Cechy procesu Wienera (Browna) - E-SGH

Inżynieria Finansowa:
8. Model Blacka-Scholesa
Piotr Bańbuła
Katedra Ekonomii Ilościowej, KAE
Maj 2017 r.
Warszawa, Szkoła Główna Handlowa
Historia opcji
Pierwsze
użycie:
Tales z Miletu
VI w. p.n.e
Przełomowy
Poszukiwanie
model cen:
modelu wyceny:
Louis Bachelier Paul Samuelson
(tu ma 15 lat,
wtedy miał 30)
1900
1960+
Wycena przez dynamiczną
replikację (dowolnego derywatu):
Fischer Black, Myron Scholes
(dowód: Robert Merton)
1973
Ruch Browna/proces Wienera
Prawdopodobnie pierwszym, które przedstawił formalny zapis procesu Browna był Thiele
(1880).
Bachelier (1900) w swojej rozprawie doktorskiej zaproponował formalny proces losowy do
opisu zachowania cen na rynku. Na swój czas praca była zbyt przełomowa i ten sposób
modelowania wrócił dopiero po 75 latach wraz z modelem B-S.
W fizyce ten proces nosi nazwę ruchu Browna (1827), który zastanawiał się nad powodem
ruchu pyłku kwiatowego w wodzie, który obserwował pod mikroskopem.
Wyjaśnienie przedstawili niezależnie Einstein (1905) i Smoluchowski (1906), pokazując, że ruch
jest efektem „bombardowania” przez cząsteczki wody, proponując formalny model do opisu
tego precesu.
W matematyce ten proces nazywa się procesem Wienera (1894-1964) i po dziś dzień jest
podstawą w modelowaniu losowości, w tym w finansach.
Proces Wienera
W(t)~N(0,t)
4
Cechy procesu Wienera (Browna):
2
0
1.
𝑾𝟎 = 𝟎
Wartość początkowa wynosi 0
2.
𝑾𝒕 − 𝑾𝒔 ~𝑵(𝟎, 𝒕 − 𝒔)
dla wszystkich 0 < s < t
Przyrosty są niezależne, a wariancja procesu
rośnie liniowa z czasem
-2
-4
0
50
100
150
200
250
200
250
W(t)-W(t-1), czyli ~dW
1
0.5
0
-0.5
3.
Proces jest ciągły
Przy dowolnym powiększaniu nie ma
nieciągłości, choć jest nieróżniczkowalny
-1
0
t0:
50
100
150
dzienne obserwacje:
Górny wykres przedstawia dzienne realizacje procesu
Wienera 𝑊𝑡 ~𝑁(0, 𝑡); t=1 dla 1Y
Dolny wykres przedstawia dzienne przyrostu procesu,
które są „białym szumem”.
T=1Y
Proces Wienera: przykład 2D i 3D
4
2
0
-2
-4
1
0
0.5
-0.5
-1
0
0
50
50
3
W(t)~N(0,t)
100
1
150
150
W(t)-W(t-1), czyli ~dW
100
2
0
200
200
-1
250
250
-2
3
-3
2
2
0
1
-2
W(t)~N(0,t)
4
-3
-2
-1
0
1
2
0
0
-2
-4
-1
0
50
100
150
200
250
200
250
W(t)-W(t-1), czyli ~dW
1
-2
0.5
0
-3
-3
-0.5
-2
-1
0
1
2
3
-1
0
50
100
150
Proces Wienera w 2D jest złożeniem dwóch jednowymiarowych procesów Wienera (dla osi X i Y)
Na podobnej zasadzie otrzymujemy proces Wienera w wyższych wymiarach
(np. przy modelowaniu gazów, cząstek wody itp.)
