pomiar mocy prądu przemiennego metodami elektronicznymi

Eksploatacja i testy
I
Konrad ZAJKOWSKI, Stanisław DUER
POMIAR MOCY PRĄDU PRZEMIENNEGO METODAMI ELEKTRONICZNYMI
W artykule omówiono metodę pomiaru mocy czynnej i biernej według Budeanu dla prądu przemiennego przy wykorzystaniu algorytmów elektronicznych. Zaproponowany sposób pomiaru mocy może być zastosowany w urządzeniach energetycznych w układach bezpieczeństwa w transporcie.
WSTĘP
Wartość mocy jest parametrem niezbędnym do rozliczania i
planowania gospodarki energią elektryczną w transporcie. Przyrządy mechaniczne do pomiaru mocy oparte na silniku reluktancyjnym,
oprócz dużych niedokładności pomiaru w obwodach z przebiegami
odkształconymi, nie umożliwiały sterowania przepływem energii i
pomiaru zdalnego. Pierwsze metody cyfrowego pomiaru mocy były
bardzo niedokładne. Błąd pomiarowy zwiększał się przy zwiększaniu zniekształceń harmonicznych. Spowodowało to intensywny
rozwój metod pomiaru mocy.
W przypadku przebiegów sinusoidalnych do wyznaczenia mocy
potrzebna jest znajomość wartości skutecznych napięcia i prądu,
oraz przesunięcia fazowego między nimi. W przypadku przebiegów
odkształconych moc czynna jest sumą mocy czynnych dla każdej z
harmonicznych napięcia i prądu, natomiast moc bierna zależy od
definicji wynikającej z przyjętej teorii mocy.
W większości przypadków działanie cyfrowych przyrządów do
pomiaru mocy opiera się na wykorzystaniu zależności
1
P
T
t T
 ut  it dt .
(1)
t
Zależność (1) prawdziwa jest zarówno dla sygnałów sinusoidalnych jak i niesinusoidalnych okresowych. Różnice rozwiązań w
miernikach mocy wynikają ze sposobu realizacji mnożenia sygnałów
toru napięciowego i prądowego.
1. REALIZACJA POMIARU PRĄDU I NAPIĘCIA
Pomiar prądu z separacją galwaniczną od źródła odbywa się w
układzie różnicowym (rys.1).
wzmocnieniem. Napięcie odniesienia analogowego układu pomiarowego pochodzi od centralnego węzła w układzie rezystancji pomiarowej Rb. Zapewnia to komplementarność sygnałów wejściowych V1P i V1N. Przekładnik CT dopasowuje zakres prądowy oraz
zapewnia separację galwaniczną między ustrojem a linią zasilania.
Wartość rezystancji Rb jest tak dobrana, aby przepływający prąd
strony wtórnej przekładnika prądowego przy maksymalnym obciążeniu powodował spadek napięcia na rezystancji Rb mniejszy od
maksymalnego napięcia wejściowego wzmacniacza operacyjnego.
PT
Rys. 2. Pomiar napięcia w układzie różnicowym z separacją galwaniczną
Pomiar napięcia (rys.2) odbywa się w sposób analogiczny jak
poprzednio. Przekładnik napięciowy PT zapewnia pełną izolację od
linii zasilania i wytwarza symetryczne potencjały V2P i V2N. Niskoszumowy wzmacniacz operacyjny posiada programowo sterowane
wzmocnienie.
1.1.
Błąd pomiaru przy składowej stałej
Pomiar prądu i napięcia przy wykorzystaniu wzmacniaczy operacyjnych charakteryzuje się stałym błędem pomiaru wynikającym z
pojawienia się składowej stałej prądu i napięcia na wyjściu tych
wzmacniaczy. Mnożenie dwóch przebiegów zawierających składowe stałe U0 i I0 prowadzi do postaci:
U m cost   U 0  I m cost   I 0  

UmIm
 U 0 I 0  U 0 I m  I 0U m  cost  



2


1
0

Rys. 1. Pomiar prądu w układzie różnicowym z separacją galwaniczną
Rysunek 1 przedstawia schemat połączeń dla kanału prądowego współpracującego z przekładnikiem prądowym CT. Wzmacniacz wstępny dokonuje pomiaru w układzie różnicowym. Jest on
niskoszumowym wzmacniaczem operacyjnym z programowalnym
(2)
UmIm
cos2t .
2 

2
W wyniku mnożenia tych funkcji uzyskuje się trzy człony dla kolejnych trzech pulsacji. Przedstawia to rysunek 3, na którym zaznaczono wpływ składowej stałej prądu i napięcia na wartość wyznaczanej mocy czynnej.
12/2016 AUTOBUSY 1505
I
Eksploatacja i testy
U0I0
Filtr LPF przenosi
obydwie składowe stałe
UmIm
2
UmIm
2
LPF
0
I0Um
U0Im
1

