W świecie figur płaskich…
advertisement
W świecie figur płaskich… Jeżeli figury płaskie kojarzą ci się wyłącznie z kolejnym nudnym matematycznym działem nauki to jesteś w błędzie!! Zauważ, że masz z nimi do czynienia od najmłodszych lat, To na nich opiera się zarówno dzisiejsza technika jak i mniej skomplikowana moda. Ale to są tylko nieliczne przykłady. Rozejrzyj się wokół siebie, cały świat zbudowany jest na podstawie figur płaskich UWAGA!! Wybierz odpowiednie zagadnienie aby przejść do jego omówienia! kwadrat Trójkąt wpisany w okrąg.. prostokąt Twierdzenie Pitagorasa trójkąt Podstawowe figury płaskie Cechy przystawania Trójkątów koło trapez Figury podobne Praktyczne zastosowanie figur Najważniejsze informacje dotyczące D kwadratu: C Kwadrat, to czworokąt, tzn. posiada on cztery kąty. Można też zauważyć, że jego kąty wewnętrzne mają równe miary - 90°. Miary boków są równe. Kwadrat jest wielekątem foremnym. A B a a a a Kwadrat posiada cztery osie symetrii oraz środek symetrii. Najważniejsze informacje dotyczące kwadratu: Kwadrat posiada dwie przekątne, które są: - wzajemnie prostopadłe, -równej długości. d1 Kwadrat można zaliczyć do innych figur płaskich, gdyż jest to romb o wszystkich kątach prostych oraz prostokąt mający wszystkie boki jednej długości. Jednak ta przynależność nie jest obustronna. Ani rombu ani prostokąta nie można nazwać kwadratem!!! Każda para, obojętnie jakich kwadratów, jest do siebie podobna! d ~ Obwód kwadratu jest równy sumie długości jego wszystkich boków, a z uwagi na to, że w kwadracie wszystkie boki są równe, obwód można zapisać wzorem: Obwód=4a a a Pole kwadratu jest równe iloczynowi długości jego dwóch boków: a a P= a² Możesz teraz powrócić do głównego menu w celu zapoznania się z kolejnym, wybranym przez Ciebie, zagadnieniem... Kliknij na mnie, aby powrócić do menu! ...bądź, za pomocą kliknięcia myszy, przejść do następnego działu, którym jest: Trójkąt Trójkąty Teraz zajmiemy się kolejną figurą płaskątrójkątem. Ten wielokąt jest jedną z najczęściej spotykanych figur; zarówno w matematyce jak i w życiu codziennym. Budowa Trójkąta Trójkąt jest to wielokąt,składający się z trzech boków, trzech kątów i posiadający trzy wierzchołki. Boki te nazywamy ramionami i podstawą trójkąta. 2 a b ramiona podstawa 1 c 3 Suma miar kątów wewnętrznych trójkąta wynosi 180°. b a+b+d=180° b a d a c c+b>a b Suma długości dwóch dowolnych boków trójkąta musi być większa od długości trzeciego boku. a+c>b b a+b>c a d a c Rodzaje Trójkątów Trójkąty dzielimy ze względu na: miary kątów ostrokątny *Kliknij na wybrany trójkąt, aby przeczytać o nim więcej. Rysunki pobrane ze strony http://edu.apple.pl długości boków Kliknij na mnie aby powrócić do menu! Trójkąt Równoboczny Trójkątem równobocznym, nazywamy taki trójkąt, którego wszystkie boki mają równe długości, a kąty równe miary. a a a Trójkąt Równoramienny b b h Trójkąt równoramienny, to trójkąt, którego ramiona mają równe długości. a W tym trójkącie wysokość dzieli podstawę na 2 równe części, a kąty przy podstawie mają równe miary. Trójkąt Różnoboczny Trójkąt różnoboczny, to taki trójkąt, którego wszystkie boki oraz kąty mają RÓŻNE miary. b a c Trójkąt Ostrokątny Trójkąt,w którym wszystkie kąty są Ostre, nazywamy trójkątem ostrokątnym. (kąt ostry<90°) Trójkąt