2
3
Proces Wienera: proces nieróżniczkowalny
Proces Wieniera
(ciągły, ale nie jest „gładki”)
Proces różniczkowalny
(ciągły i „gładki”)
W(t)~N(0,t)
W(t)~N(0,t)
4
4
2
2
0
0
-2
-2
-4
0
4
50
100 W(t)~N(0,t)150
200
250
-4
0
50
21
0.50
0.5
0
0
-2
-20
-1
40
1
2
0.5
0
0
-2
0.5
-4
0
-1
0
250
W(t)-W(t-1), czyli ~dW
12
0
200
4
W(t)-W(t-1), czyli ~dW
0.5
-4
100W(t)~N(0,t) 150
50
50
50
50
100
150
W(t)~N(0,t)
100
W(t)-W(t-1),
czyli150
~dW
100
100
150
150
200
200
200
200
-0.5
-4
0
-1
250 4 0
1
2
0.5
0
0
-2
-0.5
-4
250
0
-1
250
0
250
50
50
50
50
100
150
W(t)~N(0,t)
100
150
W(t)-W(t-1),
czyli ~dW
100
100
150
150
200
200
200
200
250
250
250
250
Proces Wienera: przykład
W(t)~N(0,t)
4
2
0
-2
-4
0
50
100
150
200
250
200
250
W(t)-W(t-1), czyli ~dW
1
0.5
0
-0.5
-1
0
t0:
50
100
150
dzienne obserwacje:
1Y
Proces Wienera: przykład
W(t)~N(0,t)
4
2
0
-2
-4
0
50
100
150
200
250
200
250
W(t)-W(t-1), czyli ~dW
1
0.5
0
-0.5
-1
0
t0:
50
100
150
dzienne obserwacje:
1Y
Proces Wienera: przykład
700
600
700
500
600
400
500
700
400
300
600
500
300
200
400
700
200
300
600
500
100
200
400
100
300
100
200
100
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
𝑊𝑡 ~𝑁 0, 𝑇 ∙ 0.1
𝜎= 𝑡
0
-5
4
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
0
-5
-4
4
-3
𝑊𝑡 ~𝑁 0, 𝑇 ∙ 0.25
…
-2
-1
0
1
2
0
-5
3
4
-4
-3
𝑊𝑡 ~𝑁 0, 𝑇 ∙ 0.5
…
-2
-1
0
1
𝑊𝑡 ~𝑁 0, 𝑇 ∙ 0.75
…
W(t)~N(0,t)
4
2
0
-2
-4
0
50
100
150
W(t)-W(t-1),
czyli ~dW
dzienne obserwacje:
t0:
1
200
250
T=1Y
2
3
4
(Arytmetyczny) ruch Browna: Bachelier
𝐵𝑡 ~𝑁 𝐵0 + 𝜇 ∙ 𝑡, 𝑡𝜎 2
𝐵𝑡 = 𝐵0 + 𝜇 ∙ 𝑡 + 𝜎 ∙ 𝑊𝑡
𝑑𝐵𝑡 = 𝜇 ∙ 𝑑𝑡 + 𝜎 ∙ 𝑑𝑊(𝑡)
Parametry procesu (𝜇, 𝜎) mogą zmieniać się na przestrzeni czasu i wartości zmiennych: 𝜇𝑡 , 𝜎𝑡 (𝐵𝑡 , 𝑡)
2
1.8
dyspersja
1.6
1.4
dryf
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
Przykład:
50
100
150
200
250
𝐵0 = 1 (wartość początkowa)
𝜇 = 0.07 (dryf, średnia stopa zwrotu)
𝜎 = 0.20 (dyspersja, odchylenie standardowe, 𝜎(𝑡 = 0.5𝑌 = 0.5𝑇) = 𝜎 𝑡 , wtedy 𝜎 𝑡
2
= 𝑡𝜎 2 )
Mankamentem arytmetycznego ruchu Browna przy modelowaniu cen jest możliwość przyjęcia
przez proces ujemnych wartości.