2
Rys. 3. Błąd pomiaru mocy przy składowej stałej prądu i napięcia
Dostarczenie składowych stałych na obydwa kanały pomiarowe
prądu i napięcia, powoduje pojawienie się błędów pomiaru. Ponieważ składowa stała przenoszona jest przez filtr dolnoprzepustowy
LPF (rys.6), będzie ona oddziaływać na wynik mocy czynnej. Jeśli
nie będzie prawidłowego filtrowania, to oddziaływanie składowej
stałej wprowadzi błąd systematyczny na wynik mnożenia. Ten
problem można łatwo zniwelować poprzez włączenie filtra górnoprzepustowego HPF (rys.6) w jednym z kanałów. Poprzez usunięcie
składowej stałej w co najmniej jednym kanale, redukuje się oddziaływanie członu U0I0 przy pulsacji 0 w równaniu (2). Składowe dla
pulsacji 1 i 2 usuwane są przez filtr dolnoprzepustowy LPF.
Oddziaływanie filtru górnoprzepustowego HPF w kanale prądowym powoduje przesunięcie fazy tego sygnału, co przedstawiono
na rysunku 4 i 5. Aby zrównoważyć ten błąd i zrównoważyć odpowiedź fazową między kanałami, umieszczono w kanale prądowym
korekcję fazy (rys.6). Zapewni to prawidłowe obliczenie składowej
mocy czynnej nawet przy małym współczynniku mocy. Korekcja
fazy w rozwiązaniach praktycznych odbywa się w zakresie od 45 Hz
do 65 Hz o kąt ± 0,1°, natomiast w zakresie 40 Hz do 1 kHz o kąt ±
0,2°.
Rys. 5. Błąd fazy między kanałami (40 Hz do 70 Hz)
2. ALGORYTM POMIARU MOCY CZYNNEJ
Przebiegi prądu i napięcia rejestrowane są niezależnie w
dwóch przetwornikach analogowo-cyfrowych ADC. Filtr górnoprzepustowy HPF w kanale prądowym usuwa składową stałą z sygnału.
Eliminuje to błędy w obliczaniu mocy czynnej omówione w rozdziale
1.1.
Obliczenie mocy czynnej wynika z analizy przebiegu chwilowego sygnału mocy zgodnie z zależnością (1). Przebieg ten uzyskuje
się przez bezpośrednie przemnożenie próbek sygnałów prądowych i
napięciowych. Gdy brak jest przesunięcia fazowego między przebiegiem prądu i napięcia:
u t   U m cost  , it   I m cost  ,
(3)
wówczas w wyniku mnożenia uzyskuje się:
pt   ut  it  
UmIm
1  cos2t  .
2
(4)
Gdy przesunięcie fazowe  jest niezerowe, wówczas:
pt   U m cost   I m cost    .
Po elementarnych przekształceniach uzyskuje się:
pt  
UmIm
U I
cos   m m cos2t    .
2
2
(5)
Gdy przebiegi napięcia i prądu są sinusoidalne i przesunięte
względem siebie o dowolny kąt , moc czynna wyznaczona z przebiegu p(t) jest składową stałą równania (5) i dana jest przez:
Rys. 4. Przykładowy błąd fazy między kanałami (0 Hz do 1 kHz)
według producenta układów scalonych ADE7751 i ADE7755
P
Um  Im
cos  .
2
(6)
W celu wyznaczenia składowej czynnej mocy, moc chwilowa
sygnału jest filtrowana filtrem dolnoprzepustowym LPF. Funkcje te
przedstawiono na rysunku 6. Ten sposób pomiaru poprawnie wylicza moc czynną również dla niesinusoidalnych przebiegów prądu
i napięcia dla dowolnej wartości współczynnika mocy. Całe przetwarzanie sygnału odbywa się po stronie cyfrowej, zatem pozbawione
jest zakłóceń wywoływanych wpływem temperatury i czasu.
1506 AUTOBUSY 12/2016
Eksploatacja i testy
I
korekcja
fazy
i(n)
ADC
u(n)
ADC
h – przesunięcie h-tej harmonicznej prądu.
HPF

Dla przebiegów prądu i napięcia wyrażonych przez (7) i (8)
możliwe jest wyznaczenie mocy czynnej poprzez składową podstawową P1:
LPF
p'(t)
p(t)
P1  U m0 I m0  U1  I1 cos1  ,
gdzie
p(t)
p'(t)
i składową harmoniczną PH wymuszoną przez pozostałe harmoniczne.
UmIm
2
UmIm
2

