W świecie figur płaskich…

advertisement
W świecie
figur
płaskich…
Jeżeli figury płaskie
kojarzą ci się wyłącznie
z kolejnym nudnym
matematycznym działem
nauki to jesteś w
błędzie!!
Zauważ, że masz z nimi do
czynienia od najmłodszych lat,
To na nich opiera się zarówno dzisiejsza technika jak i mniej skomplikowana moda.
Ale to są tylko nieliczne przykłady.
Rozejrzyj się wokół siebie, cały świat
zbudowany jest na podstawie figur
płaskich
UWAGA!! Wybierz odpowiednie zagadnienie aby
przejść do jego omówienia!
kwadrat
Trójkąt
wpisany w
okrąg..
prostokąt
Twierdzenie
Pitagorasa
trójkąt
Podstawowe
figury płaskie
Cechy
przystawania
Trójkątów
koło
trapez
Figury
podobne
Praktyczne
zastosowanie
figur
Najważniejsze informacje dotyczące
D
kwadratu:
C
Kwadrat, to czworokąt, tzn.
posiada on cztery kąty.
Można też zauważyć, że jego kąty
wewnętrzne mają równe miary - 90°.
Miary boków są równe. Kwadrat jest
wielekątem foremnym.
A
B
a
a
a
a
Kwadrat posiada cztery osie
symetrii oraz środek symetrii.
Najważniejsze informacje dotyczące
kwadratu:
Kwadrat posiada dwie przekątne, które są:
- wzajemnie prostopadłe,
-równej
długości.
d1
Kwadrat można zaliczyć do innych
figur płaskich, gdyż jest to romb o
wszystkich kątach prostych oraz
prostokąt mający wszystkie boki
jednej długości. Jednak ta
przynależność nie jest obustronna.
Ani rombu ani prostokąta nie można
nazwać kwadratem!!!
Każda para, obojętnie jakich kwadratów,
jest do siebie podobna!
d
~
Obwód kwadratu
jest równy sumie
długości jego
wszystkich boków,
a z uwagi na to,
że w kwadracie
wszystkie boki są
równe, obwód można
zapisać wzorem:
Obwód=4a
a
a
Pole kwadratu jest
równe iloczynowi
długości jego
dwóch boków:
a
a
P= a²
Możesz teraz powrócić do
głównego menu w celu
zapoznania się z kolejnym,
wybranym przez Ciebie,
zagadnieniem...
Kliknij na mnie,
aby powrócić do
menu! 
...bądź, za pomocą kliknięcia
myszy, przejść do następnego
działu, którym jest:
Trójkąt
Trójkąty
Teraz zajmiemy się
kolejną figurą płaskątrójkątem.
Ten wielokąt jest jedną
z najczęściej
spotykanych figur;
zarówno w matematyce jak
i w życiu codziennym.
Budowa Trójkąta
Trójkąt jest to
wielokąt,składający
się z trzech boków,
trzech kątów i
posiadający trzy
wierzchołki.
Boki te nazywamy ramionami i
podstawą trójkąta.
2
a
b
ramiona
podstawa
1
c
3
Suma miar kątów
wewnętrznych
trójkąta wynosi
180°.
b
a+b+d=180°
b
a
d
a
c
c+b>a
b
Suma długości dwóch
dowolnych boków
trójkąta musi być
większa od długości
trzeciego boku.
a+c>b
b
a+b>c a
d
a
c
Rodzaje Trójkątów
Trójkąty dzielimy ze względu na:
miary kątów
ostrokątny
*Kliknij na wybrany trójkąt, aby przeczytać o nim więcej.
Rysunki pobrane ze strony http://edu.apple.pl
długości boków
Kliknij na mnie
aby powrócić do
menu!
Trójkąt Równoboczny
Trójkątem
równobocznym,
nazywamy taki
trójkąt, którego
wszystkie boki mają
równe długości, a
kąty równe miary.
a
a
a
Trójkąt Równoramienny
b
b
h
Trójkąt
równoramienny,
to trójkąt,
którego
ramiona mają
równe
długości.
a
W tym trójkącie wysokość dzieli
podstawę na 2 równe części, a kąty
przy podstawie mają równe miary.
Trójkąt Różnoboczny
Trójkąt różnoboczny, to taki trójkąt,
którego wszystkie boki oraz kąty mają
RÓŻNE miary.
b
a
c
Trójkąt Ostrokątny
Trójkąt,w którym
wszystkie
kąty są
Ostre,
nazywamy
trójkątem
ostrokątnym.
(kąt ostry<90°)
Trójkąt Prostokątny
przeciwprostokątna
a
c
przyprostokątne
.
W tym
trójkącie 2
wysokości
pokrywają
się z
ramionami.
b
Trójkątem prostokątnym,
nazywamy taki trójkąt, którego
jeden z kątów ma 90°.
Trójkąt Rozwartokątny
W trójkącie
rozwartokątnym
jeden z kątów
jest rozwarty.
Kliknij na
mnie aby
iść dalej
a
a > 90°
Podsumowanie
Ostrokątny
Równoboczny
Równoramienny
Różnoboczny
Prostokątny
Rozwartokątny
Pole trójkąta
Pole trójkąta
wyrażane jest
najczęściej wzorem
h
1
P = ah
2
gdzie a jest podstawą,
a h wysokością
a
Okazuje się, że w rzeczywistości jest
to wzór na pole prostokąta, który
podzielono na 2 części.
Związek pola trójkąta i pola
prostokąta- na przykładzie
trójkąta równoramiennego.
a
s
s
b
a
+
a
b
s
a
b
Obwód trójkąta
Obwód trójkąta
obliczamy
dodając
długości ramion
oraz podstawy.
a
b
Obwód= a+b+c
c
Możesz teraz powrócić do
głównego menu w celu
zapoznania się z kolejnym,
wybranym przez Ciebie,
zagadnieniem...
Kliknij na mnie aby
powrócić do menu!