Geometryczny ruch Browna: Samuelson
Poziomy:
𝜎2
𝑡
2
𝜇𝑡+
2
𝐵𝑡 = 𝐵0 𝑒 𝜇∙𝑡+𝜎∙𝑊𝑡
𝐵𝑡 ~𝐿𝑁(𝐵0 𝑒
, 𝑒 2𝜇𝑡+𝜎 𝑡 (𝑒 𝜎
Stopy zwrotu:
𝑑𝐵𝑡 = 𝜇 ∙ 𝐵𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎 ∙ 𝐵𝑡 𝑑𝑊(𝑡)
ln(𝐵𝑡 )~𝑁(ln 𝐵0 + 𝜇𝑡, 𝜎 2 𝑡)
2𝑡
− 1))
Parametry procesu (𝜇, 𝜎) mogą zmieniać się na przestrzeni czasu i wartości zmiennych: 𝜇𝑡 , 𝜎𝑡 (𝐵𝑡 , 𝑡)
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
50
100
150
200
250
Lognormalny rozkład cen i normalny stóp zwrotu
Załóżmy, że cena aktywu zmienia się zgodnie z arytmetycznym ruchem Browna.
𝐵𝑡 = 1 + 0,07 ∙ 𝑡 + 0,20 ∙ 𝑊𝑡
Cena wzrasta średnio o 0.07 z wariancją 0.2.
Jaka będzie wariancja procesu 1 okres w przód za 10 okresów?
Załóżmy, że cena rosła dokładnie średnio o 0,07, czyli 𝐵𝑡 = 1,70:
𝐵𝑡+1 = 1,70 + 0,07 ∙ 1 + 0,20 ∙ 𝑊𝑡 = 1,77 + 0,20 ∙ 𝑊𝑡 𝐵𝑡+1 ~𝑁(1,77, 0.22 )
Współczynnik zmienności spadł z ok. 20% (t0: 0,2/1,07) do ok. 11% (t101: 0,2/1,77).
Gdybyśmy modelowali giełdę, to w miarę wzrostu cen mówilibyśmy, że spadki o 20-30% wartość
są coraz mniej, a w końcu zupełnie nieprawdopodobne…
Stało się ze stopami zwrotu?
Oczekiwana stopa zwrotu spadła z 7% (0,07/1) do 4,1% (0,07/1,7).
To, że DJ zanotował największy wzrost w wartościach absolutnych (np. o 500 pkt 10000) nie
znaczy, że był to dzień z największą stopą zwrotu w historii
Dla modelowania pewnych procesów, te charakterystyki mogą być uzasadnione, ale
w przypadku procesu cen są raczej niepożądane. Założenie geometrycznego ruchu
Browna eliminuje te zjawiska.
Geometryczny ruch Browna: WIG20
Załóżmy, że zmiany cen na Polskiej giełdzie można dobrze opisać GBM o stałych w czasie
parametrach:𝐵𝑡 = 𝐵0 𝑒 𝜇∙𝑡+𝜎∙𝑊𝑡 co oznacza, że dzienne st. zwrotu mają rozkład
ln 𝐵𝑡+∆ − ln 𝐵𝑡
= [𝑁 ln 𝐵0 + 𝜇(𝑡 + ∆), 𝜎 2 (𝑡 + ∆) − 𝑁(ln 𝐵0 + 𝜇𝑡, 𝜎 2 𝑡)]~𝑵(𝝁∆, 𝝈𝟐 ∆)
Dopasujmy parametry procesu (prawy wykres)
Do widocznych problemów z dopasowaniem wrócimy przy omawianiu modelu B-S
WIG20
4000
3000
400
2000
350
1000
300
250
0
2000-03-01
2003-04-10
2006-05-15
2009-06-17
2012-06-22
WIG20 - dzienne stopy zwrotu
200
150
0.2
100
0.1
50
0
0
-0.15
-0.1
-0.2
2000-03-01
2003-04-10
2006-05-15
2009-06-17
2012-06-22
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
Próby znalezienia modelu wyceny opcji
Sprenkle (1961) oraz Samuelson (1965) wyceniając opcje na papiery własnościowe założyli, iż
cena instrumentu bazowego ewoluuje zgodnie z geometrycznym ruchem Browna. Usuwało to
niedogodność ujemnych wartości dla cen instrumentu bazowego.
