II Zasada dynamiki, układy o zmiennej masie

4.3. Energia grawitacyjna jednorodnej kuli.
Aby obliczyć energię własną kuli o promieniu R i gęstości  obliczamy energię oddziaływania
pomiędzy pełną kulą o promieniu r a otaczającą ja powłoką kulistą o grubości dr i masie dm.
Budowanie kuli będzie polegać na doklejaniu kolejnych zewnętrznych powłok dopóki promień kuli
nie osiągnie wartości R. Praca potrzebna na „doklejenie” powłoki – przeniesienie jej z ∞:
dW  
GMdm
r
masa tak tworzonej kuli i powłoki jest równa odpowiednio:
4 3
r 
3
4
dm   3r 2 dr
3
M 
Całkowita praca potrzebna do utworzenia kuli:
4 3
r  4r 2 dr
R
R
16
W   dW    G 3
  G 2  2  r 4 dr
r
3
0
0
W 
16
R5
3 GM 2
G 2  2
 
3
5
5 R
W ten sposób obliczamy energię grawitacyjną gwiazd i planet.
Przykładowo, grawitacyjna energia własna Słońca:
M s  2  10 30 kg Rs  7  10 8 m
3 6,67  10 11 (2  10 30 ) 2
E p Slonca   
 3  10 32 J
8 2
5
(7  10 )
Jest to bardzo duża ilość energii i jest oczywiste, że w procesie grawitacyjnego zapadania się gwiazdy
(do stadium białego karła o promieniu ok. 0,1 obecnego promienia Słońca) wyzwoli się ogromna ilość
energii.
4.4. Prawa Keplera.
I Wszystkie planety krążą po elipsach. W ognisku elipsy
znajduje się Słońce.
II Pola zakreślane przez wektor wodzący (od Słońca) w
jednakowych odstępach czasu są równe.
r
r
r+ r
Zakreślane pole:


S  ( r   r )

1
2
tzw. „prędkość polowa”


d s 1 d r
1 
 r

(r m v)
dt
2
dt
2m
jeżeli nie działają siły zewnętrzne:



ds
L

 L  const
dt
2m

ds
 const
dt
.
III Kwadraty okresów obiegów różnych planet dookoła
słońca są proporcjonalne do sześcianów dużych półosi
elipsy.
Powodem ruchu po orbicie jest siła dośrodkowa – jest nią siła grawitacji:
m2
a2
M
a1
m1
GMm
 m 2 r
r2
2

T
GM 4 2
 2
r3
T
T2
4 2
T12 a13



a 3 G ( M  m)
T22 a23
4.5. Przyspieszenie ziemskie.
Energia potencjalna ciała o masie m znajdującego się w odległości x od powierzchni Ziemi jest:


GMm
GMm  1 


Ep  

( R  x)
R 1 x 


R

Zakładając że x  R
R ziemi  6,48  10 6 m możemy wyrażenie w nawiasie rozwinąć w szereg
McLaurina (przypadek szeregu Taylora):
f ( x)  f (0) 
x
x2
xn n
f ' ( 0) 
f ' ' (0)  ... 
f (0)
1!
2!
n!
f ( 0)  0
l
x
x
f ' (0)  
1!
R
dla x  R


 1 
 1 



  (1) R 
1 x 
1 x 




R
R


bo
f ' ( 0)  
2
1
R
l
x2
 x
f ' ' (0)   
2!
 R
dla x  R
2
bo
f ' ' (0) 
2
2
R
2
3


 




 1 1  
   22  1 
 
x
R 
 R 1 x  
1  




R  
R



zatem:
3
x x x
 1       
x
R R R
1
R
1
na podstawie założenia widać, że już trzeci wyraz szeregu jest zaniedbywalnie mały, a więc:
GMm 
x
GMm GMm

x
1    
R  R
R
R2
GMm
Ep  
 mgx
R
Ep  
Wpływ szerokości geograficznej na wartość przyspieszenia ziemskiego.
W związku z ruchem obrotowym Ziemi, należy uwzględnić działanie
siły odśrodkowej bezwładności. Ciężar ciała na szerokości
geograficznej :
m
r
GMm
 m 2 r
R2
r  R cos 
mg 
mg
R
GM 4 2
 2 R cos 
R2
T
GM
Na biegunie:   90 o g b  2
R
GM 4 2
Na równiku   0 o g r  2  2
R
T
g 
Wahadło Foucaulta
Rcos

R
r
Kula wahadła Foucaulta wykonuje wahania nad pierścieniem o promieniu
r, a płaszczyzna wahań obraca się w kierunku ruchu wskazówek zegara.
Ziemia w swoim ruchu obrotowym stanowi nie inercjalny układ
odniesienia, prędkości względne krańcowych punktów pierścienia –
północnego i południowego są różne. Szybciej porusza się punkt leżący
dalej od osi obrotu. Obliczamy prędkości liniowe odpowiednio
północnego i południowego punktu pierścienia:
v N  R cos   r sin 
v s  R cos   r sin 
Różnica pomiędzy każdą z tych prędkości a prędkością środka pierścienia
wahadła Foucaulta:
.
v  r sin 
Skoro obwód pierścienia wynosi 2r więc pełny obrót płaszczyzny wahań jest: T0 (r sin  )  2r
Stąd okres obiegu:


 2r 
  T  24h
T0  
 2 r sin   sin  sin 


 T

Na biegunie, gdy
  0 o  T0  
Obserwacja wahadła Foucaulta stanowi dowód na nieinercjalność Ziemi.
4.6. Twierdzenie o wiriale w zastosowaniu do pola grawitacyjnego.
Ep 


 Cr

F   Ep  
c 
r
r2
stała c=GMm
gdzie


c 
mnożąc
obustronnie
przez
r
 2 rMa
r
 
c  
 2 r
 r  M a r
r r
czyli 
 
c
 M  a r
r
wynika stąd, że
 
Ep  M a r

jeśli policzymy

 
 
d  
M   r v   M
r
v M
r
v


dt 

 
2 Ek
czyli:
M a r
Ep
M
d  
 r  v   2 Ek  E p
dt 

(*)
skoro

 
r  v  const
ponieważ gdy rośnie
r

to maleje
v (prędkość orbitalna satelity).
Cząstka będąca w polu siły proporcjonalnej do 1 jest cząstką w
r2
stanie związanym potencjałem przyciągającym.
Wówczas lewa strona równania (*) jest równa zero. A więc:
0  2 Ek  E p
Ek  
1
Ep
2
Stabilny układ grawitacyjny ma Ep , musi więc mieć (zgodnie z powyższymi równaniami) energię
kinetyczną (Ek) – czyli jest w ruchu.
Na przykład zapadająca się gwiazda zwiększa
przejawia się wzrostem temperatury!
Ep
, więc rośnie jej energia kinetyczna, która
Temperatura Słońca
3 GM
Jak wyliczono wcześniej: E
p Slonca  
2
5 R
Z termodynamiki wiadomo, że średnia energia kinetyczna cząstki (He,H) jest:
3
E  NkT gdzie k – stała Boltzmana;
k
2
całkowita energia N-atomów:
Ek 
3
NkTśr
2
Z twierdzenia o wiriale otrzymano, że:
średnia
energia
3
3GMM 
Nk T 
2
10 R
kinetyczna
atomów  
gdzie M   M
1
3 GM 2
E p Slonca 
2
10 R
jest średnią masą atomu na Słońcu.
N
A zatem
Tśr 
GMM 
5Rk
na Słońcu są zjonizowane atomy He i H czyli
a zatem podstawiając dane otrzymamy:
Tśr  107 K  103 eV
czyli:
M  2m p