...bądź, za pomocą kliknięcia myszy,
przejść do następnego działu, którym
jest:
Cechy przystawania trójkątów
Cechy przystawania
trójkątów
Czyli kiedy
trójkąty są
bliźniakami....
Przystawanie figur
płaskich
Jeżeli przekształcimy jedną figurę przez
odbicie symetryczne, obrót lub
przesunięcie, to otrzymamy figurę
przystającą.*
Przystawanie trójkątów
Tak samo dzieje się z trójkątami.
Występują 3 cechy pozwalające nam
rozpoznać trójkąty przystające.
*definicja z podręcznika „Matematyka 2001 dla klas 2”
Cechy przystawania trójkątów, to znaki rozpoznawcze
trójkątów przystających.
Cechy
przystawania
trójkątów
Kliknij na wybraną cechę aby dowiedzieć się więcej
I cecha
„Bok, bok, bok”
a=a 1
b=b1
Jeżeli dwa trójkąty mają równe długości
wszystkich boków, to wiemy na pewno, że są
to trójkąty przystające.
b
a
c
c=c 1
b1
a1
c1
II cecha
„Kąt, bok, kąt”
Jeżeli dwa trójkąty mają jeden bok
równej długości oraz dwa kąty
przylegające do niego równej
miary, to trójkąty te są przystające.
b
a
b
a
c
c=c
1
b1
a1
a
b
c1
III cecha
„Bok, kąt, bok”
Jeżeli dwa trójkąty mają dwa boki równej
długości, a kąt pomiędzy nimi zawarty jest
w obu trójkątach taki sam, to są to trójkąty
przystające.
a=a1
b=b1
a
d
c
b
d
a1
c1
b1
Twierdzenie Pitagorasa
Odkrycie tego twierdzenia w naszym (zachodnioeuropejskim) kręgu kulturowym przypisywane jest
żyjącemu w VI wieku p.n.e. greckiemu
matematykowi i filozofowi Pitagorasowi, chociaż
niemal pewne jest, że znali je przed nim starożytni
Egipcjanie. Wiadomo też, że jeszcze przed
Pitagorasem znano je w starożytnych Chinach,
Indiach i Babilonii.
Twierdzenie Pitagorasa
• Wersja geometryczna:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny,
to suma pól kwadratów
zbudowanych na
przyprostokątnych jest równa
polu kwadratu zbudowanego
na przeciwprostokątnej.
• Wersja algebraiczna:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny,
to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa
kwadratowi długości
przeciwprostokątnej.
Dowody twierdzenia
• Liczba istotnie różnych dowodów
twierdzenia Pitagorasa jest przytłaczająca,
według niektórych źródeł przekracza 350.
Euklides w Elementach podaje ich osiem,
kolejne pojawiały się na przestrzeni wieków i
pojawiają aż po dni dzisiejsze.
• Niektóre z dowodów są czysto algebraiczne
(jak dowód z podobieństwa trójkątów), inne
mają formę układanek geometrycznych
(prawdopodobny dowód Pitagorasa), jeszcze
inne oparte są o równości pól pewnych figur.
Zaraz zobaczymy przykład takiego dowodu:
Dowód - układanka
• Dany jest trójkąt prostokątny o bokach a, b i c jak na dole
rysunku. Za pomocą czterech takich trójkątów układamy figurę
przedstawioną po prawej stronie poniższej ilustracji. Drugi trójkąt
umieszczamy tak, żeby jego bok a był w jednej linii z bokiem b
pierwszego trójkąta, a boki c tworzyły kąt prosty (jest to możliwe,
bo kąty w trójkącie sumują się do podwojonego kąta prostego).
Następnie ustawiamy bok a trzeciego trójkąta w jednej linii z
bokiem b drugiego, znów tak, aby boki c tworzyły kąt prosty.
Domykamy kwadrat o boku a+b, umieszczając bok a czwartego
trójkąta w linii z bokiem b trzeciego.
c.d.
• Z jednej strony pole powierzchni tego kwadratu to (a+b)2,
bo a+b jest długością jego boku. Z drugiej strony, kwadrat
utworzony jest przez cztery przystające trójkąty, każdy o
polu ab/2 oraz środkowy kwadrat o boku c. Tak więc
całkowite pole dużego kwadratu można zapisać jako
4·ab/2+c2. Możemy przyrównać te dwa wyrażenia i
uprościć:
(a + b)² = 4 · ab/2 + c²
a ² + 2ab + b ² = 2ab + c ²
a²+b²=c²
Możesz teraz powrócić do
głównego menu w celu
zapoznania się z kolejnym,
wybranym przez Ciebie,
zagadnieniem...
Kliknij na mnie aby
powrócić do menu!