Rozkład cen jest rozkładem logarytmiczno-normalnym, a rozkład stóp zmian cen aktywu jest
rozkładem normalnym.
Sprenkle i Samuelson pokazują, że w takiej sytuacji cena opcji kupna może być przedstawiona w
następujący sposób (nie to nie to samo co B-S, ale blisko):
c  e cT [e sT S  N (d1 )  X  N (d 2 )]
d1 
ln( S / X )  ( s   2 / 2)T
 T
d 2  d1   T
gdzie wyrazy 𝛼𝐶 oraz 𝛼𝑆 oznaczają odpowiednio oczekiwaną, skorygowaną o ryzyko stopę
wzrostu ceny aktywu bazowego i opcji kupna.
Ten model wymagał określenia premii za ryzyko, która mogła być różna dla każdego z
inwestorów, przez co okazał się niepraktyczny.
Przełom: dynamiczna replikacja
Rewolucjonizując problem wyceny opcji Black i Scholes (1973) wyszli z punktu widzenia
sprzedawcy opcji, który zabezpiecza swą pozycję.
Pokazują, że przy pewnych założeniach możliwa jest replikacja pozycji opcyjnej za pomocą
innych instrumentów.
Black i Scholes (1973) oraz Merton (1973) pokazali, że wraz ze zwiększaniem częstości
dopasowywania zabezpieczenia, koszt związany z zabezpieczaniem staje się coraz bardziej
przewidywalny. W granicznym przypadku, gdy zabezpieczanie jest dokonywane w sposób ciągły,
jego koszt staje się niezależny od ścieżki, jaką podąża instrument bazowy. Wpływ na koszt
zabezpieczenia ma jedynie zmienność instrumentu bazowego.
Jeśli jest ona stała i znana z wyprzedzeniem, koszt zabezpieczenia jest pewny.
Tym samym portfel złożony z portfela replikującego i opcji jest więc pozbawiony ryzyka i musi
dawać stopę zwrotu równą wolnej od ryzyka.
Model Blacka-Scholesa
Black i Scholes (1973) przyjmują, że:
Cena aktywu ewoluuje zgodnie z geometrycznym ruchem Browna, którego parametry (średnia,
zmienność) są stałe w czasie. Proces dyfuzji jest jedynym źródłem ryzyka, nie ma skoków cen.
𝑑𝑆𝑡 = 𝜇 ∙ 𝑆𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎 ∙ 𝑆𝑡 𝑑𝑊(𝑡)
Nie ma kosztów transakcyjnych ani widełek kupna-sprzedaży
Handel odbywa się w sposób ciągły i w sposób ciągły zabezpieczamy pozycję
Można swobodnie pożyczać po stopie wolnej od ryzyka
Niech wartość (cena) dowolnego instrumentu pochodnego będzie oznaczona jako V(S,t).
Żądamy jedynie, by funkcja uzależniająca cenę instrumentu pochodnego od wartości bazowego
była dwukrotnie różniczkowalna. Zakładamy, że aktyw nie wypłaca dochodu (np. dywidend).