PH  U h  I h cos h  ,
Rys. 6. Schemat blokowy układu do wyznaczenia mocy czynnej
P  p'(t)
Metoda wyznaczania mocy czynnej przez filtrację dolnoprzepustową chwilowej mocy sygnału jest słuszna nawet wówczas, gdy
mierzone sygnały napięcia i prądu nie są w fazie. Rysunek 7 przedstawia przebiegi dla stanów: a) gdy współczynnik mocy jest równy
jeden, b) dla współczynnika mocy równego = 0,5 - czyli dla przesunięcia fazowego równego 600.
a)
p(t)
p'(t)
UmIm
2
(9)
1  1  1 ,
t
0
(10)
h2
h   h   h .
Suma tych składowych daje moc czynną:
P  P1  PH ,
(11)
Jak widać z równania (10), składowa harmoniczna mocy czynnej PH generowanej dla każdej harmonicznej jest wyznaczalna, gdy
harmoniczne są niezerowe zarówno w przebiegu prądu i napięcia.
Wyznaczenie współczynnika mocy jest możliwe w przypadku czystej sinusoidy i dlatego składowa harmoniczna mocy czynnej musi
uwzględnić współczynnik mocy cos h  dany dla czystych sinusoid kolejnych harmonicznych.
u(t), i(t)
3. POMIAR MOCY BIERNEJ WEDŁUG BUDEANU
b)
Przebiegi prądu i napięcia można przedstawić w postaci zespolonych szeregów Fouriera:
p(t)
 
p'(t)
0
t
UmIm
cos 60 0
2


U h e j t , it  
2e I h e jht .
h
h 1
(12)
h 1
Moc bierna według Budeanu QB zdefiniowana jest w dziedzinie
częstotliwości wzorem:
i(t)
u(t)
u t   2e
600
Rys. 7. Przebiegi wielkości elektrycznych dla przesunięcia fazowego: a)  = 0, b)  = 600
Metoda obliczania mocy czynnej jest również słuszna w przypadku niesinusoidalnych okresowych przebiegów prądu i napięcia.
W praktyce wszystkie przebiegi napięcia i prądu mają pewną zawartość harmonicznych. Przy pomocy transformaty Fouriera chwilowa
wartość napięcia i prądu może być wyrażona w odniesieniu do
zawartości harmonicznych i przedstawiona w postaci (7) i (8).
QB  m
U h I *h  e  jU h I *h .


h 1
h 1
(13)
Czynnik –j można zastąpić iloczynem dwóch liczb zespolonych [4]:
K U K *I   j .
(14)
Po takim podstawieniu moc bierna według Budeanu wynosi:
u t   U m 0  2 

 U mh  sinht   h  ,
(7)
h 1
gdzie: Um0 – wartość średnia napięcia (składowa stała),
Umh – wartość skuteczna h-tej harmonicznej,
h – przesunięcie h-tej harmonicznej napięcia.
i t   I m 0  2 
h 1

 I mh  sinht   h  ,

QB  e K Uh U h  K Ih I h * .




(8)
Wyrażenia w nawiasach są nowymi sygnałami UF i IF, które są
odpowiedziami w stanie ustalonym liniowych przesuwników fazowych o charakterystykach częstotliwościowych KU(ω) i KI(ω).
h1
gdzie: Im0 – wartość średnia natężenia prądu (składowa stała),
Imh – wartość skuteczna h-tej harmonicznej,
(15)
I Fh
U Fh
u F t   2e

U Fh e j t 
h
h 1
2e

 K U h U h e j t ,
h
(16)
h 1
12/2016 AUTOBUSY 1507
I
Eksploatacja i testy
iF t   2e

 I Fh e j t 
2 e
h
h 1

 K I h I h e j t .
h
(17)
h 1
PODSUMOWANIE
Iloczyn skalarny tych funkcji daje moc bierną Budeanu:
T
QB 
1
u F t   iF t dt ,
T 0