...bądź, za pomocą kliknięcia myszy,
przejść do następnego działu, którym
jest:
Koło
Koło
• Kołem o środku O i promieniu r>0 nazywamy
zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których
odległość od punktu O nie jest większa od r.
• Średnica koła jest
większa od każdej
cięciwy nie będącej
średnicą.
• Średnica prostopadła do
cięciwy dzieli tę cięciwę
na połowy.
Pole koła
Pole koła
jest
iloczynem
kwadratu
długości
promienia i
liczby Pi
P = π r2
Liczba Pi
Liczba Pi to stała matematyczna
pojawiająca się w różnych działach
matematyki i fizyki.
π
Jest ona jednym z
czynników wzoru na
obwód i pole koła.
Stała ta, znana była
już w starożytności.
Zapisujemy ją
specjalnym
symbolem.
Liczba pi jest liczbą niewymierną: 3,141592...
Obwód koła
Obwód koła
jest iloczynem
podwojonej
liczby pi oraz
długości
promienia:
obwód = 2 π r
Możesz teraz powrócić do
głównego menu w celu
zapoznania się z kolejnym,
wybranym przez Ciebie,
zagadnieniem...
Kliknij na mnie aby
powrócić do menu!

...bądź, za pomocą kliknięcia myszy,
przejść do następnego działu, którym
jest:
Prostokąt
Prostokąt
Prostokąt jest to czworokąt, którego
wszystkie kąty są kątami prostymi.
Prostokąt jest równoległobokiem,
przeciwległe boki są równoległe i mają
taką samą długość.
Przekątną prostokąta nazywamy
odcinek łączący dwa wierzchołki nie
należące do jednego boku. Przekątne
mają jednakową długość, a ich punkt
przecięcia dzieli je na połowy.
Punkt przecięcia przekątnych
prostokąta jest środkiem okręgu
opisanego na tym prostokącie.
Obwód prostokąta = 2 (a+b)
Długość przekątnej
Długość promienia okręgu
opisanego na prostokącie
Możesz teraz powrócić do
głównego menu w celu
zapoznania się z kolejnym,
wybranym przez Ciebie,
zagadnieniem...
Kliknij na mnie aby
powrócić do menu!

...bądź, za pomocą kliknięcia myszy,
przejść do następnego działu, którym
jest:
Praktyczne zastosowanie figur płaskich
Praktyczne zastosowanie figur
płaskich
Praktyczne zastosowanie figur
w życiu codziennym
• W starożytności trójkąty służyły jako
pomoc w budowaniu wzniosłych piramid.
• Trójkątem posługujemy się także jako
instrumentem muzycznym.
• Podłogi zbudowane są z kafelków na
kształt kwadratów.
• Witraże to piękne przedstawienie figur
płaskich.
Możesz teraz powrócić do
głównego menu w celu
zapoznania się z kolejnym,
wybranym przez Ciebie,
zagadnieniem...
Kliknij na mnie aby
powrócić do menu!