Równanie (godne Nobla) Blacka-Scholesa mówi o tym jaki warunek ta cena powinna spełniać:
𝜕𝑉 1 2 𝜕 2 𝑉
𝜕𝑉
+ 𝜎 𝑆 2 + 𝑟𝑆
− rV = 0
𝜕𝑡 2
𝜕𝑆
𝜕𝑆
Przedstawmy zarys wyprowadzenia (nie będzie wymagany na egzaminie)…
Model Blacka-Scholesa
Załóżmy, że portfel składa się z:
długiej pozycji w opcji na akcje o cenie 𝑉(𝑆, 𝑡) i
krótkiej w ∆ akcjach o cenie 𝑆 𝑡
Wartość portfela to: Π(𝑡) = 𝑉 − ∆𝑆
Cena akcji ewoluuje jako: 𝑑𝑆𝑡 = 𝜇 ∙ 𝑆𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎 ∙ 𝑆𝑡 𝑑𝑊(𝑡)
Zmiana wartości portfela w małym interwale czasowym to : 𝑑Π(𝑡) = 𝑑𝑉 − ∆𝑑𝑆
Zmiana wartości opcji to: 𝑑𝑉 = ∆𝑑𝑆 + 𝑑Π(𝑡) przy czym 𝑉(𝑆, 𝑡), czyli wartość opcji zależy od
dwóch elementów: czasu do zapadalności i ceny aktywu bazowego.
Mamy więc sytuację w której zmiana wartości opcji jest jakąś funkcja zmiany ceny aktywu
bazowego i czasu. Obrazowo możemy to zapisać jako h t = f(𝑔 𝑡 ).
Model Blacka-Scholesa
Z obliczania pochodnych wiemy, że dla h t = f(𝑔 𝑡 ):
𝜕ℎ(𝑡)
𝜕𝑡
Inaczej:
=
𝜕f(𝑔 𝑡 )
𝜕𝑔(𝑡)
∙
𝜕𝑔 𝑡
𝜕𝑡
h′ t = f′(𝑔 𝑡 ) ∙ 𝑔′(𝑡)
Nasz proces 𝑑𝑆𝑡 nie jest różniczkowalny z uwagi na występowanie w nim procesu Wienera.
W tego typu stochastycznych procesach analogiczną operację wprowadza lemat Ito, który
mówi, że dla każdej dwukrotnie różniczkowalnej funkcji f(𝑆, 𝑡) (np. ceny instrumentu
pochodnego, która zależy od czasu t i wartości instrumentu bazowego S) gdzie 𝑑𝑆𝑡 = 𝑎𝑡 ∙ 𝑑𝑡 +
𝑏𝑡 ∙ 𝑑𝑊(𝑡) spełniona jest zależność:
𝜕𝑓
𝜕𝑓 1 2 𝜕 2 𝑓
𝜕𝑓
𝑑𝑓𝑡 =
+ 𝑎𝑡
+ 𝑏𝑡
𝑑𝑡
+
𝑏
d𝑊𝑡
𝑡
𝜕𝑡
𝜕𝑠 2
𝜕𝑠 2
𝜕𝑠
Jeśli 𝑎𝑡 = 𝜇 ∙ 𝑆𝑡 oraz 𝑏𝑡 = 𝜎 ∙ 𝑆𝑡 powyższe równanie przekształca się do:
2
𝜕𝑓
𝜕𝑓 1 2
𝜕𝑓
2𝜕 𝑓
𝑑𝑓𝑡 =
+ 𝜇 ∙ 𝑆𝑡
+ 𝜎 ∙ 𝑆𝑡
𝑑𝑡
+
𝜎
∙
𝑆
d𝑊𝑡
𝑡
𝜕𝑡
𝜕𝑠 2
𝜕𝑠 2
𝜕𝑠
Model Blacka-Scholesa
Używając lematu Ito do wyznaczenia 𝑑𝑉 otrzymujemy:
2
𝜕𝑉
𝜕𝑉 1 2
𝜕𝑉
2𝜕 𝑉
𝑑𝑉𝑡 =
+ 𝜇 ∙ 𝑆𝑡
+ 𝜎 ∙ 𝑆𝑡
𝑑𝑡
+
𝜎
∙
𝑆
d𝑊𝑡
𝑡
𝜕𝑡
𝜕𝑠 2
𝜕𝑠 2
𝜕𝑠
A zmiana wartości portfela dana jest jako:
𝑑Π 𝑡 = 𝑑𝑉 − ∆𝑑𝑆 =
2
𝜕𝑉
