t . Załóżmy
że znamy liczebność w pewnej ustalonej chwili t i chcemy obliczyć N(t + Δt)
po upływie czasu Δt. Zauważmy, ze w przedziale czasu (t, t + Δt) jest
Δt
Ƭ =p
momentów rozmnażania. Każdy rodzic ma w tym przedziale czasu średnio
pλ
potomków. Liczba osobników zdolnych do rozmnażania w chwili t wynosi N(t),
zatem przyrost liczebności w przedziale czasu (t, t + Δt) możemy przybliżyć
równaniem
N (t +Δt ) = N (t) + pλN (t).
Dzieląc stronami przez Δt i przechodząc do granicy otrzymujemy
lim
Δ t0
N(t+Δt)-N(t)
d
=
Δt
dt N(t)
λ
= Ƭ N(t)
λ
Ƭ=r
gdzie r nazwiemy współczynnikiem rozrodczości populacji P.
Równanie wzrostu wykładniczego;
N' (t) = rN (t)
Model ciągły i dyskretny.
Równanie postaci
N' (t) = rN (t)
jest modelem ciągłym
tzn. zmienna czasowa t zmienia się w sposób ciągły.
Jeśli założymy, ze Δt = 1, gdzie 1 oznacza ustalona
jednostkę czasu i zastosujemy oznaczenie N(t) = Nt0, to równanie
Δt
N (t +Δt ) = N (t) + Ƭ * λN (t)
możemy zapisać jako
Nt+1 = (1 + r)Nt ,
otrzymujemy model dyskretny
(zmienna czasowa zmienia się w sposób dyskretny, najczęściej t Є
N, a liczebność populacji opisana jest za pomocą równania
rekurencyjnego).
Rozwiązanie równania rozrostu
wykładniczego; N'(t) = rN(t)
Warunek początkowy: N(0) =N0
dN / dt = rN
ʃdN / N = ʃrdt
Ln|N| = rt+c1
N(t) = cert
N(0) = ce0 = c
Rozwiązanie równania Malthusa ;
N(t)= N0ert
Konsekwencje modelu Malthusa.
N(t)=N0ert
r>0 "przeludnienie"
r<0 "wyginięcie„
r=0 "stabilizacja"
Procesy rozrodczości i śmiertelności.
Założenia:
• w środowisku występuje jeden gatunek P
• zasoby są nieograniczone
• populacja jest jednorodna
• osobniki umierają
• każdy osobnik wydaje na świat
potomstwo co Ƭ jednostek czasu,
• każdy osobnik umiera co Ƭ* jednostek czasu,
• zawsze jeden rodziciel rodzi λ dojrzałych potomków
• każdorazowo umiera λ* ogólnej liczby osobników N(t)
• momenty rozmnażania i umierania są w dowolnym
przedziale czasu rozłożone jednostajnie
Zapis równania.
Kierując się równaniem z modelu Malthusa
N (t +Δt) = N (t) + pλN (t)
otrzymujemy
N (t +Δt) = N (t) + pλN (t)- p* λ* N (t)
gdzie
Δt
p= Ƭ
zaś
Δt
p* = Ƭ*
Uproszczenie równania
N (t +Δt) = N (t) + pλN (t)- p* λ* N (t)
r - współczynnik rozrodczości populacji P,
s- współczynnik śmiertelności populacji P,
rn = r - s
współczynnik rozrodczości ,,netto”, czyli różnicę między współczynnikiem
rozrodczości a śmiertelności.
N (t +Δt) – N(t) = rΔtN (t) – sΔtN (t)
N (t +Δt) – N(t) = (r-s)ΔtN (t)
N (t +Δt) – N(t) = rn Δt N (t)
Model ciągły
Skorzystamy z uproszczonej postaci równania
N (t +Δt) – N(t) = r n Δt N (t)
Dzieląc stronami przez Δt i przechodząc do granicy otrzymujemy
lim N(t+Δt)-N(t) d
Δ t0
Δt
= dt N(t) = r n N(t)
Ostatecznie otrzymujemy interesujący nas model który ma
postać:
N'(t) = r n N(t)
Rozwiązanie równania.
Otrzymujemy N' (t) = r n N(t),
rozwiązanie takiego równania znamy z
poprzedniego modelu. Wystarczy
zastosować metodę rozdzielania
zmiennych i otrzymamy ;
N(t)= C e rn t
Model dyskretny.
Korzystamy z równania wyjściowego
N (t +Δt) = N (t) + pλN (t)- p* λ* N (t)
N (t +Δt) = (1+ pλ - p* λ* ) N (t)
Jeśli założymy, ze Δt = 1, gdzie 1 oznacza ustalona
jednostkę czasu i zastosujemy oznaczenie N(t) = Nt0,
to otrzymamy model dyskretny postaci:
N t+1 = a* N t
gdzie
t = 0,1, 2,….,n
a*= 1 + λp - λ* p* = 1+r n
a*>0 lub a* Є (0,1)
a*- nie może być ujemne bo np. N t = a*N0<0, co oznaczałoby ze
umiera więcej osobników niż ich jest.
Analiza modelu rozrodczości i
śmiertelności.
N(t)= C ern t
rn = r-s
r-s>0 rozrodczość przewyższa
śmiertelność
r-s=0 rozrodczość jest równa
śmiertelności
r-s<0 śmiertelność przewyższa
rozrodczość
Dziękuję za uwagę.
Literatura:
-Urszula Foryś „Modelowanie matematyczne w biologii
i medycynie” Uniwersytet Warszawski 2011r.
Wykonawca prezentacji: Anna Ositek.