...bądź, za pomocą kliknięcia myszy,
przejść do następnego działu, którym
jest:
Trójkąt opisany na okręgu i Wpisany w
okrąg
Trójkąt wpisany w okrąg
Rozpatrujemy przykład
trójkąta
równoramiennego
wpisanego w okrąg.
Pole trójkąta
1
P = ah
2
r
Obwód trójkąta = 3a
Pole koła
P = πr²
a
a
h
Obwód koła
L = 2πr
a
Cięciwa
okręgu
Jego boki są
równocześnie cięciwami
okręgu.
Trójkąt wpisany
w okrąg
Trójkąt opisany na
okręgu
Boki trójkąta są
styczne do
okręgu.
Okrąg jest
styczny do
boków trójkąta
Wysokości tego
trójkąta przecinają
się w punkcie
będącym jednocześnie
środkiem danego
okręgu.
Możesz teraz powrócić do
głównego menu w celu
zapoznania się z kolejnym,
wybranym przez Ciebie,
zagadnieniem...
Kliknij na mnie aby
powrócić do menu!

...bądź, za pomocą kliknięcia myszy,
przejść do następnego działu, którym
jest:
Trapez
Trapez
TRAPEZ
prostokątny
TRAPEZ
równoramienny
1
P = ( a + b) h
2
L = a + b + 2c
TRAPEZ
prostokątny
Trapez
1
P = ( a + b) h
2
Możesz teraz powrócić do
głównego menu w celu
zapoznania się z kolejnym,
wybranym przez Ciebie,
zagadnieniem...
Kliknij na mnie aby
powrócić do menu!

...bądź, za pomocą kliknięcia myszy,
przejść do następnego działu, którym
jest:
Podobieństwo Figur
Z podobieństwem spotykamy się w życiu
codziennym . Często na ulicy spotykamy
podobnych bliźniaków, ale zauważ, że oni
nigdy nie są identyczni, różnią ich przede
wszystkim wymiary. Jeden jest chociażby
wyższy o cm od drugiego. Zajmijmy się
teraz podobieństwem w matematyce, które
się trochę różni od tego spotykanego w
naszym życiu.
Figury podobne są to takie figury,
których odpowiednie boki są
proporcjonalne tzn. stosunek ich
długości jest stały, a miary kątów
równe.
Jeżeli dane figury są
figurami foremnymi to są
podobne.
Np. każda para kwadratów
jest do siebie podobna.
Aby to udowodnić
zastosuję parę obliczeń.
Obliczam stosunek boków:
3
a=6cm
a=3cm
6
=
1
2
A z uwagi na to iż każde boki mają
te same długości to stosunek boków
będzie taki sam!
CECHY PODOBIEŃSTWA
TRÓJKĄTÓW!
Często trudno nam
określić, czy dana para
trójkątów jest podobna.
Tutaj znajdziesz trzy
cechy, dzięki którym
rozpoznasz trójkąty
podobne.
I cecha
podobieństwa
trójkątów
II cecha
podobieństwa
trójkątów
Jeżeli dwa boki jednego
trójkąta są proporcjonalne
do dwóch boków drugiego
trójkąta, a kąty między nimi
zawarte są przystające, to
trójkąty te są podobne.
C
C
b
a
a
Jeżeli miary dwóch kątów
jednego trójkąta są równe
miarom odpowiednich dwóch
kątów drugiego trójkąta,
to trójkąty te są podobne
(miary trzecich kątów
wtedy też muszą być
C
równe).
C
b
a
a
A
c
B A
c
B
A
a = a'
DABC ~ DA'B'C'
B A
DABC ~ DA'B'C'
=
=
B
III cecha podobieństwa
trójkątów (bok-kąt- bok)
C
C
b
A
a
c
b
B A
a = a'
DABC ~ DA'B'C'
c
B
Jeżeli dwa boki
jednego trójkąta
są proporcjonalne
do dwóch boków
drugiego trójkąta,
a kąty między nimi
zawarte są
przystające, to
trójkąty te są
podobne.
To już koniec naszej
podróży po świecie
figur płaskich. Mamy
nadzieję, że ta
prezentacja pozwoliła
wam zgłębić
przynajmniej część
niesamowitych tajników
matematyki.
Made by:
Ania Pierańska
Ola Organiściak
Asia Brzezińska
Gimnazjum
nr.58 w
Poznaniu
Sylwia Stryjkowska
Ala Drapikowska
Download
Random flashcards
Motywacja w zzl

3 Cards ypy

Create flashcards