𝜕𝑉 1 2
𝜕𝑉
2𝜕 𝑉
+ 𝜇 ∙ 𝑆𝑡
+ 𝜎 ∙ 𝑆𝑡
𝑑𝑡
+
𝜎
∙
𝑆
d𝑊𝑡 − ∆ 𝜇 ∙ 𝑆𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎 ∙ 𝑆𝑡 𝑑𝑊𝑡
𝑡
𝜕𝑡
𝜕𝑠 2
𝜕𝑠 2
𝜕𝑠
Uporządkujmy wyrazy (dt i dW):
2
𝜕𝑉
𝜕𝑉 1 2
𝜕𝑉
2𝜕 𝑉
𝑑Π𝑡 =
+ 𝜇 ∙ 𝑆𝑡
+ 𝜎 ∙ 𝑆𝑡
−
∆𝜇
∙
𝑆
𝑑𝑡
+
𝜎
∙
𝑆
− 𝜎 ∙ 𝑆𝑡 ∙ ∆ 𝑑𝑊𝑡
𝑡
𝑡
𝜕𝑡
𝜕𝑠 2
𝜕𝑠 2
𝜕𝑠
Zwrócimy uwagę, że pierwszy wyraz jest ściśle deterministyczny, nie ma w nim losowości, która
pod postacią procesu Wienera ujawnia się w drugim wyrazie. Jak ją wyeliminować?
Podstawiając za ilość aktywu bazowego:
∆=
𝝏𝑽
𝝏𝒔
Model Blacka-Scholesa
Wtedy proces zmian wartości portfela staje się deterministyczny i zależy od zmian wartości
czasowej portfela oraz zmienności aktywu bazowego (znika też dryf! Patrz poprzednia strona):
2
𝜕𝑉
1 2
2𝜕 𝑉
𝑑Π𝑡 =
+ + 𝜎 ∙ 𝑆𝑡
𝑑𝑡
𝜕𝑡
2
𝜕𝑠 2
Biorąc pod uwagę, że zakładamy, iż zmienność jest wielkością znaną portfel staje się pozbawiony
ryzyka, a jego stopa zwrotu musi się równać stopie wolnej od ryzyka:
𝑑Π𝑡
= 𝑟𝑑𝑡
Π𝑡
Podstawiamy:
2 𝜕2𝑉
𝜕𝑉
1 2
+ + 𝜎 ∙ 𝑆𝑡
2
𝜕𝑡
𝜕𝑠 2
𝜕𝑉
𝑉𝑡 − 𝑆𝑡
𝜕𝑠
=𝑟
I porządkując otrzymujemy równanie Blacka-Scholesa:
𝝏𝑽 𝟏 𝟐 𝝏𝟐 𝑽
𝝏𝑽
+ 𝝈 𝑺 𝟐 + 𝒓𝑺
− 𝐫𝐕 = 𝟎
𝝏𝒕 𝟐
𝝏𝑺
𝝏𝑺
Model Blacka-Scholesa dla opcji
W przypadku opcji z kursem wykonania K, której wartość w terminie zapadalności określa
funkcja m𝑎𝑥 𝑆 − 𝐾, 0 wartość takiego instrumentu to (wg. miary martyngałowej):
𝐶𝑡 𝑆 = 𝑒 −𝑟
𝑇−𝑡
𝐸 𝑄 (𝑓(𝑆)) = 𝑒 −𝑟
𝑇−𝑡
𝐸 𝑄 (m𝑎𝑥 𝑆 − 𝐾, 0 )
model B-S przyjmuje następującą postać:
𝐶𝑡 𝑆 = 𝑆𝑡 Φ 𝑑1 − 𝑒 −𝑟(𝑇−𝑡) 𝐾 Φ 𝑑2
gdzieΦ to dystrybuanta rozkładu N(0,1) oraz
𝑑1 =
ln
𝑆𝑡
𝐾
+ 𝑟+
𝜎2
2
𝜎 𝑇−𝑡
(𝑇−𝑡)
𝑑2 =
ln
𝑆𝑡
𝐾
−(𝑟−
𝜎2
)(𝑇−𝑡)
2
𝜎 𝑇−𝑡
𝜱 𝒅𝟏 oznacza znaną nam ∆ (deltę), czyli ilość aktywu bazowego, które musimy w danym
momencie posiadać dla zabezpieczenia portfela
𝜱 𝒅𝟐 określa prawdopodobieństwo wykonania opcji w świecie wolnym od ryzyka. Mówi nam
też o tym ile w portfelu replikującym powinniśmy mieć obligacji (−𝑒 −𝑟(𝑇−𝑡) 𝐾 Φ 𝑑2 ).