Prostokątny przeciwprostokątna a c przyprostokątne . W tym trójkącie 2 wysokości pokrywają się z ramionami. b Trójkątem prostokątnym, nazywamy taki trójkąt, którego jeden z kątów ma 90°. Trójkąt Rozwartokątny W trójkącie rozwartokątnym jeden z kątów jest rozwarty. Kliknij na mnie aby iść dalej a a > 90° Podsumowanie Ostrokątny Równoboczny Równoramienny Różnoboczny Prostokątny Rozwartokątny Pole trójkąta Pole trójkąta wyrażane jest najczęściej wzorem h 1 P = ah 2 gdzie a jest podstawą, a h wysokością a Okazuje się, że w rzeczywistości jest to wzór na pole prostokąta, który podzielono na 2 części. Związek pola trójkąta i pola prostokąta- na przykładzie trójkąta równoramiennego. a s s b a + a b s a b Obwód trójkąta Obwód trójkąta obliczamy dodając długości ramion oraz podstawy. a b Obwód= a+b+c c Możesz teraz powrócić do głównego menu w celu zapoznania się z kolejnym, wybranym przez Ciebie, zagadnieniem... Kliknij na mnie aby powrócić do menu! ...bądź, za pomocą kliknięcia myszy, przejść do następnego działu, którym jest: Cechy przystawania trójkątów Cechy przystawania trójkątów Czyli kiedy trójkąty są bliźniakami.... Przystawanie figur płaskich Jeżeli przekształcimy jedną figurę przez odbicie symetryczne, obrót lub przesunięcie, to otrzymamy figurę przystającą.* Przystawanie trójkątów Tak samo dzieje się z trójkątami. Występują 3 cechy pozwalające nam rozpoznać trójkąty przystające. *definicja z podręcznika „Matematyka 2001 dla klas 2” Cechy przystawania trójkątów, to znaki rozpoznawcze trójkątów przystających. Cechy przystawania trójkątów Kliknij na wybraną cechę aby dowiedzieć się więcej I cecha „Bok, bok, bok” a=a 1 b=b1 Jeżeli dwa trójkąty mają równe długości wszystkich boków, to wiemy na pewno, że są to trójkąty przystające. b a c c=c 1 b1 a1 c1 II cecha „Kąt, bok, kąt” Jeżeli dwa trójkąty mają jeden bok równej długości oraz dwa kąty przylegające do niego równej miary, to trójkąty te są przystające. b a b a c c=c 1 b1 a1 a b c1 III cecha „Bok, kąt, bok” Jeżeli dwa trójkąty mają dwa boki równej długości, a kąt pomiędzy nimi zawarty jest w obu trójkątach taki sam, to są to trójkąty przystające. a=a1 b=b1 a d c b d a1 c1 b1 Twierdzenie Pitagorasa Odkrycie tego twierdzenia w naszym (zachodnioeuropejskim) kręgu kulturowym przypisywane jest żyjącemu w VI wieku p.n.e. greckiemu matematykowi i filozofowi Pitagorasowi, chociaż niemal pewne jest, że znali je przed nim starożytni Egipcjanie. Wiadomo też, że jeszcze przed Pitagorasem znano je w starożytnych Chinach, Indiach i Babilonii. Twierdzenie Pitagorasa • Wersja geometryczna: Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. • Wersja algebraiczna: Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. Dowody twierdzenia • Liczba istotnie różnych dowodów twierdzenia Pitagorasa jest przytłaczająca, według niektórych źródeł przekracza 350. Euklides w Elementach podaje ich osiem, kolejne pojawiały się na przestrzeni wieków i pojawiają aż po dni dzisiejsze. • Niektóre z dowodów są czysto algebraiczne (jak dowód z podobieństwa trójkątów), inne mają formę układanek geometrycznych (prawdopodobny dowód Pitagorasa), jeszcze inne oparte są o równości pól pewnych figur. Zaraz zobaczymy przykład takiego dowodu: Dowód - układanka • Dany jest trójkąt prostokątny o bokach a, b i c