(18)
co w dziedzinie częstotliwości można zapisać:
Q B  e


h 1
(19)
1
.
KU
(20)
W tym przypadku przesunięcia fazowe dla wszystkich harmonicznych wprowadzane przez przesuwniki powinny wynosić:
– -π/4 dla napięcia i +π/4 dla prądu.
Jednak w sytuacji, gdy w praktyce zawartość wyższych harmonicznych w napięciu sieciowym jest zwykle zdecydowanie niższa niż w prądzie lepiej jest zastosować przesuwnik odwrotny:
– -π/4 dla prądu (charakterystyka dolnoprzepustowa) i
– +π/4 dla napięcia (charakterystyka górnoprzepustowa)
i następnie zmienić znak zmierzonej mocy na przeciwny.
i(n)
ADC
PFI
u(n)
ADC
PFU
iF
LPF
q(t)
1. Duer S., Zajkowski K., Laboratorium Elektrotechniki Samochodowej Tom I, Tom II, Wydawnictwo Uczelniane Politechniki Koszalińskiej, Koszalin 2009
2. Duer S., Zajkowski K., Sokołowski S., Pomiar sygnałów w silniku benzynowym typu motronic. TTS Technika Transportu Szynowego 10/2013, s.515-522
3. Dybowski P., Tertil Z.: Praca silników komutatorowych małej
mocy zasilanych napięciem niesinusoidalnym – pomiary napięcia, prądu i mocy czynnej, Prace Naukowe Instytutu Maszyn,
Napędów i Pomiarów Elektrycznych Nr 48, Politechnika Wrocławska 2000
4. Krahel A., Szczepaniak Cz.: Pomiar mocy biernej sieci energetycznej w dziedzinie czasu. Prace Instytutu Elektrotechniki, zeszyt 222, Gdańsk 2005
5. Kuśmierek Z., Groszek S.: Technika pomiarów i badań urządzeń elektroenergetycznych. WNT, Warszawa 1993
6. Wiszniewski A.: Algorytmy pomiarów cyfrowych w automatyce
elektroenergetycznej. WNT, Warszawa 1990
7. Zajkowski K.: Zbiór zadań z podstaw elektrotechniki dla nieelektryków. Skrypt, Wydawnictwo Uczelniane Politechniki Koszalińskiej, Koszalin 2009
8. Zajkowski K., Duer S., Sokołowski S.: Laboratorium z podstaw
elektrotechniki i elektroniki. Wydawnictwo Uczelniane Politechniki Koszalińskiej, Koszalin 2013
9. Zajkowski K.: Pomiar mocy prądu przemiennego z automatycznym dopasowaniem zakresów pomiarowych przy wykorzystaniu
karty pomiarowej. LOGISTYKA 3/2014 s.6883-6891
QB
uF
Rys. 6. Algorytm do wyznaczenia mocy biernej według Budeanu
Zastosowanie dwóch przesuwników fazowych zamiast dotychczas stosowanego jednego powoduje obniżenie wymagań dla wartości wzmocnienia i poprawia symetrię kanałów. W przypadku pojedynczego przesuwnika, przesunięcie fazy powinno wynosić π/2
przy zachowaniu wzmocnienia równego 1 dla częstotliwości każdego prążka widma sygnału.
Zadaniem przesuwników fazy prądu i napięcia jest rozsunięcie
faz wszystkich harmonicznych mierzonych przebiegów względem
siebie o kąt równy π/2. W przypadku zastosowania dwóch przesuwników, różnica wprowadzanych przez nie przesunięć fazowych
powinna być równa π/2, natomiast iloczyn wzmocnień powinien być
równy jedności. Dzięki takiemu podejściu możliwe jest zastosowanie
pary komplementarnych przesuwników ±π/4 zrealizowanych w
1508 AUTOBUSY 12/2016
Przedstawione metody pomiaru mocy czynnej i biernej według
Budeanu ze względu na swoją prostotę są stosowane w rozwiązaniach scalonych. Z tych dwóch metod pomiarowych najszerzej
stosowana jest metoda pomiaru mocy czynnej, gdyż moc bierna
Budeanu nie ma bezpośredniego zastosowania w rozwiązaniach
praktycznych. Interpretacja fizyczna tej mocy jest bliżej nieokreślona
dla przebiegów niesinusoidalnych okresowych.
BIBLIOGRAFIA
U Fh I *Fh .
Z powyższej zależności widać, że zastosowanie przesuwników
fazy o transmitancjach spełniających warunek (14) dla wszystkich
częstotliwości harmonicznych, spowodowało sprowadzenie pomiaru
mocy biernej do wyznaczenia mocy czynnej nowych przebiegów uF
i iF w sposób analogiczny jak się to robiło w rozdziale 2.
Sygnały uF(t) i iF(t) są odpowiedziami liniowych przesuwników
fazy pobudzanych przebiegami u(t) i i(t).
Dla ułatwienia tej operacji korzystnie jest przyjąć że:
KI 
postaci układów o nieskończonej odpowiedzi impulsowej i równomiernie falistej charakterystyce fazowej [4].
Power measurement non-sinusoidal current
using electronic methods
The article discusses the method for measuring active
and reactive power by Budeanu for alternating current using
electronic algorithms. The proposed method of measuring the
power may be used in power equipment systems for transport
security.
Autorzy:
dr inż. Konrad Zajkowski, Politechnika Koszalińska, Katedra
Energetyki, ul. Racławicka 15-17, 75-620 Koszalin, e-mail: [email protected]
dr hab.inż. Stanisław Duer, Politechnika Koszalińska, Katedra
Energetyki, ul. Racławicka 15-17, 75-620 Koszalin, e-mail: [email protected]