Cenę opcji sprzedaży łatwo otrzymać posługując się parytetem kupna-sprzedaży
Opcja sprzedaży
Z parytetu kupna i sprzedaży (put-call parity) wiemy, że:
𝐶𝑡 − 𝑃𝑡 = 𝑆𝑡 − 𝑒 −𝑟
𝑇−𝑡
𝐾
Używając powyższego do określenia ceny opcji kupna otrzymujemy:
𝑃𝑡 = 𝑆𝑡 Φ 𝑑1 − 𝑒 −𝑟
𝑇−𝑡
𝐾 Φ 𝑑2
−𝑆𝑡 +𝑒 −𝑟
𝑇−𝑡
𝐾
Przekształcamy używając Φ 𝑑1 − 1 = Φ −𝑑1 do:
𝑃𝑡 𝑆 = −𝑆𝑡 Φ −𝑑1 + 𝑒 −𝑟
𝑇−𝑡
𝐾 Φ −𝑑2
Uogólniając równanie ceny opcji w modelu BS dla opcji Call i Put zarazem:
𝐵𝑆 𝐶𝑎𝑙𝑙: 𝑝ℎ𝑖 = 1, 𝑃𝑢𝑡: 𝑝ℎ𝑖 = −1 = 𝜑(𝑆𝑡 Φ 𝜑𝑑1 − 𝑒 −𝑟
𝑇−𝑡
𝐾 Φ 𝜑𝑑2 )
Model Blacka-Scholesa: przykład
Chcemy wycenić opcję o terminie zapadalności 6M i kursie wykonania K=110. Zakładamy, że
zmienność ceny akcji wynosi 20%.
Jaka będzie jej cena w zależności od tego jaki jest obecny kurs akcji?
Rozwiązanie: Liczymy cenę opcji podstawiając w modelu B-S 𝐶𝑡 𝑆 = 𝑆𝑡 Φ 𝑑1 − 𝑒 −𝑟(𝑇−𝑡) 𝐾 Φ 𝑑2
kolejne kursy bieżące
Model Blacka-Scholesa: przykład
Jeśli tą opcje wystawiliśmy i chcemy się zabezpieczyć to ile, zależnie od tego jaki jest bieżący
kurs akcji, powinniśmy mieć w portfelu akcji?
Z wyprowadzenie równania B-S i poprzednich wykładów wiemy (lub podejrzewamy), że chodzi o
pochodną ceny opcji względem ceny instrumentu bazowego. W modelu B-S jej wartość to delta:
𝜕𝐶
= 𝑁 𝑑1
𝜕𝑆
Model Blacka-Scholesa: przykład
W jakich rejonach kursu zmiany wielkości zabezpieczenia będą największe?
Nasze pytanie to inaczej pytanie o wrażliwość delty na zmiany stopy procentowej, czyli
pochodna delty po kursie. Biorąc pod uwagę, że delta to pierwsze pochodna po kursie, chodzi
nam w rezultacie o drugą pochodną ceny opcji po kursie. Ta wielkość to gamma:
𝜕2𝐶
𝑁′ 𝑑1
=
𝜕𝑆 2 𝑆𝑡 𝜎 𝑇 − 𝑡
Geometryczny ruch Browna?