jak na dole rysunku. Za pomocą czterech takich trójkątów układamy figurę przedstawioną po prawej stronie poniższej ilustracji. Drugi trójkąt umieszczamy tak, żeby jego bok a był w jednej linii z bokiem b pierwszego trójkąta, a boki c tworzyły kąt prosty (jest to możliwe, bo kąty w trójkącie sumują się do podwojonego kąta prostego). Następnie ustawiamy bok a trzeciego trójkąta w jednej linii z bokiem b drugiego, znów tak, aby boki c tworzyły kąt prosty. Domykamy kwadrat o boku a+b, umieszczając bok a czwartego trójkąta w linii z bokiem b trzeciego. c.d. • Z jednej strony pole powierzchni tego kwadratu to (a+b)2, bo a+b jest długością jego boku. Z drugiej strony, kwadrat utworzony jest przez cztery przystające trójkąty, każdy o polu ab/2 oraz środkowy kwadrat o boku c. Tak więc całkowite pole dużego kwadratu można zapisać jako 4·ab/2+c2. Możemy przyrównać te dwa wyrażenia i uprościć: (a + b)² = 4 · ab/2 + c² a ² + 2ab + b ² = 2ab + c ² a²+b²=c² Możesz teraz powrócić do głównego menu w celu zapoznania się z kolejnym, wybranym przez Ciebie, zagadnieniem... Kliknij na mnie aby powrócić do menu! ...bądź, za pomocą kliknięcia myszy, przejść do następnego działu, którym jest: Koło Koło • Kołem o środku O i promieniu r>0 nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu O nie jest większa od r. • Średnica koła jest większa od każdej cięciwy nie będącej średnicą. • Średnica prostopadła do cięciwy dzieli tę cięciwę na połowy. Pole koła Pole koła jest iloczynem kwadratu długości promienia i liczby Pi P = π r2 Liczba Pi Liczba Pi to stała matematyczna pojawiająca się w różnych działach matematyki i fizyki. π Jest ona jednym z czynników wzoru na obwód i pole koła. Stała ta, znana była już w starożytności. Zapisujemy ją specjalnym symbolem. Liczba pi jest liczbą niewymierną: 3,141592... Obwód koła Obwód koła jest iloczynem podwojonej liczby pi oraz długości promienia: obwód = 2 π r Możesz teraz powrócić do głównego menu w celu zapoznania się z kolejnym, wybranym przez Ciebie, zagadnieniem... Kliknij na mnie aby powrócić do menu! ...bądź, za pomocą kliknięcia myszy, przejść do następnego działu, którym jest: Prostokąt Prostokąt Prostokąt jest to czworokąt, którego wszystkie kąty są kątami prostymi. Prostokąt jest równoległobokiem, przeciwległe boki są równoległe i mają taką samą długość. Przekątną prostokąta nazywamy odcinek łączący dwa wierzchołki nie należące do jednego boku. Przekątne mają jednakową długość, a ich punkt przecięcia dzieli je na połowy. Punkt przecięcia przekątnych prostokąta jest środkiem okręgu opisanego na tym prostokącie. Obwód prostokąta = 2 (a+b) Długość przekątnej Długość promienia okręgu opisanego na prostokącie Możesz teraz powrócić do głównego menu w celu zapoznania się z kolejnym, wybranym przez Ciebie, zagadnieniem... Kliknij na mnie aby powrócić do menu! ...bądź, za pomocą kliknięcia myszy, przejść do następnego działu, którym jest: Praktyczne zastosowanie figur płaskich Praktyczne zastosowanie figur płaskich Praktyczne zastosowanie figur w życiu codziennym • W starożytności trójkąty służyły jako pomoc w budowaniu wzniosłych piramid. • Trójkątem posługujemy się także jako instrumentem muzycznym. • Podłogi zbudowane są z kafelków na kształt kwadratów. • Witraże to piękne przedstawienie figur