100
400
90
350
80
300
70
250
60
200
50
150
40
30
100
20
50
10
0
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Na lewym wykresie pokazano rozkład empiryczny dziennych stóp zwrotu WIG20 z
okresu 2002-2012 (histogram) i najlepiej dopasowany do niego rozkład normalny
(linia czerwona).
Z własności dystrybuanty wiemy, że jeśli X ma pewien rozkład o dystrybuancie F, to
zmienna F(X) ma rozkład jednostajny U(0,1). Innymi słowy jeśli F 𝑋 = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥), to
𝐹 𝑋 ~𝑈 0,1 .
Jeśli więc rozkład stóp zwrotu WIG20 jest normalny 𝑁 𝜇, 𝜎 2 (lub inaczej, że rozkład
poziomów jest lognormalny jak mówi model B-S), to 𝐹𝑁 𝜇ෝ ,ෝ𝜎2 𝑋 ~𝑈 0,1 .
Na prawym wykresie odłożono 𝐹𝑁 𝜇ෝ ,ෝ𝜎2 𝑋 , który jest daleki od jednostajnego –
zdarzeń w ogonach i w centrum jest więcej niż być powinno.
2000
Jak sobie radzą uczestnicy rynku?
1000
0
2000-03-01
2003-04-10
2006-05-15
2009-06-17
2012-06-22
400
WIG20 - dzienne stopy zwrotu
350
0.2
300
0.1
250
0
200
150
-0.1
100
-0.2
2000-03-01
2003-04-10
2006-05-15
2009-06-17
2012-06-22
50
0
-0.15
Zmienność implikowana
-0.1
-0.05
0
0.05
Uśmiech zmienności implikowanej
45
Zmienność
implikowana
40
35
30
RiskReversal
25-Delta
25
Uśmiech
zmienności
ButterFly
25-Delta
20
15
10
5
Kurs walutowy
0
2004
2005
EURUSD
2006
2007
EURPLN
2008
EURCZK
2009
0.1
2010
EURHUF
25-Delta put
At-The-Money
25-Delta call
Zmienność implikowana
Uczestnicy rynku zdają sobie sprawę, że założenia modelu B-S nie są spełnione i jest
on pewną idealizacją. Dynamiczna replikacja nie jest w pełni możliwa, gdyż m.in.
występują koszty transakcyjne, ceny zmieniają się w sposób skokowy, a sama
zmienność nie jest stała w czasie i nie jest znana, mogąc być co najwyżej estymowana.
Mimo to model pozostaje najważniejszym punktem odniesienie dla wyceny rynkowej,
z tym, że modyfikuje się część z jego założeń, przede wszystkim te dotyczące
charakterystyki procesu cen.
Ze wszystkich parametrów modelu B-S najważniejszą (jedyną) niewiadomą jest
zmienność. W konwencji rynkowej uczestnicy rynku podając cenę opcji często podają
po prostu zmienność, która wstawiona do modelu B-S wraz z innymi znanymi na rynku
parametrami (jak kurs wykonania, bieżący kurs, termin zapadalności, stopa proc.) daje
(implikuje) cenę opcji, dlatego też tak kwotowana zmienność zwana jest implikowaną.
Po pierwsze, zmienność implikowana okazuje się być zmienna w czasie, co oddaje
rzeczywisty charakter zmienności, ujmowany np. modelami typu GARCH.
Po drugie, zmienność implikowana dla różnych cen wykonania jest różna, co do zasady
będąc wyższa dla opcji OTM i ITM (wartości ekstremalnych), odzwierciedlając grube
ogony rzeczywistych rozkładów stóp zwrotu. Zjawisko to nazywa się uśmiechem
zmienności.