płaskich. Możesz teraz powrócić do głównego menu w celu zapoznania się z kolejnym, wybranym przez Ciebie, zagadnieniem... Kliknij na mnie aby powrócić do menu! ...bądź, za pomocą kliknięcia myszy, przejść do następnego działu, którym jest: Trójkąt opisany na okręgu i Wpisany w okrąg Trójkąt wpisany w okrąg Rozpatrujemy przykład trójkąta równoramiennego wpisanego w okrąg. Pole trójkąta 1 P = ah 2 r Obwód trójkąta = 3a Pole koła P = πr² a a h Obwód koła L = 2πr a Cięciwa okręgu Jego boki są równocześnie cięciwami okręgu. Trójkąt wpisany w okrąg Trójkąt opisany na okręgu Boki trójkąta są styczne do okręgu. Okrąg jest styczny do boków trójkąta Wysokości tego trójkąta przecinają się w punkcie będącym jednocześnie środkiem danego okręgu. Możesz teraz powrócić do głównego menu w celu zapoznania się z kolejnym, wybranym przez Ciebie, zagadnieniem... Kliknij na mnie aby powrócić do menu! ...bądź, za pomocą kliknięcia myszy, przejść do następnego działu, którym jest: Trapez Trapez TRAPEZ prostokątny TRAPEZ równoramienny 1 P = ( a + b) h 2 L = a + b + 2c TRAPEZ prostokątny Trapez 1 P = ( a + b) h 2 Możesz teraz powrócić do głównego menu w celu zapoznania się z kolejnym, wybranym przez Ciebie, zagadnieniem... Kliknij na mnie aby powrócić do menu! ...bądź, za pomocą kliknięcia myszy, przejść do następnego działu, którym jest: Podobieństwo Figur Z podobieństwem spotykamy się w życiu codziennym . Często na ulicy spotykamy podobnych bliźniaków, ale zauważ, że oni nigdy nie są identyczni, różnią ich przede wszystkim wymiary. Jeden jest chociażby wyższy o cm od drugiego. Zajmijmy się teraz podobieństwem w matematyce, które się trochę różni od tego spotykanego w naszym życiu. Figury podobne są to takie figury, których odpowiednie boki są proporcjonalne tzn. stosunek ich długości jest stały, a miary kątów równe. Jeżeli dane figury są figurami foremnymi to są podobne. Np. każda para kwadratów jest do siebie podobna. Aby to udowodnić zastosuję parę obliczeń. Obliczam stosunek boków: 3 a=6cm a=3cm 6 = 1 2 A z uwagi na to iż każde boki mają te same długości to stosunek boków będzie taki sam! CECHY PODOBIEŃSTWA TRÓJKĄTÓW! Często trudno nam określić, czy dana para trójkątów jest podobna. Tutaj znajdziesz trzy cechy, dzięki którym rozpoznasz trójkąty podobne. I cecha podobieństwa trójkątów II cecha podobieństwa trójkątów Jeżeli dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków drugiego trójkąta, a kąty między nimi zawarte są przystające, to trójkąty te są podobne. C C b a a Jeżeli miary dwóch kątów jednego trójkąta są równe miarom odpowiednich dwóch kątów drugiego trójkąta, to trójkąty te są podobne (miary trzecich kątów wtedy też muszą być C równe). C b a a A c B A c B A a = a' DABC ~ DA'B'C' B A DABC ~ DA'B'C' = = B III cecha podobieństwa trójkątów (bok-kąt- bok) C C b A a c b B A a = a' DABC ~ DA'B'C' c B Jeżeli dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków drugiego trójkąta, a kąty między nimi zawarte są przystające, to trójkąty te są podobne. To już koniec naszej podróży po świecie figur płaskich. Mamy nadzieję, że ta prezentacja pozwoliła wam zgłębić przynajmniej część niesamowitych tajników matematyki. Made by: Ania Pierańska Ola Organiściak Asia Brzezińska Gimnazjum nr.58 w Poznaniu Sylwia Stryjkowska Ala Drapikowska
